Phương pháp số cho phương trình Helmholtz

Trong nghiên cứu này, chúng ta làm rõ hơn ở một số điểm về phương pháp số được đề cập đến trong bài báo của Vainikko, viết chương trình cho MATLAB nhằm tìm ra một số kết quả số minh họa, thông qua đó đưa ra một ý tưởng xấp xỉ khác và đánh giá sơ bộ về sai số, cho phương trình Lippmann – Schwinger, chính là dùng hệ đa thức Bernstein.

Năm học 2016 - 2017 PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ Lê Thị Minh Thảo (Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học) GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân Mở đầu Được nghiên cứu cách chưa lâu, phương trình Helmholtz thu hút nhiều quan tâm, chứng minh tính quy nghiệm nhiều cách giải đưa nhằm tìm lời giải số cho phương trình Một cách dùng định lí Green để đưa tốn phương trình tích phân Lippmann – Schwinger Trong nghiên cứu này, khơng nhắc lại tồn làm rõ số điểm phương pháp số đề cập đến báo Vainikko, viết chương trình cho MATLAB nhằm tìm số kết số minh họa, thơng qua đưa ý tưởng xấp xỉ khác đánh giá sơ sai số, cho phương trình Lippmann – Schwinger, dùng hệ đa thức Bernstein Nội dung Bài tốn tán xạ cho phương trình Helmholtz mơi trường khơng đồng tính: Giả sử miền khơng đồng tính trơn trơn khúc; đồng thời có giá compact chứa gốc tọa độ Chỉ số khúc xạ b  n  , n  n  , b  x   bên miền khơng đồng tính; thỏa mãn b trơn trơn khúc Bài tốn phát biểu sau: Tìm u : n  ( n  n  ) thỏa mãn u  x    2b  x  u  x   , x  n , u  ui  us , lim r r  x  n 1 (1) (2)  u s  x  i u s   đều, với  S  0,1  x  r  (3) với   số sóng (3) gọi điều kiện xạ Sommerfeld Có nhiều cách tiếp cận cho tốn tán xạ này, ta nghiên cứu cách tiếp cận đưa phương trình tích phân Áp dụng định lí Green, ta có hệ (1) – (3) suy phương trình tích phân Lippmann – Schwinger (tham khảo [2]) u  x   u i  x       x  y  a  y  u  y  dy (4) n 51 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH với a   b trơn trơn khúc, có giá compact, với  i 1  H  r  , n  , r 0 ,  r    ir  e , n3  4 r (5) H 0  hàm cầu Hankel loại bậc có cơng thức H n1  jn  z   iyn  z  với jn  z  hàm cầu Bessel loại yn  z  hàm cầu Bessel loại hai tìm theo p  1 t n 2 p jn  t  :  p p  p !1  3  n  p  1  yn  t  , p  1 t pn1  2n n ! p p p ! 2n  1 2 n   2 n  p  1  2n  ! :   Mệnh đề 0.1 Nếu u  C   nghiệm phương trình Helmholtz với điều kiện Sommerfeld, u nghiệm (4) Ngược lại, u  C nghiệm (4) u  C     u nghiệm phương trình Helmholtz Mệnh đề 0.2 Với k  phương trình Lippmann – Schwinger giải nghiệm, hay nói cách khác, toán tán xạ giải nghiệm Sau đây, ta trình bày ngun lí chung phương pháp số Ngun lí chung là, thay giải tốn khơng gian vơ hạn chiều, ta xấp xỉ không gian vô hạn chiều không gian hữu hạn chiều, nghiệm số nghiệm có giải tốn khơng gian hữu hạn chiều Quan trọng không gian hữu hạn chiều gần với không gian vô hạn chiều số chiều dần vô Trong suốt báo cáo này, thực tìm nghiệm số theo phương pháp xấp xỉ sau: - Chọn hệ sở Hamel (hệ sở đếm được) hàm L2  GR  , GR hình hộp tâm gốc tọa độ có bán kính R - Xấp xỉ hàm có mặt phương trình Lippman – Schwinger theo hệ sở dựa vector mốc nội suy - Thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn hệ số chuỗi hàm khai triển (dùng phương pháp đồng nhất) - Giải hệ phương trình tuyến tính để tìm hệ số chuỗi hàm khai triển 52 Năm học 2016 - 2017 2.1 Về xấp xỉ cho phương trình Lippman – Schwinger chuỗi Fourier  Đặt