Thiết lập công thức tổng quát mô tả hiệu ứng Stark của nguyên tử hydro trong điện trường tĩnh

Nghiên cứu này được thực hiện với các mục đích đưa ra một quy trình toán học chặt chẽ cho các tính toán về hiệu ứng Stark của nguyên tử Hydro nhằm cung cấp một công thức giải tích tổng quát có thể áp dụng cho mọi trạng thái liên kết của nguyên tử Hydro, đồng thời giới thiệu hệ tọa độ parabolic đến cộng đồng.

Năm học 2015 - 2016 THIẾT LẬP CÔNG THỨC TỔNG QUÁT MÔ TẢ HIỆU ỨNG STARK CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH Trần Dương Anh Tài (Sinh viên năm 2, Khoa Vật lí) GVHD: TS Phạm Nguyễn Thành Vinh TĨM TẮT Trong đề tài này, chúng tơi khảo sát tách vạch phổ lượng nguyên tử Hydro điện trường tĩnh phương pháp giải tích Hệ tọa độ parabolic lí thuyết nhiễu loạn sử dụng để xây dựng cơng thức giải tích tổng quát mô tả phụ thuộc mức lượng nguyên tử Hydro vào cường độ điện trường ngồi Kết giải tích so sánh với kết giải số xác để đánh giá giới hạn áp dụng cơng thức giải tích Từ khóa: Ngun tử Hydro, lí thuyết nhiễu loạn, hệ tọa độ parabolic Giới thiệu Năm 1913, lấy cảm hứng từ thí nghiệm quan sát quang phổ cácnguyên tử từ trường Pieter Zeeman, Johannes Stark thực thí nghiệm khảo sát ảnh hưởng điện trường tĩnh lên quang phổ nguyên tử Ông nhận thấy điện trường ngồi có tác dụng tách vạch phổ ngun tử ứng với trạng thái có mức suy biến lớn thành vạch phổ riêng biệt Paul Epstein giải thích hiệu ứng lí thuyết tiền lượng tử vào năm 1916 [5] Sau đó, Erwin Schrưdinger sử dụng hiệu ứng chứng khẳng định tính đắn mơ hình học lượng tử ông xây dựng Dựa sở Schrödinger, nhà khoa học sau mởrộng kết tính tốn nhiều phương pháp khác [1, 4, 7, 14] Ngày nay, hiệu ứng tách vạch phổ nguyên tử tác dụng điện trường tĩnhđược biết đến rộng rãi với tên gọi hiệu ứng Stark Tuy nhiên, cần lưu ý rằng,hiệu ứng Stark gọi hiệu ứng Stark-Lo Surdo để tưởng niệm nhà vật lí người Ý Antonio Lo Surdo cho việc tìm hiệu ứng cách độc lập [8] Trong đề tài này, khảo sát hiệu ứng Stark cho nguyên tử Hydro Mặc dù hệ đơn giản nguyên tử Hydro đóng vai trò đặc biệt quan trọng học lượng tử hệ thử tốt cho tất nghiên cứu lĩnh vực vật lí nguyên tử, phân tử, cấu tạo đơn giản tính chất đối xứng hồn hảo đặc trưng cho nhóm SO4 Ngồi ra, toán nguyên tử Hydro điện trường từ trường thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học từđầu kỉ trước tận ngày Đặc biệt, vào năm 2013 Stodolna cộng thực thí nghiệm với mục đích chụp ảnh trực tiếp orbital trạng thái Ryberg (trạng thái có số lượng tử lớn) nguyên tử Hydro dựa vào phân bố động lượng vng góc electron bị ion hóa tác dụng điện trường tĩnh [12] Điều chứng tỏ ý nghĩa vật lí quan trọng hiệu ứng 51 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Bài toán nguyên tử Hydro toán kinh điển giải chi tiết nhiều giáo trình học lượng tử hệ tọa độ cầu [11] Mặc dù hệ tọa độ cầu công cụ mạnh để giải tốn có tính chất đối xứng cầu lại vơ khó khăn sử dụng để xem xét toán tương tác nguyên tử, phân