SKKN: Phương pháp giải hệ phương trình

Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ. Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn.

Phương pháp giải hệ phương trình BÁO CÁO KẾT QUẢ  NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hệ phương trình là một nội dung   quan trọng, thường có trong các đề thi THPT QG và trong các đề thi học sinh giỏi các   cấp. Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gây   khó khăn cho học sinh trong việc giải hệ. Chính vì thế đây là một nội dung địi hỏi học   sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất.             Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là khơng hệ thống  các phương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì cịn sơ  sài,  chưa đầy đủ. Chun đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh  có cách nhìn tổng qt hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ. Qua đó, hi vọng sẽ  giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các  kì thi đạt được kết quả tốt hơn.  2. TÊN SÁNG KIẾN “Phương pháp giải hệ phương trình” 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ­ Họ và tên: Phạm Văn Minh ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 ­ Số điện thoại: 0977657260 ­ E_mail:phamvanminh.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả cùng với sự hỗ trợ của tổ chun mơn  Trường THPT Tam Đảo 2 về cơ  sở vật chất ­ kỹ thuật trong q trình viết sáng kiến và dạy thực nghiệm sáng kiến.  5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chun đề  mơn Tốn: áp dụng để  cung cấp mẳng kiến thức cũng   rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng tốn hệ  phươ ng trình trong q  trình ơn thi HSG, THPT QG.  6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Ngày 01 tháng 10 năm 2019,  mơn Tốn lớp 12 7. MƠ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 7.1. Nội dung sáng kiến                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình I. CAC DANG HÊ PH ́ ̣ ̣ ƯƠNG TRINH C ̀ Ơ BAN CÂN NH ̉ ̀ Ơ:́ 1. Hê g ̣ ồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc n,  n                ax + by = c (1) f ( x; y ) = (2)  trong đó  f ( x; y )  là một đa thức đối với x và y Phương phap giai:  ́ ̉ Băng ph ̀ ương phap thê, t ́ ́ ừ phương trinh (1) rut  ̀ ́ x theo y hoăc̣   rut  ́ y theo x, thay vao ph ̀ ương trinh (2) ta đ ̀ ược phương trinh m ̀ ột ẩn Vi du 1:  ́ ̣ Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh:  ̀ x − 2y =1 x − xy + y − y =  (I) Lơi giai: ̀ ̉ Hệ (I)  x = y +1 ( y + 1) − ( y + 1) y + y − y =     x = y +1 y2 − y −1 =   x=0 x=3 hoặc  −1 y =1 y= Hê ph ̣ ương trinh co hai nghiêm  ̀ ́ ̣ (x;y) la ̀ (3;1), (0; − ) 2. Hệ phương trình đối xứng 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng  f ( x; y ) = f ( y; x) = g ( x; y ) = g ( y; x) =     (I) trong đó các đa thức  f ( x; y ), g ( x; y )  là các đa thức đối xứng đối với x, y.  (Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trị của  x và y thì đa thức đó  khơng đổi) Phương pháp giải: Đối với các hệ phương trình dạng này, cách thường làm là đặt ẩn  phụ S = x+ y   (*) P = xy Khi đó ta đưa được hệ phương trình (I) trở thành hệ phương trình đối với ẩn S,  P. Giải hệ phương trình đối với ẩn S, P tìm được các cặp nghiệm (S;P)                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình Thay vào (*), khi đó x, y là hai nghiệm (nếu có) của phương trình bậc hai X − SX + P = Giải phương trình trên ta có