Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm – Chương 6: Qui hoạch bậc hai

Bài giảng “Quy hoạch thực nghiệm – Chương 6: Qui hoạch bậc hai” cung cấp cho người học các kiến thức: Vùng cận cực trị, mô hình bề mặt đáp ứng, qui hoạch yếu tố 3 mức độ, qui hoạch tâm hỗn hợp (Central Composite Design), qui hoạch Box-Behnken, tối ưu hóa. Mời các bạn cùng tham khảo.

Qui hoạch bậc hai Chương  Vùng cận cực trị  Mơ hình bề mặt đáp ứng  Qui hoạch yếu tố mức độ  Qui hoạch tâm hỗn hợp (Central Composite Design)  Qui hoạch Box-Behnken  Tối ưu hóa 6.1 Vùng cực trị  Vùng cực trị vùng mơ hình tuyến tính khơng cịn tương thích  Mơ hình đa thức bậc hai thường sử dụng để mô tả vùng cực trị Với đa thức bậc hai số thí nghiệm N phải lớn số hệ số hồi qui phương trình bậc hai k yếu tố y = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bkxk + b12 x1x2 + … + bk-1,kxk-1xk + b11x12 + … + bkkxk2 số hệ số hồi qui l cho l  k 1 k  Ck2 k! (k  1)( k  2)  2k    2!(k  2)!  Để mơ tả mơ hình đa thức bậc hai yếu tố thí nghiệm phải có mức độ  Đối với hoạch định yếu tố mức độ, số yếu tố lớn số thí nghiệm lớn nhiều so với số hệ số hồi qui k 3k 27 81 243 729 l 10 15 21 28  Số thí nghiệm giảm xuống dùng qui hoạch tâm hỗn hợp hay gọi qui hoạch Box-Wilson  Thường để khảo sát bề mặt đáp ứng vùng cực trị người ta thường chuyển đổi phương trình hồi qui đa thức bậc thành phương trình tắc có dạng: y – ys = 11X12 + 22X22 + … + kkXk2  Từ phương trình tắc có trường hợp  Các hệ số dấu: bề mặt đáp ứng ellip-paraboloid với tâm cực trị ii < ta có cực đại; ii > ta có cực tiểu  Các hệ số trái dấu: bề mặt đáp ứng hyperbol-paraboloid có điểm yên ngựa min-max  Một hay nhiều hệ số gần zero (khơng phải tất cả): tâm bề mặt nằm ngồi vùng ngoại suy Đây dạng nhà (ridge)  Các hệ số tắc dấu  Các hệ số tắc trái dấu  Có hay nhiều hệ số tắc gần zero:  Dạng nhà nằm ngang: điều kiện tối ưu nằm đường thẳng (1 hệ số gần zero) hay mặt phẳng (2 hệ số zero) Điều cho phép có nhiều chọn lựa điều kiện tối ưu  Dạng nhà nghiêng xuống (lên): giá trị đáp ứng giảm dần (tăng dần) di chuyển xa điểm gần cực trị nằm ngồi vùng khảo sát Do nên tiến hành thêm thí nghiệm nằm ngồi vùng khảo sát Để chuyển đổi từ phương trình đa thức sang dạng tắc cần tiến hành bước:  Chuyển trục tọa độ đến điểm cực trị Tọa độ điểm cực trị Xsi nghiệm hệ phương trình f 0 X i  Quay góc tọa độ để loại bỏ thừa số liên quan đến tương tác Trong trường hợp biến, góc quay  cho b tan 2  12 b11  b22  Ma trận qui hoạch không trực giao Để chuyển thành ma trận trực giao phải đổi biến số thừa số bình phương N Z j  X 2j   X 2ji i 1 N  X 2j  X 2j Khi N  N X 0i Z ji  i 1  X 2ji  NX 2j  i 1 N Z i 1 ji Z ui 0  Ma trận qui hoạch trở thành (α = 1) TN X0 X1 X2 X12 Z1 Z2 +1 -1 -1 +1 +1/3 +1/3 +1 +1 -1 -1 +1/3 +1/3 +1 -1 +1 -1 +1/3 +1/3 +1 +1 +1 +1 +1/3 +1/3 +1 - 0 +1/3 -2/3 +1 + 0 +1/3 -2/3 +1 - -2/3 +1/3 +1 + -2/3 +1/3 +1 0 -2/3 -2/3  Các hệ số hồi qui xác định độc lập N  X Yi  X  X X Yi   X X  ji bj i 1 ji j  1, k N ji b ju ui i 1 ji j, u  1, k j  u ui N b0'   Yi i 1 N N  Z Yi  Z ji b jj i 1 ji j  1, k  Biến lượng hệ số S bj2  S e2 N X ji i 1 Phương trình hồi qui có dạng Y  b0'  b1 X  b2 X   bk X k    b( k 1) k X k 1 X k  b11( X 12  X 12 )   bkk ( X k2  X k2 ) chuyển cách viết thơng thường cần tính b0 b0  b0'  b11X 12   bkk X k2 Biến lượng k S b20  S b2'   j 1 S b2jj ( X 2j )  Phương trình hồi qui có dạng k Y  b0   i 1 k biX i   k b ju X u Xj  u,i 1  bjjX 2j j 1  Kiểm nghiệm ý nghĩa hệ số tính tương thích phương trình tiến hành hoạch định tuyến tính Cách xác định phương trình hồi qui bậc hai tâm quay  Ma trận trực giao khơng có tính tâm quay nên sai số xác định đáp ứng bề mặt đáp ứng thấp so với tính tốn nhận từ phương trình hồi qui  Hệ số phương trinh hồi qui giải theo phương pháp ma trận B = (XTX)-1XTY XT: ma trận chuyển ma trận X (XTX)-1: ma trận đảo ma trận XTX  Ma trận qui hoạch tâm quay ma trận không trực giao nên việc xác định hệ số có phụ thuộc Tiêu chuẩn trực giao chưa phải tiêu chuẩn đủ mạnh để tối ưu hóa phương án có tâm bậc hai Box – Hunter đề nghị xem phương án quay bậc hai phương án tối ưu Biến lượng thí nghiệm tâm (sth2) s2(b0) = a1 x sth2 s2(bj) = a3 x sth2 s2(blj) = a4 x sth2 s2(bjj) = (a5 + a6 ) x sth2 So sánh tstat với ttab Kiểm tra tương thích theo chuẩn F: Fstat = s2tt / s2th s2tt = (Sdư – Sth) / f với f = N – l - (n0 - 1) Sdư = ∑ (yi – y^i)2 với i= 1→N Sth = ∑ [y0u – Tb(y0)]2 Ftab (0.05, N –l - (n0 - 1), n0 - 1) So sánh Fstat Ftab 6.5 Qui hoạch Box-Behnken  Xem qui hoạch yếu tố  Qui hoạch Box-Behnken cho yếu tố gồm 12 điểm thí nghiệm nằm cạnh khối lập phương khối cầu có tâm tâm qui hoạch, thínghiệm tâm  Qui hoạch Box-Behnken phần qui hoạch yếu tố mức độ bao gồm tâm qui hoạch  Qui hoạch cho phép ước tính hiệu ứng yếu tố đại lượng bậc hai  Qui hoạch Box-Behnken tiến hành kế tục qui hoạch Box-Wilson  Qui hoạch Box-Behnken có ý nghĩa ứng dụng vài vùng thí nghiệm khơng khả thi, cực trị vùng thí nghiệm  So sánh qui hoạch Box-Behnken Box-Wilson * Các qui hoạch 5,6,7 yếu tố: qui hoạch yếu tố 3k dùng qui hoạch 1/3 Đối với CCD dùng qui hoạch bán phần 2k 6.6 Các bước tối ưu hóa Sử dụng mơ hình bậc vùng khảo sát Đánh giá tương thích Nếu mơ hình tương thích tiến hành leo dốc đứng Tiến hành bước leo dốc đến đạt cựa đại cục Lập lại bước – Nếu kiểm định cho thấy mơ hình bậc khơng tương thích, thêm điểm đánh giá độ cong mơ hình Sử dụng mơ hình bề mặt đáp ứng để xác định điểm tối ưu (dùng giản đồ hay đạo hàm không) Chú ý điểm yên ngựa Khi xác dịnh điểm cực đại phải đảm bảo lệch khỏi đểm cực đại giá trị đáp ứng giảm ... Trong qui hoạch trực giao hệ số hồi qui độc lập  Trong qui hoạch tâm quay hệ số hồi qui bậc hai có quan hệ phần Để giảm mối quan hệ ta thực nhiều thí nghiệm tâm Khi số thí nghiệm tâm đủ lớn qui hoạch. .. yếu tố mức độ bao gồm tâm qui hoạch  Qui hoạch cho phép ước tính hiệu ứng yếu tố đại lượng bậc hai  Qui hoạch Box-Behnken tiến hành kế tục qui hoạch Box-Wilson  Qui hoạch Box-Behnken có ý nghĩa... vùng thí nghiệm khơng khả thi, cực trị vùng thí nghiệm  So sánh qui hoạch Box-Behnken Box-Wilson * Các qui hoạch 5,6,7 yếu tố: qui hoạch yếu tố 3k dùng qui hoạch 1/3 Đối với CCD dùng qui hoạch