GR  x  n : xk  R, k  1,, n Tham khảo phần báo Vainikko, dễ thấy thay xét (4) ta giải phương trình tích phân tuần hồn đa chu kì, ẩn v  x   a  x  u  x  : v  x   a  x  f  x   a  x   K  x  y  v  y  dy , với v  au (1.2) GR Với vN chuỗi Fourier hữu hạn v , ta tìm nghiệm số xấp xỉ (1.2) cách giải phương trình xấp xỉ vN  QN  af   QN  aKvN  , với K tốn tử tích phân:  Kv  x   (1.3)  K  x  y  v  y  dy có hạt nhân hàm cut – GR off  GR Do đó, ma trận phương pháp xếp (1.3) cho   AN v N  g N , AN  I N  a N FN1 K N FN , g N  af N (1.*) Trong đó, - FN FN1 ma trận biến đổi Fourier thuận ngược - a, f hàm số cho phần mở đầu phương trình Helmholtz - K N ma trận đường chéo có đường chéo giá trị K  x  mốc nội suy nút lưới sở Định lí 1.4 Giả sử hàm a f thỏa mãn (6), toán tương ứng với (1) – (3), với   , u i  , có nghiệm tầm thường Khi phương trình (1.2) có nghiệm v  H  , phương trình xếp (1.3) có nghiệm vN với N  N , vN  v   c v  QN v   c v  N    ,     (1.9) 2.2 Mở rộng cho phương pháp xếp (collocation method) Cũng nhằm tìm nghiệm số phương trình Lippmann – Schwinger dùng ý tưởng xấp xỉ, ta chọn hệ sở hàm tập   x  jh  X h : exp   , mh   h , j    Dh   n  ,  53 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH với  h miền chứa giá q  x  ,   h , tham số D số thực dương cố định h tham số rời rạc Ta có số kết sau (tham khảo bổ đề chứng minh [4]) Phương trình tích phân (2.5) giải phương pháp xếp: Tìm uh  X h cho uh  mh   q  mh  Kuh  mh   q  mh    k  mh  y  g  y  dy (2.7) n với điểm lưới mh  h Do đó, hệ số um  nghiệm rời rạc uh  x    um e  x mh / Dh tính mhh từ hệ phương trình tuyến tính um  q  mh  a m j jhh u j   q  mh    k  mh  y  g  y  dy (2.8) n với mh  h , a j    jh  với   x      x  y e  y / Dh k dy (2.9) n Gọi Qh phép chiếu nội suy lên khơng gian Gaussian định nghĩa phía trước Như ta đánh giá hạng tử thứ hai K  I  Qh  q Bổ đề 2.5 Giả sử hàm liên tục u thỏa mãn u  N  :  Fu  t  1  t  N  dt   , với  thỏa mãn    n Khi sai số nội suy đánh sau u  x   Qhu  x   c  2h  N  N   Dh  u N    a0  x       0   u  x  ! , với số c khơng phụ thuộc u Định lí 2.6 Giả sử nghiệm  phương trình (2.1) thỏa mãn tính trơn điều kiện kết phía với N  m  cơng thức thể tích cho vế phải (2.5) tạo 2m  2m Khi sai số h so với  (2.8) thỏa mãn 54 Năm học 2016 - 2017   x   h  x   cu  Dh  N  c1 h Kế tiếp ta đưa mở rộng cách dùng chuỗi đa thức Bernstein để xấp xỉ 2.3 Dùng hệ đa thức Bernstein để xấp xỉ phương trình Lippmann - Schwinger n Định nghĩa 3.1 Cho   ,   số k1 ,, km  1, , n số   Khi ta có định nghĩa đa thức Bernstein cấp  sau       B  f  x  :      m0            f  x1 ,, , xk 1 , , ,, m , , xn  x  1  x     k1  k2  km    với   :  k1 ,,  km ,  :  0, , 1 , 0, ,  , ,  m , ,0  , thỏa mãn  j nằm vị trí thứ k j Khi n  ta có dạng tường minh đa thức Bernstein sau: m1 m2  k k  m  m  m k m k B f , m1 , m2  x1 , x2  :   f  ,    x1k1 1  x1  1 x2k2 1  x2  2 k1 0 k2 0  m1 m2   k1  k2  Ta có cách viết khác tường minh cho đa thức Bernstein: B f ,m1 ,, mn  x1 ,, xn  :  0 k j  m j j1,,n Định lí 3.4 Cho m j k j  k k  n  mj  k f  ,, n      x j j 1  x j   mn  j 1   k j   m1  n f : I : 0,1  liên tục thỏa điều kiện Lipschitz f  x   f  y   L x  y I , ta có bất đẳng thức B f , m1 ,,mn  x   f  x  L n    j 1 m j 2   Ta giải phương trình Lippmann – Schwinger phương pháp xấp xỉ đa thức Bernstein  N  BN  af   BN  aK N  , K tốn tử tích phân  Ku  x      x  y  u  y  