tử với điện trường vector phân cực điện trường khơng cịn tính đối xứng cầu Do tốn nhà vật lí thường chọn hệ tọa độ parabolic khả tách biến tốt thống cách xử lí phương trình vi phân sau tách biến[13] Ngồi ra, hệ tọa độ parabolic ưu điểm khác chuyển q trình ion hóa electron theo ba chiều tọa độ cầu giảm xuống thành ion hóa chiều dọc theo trục  [10] Mặc dù sử dụng từrất lâu nhà khoa học giới, cơng cụ tốn học hiệu quảnày lại kĩ thuật hoàn toàn mới, chưa áp dụng rộng rãi nước Bên cạnh toán nguyên tử Hydro, hiệu ứng Stark trình bày giáo trình lượng tử [11] dựa việc giải phương trình kỉ (secular equation) Khi số lượng tử tăng kéo theo gia tăng bậc suy biến trạng thái liên kết, điều dẫn đến việc giải phương trình kỉ thực bậc định thức lớn Trạng thái kích thích thứ hai, n  , có tám trạng thái suy biến tương ứng với định thức bậctám, việc giải định thức vơ khó khăn Vì thế,các tài liệu học lượng tử xét hiệu ứng Stark ứng với trạng thái trạng thái kích thích thứ hai trường hợp đơn giản Trong đề tài này, giả thiết điện trường khử suy biến trạng thái liên kết, trạng thái đặc trưng ba số lượng tử hệ tọa độ parabolic, giả thiết phù hợp với nhận xét nêu [3, 10] Tuy vấn đề đề cập đến [3, 10], trình đưa cơng thức hồn tồn khơng cách chi tiết, chí số biểu thức quan trọng bị bỏ qua Do đó, việc tìm quy trình tốn học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến công thức mô tả hiệu ứng Stark vô cần thiết Trong trình tính tốn, việc xử lí tích phân đa thức Laguerre đóng vai trị vơ quan trọng Do đó, cơng việc tìm cơng thức tổng qt xửlí tích phân đa thức Laguerre đặt lên hàng đầu muốn mở rộng tính tốn Cơng thức cịn giúp ta dễ dàng chuẩn hóa hàm sóng nhận biết dễ dàng số hạng khác không ma trận bổ nhiễu loạn lượng bậc hai Dựa tính chất khai triển đặc biệt đa thức trực giao phép khai triển "generating function", cơng thức tổng qt tích phân đa thức Laguerre thành lập giới thiệu đầy đủ đề tài Để đánh giá độ tin cậy mức độ áp dụng cơng thức giải tích, so sánh kết gần thu từ cơng thức giải tích với kết quảchính xác nhận từ việc giải số phương trình Schrodinger dừng với có mặt điện trường tĩnh Việc so sánh áp dụng với mức lượng đặc trưng ba số lượng tử (0, 0, 0) 52 Năm học 2015 - 2016 Với đánh giá trên, đề tài “Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro điện trường tĩnh” thực với mục đích đưa quy trình tốn học chặt chẽ cho tính tốn hiệu ứng Stark ngun tử Hydro nhằm cung cấp cơng thức giải tích tổng quát áp dụng cho trạng thái liên kết nguyên tử Hydro, đồng thời giới thiệu hệ tọa độ parabolic đến cộng đồng Bài báo cáo trình bày với bốn mục Mục hai trình bày phương pháp tính áp dụng đề tài bao gồm cơng thức tổng qt tính tích phân đa thức Laguerre liên kết phương pháp nhiễu loạn Các kết tính tốn hàm sóng ngun tử Hydro hệ tọa độ parabolic, hiệu ứng Stark bậc hai đánh giá cơng thức giải tích trình bày mục ba Trong mục bốn, chúng tơi trình bày kết luận hướng phát triển đề