Bài viết trình bày các khái niệm về Phép tính biến phân và việc áp dụng phép tính biến phân khi xây dựng bài toán dầm phẳng xét biến dạng trượt theo nguyên lý biến phân năng lượng.
KHOA HC & CôNG NGHê p dng phộp tớnh bin phân việc thiết lập công thức tốn dầm phẳng lớp hàm đó, có giá trị Z xác định, tức có mối tương quan: số Z ứng với hàm số y(x) 2.2 Khái niệm biến phân Biến phân δy hàm y(x) hiệu hàm y(x) hàm Y(x) Application of differential calculus in establishing of basic equation of the flat beam problem Vũ Thanh Thủy Tóm tắt Bài báo trình bày khái niệm Phép tính biến phân việc áp dụng phép tính biến phân xây dựng toán dầm phẳng xét biến dạng trượt theo nguyên lý biến phân lượng Abstract This paper presents the concepts and the application of differential calculus when constructing a planar beam equation for sliding transformations according to the principle of energy variation TS Vũ Thanh Thủy Bộ môn Kết cấu Bê tông cốt thép – Gạch đá, Khoa Xây dựng ĐT: 0988769186 Email: vuthanhthuy.hau@gmail.com I Đặt vấn đề: Trong học kết cấu hai phương pháp thường dùng để thiết lập biểu thức toán phương pháp cân lực phân tố (Phương pháp vật lý) phương pháp biến phân (Phương pháp giải tích) Các nguyên lý biến phân thường sử dụng học Nguyên lý biến phân lượng, Nguyên lý chuyển vị ảo, Nguyên lý cực trị Gauss… Ưu điểm toán học xây dựng theo phương pháp biến phân biểu diễn mối quan hệ nội lực, ngoại lực chuyển vị hệ dạng cực trị phiếm hàm Các phương pháp giải cực trị phiếm hàm để tìm kết nội lực, chuyển vị hệ rộng rãi bao gồm phương pháp giải tích, giải trực tiếp phiếm hàm, phương pháp giải phương trình vi phân hay phương pháp gần phương pháp phần tử hữu hạn… Từ điều kiện cực trị phiếm hàm, điều kiện biên điều kiện liên kết hệ đưa cách tường minh dạng biểu thức toán học Mặt khác, từ phiếm hàm, phương trình vi phân hệ (thường thiết lập phương pháp cân lực phân tố) thiết lập Tuy nhiên, khái niệm Biến phân Phép tính biến phân chưa đưa vào giảng dạy chương trình đại học cao học nhiều trường kỹ thuật, có Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Điều gây số bất cập cho giảng viên, kỹ sư sinh viên trình nghiên cứu, tìm hiểu phương pháp xây dựng giải toán học theo phương pháp biến phân Chính báo này, Tác giả xin trình bày số khái niệm Biến phân Phép tính biến phân trình bày ví dụ việc thiết lập công thức dầm phẳng xét biến dạng trượt (dầm Timoshenko) theo nguyên lý biến phân lượng II Giới thiệu phép tính biến phân [1,4] ' '' Z = F x, y1 ( x ) , y1 ( x ) , y1 ( x ) , y2 ( x ) , đại lượng biến thiên mà giá trị xác định phụ thuộc vào hay vài hàm số Các hàm số gọi đối thức phiếm hàm Trong hàm số đại lượng biến thiên mà giá trị xác định phụ thuộc vào hay vài đối số, hàm số z=f(x1,x2 ) cho quan hệ số với số đặc trưng phiếm hàm quan hệ tương ứng số với hàm số, nghĩa ứng với hàm y(x) 32 T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG Bin phõn y làm thay