được các nghiệm (x;y) của hệ phương trình Chú   ý:  Với   cách   đặt   ẩn   phụ   S,   P         điều   kiện   có   nghiệm     S −�۳ 4P S2 4P Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x2 + y2 + x + y = x ( x + y + 1) + y ( y + 1) =  (I)                                  (Dự bị 1 – Khối A năm 2005) Lời giải: Đặt  S = x+ y   (Điều kiện  S P = xy 4P ) P = −2 S − 2P + S = S = 0, P = −2 � �2 � Thay vào hệ (I) ta được  � S = −1, P = −2 S +S =0 S −P+S =  Với  ( S ; P) = (0; −2) có   Với  ( S ; P) = ( −1; 2)  có  x+ y =0 x = − 2; y = xy = −2 x = 2, y = − �x + y = −1 �xy = −2 x = −2, y = � x = 1, y = −2 � Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y )  là  (− 2; 2), ( 2; − 2), (−2;1), (1; −2) ( x − y ) ( x2 − y ) = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:    (I) ( x + y ) ( x + y ) = 15 Lời giải ( x − y ) ( x + y ) =3 ( x + y ) ( x + y ) = 15               Hệ (I)                        � ( x + y ) − xy � ( x + y ) =3 � �  (II) = 15 ( x + y) � (�x + y ) − xy � � Đặt    S = x + y , P = xy , điều kiện có nghiệm  S ( S − P) S = S ( S − P ) = 15 P  Hệ phương trình (II) trở  thành  S − PS = S − PS = 15 S =3 S = 27 ��          � � P=2 PS = Thay  S = 3, P = , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm  ( x; y ) của hệ là  (1; 2), (2;1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 = x y + x (1 + y + y ) + y − 11 =                                                                                 (I) Phương pháp giải hệ phương trình Lời giải               Hệ (I)                                               xy[x (1 + y ) + xy (2 + y ) + y ]=30 x y + xy + xy + x + y = 11 xy � ( x + y ) + xy ( x + y ) � � �= 30 xy ( x + y ) + xy + x + y = 11 xy ( x + y )( x + y + xy ) = 30 (II) xy ( x + y ) + ( xy + x + y ) = 11 Đặt   S = x + y, P = xy  Hệ phương trình (II) trở thành  Điều kiện có nghiệm  S 4P Đặt  a = S + P, b = SP ( a 4b ). Suy ra   Với  ( a; b) = (5; 6) có  S+P =5 SP = ab = 30 � a + b = 11 � SP ( S + P ) = 30 SP + S + P = 11 a = 5, b = � a = 6, b = � S = 2, P = S = 3, P = Với  S = 2, P = � S < P  (loại) Thay  S = 3, P = , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm  ( x; y ) của hệ là  (1; 2), (2;1)  Với  ( a; b) = (6;5) có  �S + P = �SP = S = 1, P = � S = 5, P = � Với  S = 1, P = � S < P  (loại) Thay  S = 5, P =  giải hệ ta tìm được hai nghiệm  ( x; y ) của hệ là                    ( + 21 − 21 − 21 + 21 ; ), ( ; ) 2 2 Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y )                      (1; 2); (2;1); ( + 21 − 21 − 21 + 21 ; ); ( ; ) 2 2 Chú ý: Trong một số bài tốn, hệ phương trình có dạng đối xứng đối với  x  và  (− y )   S = x− y Khi đó ta giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ:  sau đó giải tương tự như trên P = xy Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  xy + x − y = x y + xy = 10  (I) Lời giải                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình xy + x − y = xy + x − y = � Hệ (I) � � � xy � ( x − y ) + xy � xy ( x + y ) = 10 � �= 10 S+P=3 Đặt  S = x − y, P = xy  Hệ phương trình trở thành  P ( S + P ) = 10 �P = − S �P = − S �                   � � �3 (3 − S )( S − 2S + 6) = 10 � �S − 5S + 12 S − = P = 3− S P=2 ��                   � � S =1 ( S − 1)( S − 4S + 8) = Với  S = 1, P =  ta có hệ:  x − y =1 xy = x = 2, y = x = −1, y = −2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  (2;1), ( −1; −2) 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng:  