tài Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơng thức tích phân đa thức Laguerre liên kết Dạng tổng quát tích phân đa thức Laguerre liên kết cần xử lí cách triệt để có dạng:  Z  , n ,k   x k  exp(x) Lkn ( x) Lkn ( x)dx , (1) với  số nguyên không âm,  số ngun Kết tích phân tính phương pháp tích phân phần phức tạp phải thực lại từ đầu hệ số thay đổi Do đó, đề xuất sử dụng phép khai triển "generating function" cho đa thức Laguerre liên kết [2,9] Lkn ( x) n  xt  t  exp    ,| t | k 1 (1  t )  1 t  n 0 (n  k )!  U ( x, t )    V ( x, y )  Lkn  ( x)  xy  y n   exp     ,| y | k 1 (1  y)  y n  k 0 (n  k   )!   (2) Biến đổi hai vế phương trình (2):  t n y n  x k  exp( x) Lkn ( x) Lkn  ( x)dx     n  n    ( n  k )!( n  k   )!      t y  k  x exp  x      (1  t ) k 1 (1  y ) k 1 0    t  y  (3) Xét tích phân phương trình (3): 53 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH    t y  A   x k  exp  x 1       t  y  ,  n lời giải cho tích phân I n   x exp(  px) dx  A (4) n! , p n 1 ( k   )!(1  t ) k  1 (1  y ) n  1 (1  ty ) k  1 , (5) thay trở lại (3), sau khai triển nhị thức Newton, giá trị Z n,k,  hệ số t k y n  Cơng thức tổng qt cho tích phân đa thức Laguerre liên kết sau   Z n,k,     Ci Cj i 0 j 0 ( 1) i   ( n  k )!( n  k   )!( n  k    i )! ( n  i )! , (6) i, j thỏa mãn 0  j, i    j i (7) Nếu hệ phương trình (7) vơ nghiệm, tích phân khơng, điều đảm bảo tính chất trực giao đa thức Laguerre liên kết Kết có ý nghĩa lớn vừa đáp ứng u cầu cơng thức tổng qt cho tích phân đơn giản để ứng dụng vào trình tính tốn 2.2 Phương pháp nhiễu loạn Trong học lượng tử, việc tìm nghiệm giải tích xác cho phương trình Schrưdinger thực với hệ đơn giản Do đó, kĩ thuật tính gần phát triển để giải vấn đề Trong đó, phương pháp nhiễu loạn với nhiều ưu điểm ứng dụng vào học lượng tử từ sớm Trong đề tài này, phương pháp nhiễu loạn không suy biến sử dụng để đưa công thức mơ tả hiệu ứng Stark [6] Phương trình Schrưdinger dừng tổng quát có dạng: Hˆ |  n   En |  n  , (8) giả sử nhiễu loạn nhỏ xuất toán tử Hamilton: Hˆ  Hˆ   Hˆ  54 , (9) Năm học 2015 - 2016 với H' nhiễu loạn, giải xác:  thông số nhiễu loạn Giả định rằng, trị riêng Hˆ Hˆ |  n0   En0 |  n0  (10) Trị riêng hàm riêng tốn tử Hˆ cho phương trình (8) phụ thuộc vào thông số nhiễu loạn  khai triển theo chuỗi Taylor    s En s !  s  En   Ens  s , Ens  s 0  s n  n    ,   s !  s s0  0 , (11)  s n s s n  0 , s bậc nhiễu loạn Thay vào phương trình (8), ta có: s  Hˆ  En0  |  ns    En1  Hˆ  |  ns    Enj |  ns  j      j 2 (12) Xét nhiễu loạn bổ lượng bậc một, s  Nhân hai vế phương trình (12) với vector bra  n0 | , ta có:  n0 | H 0 1n    n0 | H  n0   En(0)  n0 |  n1   En(1)  n0 |  n0  (13) , mặt khác:  n0 | H 0 n1    n0 H |  n1    n0 | En(0) 1n   En(0)  n0 |  n1  (14) , biểu thức bổ lượng bậc En(1)   n0 | H  |  n0  (15) Tương tự, bổ lượng bậc hai cho công thức sau  n | Hˆ  | m En(2)   n0 | Hˆ  | m1    (0) (0) n  m En  Em (16) Kết 3.1 Mô tả nguyên tử Hydro hệ tọa độ parabolic