Ánh xạ

CHU . O . NG II: ´ ANH XA . 2.1. ´ ANH XA . . 2.1.1. D - i . nh ngh˜ıa v`a th´ıdu . : 2.1.1.1. Mo . ’ d¯ ˆa ` u: ´ Anh xa . l`a mˆo . t kh´ai niˆe . mcu . . ck`y quan tro . ng trong to´an ho . c. ´ Anh xa . d`ung d¯ˆe ’ kha ’ o s´at c´ac t´ınh chˆa ´ tcu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p v`a c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a n´o. ´ Anh xa . biˆe ’ udiˆe ˜ n c´ac mˆo ´ i quan hˆe . gi˜u . a c´ac tˆa . pho . . p v`a c´ac phˆa ` ntu . ’ . Ch˘a ’ ng ha . n, x´et tˆa . pho . . p c´ac con ngu . `o . i trˆen to`an thˆe ´ gi´o . i v`a kha ’ o s´at d¯ˆo . tuˆo ’ icu ’ amˆo ˜ i ngu . `o . i. Ta gh´ep mˆo ˜ i con ngu . `o . iv´o . imˆo . t con sˆo ´ go . i l`a tuˆo ’ icu ’ a ngu . `o . i d¯´o. Mˆo ˜ i ngu . `o . id¯ˆe ` u c´o mˆo . t con sˆo ´ ,v`ımˆo ˜ i ngu . `o . i khˆong thˆe ’ c´o hai tuˆo ’ i nˆen mˆo ˜ i ngu . `o . ichı ’ ´u . ng v´o . i mˆo . t con sˆo ´ duy nhˆa ´ t. C´o thˆe ’ nhiˆe ` u ngu . `o . ic´oc`ung d¯ˆo . tuˆo ’ i, ngh˜ıa l`a nhiˆe ` u ngu . `o . i c´o thˆe ’ ´u . ng v´o . ic`ung mˆo . t con sˆo ´ .C´othˆe ’ c´o mˆo . t con sˆo ´ khˆong d¯u . o . . c´u . ng v´o . imˆo . t ngu . `o . i n`ao. Con sˆo ´ c`ang l´o . nth`ıd¯ˆo . tuˆo ’ icu ’ a con ngu . `o . i´u . ng v´o . i con sˆo ´ d¯´o c`ang l´o . n. Nhu . vˆa . y, ta d¯˜a thu . . chiˆe . nmˆo . t “´anh xa . ”t`u . tˆa . pho . . pgˆo ` m c´ac con ngu . `o . i trˆen tr´ai d¯ˆa ´ t v`ao tˆa . pho . . p c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen. C´ac ´anh xa . c`on d¯u . o . . c d`ung d¯ˆe ’ d¯ i . nh ngh˜ıa c´ac cˆa ´ u tr´uc r`o . ira . cnhu . c´ac d˜ay c´ac xˆau. ´ Anh xa . c˜ung d`ung d¯ˆe ’ biˆe ’ udiˆe ˜ n th`o . i gian mˆo . t m´ay t´ınh pha ’ imˆa ´ td¯ˆe ’ gia ’ imˆo . t b`ai to´an c´o quy mˆo d¯˜a cho. C´ac h`am (´anh xa . )d¯ˆe . quy, t´u . c l`a c´ac h`am d¯ u . o . . cd¯i . nh ngh˜ıa qua ch´ınh n´o d¯u . o . . c d`ung xuyˆen suˆo ´ t trong tin ho . c. 2.1.1.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho hai tˆa . pho . . p A v`a B.Mˆo . t ´anh xa . f t`u . A v`ao B l`a mˆo . tsu . . gh´ep d¯ˆoi mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ a ∈ A v´o . imˆo . t phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ tcu ’ a B,k´yhiˆe . u f(a). Phˆa ` ntu . ’ f(a) ∈ B d¯ u . o . . cgo . i l`a gi´a tri . cu ’ a f ta . i a. A d¯ u . o . . cgo . i l`a tˆa . p nguˆo ` n hay miˆe ` n x´ac d¯i . nh v`a B go . i l`a tˆa . pd¯´ıch hay miˆe ` n gi´a tri . .Mˆo . t ´anh xa . f t`u . A v`ao B c`on d¯u . o . . cgo . il`amˆo . t h`am t`u . A v`ao B v`a d¯u . o . . ck´yhiˆe . ubo . ’ i f : A −→ B hay A f −→ B hay f : x ∈ A −→ f(x) ∈ B. Th´ıdu . :1)Go . i A l`a tˆa . pho . . p c´ac b`ai thi cu ’ a c´ac sinh viˆen trong mˆo . tl´o . p n`ao d¯´o. Khi chˆa ´ m b`ai thi theo thang d¯iˆe ’ m 10, thˆa ` y gi´ao chˆa ´ m thi d¯˜a thiˆe ´ tlˆa . pmˆo . t ´anh xa . t`u . A v`ao tˆa . pho . . p {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. 2) Cho A l`a mˆo . ttˆa . pho . . p. Mˆo . tsu . . gh´ep d¯ˆoi mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ x ∈ A v´o . ich´ınh x l`a mˆo . t ´anh xa . t`u . A d¯ ˆe ´ n A. ´ Anh xa . n`ay d¯u . o . . cgo . i l`a ´anh xa . d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ tcu ’ a A v`a d¯ u . o . . ck´yhiˆe . ul`aid A ho˘a . c1 A . 3) C´ac h`am sˆo ´ y = √ 1+x 2 ,y= √ x, y = 1 x +1 x´ac d¯i . nh lˆa ` nlu . o . . t c´ac ´anh xa . sau: f : R −→ R + ,g: R + 0 −→ R + 0 ,h: R\{−1}−→R, trong d¯´o R + = {x ∈ R | x>0}, R + 0 = {x ∈ R | x ≥ 0}. 