Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 38 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
38
Dung lượng
665 KB
Nội dung
CHƯƠNG 2
HÀM SỐPHỨCVÀÁNH XẠ
2.1 Hàmsố phức
2.2 Ánhxạ của hàmsố phức
2.3 Ánhxạ tuyến tính
2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt
2.4.1 Hàm lũy thừa z
n
2.4.2 Hàm lũy thừa z
1/n
Một hàmsố f từ tập A đến tập B là qui luật
tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong
A đến một và chỉ một phần tử trong B.
2.1 Hàmsố phức:
Một hàmsốphức f là một hàmsố có miền xác
định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con
của tập sốphức C
VD :
f(z) = -z
3
+ 2.z + z
a) z = i b) z = 2 – i c) z = 1+2i
Giải:
a) f(i) = -(i)
3
+ 2.(i) + i = 4i
b) f(2 - i) = -(2 - i)
3
+ 2.(2 - i) + 2 - i
= -(8 – 12i + 6i
2
- i3) + 4 – 2i + 2 – i
= 4 + 8i
c) f(1 + 2i) = -(1 + 2i)
3
+ 2.(1 + 2i) + 1 + 2i
= -(1 + 6i + 12i
2
+ 8i
3
) + 2 + 4i +1 +2i
= 14 + 8i
•
Phần thực và phần ảo của hàmsố
phức
Ta có w = f(z) mà z = x + iy
đặt w = u + iv
Giả sử w = z
2
=> w = ( x + iy)
2
= x
2
- y
2
+ 2xyi
=> f(z) = u(x,y) + v(x,y)i
u(x,y) gọi là phần thực.
v(x,y) gọi là phần ảo.
•
VD:
f(z) = 6z – 5 + 9i
với z = x + iy
⇒
f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i
= 6x – 5 + (6y + 9)i
=> u(x,y) = 6x – 5
v(x,y) = 6y + 9
•
Hàm số mũ sốphức e
z
Hàmsố e
z
được định nghĩa như sau :
e
z
= e
x
cosy + ie
x
siny
thì được gọi là hàmsố mũ sốphức và
u(x,y) = e
x
cosy - phần thực
v(x,y) = e
x
siny - phần ảo
Một số tính chất:
e
0
= 1
e e = e
= e
(e
z
)
n
= e
nz
với n = 0, ±1,± 2,…
2
1
z
z
e
e
1
z
2
z
21
zz
+
21
zz
−
VD:
a) z = 3 + i
=> x = 3, y =
e
3 + i
= e
3
cos ( ) + ie
3
sin ( )
= -e
3
+ ie
3
3
π
3
π
3
π
3
π
2
1
2
3
3
π
Toạ độ cực:
z = x + iy biểu diễn ở dạng Đề Các :
z = r(cosθ + isin θ) = re
iθ
Nếu w = f(z), ta thay z = r(cosθ + isin θ) lúc
này hàmsố được viết dưới dạng toạ độ
cực như sau:
w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ)
u(r, θ) và v(r, θ) vẫn được gọi là phần thực
và phần ảo của w.
VD:
f(z) = r
2
.cos + i.3.sin(2.θ) với z = i
Ta có:
i = cos + i.sin
r = 1 , θ =
f(i) = cos + 3.sin .i
=
2
θ
4
π
π
⇒
2
π
π
2
π
2
2
[...]... i, 2 + i, 2 + 2i và 1 + 2i theo ánhxạ tuyến tính T(z) = z + 2 – i Giải: Ta biểu diễn S và S’ được xây dựng bằng cách vẽ ảnh của mặt phức Theo (1): b = x0 + iy0 = 2 +i(-1) Tập các đỉnh của các vectơ là S’, ảnh của S theo T.Theo hình 2. 9 chứng tỏ rằng S’ là 1 hình vng với các đỉnh ở: T(1 + i) = (1 + i) + (2 – i) =3 T (2 + i) = (2 + i) + (2 – i) =4 T (2 + 2i) = (2 + 2i) + (2 – i) =4+i T(1 + 2i) = (1 + 2i)... thẳng đi từ -i đến -1 2. 3 Ánhxạ tuyến tính: Một hàmsố thực có dạng f(x) = ax+b với a,b là hằng số thực ,ta gọi là hàmsố tuyến tính Tương tự ta có một hàmsốphức tuyến tính là hàmsố có dạng f(z) = az + b với a,b là hằng sốphức Một ánhxạ tuyến tính phức có thể được tạo thành bằng tổ hợp 3 cách: phép dời trục tọa độ, phép quay, tỷ số giãn Phép dời trục tọa độ: Một hàmsốphức tuyến tính: T(z).. .2. 