Phương trình Schrưdinger dừng mô tả chuyển động electron trường nguyên tử (hệ đơn vị nguyên tử sử dụng xuyên suốt báo cáo)       V ( r )  ( r )  E (r ) (17) 55 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Thế V(r) mô tả tương tác electron hạt nhân Trong trường hợp nguyên tử Hydro V (r )   r (18) Chúng tơi giải phương trình (18) hệ tọa độ parabolic định nghĩa [3, 10]   r  z , (0     ),  r  z , (0     ),   arctan y , (0    2 ) x (19) Nghiệm phương trình (17) tìm phương pháp tách biến  (r )  u1 ( )u2 ( )exp(im ) (20) với u1 ( ) , u2 ( ) hàm phụ thuộc vào  ,  m số lượng tử từ Thay phương trình (20) trở lại phương trình (17) chúng tơi thu hệ phương trình d u1 du1  1 2      E  Z1  m  u1  d d  4 ,  (23a) d 2u du  1 2     E  Z2  m  u2  d d  4 ,  (23b)  đó, Z1 Z2 thông số tách biến, liên hệ qua hệ thức Z1 + Z2 = (24) Hai phương trình (23) giải hồn tồn tượng tự , chúng tơi trình bày cách tìm hàm sóng u1 ( ) nghiệm phương trình (23a) Đây chứng cho khả thống sau tách biến hệ tọa độ parabolic đề cập Để đảm bảo tính chất hữu hạn, hàm sóng u1 ( ) có dạng sau [13]    u1 ( )   m/2 exp    f ( )   , (25) với   2E Thay phương trình (25) trở lại phương trình (23a), ta có m 1    f ''( )   m     f ( )   Z1    f ( )    (26) Đặt biến số x   , sau vài biến đổi, phương trình (23a) trở thành phương trình vi phân đặc trưng đa thức Laguerre liên kết [2,9], nghiệm phương trình (26) f ( x)  Lmn1 ( ) 56 , (27) Năm học 2015 - 2016 với n1  Z1 m  số lượng tử  -parabolic Hàm sóng u1 ( )      u1 ( )   m /2 exp    Lmn1     (28) nghiệm phương trình (23a) Do phương trình (23a) (23b) có dạng nên hàm sóng u2 ( ) suy từ hàm sóng u1 ( ) sau thay n1 n2   ,    u2 ( )   m /2 exp    Lmn2   ,   với n2  (29) Z2 m  số lượng tử  -parabolic   Trong hệ tọa độ parabolic, trạng thái liên kết không nhiễu loạn xác định ba số lượng tử ( n1 , n2 , m) liên hệ với số lượng tử theo cơng thức n  n1  n2  m  Do có n  | m | cách khác để chọn số nguyên không âm n1 , n2 ứng với mức lượng xác định E Hàm sóng u1 ( ) chuẩn hóa điều kiện   u ( )d  1, (30) có dạng sau u1 ( )  m 1 n1 !      m /2 exp    Lmn1 ( ), (n1  m)!   (31) suy hàm sóng u2 ( ) chuẩn hóa m 1 n1 !    u2 ( )    m /2 exp    Lmn2 ( ) (n2  m)!   (32) Từ hai hàm sóng chuẩn hóa u1 ( ) u2 ( ) , hàm riêng chuẩn hóa mơ tả tổng quát nguyên tử Hydro trình bày [13]  (r )  n1 !n2 !    m   exp    (   )  3  (n1  m)! ( n2  m)!   Lmn1    Lmn2   exp(im ) (33) 57 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 3.2 Công thức tổng quát mô tả hiệu ứng Stark Khi có mặt điện trường, rào Coulomb giảm electron có khả thoát khỏi nguyên tử, tiến vào vùng lượng liên tục theo chế xuyên hầm lượng tử (tunneling effect), giả thiết đặt cường độ điện trường F đủ nhỏ cho tượng ion hóa khơng xảy Điện trường ngồi định hướng theo chiều dương trục Oz, tác dụng lên moment lưỡng cực điện nguyên tử gây năng, tổng hợp electron trường hợp V    Fz r (34) Lúc này, hai phương trình (23) viết lại thành    d u1 du1  1     