f ( x; y) =     (I) f ( y; x ) = (trong đó  f ( x; y )  là đa thức đối với x và y) Phương   pháp   giải :  Biến   đổi   tương   đương,   trừ   vế   hai   phương   trình   ta   được  x− y =0 f ( x; y ) − f ( y; x) = � ( x − y ) g ( x; y ) = g ( x; y ) = Khi đó, hệ phương trình (I) �x − y = ( II ) f ( x; y ) = f ( x; y ) = ( III ) g ( x; y ) = Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I) Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình  x3 + = y y3 + = 2x    (I) Lời giải:  Trừ hai vế của hai phương trình ta được                          x3 − y = y − x              � ( x − y )( x + xy + y + 2) = y � 3y2              � x − y = (Do  x + xy + y + = � x + + = vô nghiệm) � �+ � 2� �x − y = �y = x �y = x � �3 �� Khi đó, hệ (I)  � � �x + = y �x − x + = �( x − 1)( x + x − 1) =                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình x = y =1 y=x                          � x =1 x= −1 −1 + −1 − x= y= � x= y= Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm  ( x; y )            (1;1), ( −1 + −1 + −1 − −1 − ; ), ( ; ) 2 2 3x = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x2 + y2 y2 +2 3y = x2 (1)   (I)      (2)                                               (ĐH khối B – 2003) Lời giải:  Điều kiện  xy Từ (1) và (2) suy ra  x > 0, y > Với điều kiện đó,  HPT xy = x + 3x y = y + ( II ) Trừ theo vế hai phương trình ta được:  x − y = 3xy − 3x y                                                                � ( x − y ) ( xy + x + y ) =                                                                  � x = y (Do  xy + x + y > 0∀x > 0, y > ) Thay  x = y vào phương trình (1) ta được phương trình:  x3 − x − = � x = � y = Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1;1) Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng  và trừ theo vế hai phương trình Ví dụ: Giải hệ phương trình  x3 = x + y y = 3x + y Lơi giai:  ̀ ̉ Công ̣   theo   vế   hai   phương   trinh ̀   ta   được   phương   trinh: ̀   x+ y =0 x + y = 11( x + y ) x − xy + y = 11 Trừ vê hai ph ́ ương trinh ta đ ̀ ược:  x3 − y = 5( x − y ) x− y =0 x + xy + y = Từ đo, hê ph ́ ̣ ương trinh đa cho t ̀ ̃ ương đương với cac hê sau: ́ ̣                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình x+ y =0 x− y =0 ( I )                                          x − xy + y = 11 x− y =0 ( III )                                 x+ y =0 ( II ) x + xy + y = x − xy + y = 11 ( IV ) x + xy + y =  Giai hê (I) co  ̉ ̣ ́ ( x; y ) = (0;0)  Giai hê (II) co  ̉ ̣ ́ ( x; y ) = ( 5; − 5), ( − 5; 5)  Giai hê (III) co  ̉ ̣ ́ ( x; y ) = ( 11; 11), (− 11; − 11)  Giai hê (IV) co 4 nghiêm ̉ ̣ ́ ̣  (x;y) la:̀ − 14 + 14 + 14 − 14 ; ), ( ; ), 2 2 − − 14 − + 14 − + 14 − − 14 ( ; ), ( ; ) 2 2 ( Vây hê ph ̣ ̣ ương trinh co 9 nghiêm  ̀ ́ ̣ (x;y) như trên 3. Hệ phương trình đẳng cấp: Hệ phương trình đẳng cấp có dạng:  f1 ( x; y ) = g1 ( x; y ) f ( x; y ) = g ( x; y ) (I ) Trong đó  f1 ( x; y ), f ( x; y)  là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc;       g1 ( x; y ), g ( x; y ) là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc Phương pháp giải:  Nếu  x = , thay vào hệ suy ra kết luận về nghiệm của hệ Nếu  x : Đặt  y = tx Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t. Chia theo vế hai phương  trình, ta được phương trình một ẩn t. Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được  x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x − xy + y = (1) y − 3xy = (2) Lời giải: Với  x = , hệ có dạng:  y2 = y2 = � y=� Hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x; y ) = (0; 2), (0; −2) Với  x , đặt  y = tx , khi đó hệ trở thành �x − x.(tx) + (tx ) = � � (tx) − x.(tx ) = � �x (1 − 4t + t ) = (3) � �2 (4) �x (t − 3t ) =                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình Từ (3) và (4) có − 4t + t               =       (Do  t =  hoặc  t = không là nghiệm của (4)) t − 3t        � t − 4t + = t − 3t � t = Với  t =  suy ra  x = y  Thay  t =  vào (3) có:  −2t = vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y)  là  (0; 2), (0; −2) Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đó đặt  x = ty rồi biến đổi va giai t ̀ ̉ ương tự Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x − xy + y = −1 3x − xy + y = 13 Lời giải:  Với  y = , hệ có dạng:  Với  y            x = −1 x = 13 vô nghiệm , đặt  x = ty , hệ phương trình trở thành:  (ty ) − 3(ty ) y + y = −1 y (t − 3t + 1) = −1 (1) 3(ty ) − (ty ) y + y = 13 y (3t − t + 3) = 13 (2) Từ (1) và (2) ta có:  3t − t + = −13(t − 3t + 1)          � 16t − 40t + 16 = t =2           t=  Với  t = � x = y  Thay  t =  vào (1) có  − y = −1 � y = � y = � hệ có 2 nghiệm  ( x; y ) = (2;1), (−2; −1)           Với  t =       13 1 � x = y  Thay  t =  vào (2) có  y = 13 � y = � y = � 2 2 hệ có 2 nghiệm  ( x; y ) = (1; 2), ( −1; −2) Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  ( x; y )  là  (1; 2), (−1; −2), (2;1), ( −2; −1) Nhận   xét:  Một   số   hệ   phương   trình   có   dạng   f1 ( x; y ) = g1 ( x; y ) f ( x; y ) = g ( x; y )     đó  deg ( f1 ( x ) ) deg ( g ( x; y ) ) = deg ( f ( x ) ) deg ( g1 ( x; y ) )   cũng có thể  giải theo cách giải  của hệ phương trình đẳng cấp Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  y − x2 = x3 − y3 = y − x Lời giải:                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình Với  y =  hệ phương trình vơ nghiệm Với  y y2 − t y2 = � , đặt  x = ty  Hệ trở thành:  � 3 2t y − y = y − ty ( ( ) 2 �y − t = �2 y 2t − = − t ) 3 Từ hệ phương trình trên suy ra  2t − = ( − t ) ( − t ) � t + 2t + 2t − =                                                     � ( t − 1) ( t + 3t + ) = � t =  Với  t =  thay vào hệ ta được  ( x; y ) = ( 1;1)  hoặc  ( x; y ) = ( −1; −1) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  ( 1;1) , ( −1; −1) x3 − x = y + y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  ( ( I) ) x2 − = y + (Dự bị 2 – Khối A năm 2006) Lời giải: x − y = x + y (1) Hệ phương trình (I) x2 − y = (2) Với  x = , phương trình (2) vơ nghiệm  hệ phương trình vơ nghiệm Với  x , đặt  y = tx , hệ phương trình trở thành:  ( ( ) �x − t = x ( + t ) �                                 � 2 � �x − 3t = ) ( ( ) �x − t = 2t + � �2 � �x − 3t = ) Từ hệ phương trình ta suy ra:  ( − t ) = ( 2t + ) ( − 3t )                                               � 24t − 2t − = � t= t=−  Với  t = , thay vào ta tìm được  ( x; y ) = ( 3;1) hoặc  ( x; y ) = ( −3; −1)  Với   t = − ,   thay   vào   ta   tìm     ( x; y ) = � � �4 78 78 � ;− �  hoặc  13 � � 13 � � 78 78 � ; � 13 13 � � � − ( x; y ) = � � �4 78 78 � Vậy   hệ   phương   trình   có     nghiệm   ( x; y )   ( 3;1) ,   ( −3; −1) ,   � � 13 ; − 13 � �, � � � 78 78 � � �− 13 ; 13 � � � � II. PHƯƠNG PHAP GIAI MÔT SÔ HÊ PHU ́ ̉ ̣ ́ ̣ ƠNG TRINH KHAC: ̀ ́                                                                               Phương pháp giải hệ phương