Tài liệu Ánh xạ docx

ÁNH XẠ Anh xạ f: X Y A ⊂ X , B ⊂ Y x f(x) f: ánh xạ ⇔ () 12 1 2 x x f(x ) f(x )=⇒ = f(A) = ⎨y∈Y ⎪ ∃ a∈A : f(a) = y⎬ (ảnh) f –1 (B) = ⎨x∈X ⎪ f(x)∈B⎬ ( tạo ảnh) f: đơn ánh ⇔ 121 12 1 2 f(x ) f(x ) x x xx f(x)f(x 2 ) = ⇒= ⎡ ⎢ ≠⇒ ≠ ⎣ f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = y f: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X : f(x) = y ∃f –1 ⇔ f: song ánh QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP Quan hệ tương đương ∀x∈X, x  x (phản xạ) ∀x,y∈X, x  y ⇒ y  x (đối xứng) ∀x,y,z∈X, x  y và y  z ⇒ x  z (bắc cầu) Quan hệ thứ tự ∀x∈X, x ≤ x (phản xạ) ∀x,y∈X, x ≤ y và y ≤ x ⇒ y = x (phản đối xứng) ∀x,y,z∈X, x ≤ y và y ≤ z ⇒ x  z (bắc cầu) Lớp tương đương: C(a) = [a] = ⎨x∈X ⎪ a  x ⎬ NHÓM (X,  ) – nửa nhóm ⇔ ∀x, y, z ∈ X: (x.y).z = x.(y.z) (X,  ) – vị nhóm ⇔ ⎨ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z) e X : x X, x.e e.x x ∀∈ = ⎧ ∃ ∈∀∈ = = ⎩ (X,  ) – nhóm ⇔ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z) eX:xX,x.ee.xx xX,x'X:x.x'x'.xe ∀∈ = ⎧ ⎪ ∃∈ ∀∈ = = ⎨ ⎪ ∀ ∈∃∈ = = ⎩ ⇔ X,(X,)nửa nhóm eX:xX,e.xx xX,x'X:x'.xe ≠∅ − ⎧ ⎪ ∃∈ ∀∈ = ⎨ ⎪ ∀ ∈∃∈ = ⎩ o ⇔ X ,(X, ) nửa nhóm a,b X : pt ax b và ya b có nghiệm trong X ≠∅ − ⎧ ⎨ ∀∈ = = ⎩ o (X,  ) – nhóm ebel ⇔ x,y,z X : (x.y).z x.(y.z) eX:xX,x.ee.xx xX,x'X:x.x'x'.xe x,y X, x.y y.x ∀∈ = ⎧ ⎪ ∃∈ ∀∈ = = ⎪ ⎨ ∀ ∈∃∈ = = ⎪ ⎪ ∀∈ = ⎩ 111 n1 1n nm mn nm m.n e, x' của x là du y nhất x,y,z X, xy xz (yx zx) y z (X, ) nhóm x,y X : (xy) y .x m,n :(a ) (a ) , a .a a ,(a ) a −−− −− + ⎧ ⎪ ∀∈ = =⇒= ⎪ −⇒ ⎨ ∀∈ = ⎪ ⎪ ∀∈ = = = ⎩   Nhóm con A của nhóm X (A  X) (A,+) ổn định ⇔ ∀x,y ∈ A ⇒ x + y ∈ A A  X ⇔ 1 1 A,AX x,yA,xyA x, y A,x y A xA,x A − − ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ ∀∈ ∈ ⎫ ⎨ ⇔ ∀∈ ∈ ⎬ ⎪ ∀∈ ∈ ⎭ ⎩ Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi a Cho (X,  ) – nhóm, A ≠ (, A ⊂ X. Ta nói nhóm con của X sinh bởi A, k/h 〈A〉, nếu ii i AX,XX,AXi = ⊂∀ I „ (Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A) Nếu A = {a} thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a, k/h 〈a〉, a đgl phần tử sinh của X. Nếu ∃ a∈X: 〈a〉 = X thì X đgl nhóm xyclic Nếu ∃A⊂X: 〈A〉 = X thì A đgl tập sinh của X. Lớp kề của A trong X { A ≤ X, ∀x ∈ X: } { } 1 xA y X x y A xa a A − =∈ ∈ = ∈ (lớp kề trái) { } { } 1 Ax y X yx A ax a A − =∈ ∈ = ∈ (lớp kề phải) Lưu ý: xA = yA ⇔ x –1 y ∈ A Nhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X) A ⊲ X ⇔ ⎪ ⎨ 1 1 A,AX a, b A, ab A xX,aA,xaxA − − ≠∅ ⊂ ⎧ ∀∈ ∈ ⎪ ∀∈ ∀∈ ∈ ⎩ ⇔ 1 A,AX a, b A, ab A xX,xAAx − ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ ∀∈ ∈ ⎨ ⎪ ∀∈ = ⎩ Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc. Nhóm thương của X trên A Nếu A ⊲ X thì { } X xA x X A =∈ với xA.yA = xyA đgl nhóm thương của X trên A. Nhóm xyclic (X,  ) – nhóm xyclic ⇔ ∃a∈X: x = a m , ∀x∈X, m∈Ζ (a–phần tử sinh) { } k aa:k=∈  Cấp của nhóm, phần tử của nhóm Cấp của nhóm X, kí hiệu X , là số phần tử của X. Cấp của a∈X m m* min Nếu a e, m 0 thì a có cấp vô hạn Nếu a e, m thì m đgl cấp của a. K/h: ord(a) ≠∀> =∈ ĐL Lagrange: (X,  ) – nhóm hữu hạn, A ≤ X ⇒ X XA. A = Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó. Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp) Tâm của nhóm X ( Z(X) ) Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬ Lưu ý: X abel ⇔ X = Z(X) Z(X) là nhóm con abel của X ĐỒNG CẤU Đồng cấu nhóm ax f:X Y X, Y là nhóm, ⎯→ ⎯ f đgl đồng cấu nhóm ⇔ f(ab) = f(a).f(b) ∀a,b ∈X đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng) Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu song ánh đgl đẳng cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm { } 1 YY Kerf x X f(x) e f (e ) − =∈ = = { } Im f f(x) x X f(X)=∈= Tính chất của đồng cấu nhóm a) [] XY 1 1 f(e ) e f(x ) f(x) − − = ⎧ ⎪ ⎨ = ⎪ ⎩ b) { } X 1 f đơn cấu Kerf e f toàn cấu Im f Y f đẳng cấu f đẳng cấu − ⎧ ⇔= ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ ⇒ ⎩ c) 1 Kerf X, Imf Y AX f(A)Y BX,f(B)X − ⎧ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎩ < << „ „„ Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm đồng cấu nhóm f:X Y ⎯ ⎯⎯⎯⎯→ Cho toàn cấu chính tắc X h:X Kerf xxx ⎯⎯⎯⎯→ |⎯⎯⎯→ = Kerf Khi đó: 1) đơn cấu X !g: Y s/c g h f Kerf ∃⎯⎯⎯→ o = () X với , A Kerf thì g đơn cấu A = 2) Img = Imf Đặc biệt: Nếu X g: Imf Kerf ⎯⎯→ thì g đẳng cấu. Khi đó: X Im f Kerf ≅ Nếu là toàn cấu thì f:X Y⎯⎯→ X Y Kerf ≅ Lưu ý: Để cm X Y A ≅ , ta cm các bước sau: B1: là ánh xạ f:X Y⎯⎯→ B2: f là toàn cấu B3: Kerf = A Định lí đẳng cấu X – nhóm, A,B ⊲ X, A ⊂ B ⇒ ( ) () X A X B B A ≅ VÀNH (X,+,  ) – vành ⇔ Tính chất của vành Ox = xO = O , ∀x∈X (–x)y = x(–y) = –(xy) , ∀x,y∈X (–x)(–y) = xy , ∀x,y∈X x(y – z) = xy – xz , ∀x,y∈X (x – y)z = xz – yz , ∀x,y∈X (nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀x,y∈X , ∀n∈Ζ (x 1 + … + x m ) (y 1 + … + y n ) = mn ij i1 j1 xx == ∑ ∑ , ∀x i ,y j ∈X n nini i0 n! X vành giao hoán (x y) x y , x,y X,n i!(n i)! − = −⇒+= ∀∈ − ∑ ∈ Nhóm các ước của đơn vị (nhóm các phần tử khả nghịch) { } Vành X có đơn vị là 1 và * XxX y X,x yy x1 = ∈∃∈ == Khi đó: (X * ,  ) đgl nhóm các ước của đơn vị. Ước của 0 X–vành, a,b∈X, a≠0, b≠0, có ab = 0 thì a–ước trái của 0, b–ước phải của 0 Miền ngun Miền ngun ⇔ Vành giao hoán có đơn vò 1 0 (có hơn 1 ptử) không có ước của 0 ≠ ⎧ ⎨ ⎩ Một vành giao hốn X có đơn vị 1 ≠ 0 là một miền ngun khi và chỉ khi trong X có luật giản ước: ab = ac, a ≠ 0 ⇒ b = c , ∀a,b,c∈X Tích trực tiếp Vành X 1 × X 2 × … × X n đgl tích trực tiếp của các vành X 1 , …, X n nếu tập tích được đ/n phép + và  sau: (x 1 , … ,x n ) + (y 1 , … ,y n ) = (x 1 +y 1 , … ,x n +y n ) (x 1 , … ,x n )  (y 1 , … ,y n ) = (x 1 y 1 , … ,x n y n ) Vành con A của X (A X) A(X,) x,y A