đổi quan hệ hàm y x, khác với đạo hàm Δy tính số gia hàm y có số gia Δx biến độc lập x, Δy=y(x+ Δx)-y(x) Biến phân đạo hàm y’ xác định sau δ y=' δ dy d = δ y= y '− Y ' dx dx (2) + ∂2F ∂2F δy i δy k′ + δy i′δy k′ ) ∂y i ∂y k′ ∂y i′∂y k′ (3) Thành phần đầu (3) gọi biến phân bậc hàm F kí hiệu δF, thành phần sau (3) gọi biến phân bậc hai F, δ2F 2.3 Phép tính biến phân Nội dung phép tính biến phân tìm nhiều hàm để tích phân xác định cho đạt cực trị[1] Ảnh hưởng lớn đến phát triển phép tính biến phân toán Đường đoản thời, Bài toán đường trắc địa Bài toán chu vi Các phương pháp tổng quát phép tính biến phân L Euler L.D Lagrange xây dựng nên Xét tốn tìm cực trị (min max) tích phân xác định x2 ∫ F [ y ( x), y′( x); x ] dx (4) Điều kiện cần để tích phân đạt cực trị xảy đẳng thức sau: x2 δ F [ y ( x), y′( x); x ] ∫= (5) với δF biến phân bậc F xác định theo (3): x1 Phương trình (7) gọi phương trình Euler phiếm hàm Z (tích phân xác định (4)) Hàm y(x) phải có giá trị xác định x1 x2 Trong trường hợp giới hạn tích phân x1 x2 không xác định biểu thị biểu thức, hàm y(x) không thoả mãn điều kiện x1 x2 ngồi phương trình Euler phải xét thêm phương trình thoả mãn điều kiện tự nhiên điều kiện chéo (8) phương trình Euler phiếm hàm Z (8) có dạng sau p ∑ (−1) p p =0 dp dx p ∂F ∂y ( p ) = (9) Chú ý y =y bậc đạo hàm p=0 Phương trình (9) dễ dàng mở rộng hàm nhiều biến, y(x1,x2,x3 ) Trường hợp hàm dấu tích phân có dạng: (p) F ( y1, y2 , y3 , , y1′, y2′ , y3′ , , y1( p ) , y2( p ) , y3( p ) ; x) (10) ứng với yi (10) có phương trình (9) Phương trình Euler ứng dụng rộng rãi để xây dựng giải toán biến phân Đây cách tìm cực trị tích phân xác định cách giải phương trình vi phân Ngồi tìm cực trị tích phân xác định cách giải trực tiếp phiếm hàm III Ví dụ Áp dụng: Thiết lập công thức cho toán dầm phẳng xét biến dạng trượt theo Nguyên lý biến phân lượng (Nguyên lý công bù cực đại): 3.1 Nội dung Nguyên lý công bù cực đại [6] với cận tích phân x1 x2 cho δZ = ∂F d ∂F − = ∂y dx ∂y′ (7) x1 ∂F ∂F ∂ F ∆F = ∑ ( δy i + δy i′ ) + ∑∑ ( δy i δy k + ′ ∂y i i =1 k =1 ∂y i ∂y k i =1 ∂y i n (6) Tích phân phần biểu thức ý đại lượng biến phân δy nhận giá trị từ (6) viết được: Z = ∫ F ( y, y′, y′′, , y ( p ) ; x)dx số gia phiếm hàm có biến phân δy1, δy2 , δyn xác định với sai số đại lượng vô nhỏ bậc hai theo công thức Taylor sau: n x2 F[y1(x),y2(x), ,yn(x),y’1(x),y’2(x), ,y’n(x),x] n ∂F ∂F δ y + δ y ' dx =0 ∂y ∂y ' x1 Trường hợp hàm dấu tích phân có bậc đạo hàm p, p≥1 Cho hàm x1 Phiếm hàm (1) Trong hàm y(x) đối thức phiếm hàm Z=F[y(x)] giả thiết hàm y(x) thay đổi tùy ý lớp hàm mà phiếm hàm Z xác định Phiếm hàm Z=F[y(x)] gọi liên tục biến thiên nhỏ phiếm hàm Z tương ứng với biến thiên nhỏ hàm y(x) Z= 2.1 Phiếm hàm δy=y(x)-Y(x) x2 δ Z =∫ Khi dùng ẩn chuyển vị biến dạng có ngun lý cơng bù cực đại, phát biểu sau: Trong tất chuyển vị thoả mãn điều kiện động học chuyển vị thực chuyển vị có cơng bù đạt