2Ánhxạ của hàm số phức: Cơng cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực trong đại sốsơ cấp là đồ thị của hàm Đồ thị của hàm y = f(x) là tập tất cả các điểm (x,f(x)) trong hệ toạ độ Đề Các 2 chiều Một định nghĩa tương tự cho hàm sốphức Tuy nhiên nếu w= f(z) là hàm phức, cả z và w đều nằm trên mặt phẳng phức, nó gồm tất cả các điểm (z,f(z)) nằm trên khơng gian 4 chiều (2 chiều từ đầu z vào 2 chiều... mp thõa 2 bất đẳng thức đồng thời: v ≥ 2và -∞ < u < ∞ VD 2: Ảnh của đường thẳng w = z2 Tìm ảnh của đường thẳng đứng x = 1 dưới ánhxạphức w = z2 và biểu diễn hình học ánhxạ Giải: Đặt C là tập các điểm thuộc đường thẳng x = 1 hay tập các điểm z = 1 + iy với -∞ < y < ∞ Như ở VD 1 phần thực và phần ảo của w = z2 là u(x,y) = x2 – y2 và v(x,y) = 2xy Vì z = 1 + iy ⇒ u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y ⇒ S’... ảnh của mặt phức, khi đó tất cả các điểm đều nằm trên 1 cung tròn tâm tại 0,bán kính r VD: Ảnh của đường thẳng theo phép quay Tìm ảnh của trục thực y = 0 theo ánhxạ tuyến tính: 1 1 2+ R(z) = ( 2 i )z 22 Giải: Đặt C là trục thực y = 0 và C’ là ảnh của C theo R.Vì 1 1 2+ 22 i = 1, ánhxạ2phức R(z) là một phép quay π i 1 1 Ta có: 22 + 22 i =e 4 i π 4 Vì y=0 => z=r => R(z)=re Do đó,nếu z và R(z) được... phẳng Re ≥ 2 dưới ánhxạphức w = iz và biểu diễn hình học ánhxạ Giải: Đặt S là nửa mp chứa tất cả những điểm phức z với Re 2 Tất cả những điểm z trên đường x = 2 có pt z = 2 + iy trong vùng (-∞ < y < ∞) Giá trị của f(z) = iz tại các điểm trên đường thẳng là w = f (2 + iy) = -y + 2i Vì tập các điểm w = -y +2i là đường v = 2 trong mp w Ta kết luận đường x = 2 trong mp z được ánhxạ lên đường v = 2 trong... gần đúng: z(t) = z0 + reit 0 ≤ t ≤ 2Ảnh của đường cong tham số dưới ánhxạ phức: Nếu w = f(z) là ánhxạphứcvà nếu C là đường cong có tham số z(t), a ≤ t ≤ b thì w = f(t) = f(z(t)) a≤t≤b là hàm tham số hố của ảnh C’ của C qua w = f(z) VD: Ảnh của 1 đường cong tham số Tìm ảnh của đọan thẳng đi từ 1 đến i dưới ánhxạphức w = iz Giải: Đặt C là đọan thẳng đi từ 1 đến i và C’ là ảnh của C theo f(z) = iz... mp z được ánhxạ lên đường v = 2 trong mp w bởi ánhxạ w = iz Ở hình 2.2 a) tập S có thể được miêu tả bởi 2 bất đẳng thức đồng thời: x ≥ 2và -∞ < y < ∞ (1) Để biểu diễn ảnh của S, chúng ta biểu diểu ánhxạ w = iz trong phần thực và ảo u, v của nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz w = i(x + iy) = -y + ix u(x,y) = -y và v(x,y) = x (2) ⇒ Từ (1), (2) : v ≥ 2và -∞ < u < ∞ Đó chính là tập S’ ảnh của S qua w... điểm thuộc w = u + iv thỗ 2 pt đồng thời: u = 1 − y 2 v = 2 y (−∞ < y < ∞ ) v2 ⇒u=14 y có thể lấy giá trị thực từ v nên v nhận giá trị thực C’ (ảnh của C) là đường parabol trong mp w với đỉnh (1,0), cắt u tại (0, 2) .Trên hình đường x = 1 được ánhxạ thành 2 ường parabol v u=1qua ánhxạphức 4 2 w=z Đường cong tham số trong mp phức: • Định nghĩa: Nếu x(t) và y(t) là những hàm thực của biến thực t... + 2i) + (2 – i) = 3 + i Phép quay: Một hàm tuyến tính phức: R(z) = az, a = 1 được gọi là một phép quay Nếu α là một sốphức bất kì khác 0, khi đó a = α/ α là một số phứcvà |a|=1 Vì vậy với bất kì sốphức khác khơng α, ta có R(z) = α z là một phép quay α Khi a = 1 và Arg(a) > 0, ta có thể viết a ở dạng mũ a = eiθ với 0 < θ ≤ π Nếu a = eiθ và z = reiΦ thì: R(z) = eiθreiΦ = rei(θ + Φ) Nếu z và R(z) .
CHƯƠNG 2
HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ
2. 1 Hàm số phức
2. 2 Ánh xạ của hàm số phức
2. 3 Ánh xạ tuyến tính
2. 4 Hàm lũy thừa đặt biệt
2. 4.1 Hàm lũy thừa z
n
2. 4 .2. .i
=
2
θ
4
π
π
⇒
2
π
π
2
π
2
2
2. 2 Ánh xạ của hàm số phức:
Công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực
trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm. Đồ