E  Z1  m  F   u1  0, d d  4  (35a)  d 2u du  1     E  Z2  m  F  u  0, d d  4  (35b) 1 F   F xem nhiễu loạn tương ứng với 4 hàm u1 ( ) u2 ( ) xem nhiễu loạn tương ứng với hàm sóng hai số hạng u1 ( ) u2 ( ) Các thông số tách biến Z1 Z hiệu chỉnh cơng thức bổ nhiễu loạn bậc bậc hai Bổ nhiễu loạn bậc thông số tách biến Z1 cho  (1) Z F F    2u12 ( )d   6n12  6n1m  6n1  m2  3m  (36) 40 4 , từ đó, chúng tơi thơng biến tách biến Z1 hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc m 1  F  2 Z1    n1  3m     6n1  6n1m  6n1  m (37)  4  , việc thay F  F n1 n2 (37), thông số tách biến Z sau hiệu chỉnh cho m 1 F  2 Z    n2   3m     6n2  n2 m  n2  m(38)  4  58 Năm học 2015 - 2016 Sử dụng hệ thức liên hệ hai thông số tách biến cho (24) nhận giá trị biến số lượng  3Fn2 ( n1  n2 )   n (39) suy lượng nguyên tử sau hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc E  Fn( n1  n2 )  F n (n1  n2 ) 2 (40) 2n Do thực tính tốn gần bậc nên biểu thức chứa lũy thừa bậc hai F phải lược bỏ, điều khơng trình bày tài liệu [3, 10], công thức (40) trở thành E  Fn (n1  n2 ) 2n , (41) cơng thức giải tích mơ tả hiệu ứng Stark bậc hay gọi hiệu ứng Stark tuyến tính Khi cường độ điện trường tăng lên, ta cần xét đến gần bậc cao Bổ nhiễu loạn bậc hai thơng số tách biến Z1 cho công thức (2) Z F2  16  n1 |  | n1  (0) (0) n1  n1 Z1 (n1 )  Z1 (n1 ) , (42) phần tử khác không ma trận nhiễu loạn ứng với giá trị n1 thỏa mãn n1   n1  n1  , phần tử có giá trị  n1 |  | n1  1  2 2 (2n1  m) n1 (n1  m),  n1 |  | n1  2   2 n1 ( n1  1)(n1  m)(n1  m  1),  n1 |  | n1  1  2 2 (2n1  m  2) (n1  1)(n1  m(43)  1),  n1 |  | n1  2   2 (n1  1)(n1  2)(n1  m  1)( n1  m  2) Bổ nhiễu loạn bậc hai cho thông số tách biến Z1 Z1(2)   F2 (m  2n1  1)  4m2  17(2mn1  2n12  m  2n1 )  18 (44) 16 , 59 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH kết hợp với công thức hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc ta suy thơng số tách biến Z1 tính gần bậc hai Với thông số tách biến hiệu chỉnh, chúng tơi thực lại tính tốn từ đưa cơng thức tính lượng nguyên tử Hydro tính gần đến nhiễu loạn bậc hai E  Fn ( n1  n2 )  F n 17 n  3( n1  n2 )  9m  19  2n 16 (45) 3.3 Đánh giá giới hạn áp dụng Để đánh giá giới hạn áp dụng cơng thức giải tích, việc giải số xác phương trình Schrưdinger thực Kết chi tiết trình bày hình Hình Sự phụ thuộc lượng nguyên tử Hydro trạng thái (0,0,0) vào độ mạnh điện trường Đường liền nét biểu diễn kết thu từ cơng thức giải tích Đường đứt nét biễu diễn kết giải số xác phương trình Đặt  E1  E2 E1 , (46) sai số tỉ đối kết giải số giải tích, E1 , E2 kết thu từ giải số giải tích 60 Năm học 2015 - 2016 Hình Sai số tỉ đối kết giải tích kết giải số xác Từ hình 2, thấy với cường độ F  0.2 a.u sai số tỉ đối 5%, cường độ điện trường tối đa để cơng thức giải tích nghiệm gần 0.2a.u Kết luận hướng phát triển Các kết đạt đề tài gồm:  Chỉ ưu điểm hệ tọa độ parabolic;  Thiết lập cơng thức tổng qt tích phân đa thức Laguerre;  