32 2.1.1.3. D - i . nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa . f : A −→ B.Tago . itˆa . pho . . p G = {(x, f (x)) | x ∈ A}⊂A × B l`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a ´anh xa . f. Nhu . vˆa . y, khi cho ´anh xa . f : A −→ B,tac´otˆa . p con G cu ’ a A × B c´o t´ınh chˆa ´ t l`a v´o . imo . i x ∈ A,tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ tmˆo . tc˘a . p thuˆo . c G, c´o th`anh phˆa ` nth´u . nhˆa ´ tl`ax.D - a ’ ola . i, nˆe ´ u G ⊂ A × B c´o t´ınh chˆa ´ t d¯´o th`ı G cho ta mˆo . t ´anh xa . f : A −→ B m`a d¯ˆo ` thi . cu ’ a f l`a G.V`ıvˆa . y, ngu . `o . i ta c´o thˆe ’ d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ t ´anh xa . f : A −→ B v´o . id¯ˆo ` thi . G cu ’ a n´o. 2.1.1.4. D - i . nh ngh˜ıa: Hai ´anh xa . f,g : A −→ B d¯ u . o . . cgo . i l`a b˘a ` ng nhau, k´y hiˆe . u f = g,nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ A, ta c´o f (x)=g(x). 2.1.1.5. D - i . nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa . f : A −→ B v`a X ⊂ A.Tago . i ´anh xa . g : X −→ B l`a thu he . pcu ’ a f lˆen X,k´yhiˆe . ul`ag = f| X ,nˆe ´ uv´o . imo . i x ∈ X, f(x)=g(x).Khi d¯´o f go . il`amo . ’ rˆo . ng cu ’ a g lˆen A. Ch´u´yr˘a ` ng, thu he . pcu ’ amˆo ˜ i ´anh xa . lˆen mˆo . ttˆa . p con cu ’ atˆa . p nguˆo ` n l`a duy nhˆa ´ t, nhu . ng mo . ’ rˆo . ng cu ’ amˆo ˜ i ´anh xa . lˆen mˆo . ttˆa . pho . . pch´u . atˆa . p nguˆo ` n l`a khˆong duy nhˆa ´ t. Th´ıdu . :1)Hai ´anh xa . f : R −→ [−1, 1] : x −→ sin x v`a g :[0, 2π] −→ [−1, 1] : x −→ sin x l`a hai ´anh xa . kh´ac nhau v`ı ch´ung c´o c´ac tˆa . p nguˆo ` n kh´ac nhau. Tuy nhiˆen, f| [0,2π] = g. 2) Cho A = {1, 2, 3, 4},X= {1, 2, 3},B= {a, b, c} v`a ´anh xa . g : X −→ B : 1 −→ a, 2 −→ b, 3 −→ c. Khi d¯´o c´o 3 mo . ’ rˆo . ng cu ’ a g lˆen A l`a f 1 ,f 2 ,f 3 : A −→ B cho bo . ’ i f i (1) = a, f i (2) = b, f i (3) = c (i =1, 2, 3),f 1 (4) = a, f 2 (4) = b, f 3 (4) = c. 3) Cho c´ac ´anh xa . f : R −→ R + 0 ,g: R −→ Z,h: R −→ R x´ac d¯i . nh bo . ’ i: f(x)=|x|,g(x)=[x] (phˆa ` n nguyˆen cu ’ a x),h(x)=x − [x] (phˆa ` nle ’ cu ’ a x). Khi d¯´o f| R + 0 = id R + 0 ,g| Z = id Z ,h| Z = 0 (´anh xa . c´o mo . i gi´a tri . d¯ ˆe ` ub˘a ` ng 0 go . il`a ´anh xa . 0). 2.1.2. A ’ nh v`a ta . oa ’ nh: 2.1.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho ´anh xa . f : A −→ B, x ∈ A, X ⊂ A, S ⊂ B. Khi d¯´o ta go . i: – f (x)l`aa ’ nh cu ’ a x bo . ’ i f , – f (X)={f(x) ∈ B | x ∈ X} l`a a ’ nh cu ’ a X bo . ’ i f , – f −1 (S)={x ∈ A | f(x) ∈ S} l`a ta . oa ’ nh cu ’ a S bo . ’ i f . D - ˘a . cbiˆe . t, v´o . i y ∈ B, f −1 ({y})={x ∈ A | f(x)=y} v`a viˆe ´ td¯o . n gia ’ nl`a f −1 (y). Khi X = A, ta go . i f(A)l`aa ’ nh cu ’ a f v`a k´yhiˆe . ul`aImf. R˜o r`ang khi X = ∅ ta c´o f(∅)=∅.T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta c´o: X ⊂ X  ⊂ A ⇒ f(X) ⊂ f (X  ) ⊂ f(A),S⊂ S  ⊂ B ⇒ f −1 (S) ⊂ f −1 (S  ) ⊂ A. 33 Th´ıdu . :1)Cho A = {a, b, c, d, e},B= {1, 2, 3, 4},X= {a, b, d},Y= {3, 4} v`a f : A −→ B x´ac d¯i . nh bo . ’ i f (a)=1,f(b)=4,f(c)=2,f(d)=1,f(e) = 4. Khi d¯´o ta c´o: f(X)={1, 4}, Imf = {1, 2, 4},f −1 (Y )={b, e},f −1 (3) = ∅,f −1 (1) = {a, d}. 2) Cho ´anh xa . f : R −→ R x´ac d¯i . nh bo . ’ i f (x)=cosx. Khi d¯´o ta c´o: f −1 (2) = ∅,f −1 ( √ 3 2 )={± π 6 +2kπ | k ∈ Z}, Imf =[−1, 1]. 2.1.2.2. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho ´anh xa . f : A −→ B, X v`a Y l`a c´ac tˆa . p con cu ’ a A, S v`a T l`a c´ac tˆa . p con cu ’ a B. Khi d¯´o ta c´o: 1) X ⊂ f −1 (f(X)). 2) f (f −1 (S)) ⊂ S. 3) f (X ∪ Y )=f(X) ∪ f(Y ). 4) f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f(Y ). 5) f −1 (S ∪ T )=f −1 (S) ∪ f −1 (T ). 6) f −1 (S ∩ T )=f −1 (S) ∩ f −1 (T ). 7) f (A \ X) ⊃ f(A) \ f(X). 8) f −1 (B \ S)=A \ f −1 (S). Ch´u . ng minh: 1) x ∈ X ⇒ f(x) ∈ f(X) ⇒ x ∈ f −1 (f(X)). Do d¯´o X ⊂ f −1 (f(X)). 