xy A + ⎧ ⎨ A X ⇔ ∈ ⇒∈ ⎩ „ ⇔ A,AX x,yA,xyA x,y A, xy A ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ ∀ ∈−∈ ⎨ ⎪ ∀∈ ∈ ⎩ Tâm của vành ( Z(X) ) Z(X) = ⎨a∈X ⎪ ax = xa, ∀x∈X⎬ Lưu ý: Z(X) X Iđêan A của vành X (A X) A X ⇔ A,AX a, b A, a b A aA,xX,xaA,axA ≠∅ ⊂ ⎧ ⎪ ∀∈ −∈ ⎨ ⎪ ∀∈ ∀∈ ∈ ∈ ⎩ Lưu ý: Để cm A là iđêan nhỏ nhất chứa a, giả sử B là iđêan của X mà chứa a rồi cm A ⊂ B Iđêan sinh bởi một tập, iđêan chính sinh bởi a Giả sử X–vành, A ≠ (, A ⊂ X. Khi đó, iđêan của X sinh bởi tập A (hay iđêan bé nhất của X chứa A), k/h: (A), nếu (A)= X i , X i X , A ⊂ X i , ∀i Nếu A = ⎨a⎬ thì iđêan sinh bởi A đgl iđêan chính sinh bởi a. K/h: (a) Đặc biệt: Nếu X là vành giao hốn có đơn vị thì { } (a) ax x X=∈ Mơ tả: Iđêan trái chính của X sinh bởi a: { } Xa xa x X=∈ Iđêan phải chính của X sinh bởi a: { } aX ax x X=∈ Iđêan chính sinh bởi a: m iiii i1 (a) RaR x ay x ,y X,n = ⎧ ⎫ == ∈∈ ⎨ ⎬ ⎩⎭ ∑  Vành các iđêan chính. Miền chính Một vành giao hốn có đơn vị 1 ≠ 0 trong nó mọi iđêan đều là iđêan chính đgl vành các iđêan chính. Một vành các iđêan chính đồng thời là một miền ngun đgl miền chính. Vành thương của vành X theo iđêan A Giả sử A X. Khi đó: A ⊲ (X,+). Ta có: { } X xAxX A =+ ∈ với 2 phép tốn: (x A) (y A) (x y) A + ++ =++ (xA).(yA)xyA + +=+ là vành thương của vành X trên iđêan A. ĐỒNG CẤU Đồng cấu vành ax f:X Y X, Y là vành, ⎯→ ⎯ f đgl đồng cấu vành ⇔ f(x y) f(x) f(y) x,y X f(xy) f(x).f(y) += + ⎧ ∀ ∈ ⎨ = ⎩ đơn ánh đgl đơn cấu (phép nhúng) Đồng cấu & toàn ánh đgl toàn cấu song ánh đgl đẳng cấu Hạt nhân và ảnh của đồng cấu vành { } 1 YY Kerf x X f(x) 0 f (0 ) = = = { } Im f f(x) x X f(X)== Tớnh cht ca ng cu vnh XY nn * f(0 ) 0 f( x) f(x) f(a b) f(a) f(b) a,b X f(a ) [f(a)] a X, n = = = = a) Kerf X, Imf Y b) A X f(A) Y B Y f 1 (B) X nh lớ c bn ca ng cu vnh Cho ủong caỏu vaứnh f:X Y toaứn caỏu chớnh taộc X h:X Kerf xxx | = + Kerf Khi ú: 1) ủụn caỏu X !g: Y s/c g h f Kerf =o () X vụựi , A Kerf thỡ g ủụn caỏu A = 2) Img = Imf c bit: Nu X g: Imf Kerf thỡ g ng cu. Khi ú: X Im f Kerf Nu l ton cu thỡ f:X Y X Y Kerf Lu ý: cm X Y A , ta cm cỏc bc sau: B1: l ỏnh x f:X Y B2: f l ton cu B3: Kerf = A Thể (X,+,  ) – thể ⇔ vành X có đơn vò 1 0 xX,x'X:xx'x'x1 ≠ ⎧ ⎨ ∀ ∈∃∈ = = ⎩ Trường (X,+,  ) – trường ⇔ thể giao hốn ⇔ vành X giao hoán có đơn vò 1 0 xX,x'X:x'xxx'1 ≠ ⎧ ⎨ ∀∈ ∃ ∈ = = ⎩ ⇔ (X, ),(X, ) - nhóm aben x(y z) xy xz x,y,z X, (y z)x yx zx + ⎧ ⎪ + =+ ⎧ ⎨ ∀∈ ⎨ ⎪ +=+ ⎩ ⎩  Trường con A – trường con của trường X ⇔ 1 A X, A nhiều hơn 1 p hần tử a, b A, a b A a, b A, b 0, ab A − ⎧ ⊂ ⎪ ∀∈ −∈ ⎨ ⎪ ∀∈ ≠ ∈ ⎩ . ÁNH XẠ Anh xạ f: X Y A ⊂ X , B ⊂ Y x f(x) f: ánh xạ ⇔ () 12 1 2 x x f(x ) f(x )=⇒ = f(A) = ⎨y∈Y. ( tạo ảnh) f: đơn ánh ⇔ 121 12 1 2 f(x ) f(x ) x x xx f(x)f(x 2 ) = ⇒= ⎡ ⎢ ≠⇒ ≠ ⎣ f: toàn ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃ x∈X : f(x) = y f: song ánh ⇔ ∀y∈Y, ∃! x∈X