dy GR 55 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Thực tương tự phần 3.4 [1], với lưu ý BN ma trận biến đổi hệ số đa thức Bernstein (theo công thức đa thức Bernstein, ma trận đơn vị), dạng ma trận phương pháp cho hệ phương trình tuyến tính   AN  N  g N , A N  I N  B N a N BN1 K N , g N  BN af N (3.5) Lưu ý K N ma trận đường chéo đường chéo vector có tọa độ hệ số Bernstein hàm  mốc nội suy điểm lưới Định lí 3.6 Giả sử a , f hàm số không gian suppa  B  0,   , a  W  ,2  , f Wloc ,2  n n n thỏa mãn  với   n2 , toán tán xạ với   , u i  có nghiệm tầm thường Khi phương trình   x   a  x  f  x   a  x     x  y    y  dy (3.6) GR có nghiệm C N  n N   , phương trình xấp xỉ có nghiệm n  x  ta có bất đẳng thức  N    c1   BN   c2  N (3.7) 2.4 Tốc độ hội tụ Định lí 4.4 Cho D  X , với X không gian Banach f : X  Y , Y p không gian Banach, f  C p  D  Nếu f   có module liên tục  , tổng riêng chuỗi Fourier f hội tụ f với tốc độ f  x    SN f   x   K ln N  2    Np  N  (4.1) Nếu f thỏa mãn điều kiện  - Holder, f  x    S N f  x   K ln N N (4.2) Mệnh đề 4.5 Cho f liên tục 0,1 Bn, f đa thức Bernstein ứng với f Theo kết quen thuộc Bn, f hội tụ f 0,1 tốc độ hội tụ Bn, f thỏa bất đẳng thức Bn , f  f  c f 56  n, (4.3) Năm học 2016 - 2017  f module liên tục f  0,1 Nếu giá trị c (4.3) 4306  837 thay (4.3) trở thành đánh giá tốt nhất, nghĩa không tồn 5832 giá trị c hay lũy thừa n làm cho bất đẳng thức (4.3) chặt với c  Dù đánh giá tốc độ hội tụ phía cho hàm biến, ta có nhìn tổng quan tốc độ hội tụ chuỗi Fourier “nhanh” so với đa thức Bernstein nhiều,  lớn Do dù ma trận biến đổi hệ số đa thức Bernstein đơn giản so với ma trận biến đổi Fourier , người ta hay dùng chuỗi Fourier để xấp xỉ 2.5 Chương trình MATLAB thực phương pháp xếp (collocation method) Chương trình thực qua bước Chuyển hàm a f cho trước thành function tương ứng MATLAB Viết function xây dựng ma trận biểu diễn nút lưới có độ mịn h hình vng tâm gốc tọa độ, cạnh 2R , (để tiện lợi ta gọi hình vng sở), 2R với h  N Viết function tính vector có tọa độ giá trị hàm điểm nút lưới sở Viết function tính ma trận biến đổi Fourier hai chiều Viết function tính vector có tọa độ giá trị hàm cut – off K  x  điểm nút lưới sở Viết function chuyển đổi vector thành ma trận đường chéo mà đường chéo tọa độ vector cho (theo thứ tự) Viết function tính vector vN có tọa độ giá trị hàm cần tìm nút lưới Viết function tính vector giá trị chuỗi Fourier vN tất điểm hình vng sở Biểu diễn hàm số tìm dạng đồ thị ba chiều Do ta quan tâm đến phần thực vector v N nên hình vẽ biểu diễn phần thực chuỗi khai triển Fourier hàm cần tìm 57 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Hình N  3, R  Hình N  7, R  58 Năm học 2016 - 2017 Hình N  15, R  Hình N  31, R  59 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Các hình vẽ cho ta nhìn trực quan hàm cần tìm – hàm sóng Khi cho N lớn đồ thị cho ta hình dạng rõ ràng sóng hơn, xa biên độ giảm (do tán xạ) độ xác cao (thể rõ tán xạ) Kết luận Bài báo cáo trình bày phương pháp tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình Helmholtz thơng qua phương trình tích phân Lippmann – Schwinger Cả ba phương pháp đưa đề dựa ý tưởng xấp xỉ hàm khả tích (hoặc khơng gian Sobolev) hàm quen thuộc (chuỗi Fourier, đa thức…) trình bày đánh giá sai số Dù lí thuyết tìm nghiệm số theo cách nhiên ta nhận thấy cần cải tiến thuật toán