2) y ∈ f(f −1 (S)) ⇒∃x ∈ f −1 (S),f(x)=y ⇒ y = f(x) ∈ S. Do d¯´o f(f −1 (S)) ⊂ S. 3) X, Y ⊂ X ∪ Y ⇒ f (X),f(Y ) ⊂ f (X ∪ Y ) ⇒ f (X) ∪ f (Y ) ⊂ f(X ∪ Y ). y ∈ f(X ∪ Y ) ⇒∃x ∈ X ∪ Y, y = f (x) ⇒ (y = f (x),x∈ X)∨ (y = f(x),x∈ Y ) ⇒ y ∈ f (X) ∪ f(Y ). Do d¯´o f(X ∪ Y ) ⊂ f(X)∪ f(Y ). 4) y ∈ f(X ∩ Y ) ⇒∃x ∈ X ∩ Y, y = f (x) ⇒ (y = f (x),x ∈ X) ∧ (y = f(x),x∈ Y ) ⇒ y ∈ f (X) ∩ f(Y ). Do d¯´o f(X ∩ Y ) ⊂ f(X)∩ f(Y ). 5) x ∈ f −1 (S ∪ T ) ⇔ f(x) ∈ S ∪ T ⇔ (f(x) ∈ S) ∨ (f(x) ∈ T ) ⇔ (x ∈ f −1 (S)) ∨ (x ∈ f −1 (T )) ⇔ x ∈ f −1 (S) ∪ f −1 (T ). Do d¯´o f −1 (S ∪ T )= f −1 (S) ∪ f −1 (T ). 6) x ∈ f −1 (S ∩ T ) ⇔ f(x) ∈ S ∩ T ⇔ (f(x) ∈ S) ∧ (f(x) ∈ T ) ⇔ (x ∈ f −1 (S)) ∧ (x ∈ f −1 (T )) ⇔ x ∈ f −1 (S) ∩ f −1 (T ). Do d¯´o f −1 (S ∩ T )= f −1 (S) ∩ f −1 (T ). 7) y ∈ f(A) \ f(X) ⇒ (y ∈ f(A)) ∧ (y/∈ f(X)) ⇒ (∃x ∈ A, y = f (x)) ∧ x/∈ X ⇒ x ∈ A \ X, y = f(x) ⇒ y ∈ f(A \ X). Do d¯´o f(A) \ f(X) ⊂ f(A \ X). 8) x ∈ f −1 (B \ S) ⇔ f(x) ∈ B \ S ⇔ (f(x) ∈ B) ∧ (f(x) /∈ S) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x/∈ f −1 (S)) ⇔ x ∈ A \ f −1 (S). Do d¯´o f −1 (B \ S)=A \ f −1 (S). Trong 1), 2), 4), 7), c´ac bao h`am ngu . o . . cla . i n´oi chung khˆong d¯´ung. 34 Thˆa . tvˆa . y, cho . n A = {1, 2, 3, 4},B= {1, 2, 3},X= {1, 2},Y= {3, 4},S= {1, 3} v`a f : A −→ B l`a ´anh xa . x´ac d¯i . nh bo . ’ i f (1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 1,f(4) = 1 th`ı ta c´o: X ⊂ = f −1 (f(X)),f(f −1 (S)) ⊂ = S, f(X ∩ Y ) ⊂ = f(X) ∩ f(Y ),f(A \ X) ⊃ = f(A) \ f(X). 2.1.3. D - o . n ´anh, to`an ´anh, song ´anh: 2.1.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: ´ Anh xa . f : A −→ B d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . td¯o . n ´anh nˆe ´ uv´o . i mo . i x 1 ,x 2 ∈ A, x 1 = x 2 k´eo theo f(x 1 ) = f(x 2 ) (hay f (x 1 )=f(x 2 ) k´eo theo x 1 = x 2 ). Ngu . `o . i ta c`on go . imˆo . td¯o . n ´anh l`a mˆo . t ´anh xa . mˆo . td¯ˆo ´ imˆo . t. 2.1.3.2. D - i . nh ngh˜ıa: ´ Anh xa . f : A −→ B d¯ u . o . . cgo . il`amˆo . t to`an ´anh nˆe ´ u f(A)=B,t´u . cl`av´o . imo . i y ∈ B,tˆo ` nta . i x ∈ A sao cho f (x)=y. Ngu . `o . i ta c`on go . i to`an ´anh f : A −→ B l`a mˆo . t ´anh xa . t`u . A lˆen B. 2.1.3.3. D - i . nh ngh˜ıa: ´ Anh xa . f : A −→ B d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . t song ´anh hay mˆo . t ´anh xa . mˆo . td¯ˆo ´ imˆo . tt`u . A lˆen B nˆe ´ un´ov`u . a l`a d¯o . n ´anh v`u . a l`a to`an ´anh, t´u . cl`a v´o . imo . i y ∈ B,tˆo ` nta . i duy nhˆa ´ t x ∈ A sao cho f (x)=y. Th´ıdu . :1)Cho A l`a mˆo . ttˆa . pho . . pv`aB ⊂ A. ´ Anh xa . d¯ ˆo ` ng nhˆa ´ t id A l`a mˆo . t song ´anh v`a “ph´ep bao h`am” B −→ A : x −→ x l`a mˆo . td¯o . n ´anh. 2) ´ Anh xa . n ∈ Z −→ −n ∈ Z l`a mˆo . t song ´anh, ´anh xa . n ∈ Z −→ 2n ∈ Z l`a mˆo . td¯o . n ´anh nhu . ng khˆong pha ’ i l`a to`an ´anh v`a ´anh xa . n ∈ Z −→ n 2 ∈ Z khˆong pha ’ il`ad¯o . n ´anh v`a c˜ung khˆong pha ’ i l`a to`an ´anh. 3) ´ Anh xa . f : R −→ R : x −→ x 3 l`a mˆo . t song ´anh nhu . ng ´anh xa . g : Q −→ R : x −→ x 3 l`a mˆo . td¯o . n ´anh v`a khˆong pha ’ il`amˆo . t to`an ´anh. 4) ´ Anh xa . x ∈ R −→ sin x ∈ R khˆong l`a d¯o . n ´anh v`a c˜ung khˆong l`a to`an ´anh nhu . ng ´anh xa . x ∈ R −→ sin x ∈ [−1, 1] l`a mˆo . t to`an ´anh v`a khˆong pha ’ il`a mˆo . td¯o . n ´anh. 2.1.4. Ho . . p th`anh cu ’ a c´ac ´anh xa . : 2.1.4.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho hai ´anh xa . f : A −→ B v`a g : B −→ C. Khi d¯´o ta c´o ´anh xa . h : A −→ C cho bo . ’ i h(x)=g(f(x)) v`a h d¯ u . o . . cgo . il`aho . . p th`anh hay t´ıch cu ’ a ´anh xa . f v`a ´anh xa . g,k´yhiˆe . u g ◦ f hay gf. Th´ıdu . :1)Cho ´anh xa . f : A −→ B. Khi d¯´o f ◦ id A = f v`a id B ◦ f = f. 2) Cho hai ´anh xa . f,g : R −→ R cho bo . ’ i f(x)=3x +2,g(x) = cos x. Khi d¯´o g ◦ f(x)=g(f(x)) = g(3x + 2) = cos(3x + 2) v`a f ◦ g(x)=f(g(x)) = f(cos x) = 3 cos x + 2. R˜o r`ang f ◦ g = g ◦ f. 3) Cho hai ´anh xa . f : R \{0}−→R v`a g : R −→ R + cho bo . ’ i f (x)= 1 x v`a g(x)=x 2 + 1. Khi d¯´o ta c´o g ◦ f : R \{0}−→R + : x −→ g(f(x)) = x 2 +1 x 2 . 