giá trị cực đại Chuyển vị động học chuyển vị thoả mãn điều kiện liên tục biến dạng từ phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng thoả mãn điều kiện biên Cơng bù tích ngoại lực chuyển vị trừ lượng biến dạng [Công ngoại lực - Thế biến dạng] → Max (11) với ràng buộc phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng S¬ 26 - 2017 33 KHOA HC & CôNG NGHê 3.2 Xõy dựng phiếm hàm ∂Z Khi dầm phẳng chịu tải trọng phân bố q, dầm xuất nội lực mô men uốn M lực cắt Q, tương ứng dầm có chuyển vị y, biến dạng uốn χ biến dạng trượt γ[2,5] , đó: Góc trượt lực cắt [2] γ = Biến dạng uốn [3] χ = KQ GA (12) M EJ Áp dụng ngun lý cơng bù cực đại có: 3.3 Thiết lập phương trình vi phân Viết phương trình Euler phiếm hàm (19): (15) ∂F d ∂F + = ∂y dx ∂y ' dx ∂y '' ∂F d ∂F d ∂F − + = ∂Q dx ∂Q ' dx ∂Q '' ∂F với ràng buộc: Góc nghiêng tồn phần tiếp tuyến đường đàn hồi tổng góc xoay mơ men góc trượt lực cắt [3,5]: dy = β +γ dx (16) Tích phân thứ (15) cơng tồn phần ngoại lực (khơng có hệ số 1/2), tích phân thứ hai biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn χ, tích phân thứ ba biến dạng biểu thị qua biến dạng trượt γ [6] M = EJ χ d2y = EJ − dx + d ∂F ∂y KQ dk → Max ∫ l GA (19) Biểu thức (19) biểu thức toán dầm phẳng chịu uốn xét biến dạng trượt với hàm ẩn cần xác định hàm chuyển vị y lực cắt Q để vế trái đạt cực đại Điều kiện dừng phiếm hàm Z: δZ = KQ KQ = − = − GA ∂Q GA ∂F d y d KQ Z = ∫ qydx − ∫ EJ − + dx − dx GA 2l l dx − =q 2 d ∂F d y ∂F d y d KQ = − EJ − 2 2 ∂y '' dx dx GA dx ∂y '' dx d y d KQ = EJ − dx + dx3 GA (18) Thế (12), (17), (18), vào (15) có: (21) ∂F = ∂y '' dx dx GA d ∂F - Dựa sở nguyên lý công bù cực đại, áp dụng phép tính biến phân, Tác giả xây dựng phiếm hàm dầm phẳng xét biến dạng trượt với hai ẩn hàm y Q, phiếm hàm (19) (22) Biểu thức (22) hệ phương trình vi phân với hai ẩn hàm y Q dầm phẳng xét biến dạng trượt Trong hệ phương trình ý (KQ/GA) biến dạng trượt Hệ phương trình vi phân thiết lập trực tiếp phương pháp cân lực phân tố Các nghiệm tốn xác định cách giải trực tiếp hệ phương trình vi phân nói KQ GA γ = = β = 0, ∂F =0 dx ∂y ' d Kết luận: d y d KQ EJ q − = GA dx dx d y d KQ EJ − + = Q GA dx dx Khi biến dạng trượt tiến tới (tương ứng với trường hợp modun biến dạng trượt G → ∞ hoặc/và tỷ lệ h/l nhỏ), có d d (17) KQ − Với F biểu thức dấu tích phân (19), cụ thể: Khi này, để xác định trạng thái chuyển vị nội lực dầm cần phải biết hai đại lượng độc lập, đại lượng lại xác định thơng qua hai đại lượng nhờ liên hệ vi phân Tác giả đề nghị dùng hai hàm y Q hai ẩn hàm độc lập để xây dựng giải tốn dầm chịu uốn có xét biến dạng trượt [3] Các đại lượng lại biểu diễn qua hàm y Q sau: dβ d y d KQ χ= − = − + dx dx GA dx (20) Cũng xác định hàm chuyển vị y lực cắt Q cách giải trực tiếp phiếm hàm phương pháp giải tích (14) 1 Z= ∫l qydx − ∫l M χ dx + ∫l Q.