để đảm bảo thời gian chạy thuật toán Trong báo cáo này, việc chuyển ngữ biên tập lại số kết [1] [4], thực số nội dung bổ sung: Bổ sung số chứng minh cho mệnh đề [1]; Làm rõ hai thuật toán DFT FFT sửa dụng [1], đồng thời giải thích số cách cải tiến dựa DFT FFT; Triển khai chứng minh ý tưởng dùng đa thức Bernstein để tìm nghiệm số xấp xỉ tốn (tồn chương 3); Trình bày sơ lược tốc độ hội tụ để đưa nhận xét nên dùng hệ sở xấp xỉ Tuy nhiên, lực thời gian có hạn, trừ đoạn chương trình cho MatLab chương dành cho thuật tốn Vainikko, hai phần sau chưa có đoạn chương trình Đồng thời, chúng tơi chưa đánh giá thời gian tiêu tốn cho hai thuật toán chương (ở chương 1, [1] có đưa tính tốn) Quan trọng hơn, chương dừng lại việc chứng minh tính đắn chưa đưa thuật tốn ví dụ tường minh Chúng tơi q trình hồn thiện Về tương lai, phương trình Helmholtz cịn nghiên cứu mạnh mẽ, phương pháp xấp xỉ địi hỏi cải tiến phương trình đòi hỏi ý tưởng lời giải 60 Năm học 2016 - 2017 TÀI LIỆU THAM KHẢO Gennadi Vainikko (2000), Fast solvers of the Lippmann – Schwinger equation, In P P Gilbert, J Kajiwara, and Y S Xu, Editors, Direct and Inverse Problems of Mathematical Physics (Newark, DE, 1997), pages 423 – 440 Kluwer, Dordrecht Stephen Roberts, Lecture – The Discrete Fourier Transform, University of Oxford D Colton and R Kress (1992), Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory, Springer F Lanzara, V Maz’ya, and G Schmidt, Numerical Solution of the Lippmann – Schwinger Equation by Approximate Approximations, The Journal of Fourier Analysis and Applications, “Online First” Maz’ya, V and Schmidt, G (1995), Approximate approximations and the cubature of potentials, Rend Mat Acc Lincei, 6(9), 161 – 164 Powell, M J D (1992), The theory of radial basis functions in 1990, in Advance in Numerical Analysis, Vol 2: Wavelets, Subdivision Algorithm, and Radical Basis Functions, Light, W Ed, 105 – 210, Clarendon Press, Oxford Walter Rudin, Principle of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw Hill Inc Adrian Fellhauer (2016), Approximation of smooth functions using Berstein polynomials in multiple variables, arXiv: 1609.01940v1 Clemens Hitzinger (1974), Dissertation Simulation and Inverse Modeling of Semiconductor Manufacturing Process: 7.4 Multivariate Bernstein Polynomials, Luftbadgasse 11, A-1060 Wien, Matrikelnummer e9425899, geboren am in Linz 10 Jihad Titi, Jurgen Garloff (2010), Matrix methods for the Bernstein Form and their application in Global Optimization, Presentation 11 Dunham Jackson (1930), The theory of Approximation, American Mathematical Scociety Colloquium Publications, Volume 11 12 P C Sikkema, Der Wert (1961), Konstanten in der Thoerie der Approximation mit Bernstein – Polynomen, Numer Math, 107 – 116 61 ... Kết luận Bài báo cáo trình bày phương pháp tìm nghiệm số xấp xỉ cho phương trình Helmholtz thơng qua phương trình tích phân Lippmann – Schwinger Cả ba phương pháp đưa đề dựa ý tưởng xấp xỉ hàm khả... ,   h , tham số D số thực dương cố định h tham số rời rạc Ta có số kết sau (tham khảo bổ đề chứng minh [4]) Phương trình tích phân (2.5) giải phương pháp xếp: Tìm uh  X h cho uh  mh  ... mặt phương trình Lippman – Schwinger theo hệ sở dựa vector mốc nội suy - Thiết lập hệ phương trình tuyến tính với ẩn hệ số chuỗi hàm khai triển (dùng phương pháp đồng nhất) - Giải hệ phương trình