35 2.1.4.2. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho ba ´anh xa . f : A −→ B, g : B −→ C, h : C −→ D. Khi d¯´o ta c´o (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). Ch´u . ng minh: V´o . imo . i x ∈ A,tac´o ((h ◦ g) ◦ f)(x)=h ◦ g(f(x)) = h(g(f(x))) = h(g ◦ f(x)) = (h ◦ (g ◦ f))(x). Do d¯´o (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ). T`u . d¯´o ta n´oi ph´ep ho . . p th`anh ´anh xa . c´o t´ınh kˆe ´ tho . . p. 2.1.4.3. Mˆe . nh d¯ˆe ` . Cho hai ´anh xa . f : A −→ B v`a g : B −→ C. Khi d¯´o: 1) Nˆe ´ u f v`a g l`a c´ac d¯o . n ´anh th`ı g ◦ f l`a d¯o . n ´anh. 2) Nˆe ´ u f v`a g l`a c´ac to`an ´anh th`ı g ◦ f l`a to`an ´anh. 3) Nˆe ´ u f v`a g l`a c´ac song ´anh th`ı g ◦ f l`a song ´anh. Ch´u . ng minh: 1) ∀x, x  ∈ A, g ◦ f (x)=g ◦ f(x  ) ⇒ g(f(x)) = g(f(x  )) ⇒ f(x)=f(x  ) (do g l`a d¯o . n ´anh) ⇒ x = x  (do f l`a d¯o . n ´anh). Vˆa . y g ◦ f l`a d¯o . n ´anh. 2) g ◦ f (A)={g ◦ f (x) | x ∈ A} = {g(f (x)) | f(x) ∈ f(A)} = = {g(f(x)) | f(x) ∈ B} (do f l`a to`an ´anh)= g(B)=C (do g l`a to`an ´anh). Vˆa . y g ◦ f l`a to`an ´anh. 3) Suy t`u . 1) v`a 2). 2.1.4.4. D - i . nh ngh˜ıa: Cho f : A −→ B v`a g : B −→ A l`a hai ´anh xa . sao cho g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B . Khi d¯´o ta n´oi g l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a f . Th´ıdu . :1)Cho hai ´anh xa . f,g : R −→ R x´ac d¯i . nh bo . ’ i f (x)=2x +5v`a g(x)= x − 5 2 .V´o . imo . i x ∈ R ta c´o: g ◦ f (x)=g(f(x)) = g(2x +5)= (2x +5)− 5 2 = x = id R (x). f ◦ g(x)=f (g(x)) = f( x − 5 2 )=2( x − 5 2 )+5=x = id R (x). Vˆa . y g l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a f v`a f c˜ung l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a g. 2) Cho hai ´anh xa . f : R −→ R + v`a g : R + −→ R x´ac d¯i . nh bo . ’ i f(x)=a x v`a g(x) = log a x,o . ’ d¯ˆay a ∈ R,a>0,a= 1. V´o . imo . i x ∈ R ta c´o: g ◦ f (x)=g(f(x)) = g(a x )=log a (a x )=x = id R (x). f ◦ g(x)=f (g(x)) = f(log a x)=a log a x = x = id R + . Vˆa . y g l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a f v`a f c˜ung l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a g. 2.1.4.5. Mˆe . nh d¯ˆe ` : ´ Anh xa . f : A −→ B c´o ´anh xa . ngu . o . . c khi v`a chı ’ khi f l`a mˆo . t song ´anh. Ch´u . ng minh: Gia ’ su . ’ f c´o ´anh xa . ngu . o . . cl`ag : B −→ A.T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa ta c´o g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B . Khi d¯´o v´o . imo . i x, x  ∈ A, f(x)=f(x  ) ⇒ g(f(x)) = g(f(x  )) ⇒ x = x  . 36 Vˆa . y f l`a mˆo . td¯o . n ´anh. Ngo`ai ra, v´o . imo . i y ∈ B,tˆo ` nta . i x = g(y) ∈ A sao cho f(x)=f(g(y)) = y.Vˆa . y f l`a mˆo . t to`an ´anh. Do d¯´o f l`a mˆo . t song ´anh. D - a ’ ola . i, gia ’ su . ’ f l`a mˆo . t song ´anh. Quy t˘a ´ cchotu . o . ng ´u . ng mˆo ˜ i y ∈ B v´o . i phˆa ` ntu . ’ duy nhˆa ´ tcu ’ a f −1 (y) x´ac d¯i . nh ´anh xa . g : B −→ A v`a dˆe ˜ d`ang c´o d¯u . o . . c g ◦ f = id A v`a f ◦ g = id B . Do d¯´o g l`a ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a f . 2.1.4.6. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Nˆe ´ u g, g  : B −→ A l`a hai ´anh xa . ngu . o . . ccu ’ a f th`ı g = g  . Ch´u . ng minh: Do g ◦ f = id A v`a f ◦ g  = id B nˆen ta c´o g = g ◦ id B = g ◦ (f ◦ g  )=(g ◦ f) ◦ g  = id A ◦ g  = g  . K´y hiˆe . u: ´ Anh xa . ngu . o . . c duy nhˆa ´ tcu ’ a ´anh xa . f thu . `o . ng d¯u . o . . ck´yhiˆe . ul`af −1 . Dˆe ˜ d`ang thˆa ´ yr˘a ` ng: (f −1 ) −1 = f, (g ◦ f ) −1 = f −1 ◦ g −1 . 