Đưa quy trình tốn học chặt chẽ cho tính tốn hiệu ứng Stark;  Đánh giá giới hạn sử dụng công thức giải tích phương pháp giải số Giới hạn đề tài sử dụng phương pháp nhiễu loạn để tính gần khơng thể khảo sát hiệu ứng Stark cường độ điện trường lớn, phương pháp gần WKB chọn để thay phương pháp nhiễu loạn Ngoài ra, phổ trị riêng lượng liên tục dao động hạt nhân cần khảo sát Đó hướng nghiên cứu đề tài TÀI LIỆU THAM KHẢO S P Alliluev and I A Malkin (1974), “Calculations of the Stark effect in hydrogen atoms by using the dynamical symmetry (2,2) x (2)” Zh Eksp Teor Fiz 66 pp 1283–1294 G B Arfken and H J Weber (2005), Mathematical methods for physicists international student edition Academic press, pp 837–847 H A Bethe and E E Salpeter (1957), Quantum mechanics of one-and twoelectron atoms Springer-Verlag, Berlin, pp 228–234 S Doi (1928), “The Third Order Term of Stark: Effect on Balmer Lines” Nippon Sugaku-Buturigakkwai Kizi Dai Ki 10.10, pp 223–229 P S Epstein (1916), “Zur theorie des Starkeffektes” Annalen der Physik 355.13, pp 489–520 61 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH F M Fernández (2000), Introduction to perturbation theory in quantum mechanics CRC press L Fernández-Menchero and H P Summers (2013), “Stark effect in neutral hydrogen by direct integration of the Hamiltonian in parabolic coordinates” Physical Review A 88.2, p 022509 K Hentschel (2009), “Compendium of Quantum Physics” Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg Chap Stark Effect, pp 738–742 A Jeffrey and H H Dai (2008), Handbook of mathematical formulas and integrals, pp 270 10 L D Landau and E M Lifshitz (1977), Quantum Mechanics: nonrelativistictheory Pergamon Press, New York, pp 269–272 11 Đặng Quang Khang (1996), Cơ học lượng tử, Nxb Khoa học & Kĩ thuật, Hà Nội 12 A S Stodolna et al (2013), “Hydrogen atoms under magnification: direct observation of the nodal structure of stark states” Physical Review Letters 110.21, pp 213001 13 D A Tran Tai and N T Pham Vinh (2015), “On the derivation of bound state wavefunctions of hydrogen atom using parabolic coordinates” Hue University Journal of Science 107.8, pp 89–97 14 X L Yang et al (1991), “Analytic solution of a two-dimensional hydrogen atom I Nonrelativistic theory”, Physical Review A 43.3, p 1186 62 ... đề tài ? ?Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro điện trường tĩnh? ?? thực với mục đích đưa quy trình tốn học chặt chẽ cho tính tốn hiệu ứng Stark ngun tử Hydro nhằm cung cấp cơng thức giải tích tổng quát áp... NCKH 3.2 Công thức tổng quát mô tả hiệu ứng Stark Khi có mặt điện trường, rào Coulomb giảm electron có khả thoát khỏi nguyên tử, tiến vào vùng lượng liên tục theo chế xuyên hầm lượng tử (tunneling... cơng thức hồn tồn khơng cách chi tiết, chí số biểu thức quan trọng bị bỏ qua Do đó, việc tìm quy trình tốn học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến công thức mô tả hiệu ứng Stark vô cần thiết Trong