γ dx → Max ⇒ Biểu thức (20) thường sử dụng tính toán kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn (13) dβ Quan hệ χ β [3]: χ = − dx ∂y ∂Z = 0 ∂Q = 0 = dy , dx phương trình thứ (22) quay trở dạng phương trình vi phân độ võng dầm Euler-Bernoulli: d y EJ =q dx phương trình thứ hai cho phép xác định lực cắt - Bằng việc áp dụng phương trình Euler cho phiếm hàm (19), hệ phương trình vi phân viết theo ẩn hàm y Q dầm phẳng xét biến dạng trượt thiết lập, hệ phương trình (22) Điều khẳng định tính đắn khả ứng dụng rộng rãi công thức xây dựng theo phương pháp biến phân - Khi biến dạng trượt tiến tới 0, có KQ = γ = GA hệ phương trình (22) quay trở hệ phương trình dầm khơng xét biến dạng trượt (Dầm Euler- Bernoulli), hệ phương trình (23), không xảy tượng tượng lực cắt bị khóa (shear locking) T¿i lièu tham khÀo L.E Engon Phép tính biến phân Hồng Tấn Hưng dịch Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1974 d y Q = − EJ dx X.P Timosenko X.Vôinôpki – Krige Tấm vỏ Phạm Hồng Giang, Vũ Thanh Hải, Nguyễn Khải, Đoàn Hữu Quang dịch Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nộ hệ phương trình vi phân (22) trở thành: d y EJ = q dx d y Q = − EJ dx - Từ điều kiện dừng phiếm hàm (19), thiết lập hệ phương trình (20) Hệ phương trình (20) thường dùng làm sở cho việc giải toán theo phương pháp phần tử hữu hạn i 1976 4 Vũ Thanh Thủy Nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ chịu uốn xét tới ảnh hưởng biến dạng trượt Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 2011 (23) Như vậy, phương pháp xây dựng hệ phương trình vi phân dầm xét biến dạng trượt mà Tác giả đề xuất cho thấy trường hợp không xét biến dạng trượt trường hợp riêng lý thuyết không xảy tượng shear locking tác giả khác gặp phải Korn Granino A., Ph.D Professor of Electrical Engineering University of Arisona, Korn Theresa M., M.S Mathematical Handbook for scientist c.MGraw- Hill Book Company, Inc Newyork, Toronto, London 1961 Thomson William T, professor Emeritus Theory of Vibrration with Applications Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey, fourth edition, 1993 Aйзepман M.A Клaccичecкая механикa Москва Hayka, 1980 dx ∂Q ' 2 d ∂F d KQ ∂F d y d KQ = − EJ 2 − dx ∂Q ' dx GA ∂Q ' dx dx GA K d KQ K d y = − EJ + 2 3 GA dx GA GA dx ∂F =0 dx ∂Q '' d Thế tính toán vào biểu thức (21), được: 34 T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG Sơ 26 - 2017 35 ... theo ẩn hàm y Q dầm phẳng xét biến dạng trượt thiết lập, hệ phương trình (22) Điều khẳng định tính đắn khả ứng dụng rộng rãi công thức xây dựng theo phương pháp biến phân - Khi biến dạng trượt... nguyên lý công bù cực đại, áp dụng phép tính biến phân, Tác giả xây dựng phiếm hàm dầm phẳng xét biến dạng trượt với hai ẩn hàm y Q, phiếm hàm (19) (22) Biểu thức (22) hệ phương trình vi phân với... phân với hai ẩn hàm y Q dầm phẳng xét biến dạng trượt Trong hệ phương trình ý (KQ/GA) biến dạng trượt Hệ phương trình vi phân thiết lập trực tiếp phương pháp cân lực phân tố Các nghiệm tốn xác