2.1.4.7. Mˆe . nh d¯ˆe ` : Cho A, B l`a hai tˆa . ph˜u . uha . n c´o c`ung ba ’ nsˆo ´ v`a ´anh xa . f : A −→ B. Khi d¯´o c´ac d¯iˆe ` u sau tu . o . ng d¯u . o . ng. 1) f l`a mˆo . td¯o . n ´anh. 2) f l`a mˆo . t to`an ´anh. 3) f l`a mˆo . t song ´anh. Ch´u . ng minh: 1) ⇒ 2) v`ı |A| = |B| (gia ’ thiˆe ´ t) v`a |A| = |f(A)| (do f l`a d¯o . n ´anh), nˆen |f (A)| = |B|. Do d¯´o f (A)=B hay f l`a mˆo . t to`an ´anh. 2) ⇒ 3) V`ı f l`a to`an ´anh nˆen nˆe ´ u f khˆong l`a song ´anh th`ı f khˆong l`a d¯o . n ´anh. Khi d¯´o tˆo ` nta . i hai phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o chung a ’ nh. V`ıvˆa . y, |B| = |f (A)| < |A|. D - iˆe ` u n`ay mˆau thuˆa ’ nv´o . i gia ’ thiˆe ´ t. 3) ⇒ 1) Hiˆe ’ n nhiˆen. 2.1.5. Ho . nh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p: 2.1.5.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho I l`a mˆo . ttˆa . pho . . p t`uy ´y kh´ac rˆo ˜ ng v`a mˆo . t ´anh xa . f : I −→ A. Khi d¯´o, v´o . imˆo ˜ i α ∈ I ta k´y hiˆe . u f(α)bo . ’ i x α v`a n´oi c´ac phˆa ` ntu . ’ x α v´o . i α ∈ I th`anh lˆa . pmˆo . tho . nh˜u . ng phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A d¯ u . o . . c d¯´anh sˆo ´ bo . ’ itˆa . pho . . p I, k´yhiˆe . u(x α ) α∈I , c`on tˆa . pho . . p I go . il`atˆa . pchı ’ sˆo ´ .Nˆe ´ u c´ac x α l`a nh˜u . ng tˆa . pho . . p th`ı ta go . i(x α ) α∈I l`a mˆo . tho . tˆa . pho . . p d¯´anh sˆo ´ bo . ’ itˆa . pho . . p I.Nˆe ´ u c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A l`a nh˜u . ng tˆa . p con cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . p U th`ı ta go . i(x α ) α∈I l`a mˆo . tho . nh˜u . ng tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p U . Th´ıdu . :1)Cho ´anh xa . f : N −→ R : n −→ a n = f(n). Khi d¯´o ta c´o ho . sˆo ´ thu . . c (a n ) n∈N d¯ u . o . . c d¯´anh sˆo ´ bo . ’ itˆa . pho . . p N c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen v`a ta thu . `o . ng go . i l`a d˜ay sˆo ´ thu . . c(a n ) n∈N . 2) Cho ´anh xa . g : N −→ P (N):n −→ J n = {0, 1, . ,n}. Khi d¯´o ta c´o d˜ay nh˜u . ng tˆa . p con cu ’ atˆa . pho . . p N: J 0 ⊂ J 1 ⊂···⊂J n ⊂··· . 2.1.5.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho (A α ) α∈I l`a mˆo . tho . tˆa . pho . . p. Ta go . i 37 –Ho . . pcu ’ aho . (A α ) α∈I l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k´y hiˆe . u ∪ α∈I A α , x´ac d¯i . nh bo . ’ i ∪ α∈I A α = { x |∃α ∈ I, x∈ A α }. – Giao cu ’ aho . (A α ) α∈I l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k´y hiˆe . u ∩ α∈I A α , x´ac d¯i . nh bo . ’ i ∩ α∈I A α = { x |∀α ∈ I, x∈ A α }. – T´ıch Descartes cu ’ aho . (A α ) α∈I l`a mˆo . ttˆa . pho . . p, k´yhiˆe . u  α∈I A α , x´ac d¯i . nh bo . ’ i  α∈I A α = { (x α ) α∈I |∀α ∈ I, x α ∈ A α }. Nˆe ´ uv´o . imo . i α ∈ I, A α = A th`ı  α∈I A α go . i l`a l˜uy th`u . a Descartes bˆa . c I cu ’ a A v`a k´yhiˆe . ul`aA I . Th´ıdu . :1)X´et ho . tˆa . p con (J n ) n∈N cu ’ atˆa . pho . . p N, trong d¯´o J n = {0, 1, . ,n}. Khi d¯´o ∪ n∈N J n = N v`a ∩ n∈N J n = {0}. 2) L˜uy th`u . a Descartes R N l`a tˆa . pho . . p c´ac d˜ay sˆo ´ thu . . c. 2.2. GIA ’ IT ´ ICH T ˆ O ’ HO . . P. 2.2.1. Nh˜u . ng nguyˆen l´yd¯ˆe ´ mco . ba ’ n: 2.2.1.1. Quy t˘a ´ ccˆo . ng: Gia ’ su . ’ c´o hai cˆong viˆe . c. Viˆe . cth´u . nhˆa ´ t c´o thˆe ’ l`am b˘a ` ng n 1 c´ach, viˆe . cth´u . hai c´o thˆe ’ l`am b˘a ` ng n 2 c´ach v`a nˆe ´ u hai viˆe . c n`ay khˆong thˆe ’ l`am d¯ˆo ` ng th`o . ith`ıs˜ec´on 1 + n 2 c´ach l`am mˆo . t trong hai viˆe . c d¯´o. Quy t˘a ´ ccˆo . ng c´o thˆe ’ mo . ’ rˆo . ng cho tru . `o . ng ho . . p c´o nhiˆe ` uho . n hai cˆong viˆe . c. Gia ’ su . ’ c´ac viˆe . c T 1 ,T 2 , . ,T m c´o thˆe ’ l`am tu . o . ng ´u . ng b˘a ` ng n 1 ,n 2 , . ,n m c´ach v`a khˆong c´o hai viˆe . c n`ao c´o thˆe ’ l`am d¯ˆo ` ng th`o . i. Khi d¯´o sˆo ´ c´ach l`am mˆo . t trong m viˆe . c d¯´o l`a n 1 + n 2 + ···+ n m . Nguyˆen l´y cˆo . ng c´o thˆe ’ ph´at biˆe ’ udu . ´o . ida . ng ngˆon ng˜u . tˆa . pho . . pnhu . sau: Nˆe ´ u A 1 ,A 2 , . ,A n l`a c´ac tˆa . ph˜u . uha . n d¯ˆoi mˆo . tr`o . i nhau, khi d¯´o sˆo ´ phˆa ` ntu . ’ cu ’ aho . . p c´ac tˆa . pho . . p n`ay l`a |A 1 ∪ A 2 ∪ .