Sử dụng lưới tựa đều giải gần đúng phương trình song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải

Bài viết trình bày việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải. Sử dụng lưới tính toán tựa đều để tính chủ yếu các giá trị gần biên hữu hạn đồng thời có thể xử lý điều kiện biên tại vô cùng.

bài toán (5): Đặt u = v, x  0,  y  − Khi tốn (3) chuyển toán cấp sau: v − bv = f , x  0,  y  1, v( x,0) = 11 ( x ), v( x,1) = 12 ( x ), (4) u i +1, j − u i , j ( − xi +1/2 − xi −1/2 2( xi +3/4 − xi +1/4 ) u i , j − u i −1, j u i , j −1 − 2u i , j + u i , j +1 )+ = vi, j , 2( xi −1/4 − xi −3/4 ) h22 ( xi , y j )   Và u = v, x  0,  y  1, (5) ux (0, y ) =  ( y ), u( x, y ) → 0, x → + Xét lưới tựa N (1) theo hướng x lưới theo biến y : y j = jh2 , j = 0,1, , M u i ,0 =  01 ( xi ), u i ,M =  02 ( xi ), Lược đồ sai phân (6) (7) có cấp xấp xỉ O ( N −2 + h22 ) Phương pháp giải Viết lại lược đồ sai phân (6) dạng hệ phương trình véctơ ba điểm: AV i i −1 + TV i + BiV i +1 − ( Ai + Bi + + bi )V i = Fi1 , h22 h2 Khi ta có lưới  = {xi , y j } với xi , y j i = 1,2, , N xác định Gọi v i , j u i , j đó: http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn (7) u 0, j =  ( y j ), u N , j = v(0, y ) =  ( y ), v( x, y ) → 0, x → + u( x,0) = 01 ( x ), u( x,1) = 02 ( x ), (6) (8) 461 Trần Đình Hùng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN Ai = , 2( xi +1/2 − xi −1/2 )( xi −1/4 − xi −3/4 ) Bi = , 2( xi +1/2 − xi −1/2 )( xi +3/4 − xi +1/4 ) Nhân (8) với S đặt Wi1 = ( wi1, j ) = SV i , i = 0,1,2, , N (9) i = 1,2, , N  v i ,1     v i ,2  V i =   ,    v i ,M −2     v i , M −1    ( y1 )    (y )  V =  ,      ( y M −1 )  0 0 0 0 0 0 0 + bi )Wi1 = Gi1 , i = 1,2, , N h22 hướng ba điểm: Ai wi1−1, j − Ci1, j wi1, j + Bi wi1+1, j = − Fi1, j , i = 1,2, , N w0,1 j = 0 , w1N , j = 0, (10) Ai Bi xác định (9), Fi1, j = − gi1, j , 0 = M −1 s l =1  ( yl ) j ,l Ci1, j = Ai + Bi + bi + 0  0   .  1  j sin  h2 2M Để giải hệ phương trình vơ hướng ba điểm (10), ta áp dụng phương pháp truy đuổi [6] Sau tìm Wi1 , i = 0,1,2, , N , V i xác định V i = SWi1 , i = 0,1,2, , N Nghiệm lược đồ sai phân (7) tìm tương tự Chúng tơi thực số ví dụ số lưới tựa logarithm, tangent hyperbol, số nút lưới N, tham số điều khiển c Trong bảng kết sai số max | ui j − u( xi , y j ) | biểu diễn sai i số nghiệm xấp xỉ nghiệm ij sin , M M  = [1 , 2 , , M −1 ],  j = 2cos Ví dụ Chọn j , M i, j = 1,2, , M − Dễ thấy S T = S , S = E T = S −1S 462 1 Wi1 + BW i i +1 − h22 Khi cố định số j ta có hệ phương trình vơ Tiếp theo, chúng tơi áp dụng phương pháp đối [5] dựa ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để biến đổi hệ vô hạn phương trình véctơ ba điểm thành hệ vơ hạn phương trình vơ hướng ba điểm Ký hiệu S = ( sij ), sij = Khi (8) đưa dạng hệ phương trình véctơ ba điểm Wi1 , i = 0,1,2, , sau: −( Ai + Bi + V N = T ma trận cấp M − : 1 Gi1 = ( gi1, j ) = SFi1 , i = 1,2, , N , j = 1,2, , M − 1 AW i i −1 +    f i ,1 − h 11 ( xi )    f i ,2     , i = 1,2, , N Fi =     f i ,M −2   f   i ,M −1 − h 12 ( xi )    0 1  0  T =   0 0  225(06): 459 - 463 b( x ) = 2, u = x(1 + y ) x3 + Bước lưới h2 = 0,1 Kết tính toán lưới tựa cho bảng http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn Trần Đình Hùng Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN Bảng Sai số nghiệm gần ví dụ N c 40 logarithm 0,0216 60 0,0159 Sai số tangent −3 2.10 4.10−4 hyperbol 2.10−3 3.10−4 Ví dụ Chọn b( x ) = 1, u = e −2 x sin( x + 2)cos y Tham số điều khiển c = Kết tính tốn lưới tựa cho bảng 2: 225(06): 459 - 463 Kết luận Nội dung báo áp dụng lưới tựa vào giải toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hịa nửa dải áp dụng ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa phương trình véctơ ba điểm dạng phương trình vơ hướng ba điểm Một số thực nghiệm số thực minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp Bảng Sai số nghiệm gần ví dụ N 40 60 40 60 h2 0.1 0.1 0.01 0.01 logarithm 0,0445 0,0329 6.10-3 2.10-3 Sai số tangent 0,0148 0,0103 3.10-5 10-5 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES hyperbol 0,0163 0,0092 4.10-5 2.10-5 Ví dụ Trong ví dụ này, ta xét trường hợp chưa biết trước nghiệm toán  01 ( x ) = 0,  02 ( x ) = 0,  ( y ) = 1, Chọn 11 ( x ) = 0, 12 ( x ) = 0,  ( y ) = 5sin( x ) x + y + cos( y ) Chọn bước lưới h2 = 0,1 Hàm vế phải: f ( x, y ) = Hình Đồ thị nghiệm xấp xỉ sử dụng lưới tựa tangent với N = 40, c = http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn [1] H M Berger, “A new approach to the analysis of large deflection of plates,” Journal of Applied Mechanics, vol 22, pp 465-472, 1955 [2] V V Meleshko, “Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem,” Applied Mechanics Reviews, vol 56, no 1, pp 33-85, 2003 [3] O A Matevossian, “On solutions of the Neumann problem for the biharmonic equation in unbounded domains,” Math Notes, vol 98, pp 990-994, 2015 [4] R Fazio, and A Jannelli, “Finite difference schemes on quasi-uniform grids for BVPs on infinite intervals,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 269, pp 1423, 2014 [5] Q A Dang, and D H Tran, “Method of infinite systems of equations for solving an elliptic problem in a semistrip,” Applied Numerical Mathematics, vol 87, pp 114-124, 2015 [6] A Samarskii, The Theory of Difference Schemes New York: Marcel Dekker, 2001 463 ... Tham số điều khiển c = Kết tính tốn lưới tựa cho bảng 2: 225(06): 459 - 463 Kết luận Nội dung báo áp dụng lưới tựa vào giải toán biên Dirichlet cho phương trình song điều hịa nửa dải áp dụng ý... ta có hệ phương trình vô Tiếp theo, áp dụng phương pháp đối [5] dựa ý tưởng Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để biến đổi hệ vô hạn phương trình véctơ ba điểm thành hệ vơ hạn phương trình vơ... Polozhii phương pháp biểu diễn tổng để đưa phương trình véctơ ba điểm dạng phương trình vơ hướng ba điểm Một số thực nghiệm số thực minh họa cho tính hữu hiệu phương pháp Bảng Sai số nghiệm gần ví