∪ A n | = |A 1 | + |A 2 | + ···+ |A n |. Th´ıdu . : Mˆo . t sinh viˆen c´o thˆe ’ cho . n b`ai thu . . c h`anh m´ay t´ınh t`u . mˆo . t trong ba danh s´ach tu . o . ng ´u . ng c´o 24, 16 v`a 20 b`ai. C´o bao nhiˆeu c´ach cho . n b`ai thu . . c h`anh? C´o 24 c´ach cho . n b`ai thu . . c h`anh t`u . danh s´ach th´u . nhˆa ´ t, 16 c´ach t`u . danh s´ach th´u . hai v`a 20 c´ach t`u . danh s´ach th´u . ba. V`ı vˆa . y c´o 24 + 16 + 20 = 60 c´ach cho . n b`ai thu . . c h`anh. 38 2.2.1.2. Quy t˘a ´ c nhˆan: Gia ’ su . ’ mˆo . t nhiˆe . mvu . n`ao d¯´o d¯u . o . . c t´ach l`am hai viˆe . c. Viˆe . cth´u . nhˆa ´ tc´othˆe ’ l`am b˘a ` ng n 1 c´ach, viˆe . cth´u . hai c´o thˆe ’ l`am b˘a ` ng n 2 c´ach sau khi viˆe . cth´u . nhˆa ´ td¯˜ad¯u . o . . c l`am, khi d¯´o s˜e c´o n 1 .n 2 c´ach thu . . chiˆe . n nhiˆe . mvu . n`ay. Ngu . `o . itathu . `o . ng su . ’ du . ng quy t˘a ´ c nhˆan mo . ’ rˆo . ng. Gia ’ su . ’ mˆo . t nhiˆe . mvu . n`ao d¯ ´o d¯ u . o . . c thi h`anh b˘a ` ng c´ach thu . . chiˆe . n c´ac viˆe . c T 1 ,T 2 , . ,T m v`a nˆe ´ uviˆe . c T i c´o thˆe ’ l`am b˘a ` ng n i c´ach sau khi c´ac viˆe . c T 1 ,T 2 , . ,T i−1 d¯ ˜a d¯ u . o . . c l`am. Khi d¯´o c´o n 1 .n 2 .n m c´ach thi h`anh nhiˆe . mvu . d¯˜a cho. Nguyˆen l´y nhˆan c´o thˆe ’ ph´at biˆe ’ udu . ´o . ida . ng ngˆon ng˜u . tˆa . pho . . pnhu . sau: Nˆe ´ u A 1 ,A 2 , . ,A n l`a c´ac tˆa . ph˜u . uha . n, khi d¯´o sˆo ´ phˆa ` ntu . ’ cu ’ a t´ıch Descartes A 1 × A 2 ×···×A n l`a |A 1 × A 2 ×···×A n | = |A 1 |.|A 2 | .|A n |. Th´ıdu . :1)Ngu . `o . i ta c´o thˆe ’ ghi nh˜an cho nh˜u . ng chiˆe ´ cghˆe ´ trong mˆo . t gia ’ ng d¯ u . `o . ng b˘a ` ng mˆo . tch˜u . c´ai (trong ba ’ ng ch˜u . c´ai tiˆe ´ ng Anh) v`a mˆo . tsˆo ´ nguyˆen du . o . ng khˆong vu . o . . t qu´a 100. B˘a ` ng c´ach nhu . vˆa . y, nhiˆe ` u nhˆa ´ t c´o bao nhiˆeu chiˆe ´ c ghˆe ´ c´o thˆe ’ d¯ u . o . . c ghi nh˜an kh´ac nhau. Thu ’ tu . c ghi nh˜an cho mˆo . t chiˆe ´ cghˆe ´ gˆo ` m hai viˆe . c, g´an mˆo . t trong 26 ch˜u . c´ai v`a sau d¯´o g´an mˆo . t trong 100 sˆo ´ nguyˆen du . o . ng. Quy t˘a ´ c nhˆan chı ’ r˘a ` ng c´o 26.100 = 2600 c´ach kh´ac nhau d¯ˆe ’ g´an nh˜an cho mˆo . t chiˆe ´ cghˆe ´ .Nhu . vˆa . y nhiˆe ` u nhˆa ´ ttac´othˆe ’ g´an nh˜an cho 2600 chiˆe ´ cghˆe ´ . 2) C´o bao nhiˆeu xˆau nhi . phˆan d¯ˆo . d`ai n? Mˆo ˜ imˆo . t trong n bit cu ’ a xˆau nhi . phˆan c´o thˆe ’ cho . nb˘a ` ng hai c´ach v`ımˆo ˜ i bit ho˘a . cb˘a ` ng 0 ho˘a . cb˘a ` ng 1. Bo . ’ ivˆa . y, theo quy t˘a ´ c nhˆan cho thˆa ´ y c´o tˆo ’ ng cˆo . ng 2 n xˆau nhi . phˆan kh´ac nhau d¯ˆo . d`ai n. Cho X l`a mˆo . ttˆa . pho . . pc´on phˆa ` ntu . ’ . Khi d¯´o c´ac tˆa . p con cu ’ a X tu . o . ng ´u . ng 1-1 v´o . i c´ac xˆau nhi . phˆan d¯ˆo . d`ai n (xem 1.2.3.5). V`ı vˆa . ytˆa . pl˜uy th`u . a P(X)c´o ba ’ nsˆo ´ l`a 2 n . 3) C´o thˆe ’ ta . od¯u . o . . c bao nhiˆeu ´anh xa . t`u . mˆo . ttˆa . pho . . p A c´o m phˆa ` ntu . ’ v`ao mˆo . ttˆa . pho . . p B c´o n phˆa ` ntu . ’ . Theo d¯i . nh ngh˜ıa, mˆo . t ´anh xa . x´ac d¯i . nh trˆen A c´o gi´a tri . trˆen B l`a mˆo . t ph´ep tu . o . ng ´u . ng mˆo ˜ i phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A v´o . imˆo . t phˆa ` ntu . ’ n`ao d¯´o cu ’ a B. R˜o r`ang sau khi d¯˜a cho . nd¯u . o . . ca ’ nh cu ’ a i − 1 phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆa ` u , d¯ ˆe ’ cho . na ’ nh cu ’ a phˆa ` ntu . ’ th´u . i cu ’ a A ta c´o n c´ach. V`ı vˆa . y theo quy t˘a ´ c nhˆan, ta c´o n.n. . . . n = n m ´anh xa . x´ac d¯i . nh trˆen A nhˆa . n gi´a tri . trˆen B. 4) C´o bao nhiˆeu d¯o . n ´anh x´ac d¯i . nh trˆen tˆa . pho . . p A c´o m phˆa ` ntu . ’ v`a nhˆa . n gi´a tri . trˆen tˆa . pho . . p B c´o n phˆa ` ntu . ’ . Nˆe ´ u m>nth`ı v´o . imo . i ´anh xa . , ´ıt nhˆa ´ t c´o hai phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A c´o c`ung mˆo . t a ’ nh, d¯iˆe ` u d¯´o c´o ngh˜ıa l`a khˆong c´o d¯o . n ´anh t`u . A d¯ ˆe ´ n B. Bˆay gi`o . gia ’ su . ’ m ≤ n v`a go . i c´ac phˆa ` ntu . ’ cu ’ a A l`a a 1 ,a 2 , . ,a m . R˜o r`ang c´o n c´ach cho . na ’ nh cho phˆa ` n tu . ’ a 1 .V`ı ´anh xa . l`a d¯o . n ´anh nˆen a ’ nh cu ’ a phˆa ` ntu . ’ a 2 pha ’ i kh´ac a ’ nh cu ’ a a 1 nˆen 39 chı ’ c´o n − 1 c´ach cho . na ’ nh cho phˆa ` ntu . ’ a 2 . N´oi chung, d¯ˆe ’ cho . na ’ nh cu ’ a a k ,ta c´o n − k + 1 c´ach. Theo quy t˘a ´ c nhˆan, ta c´o n(n − 1) .(n − m +1)= n! (n − m)! d¯ o . n ´anh t`u . tˆa . pho . . p A d¯ ˆe ´ ntˆa . pho . . p B. 2.2.2. Chı ’ nh ho . . p v`a ho´an vi . : 2.2.2.1. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . p X c´o n phˆa ` ntu . ’ .Mˆo ˜ i c´ach s˘a ´ pxˆe ´ p c´o th´u . tu . . k phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p X d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . tchı ’ nh ho . . p (khˆong l˘a . p) chˆa . p k cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ cu ’ a X. K´y hiˆe . usˆo ´ chı ’ nh ho . . pchˆa . p k cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ l`a A k n . Khi d¯´o ta c´o A k n = n(n − 1)(n − 2) .(n− k +1)= n! (n − k)! . Thˆa . tvˆa . y, phˆa ` ntu . ’ d¯ ˆa ` u tiˆen cu ’ achı ’ nh ho . . p c´o thˆe ’ cho . nb˘a ` ng n c´ach, v`ıtˆa . pho . . p X c´o n phˆa ` ntu . ’ , phˆa ` ntu . ’ th´u . hai cu ’ achı ’ nh ho . . pd¯u . o . . ccho . nt`u . n− 1 phˆa ` ntu . ’ c`on la . icu ’ atˆa . pho . . p X,t´u . c l`a ta c´o n − 1 c´ach cho . n phˆa ` ntu . ’ n`ay. Tu . o . ng tu . . ta c´o n − 2 c´ach cho . n phˆa ` ntu . ’ th´u . ba v`a c´u . nhu . thˆe ´ ta c´o n − k + 1 c´ach cho . n phˆa ` n tu . ’ th´u . k. Theo quy t˘a ´ c nhˆan ta d¯u . o . . c n(n − 1)(n − 2) .(n − k + 1) chı ’ nh ho . . p chˆa . p k cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ . Nhu . vˆa . y, sˆo ´ chı ’ nh ho . . pchˆa . p k cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ ch´ınh l`a sˆo ´ d¯ o . n ´anh t`u . tˆa . p ho . . p k phˆa ` ntu . ’ v`ao tˆa . pho . . p n phˆa ` ntu . ’ . Th´ıdu . :1)C´o bao nhiˆeu sˆo ´ tu . . nhiˆen c´o 4 ch˜u . sˆo ´ kh´ac nhau m`a khˆong xuˆa ´ t hiˆe . nch˜u . sˆo ´ 0? Mˆo ˜ isˆo ´ cˆa ` n t`ım l`a mˆo . tchı ’ nh ho . . pchˆa . p4cu ’ a 9 phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.Vˆa . ysˆo ´ c´ac sˆo ´ tu . . nhiˆen c´o 4 ch˜u . sˆo ´ kh´ac nhau lˆa ´ yt`u . 9ch˜u . sˆo ´ d¯˜a cho b˘a ` ng A 4 9 = 9! 5! = 3024. 2) Gia ’ su . ’ c´o t´am vˆa . nd¯ˆo . ng viˆen cha . y thi. Ngu . `o . i th˘a ´ ng s˜e nhˆa . nd¯u . o . . chuy chu . o . ng v`ang, ngu . `o . ivˆe ` d¯ ´ıch th´u . hai nhˆa . nhuychu . o . ng ba . c, ngu . `o . ivˆe ` d¯ ´ıch th´u . ba nhˆa . nhuychu . o . ng d¯ˆo ` ng. C´o bao nhiˆeu c´ach trao c´ac huy chu . o . ng n`ay, nˆe ´ utˆa ´ t ca ’ c´ac kˆe ´ tcu . ccu ’ a cuˆo . c thi d¯ˆe ` u c´o thˆe ’ xa ’ y ra? Sˆo ´ c´ach trao huy chu . o . ng ch´ınh l`a sˆo ´ chı ’ nh ho . . pchˆa . p3cu ’ atˆa . pho . . p 8 phˆa ` n tu . ’ .V`ıvˆa . yc´oA 3 8 =6.7.8 = 336 c´ach trao huy chu . o . ng. 2.2.2.2. D - i . nh ngh˜ıa: Cho tˆa . pho . . p X c´o n phˆa ` ntu . ’ .Mˆo ˜ i c´ach s˘a ´ pxˆe ´ p c´o th´u . tu . . n phˆa ` ntu . ’ cu ’ a X d¯ u . o . . cgo . i l`a mˆo . t ho´an vi . cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ cu ’ a X. Theo d¯i . nh ngh˜ıa trˆen, mˆo ˜ i ho´an vi . cu ’ a X l`a mˆo . tchı ’ nh ho . . pchˆa . p n cu ’ a n phˆa ` ntu . ’ . Ngo`ai ra, mˆo ˜ i ho´an vi . cu ’ a X ch´ınh l`a mˆo . t song ´anh t`u . X lˆen X. K´y hiˆe . usˆo ´ c´ac ho´an vi . cu ’ a X l`a P n v`a ta c´o P n = n!. 40 Th´ıdu . :1)C´o bao nhiˆeu c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pchˆo ˜ ngˆo ` icho5emho . c sinh trˆen mˆo . tghˆe ´ d`ai? Mˆo ˜ i c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pchˆo ˜ ngˆo ` icho5emho . c sinh l`a mˆo . t ho´an vi . cu ’ a 5 phˆa ` ntu . ’ . Vˆa . ysˆo ´ c´ach s˘a ´ pxˆe ´ pchˆo ˜ ngˆo ` i l`a 5! = 120. 2) Gia ’ su . ’ r˘a ` ng c´o mˆo . t du kh´ach d¯i . nh d¯i du li . ch ta . i 8 th`anh phˆo ´ . Anh ta b˘a ´ td¯ˆa ` u cuˆo . c h`anh tr`ınh cu ’ a m`ınh ta . imˆo . t th`anh phˆo ´ n`ao d¯´o, nhu . ng c´o thˆe ’ d¯ ˆe ´ n 7 th`anh phˆo ´ kia theo bˆa ´ tk`yth´u . tu . . n`ao m`a anh ta muˆo ´ n. Ho ’ i anh ta c´o thˆe ’ d¯ i qua tˆa ´ tca ’ c´ac th`anh phˆo ´ n`ay theo bao nhiˆeu lˆo . tr`ınh kh´ac nhau? Sˆo ´ lˆo . tr`ınh c´o thˆe ’ gi˜u . a c´ac th`anh phˆo ´ b˘a ` ng sˆo ´ ho´an vi . cu ’ a 7 phˆa ` ntu . ’ ,v`ı th`anh phˆo ´ d¯ ˆa ` u tiˆen d¯˜a d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh, nhu . ng 7 th`anh phˆo ´ c`on la . i c´o thˆe ’ c´o th´u . tu . . tu`y ´y. Do d¯´o c´o 7! = 5040 c´ach d¯ˆe ’ ngu . `o . i b´an h`ang cho . n h`anh tr`ınh cu ’ am`ınh. 2.2.3. Tˆo ’ ho . . p: 2.2.3.1. D - i . nh ngh˜ıa: Mˆo . ttˆo ’ ho . . pchˆa . p k cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . pl`amˆo . t c´ach cho . n khˆong c´o th´u . tu . . k phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p d¯˜a cho. Nhu . vˆa . y, mˆo ˜ itˆo ’ ho . . pchˆa . p k ch´ınh l`a mˆo . ttˆa . p con k phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p ban d¯ˆa ` u. Tac´othˆe ’ x´ac d¯i . nh sˆo ´ tˆo ’ ho . . pchˆa . p k cu ’ atˆa . pho . . p n phˆa ` ntu . ’ .D - ˆe ’ l`am d¯iˆe ` u d¯´o, ch´u ´y r˘a ` ng c´ac chı ’ nh ho . . pchˆa . p k cu ’ amˆo . ttˆa . pho . . pc´othˆe ’ nhˆa . nd¯u . o . . cb˘a ` ng c´ach tru . ´o . chˆe ´ tlˆa . p c´ac tˆo ’ ho . . pchˆa . p k,rˆo ` is˘a ´ pth´u . tu . . cho c´ac phˆa ` ntu . ’ thuˆo . c c´ac tˆo ’ ho . . p d¯´o. Do d¯´o nˆe ´ ugo . i C k n l`a sˆo ´ c´ac tˆo ’ ho . . pchˆa . p k t`u . tˆa . pho . . p n phˆa ` ntu . ’ th`ı ta c´o A k n = C k n .k!hay (1) C k n = n! k!(n − k)! . Sˆo ´ C k n ch´ınh l`a sˆo ´ c´ac tˆa . p con k phˆa ` ntu . ’ cu ’ atˆa . p n phˆa ` ntu . ’ v`a l`a sˆo ´ c´ac xˆau nhi . phˆan d¯ˆo . d`ai n c´o d¯´ung k bit 1. Sˆo ´ C k n c`on d¯u . o . . cgo . il`ahˆe . sˆo ´ nhi . th´u . c, so . ’ d˜ıc´o tˆen nhu . vˆa . yl`av`ı n´o xuˆa ´ thiˆe . n trong khai triˆe ’ n nhi . th´u . c: (a + b) n = n  k=0 C k n a k b n−k . T`u . d¯ i . nh ngh˜ıa, ta c´o C n n =1v`aC 0 n = 1 (v`ı chı ’ c´o mˆo . ttˆa . p con gˆo ` m n phˆa ` n tu . ’ cu ’ atˆa . pho . . p n phˆa ` ntu . ’ v`a chı ’ c´o mˆo . ttˆa . p con c´o 0 phˆa ` ntu . ’ ,t´u . c l`a tˆa . p ∅). V´o . i quy u . ´o . c 0! = 1 th`ı cˆong th´u . c (1) d¯´ung cho ca ’ tru . `o . ng ho . . p k =0v`ak = n. Th´ıdu . :1)T`ım sˆo ´ giao d¯iˆe ’ mtˆo ´ i d¯a cu ’ a a) 12 d¯u . `o . ng th˘a ’ ng phˆan biˆe . t, b) 6 d¯ u . `o . ng tr`on phˆan biˆe . t, c) 12 d¯u . `o . ng th˘a ’ ng v`a 6 d¯u . `o . ng tr`on trˆen. Hai d¯u . `o . ng th˘a ’ ng phˆan biˆe . t c´o tˆo ´ i d¯a mˆo . t giao d¯iˆe ’ m nˆen sˆo ´ giao d¯iˆe ’ mtˆo ´ i d¯a cu ’ a 12 d¯u . `o . ng th˘a ’ ng phˆan biˆe . tl`aC 2 12 = 12! 2!10! = 66 d¯iˆe ’ m. Hai d¯u . `o . ng tr`on phˆan biˆe . t c´o tˆo ´ i d¯a hai giao d¯iˆe ’ m nˆen sˆo ´ giao d¯iˆe ’ mtˆo ´ id¯a cu ’ a6d¯u . `o . ng tr`on phˆan biˆe . tl`a2C 2 6 =2.15 = 30 d¯iˆe ’ m. 41