trình       Các hệ phương trình này khơng có dạng đối xứng, khơng là hệ đẳng cấp, việc áp  dụng phương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn  gọn, chính xác 1. Phương pháp thế:        Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y. Khi đó ta tìm cách rút  y qua x (hoặc x qua y) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x ( y + 1)( x + y + 1) = 3x − x + (1) xy + x + = x (2)   (TH&TT – 2009) Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc nhất đối với y, ta tìm cách rút y qua x Lời giải: Ta thấy x = 0 khơng thoả mãn phương trình (2) Với  x , từ (2) có:  y = x2 −1 −   (*), thay vào (1), ta được: x x2 −1 x2 − (1) � x ( x + ) = 3x − x + x x       � ( x − 1)(2 x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1)       � ( x − 1)(2 x3 + x − x − 1) = ( x − 1)(3 x − 1)       � ( x − 1)(2 x3 + x − x) = x=0       � x( x − 1) ( x + 2) = � x =    x = −2 Có  x = khơng thoả mãn. Khi đó, thay x vào ta tìm được y.  Hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y ) là  (1;­1), (­2; Vi du 2:  ́ ̣ Giai hê ph ̉ ̣ ương trinh:  ̀ ­5 ) x3 + xy + 12 y = (1) y + x = 12 (2) 2 Hương dân: ́ ̃  Ta co thê nhân thây nêu thê sô 12  ́ ̉ ̣ ́ ́ ́ ́ ở phương trinh (2) vao ph ̀ ̀ ương trinh (1) ̀   thi ta đ ̀ ược phương trinh đăng câp bâc 3 đôi v ̀ ̉ ́ ̣ ́ ới x va ̀y, tư đo rut đ ̀ ́ ́ ược x qua y Lơi giai:  ̀ ̉ Thay 12 ở phương trinh (2) vao ph ̀ ̀ ương trinh (1) ta đ ̀ ược phương trinh: ̀ x3 + xy + (8 y + x ) y = � x + x y + xy + y =                       � ( x + y )( x − xy + y ) =                       � x + y = � x = −2 y ( Do x − xy + y > ∀x, y �ﾡ ) Thay  x = −2 y vao ph ̀ ương trinh (2) ta đ ̀ ược: 12 y = 12 � y = �1                                                                               10 Phương pháp giải hệ phương trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: x + + y ( y + x − 5) = (1) y ( x + xy ) + y = x + 15 y + (2)  (I) Hướng dẫn:  y=0 khơng thoả mãn (1). Chia cả 2 vế của hai phương trình cho  y sau đó đặt ẩn phụ Lời giải:  Hệ (I)  Đặt  u = x2 +2 + x + y =5 y ( x + y) x2 +2 − =15 y (Do  y =  không thoả mãn hệ) u+v =5 x2 + , v = y + x , hệ phương trình trở thành  v − u = 15 y �u = 10 v = −5 u =1 v=4  Với  u = 10, v = −5 x + = 10 y hệ  (hệ vô nghiệm) x + y = −5 x2 + = y  Với  u = 1, v = �� x+ y =4 x = 1; y = x = −2; y = Hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  (1;3), ( −2;6) xy + 4( x + y ) + Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  =7 ( x + y )2 2x + =3 x+ y  (I)                                              (TH&TT 2009) Hướng dẫn: Phân tích để xuất hiện ẩn phụ:  u = x + y + ,v =x−y x+y Lời giải:  Điều kiện  x + y  Khi đó ta có: 3( x + y ) +     Hệ (I)  x+ y+ Đặt  u = x + y + + ( x − y )2 = ( x + y) +x− y =3 x+ y , (u x+y Hệ phương trình trở thành  2) ,  v = x − y 3u + v = 13 u+v =3                                                                               15 ,  Phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ trên, có u=2, v=1 (Do  u 2) x+ y+ =2 �x + y = �x = x+ y �� �� Từ đó, có  � x − y = �y = � x − y =1 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1; 0) x + y + x y + xy + xy = − Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  5 x + y + xy ( + x ) = − 4       (I)                                        (ĐH khối A – 2008) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ  u = x + y, v = xy Lời giải:  Hệ (I) x + y + xy + xy ( x + y ) = − (x + y) + xy = −     (II) Đặt  u = x + y , v = xy ,  u + v + uv = − Hệ (II) trở thành: u2 + v = − 5 v = − − u2 u u3 + u2 + = x2 + y = � Với  u = 0, v = − ta có hệ  � �xy = − u = 0, v = − u = − ,v = − 2 x=3 � � �y = − 25 16 � x =1 x2 + y = − � � � �y = − �� 2x Với  u = − , v = −  ta có hệ  � � 2 �xy = − �2 x + x − = �y = − 2 �5 25 �� � 3 ; − ,� 1; − � Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x; y )  là  � � �4 16 � � �� � Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  x + y − x + y = −1 (1) 3x + y + x − y = (2) (I) Lời giải: Đặt  a = 3x + y , b = x + y  Điều kiện:  a 0, b Khi đó:  x − y = 2b − 5a                                                                               16 Phương pháp giải hệ phương trình b = a +1 �a − b = −1 � �۳� Hệ phương trình trở thành:  � 2 3a − 5a − = �a + 2b − 5a = � 3x + y = Với  a = 2, b = �� � 8x + y = a=2 � b=3 ( Do a, b 0) x= � y= �1 � � � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = � ; � 2 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  xy + x + = y x y + xy + = 13 y     (I)                                            (ĐH khối B – 2009) Hướng dẫn: Chia phương trình (1) cho y, phương trình (2) chia cho  y  sau đó đặt ẩn  x phụ  u = x + , v = y y Lời giải: Hệ (I)  x + =7 y y  (do  y =  khơng thỏa mãn hệ phương trình) x x + + = 13 y y Đặt  u = x + x , v = , điều kiện:  u y y x+ Hệ phương trình trở thành: 4v u+v = u = −5, v = 12 u − v = 13 u = 4, v = Với  u = −5, v = 12  không thỏa mãn x+ Với  u = 4, v = ta có hệ  =4 y x =3 y x = 3, y = x = 1, y = �1� � � 1; � Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  ( 3;1) , � 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức:       Sử dụng các tính chất, các bất đẳng thức cơ bản của bất đẳng thức, dùng các bất  đẳng thức quen thuộc như AM – GM, Bu­nhi­a­cơp­xki,… để giải hệ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x3 + y = (1) x + xy + y − y = (2) Hướng dẫn:  Từ  (2) tìm miền giá trị  của  x  và  y, sau đó áp dụng tính chất bất đẳng  thức vào phương trình (1)                                                                               17 Phương pháp giải hệ phương trình Lời giải:  Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y 2 Khi đó:  ∆ y = y − 4( y − y ) = y − y −�4 y� y Để phương trình có nghiệm thì  ∆ �� y 0 y Tương tự, nếu coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x                   (2) � y + ( x − 1) y + x = 0 −3 x − x + �� −1 �� x Để phương trình có nghiệm thì  ∆ x = ( x − 1) − x �� Từ đó, để hệ có nghiệm thì  −1 x ,0 y 49 � x + y �( )3 + ( ) = : Từ (1) suy ra  y − < � y <        Từ (2) suy ra  y − > � y >   Suy ra mâu thuẫn, vậy với  x >  hệ vơ nghiệm Nếu  x < : Tương tự ta cũng suy ra điều mâu thuẫn Với x = 2, thay vào có y = 2 suy ra  ( x; y ) = (2; 2)  là nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (2; 2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x − x + + y − y + = (1) x + y +3 = (2) Lời giải:  Điều  kiện  x −3 0, y Ta có  x − x + = ( x − 1) + �� x − x + �1                y − y + = ( y − 1) + �� Từ đó:  x − x + + y − y + 2 , suy ra (1) � y − y + �1     x2 − 2x + = y2 − y + = � x = y =1 Thay  x = y =  vào phương trình (2) thoả mãn Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (1;1) 6. Phương pháp hàm số                                                                               19 Phương pháp giải hệ phương trình         Sử  dụng tính đơn điệu của hàm số  để  tìm nghiệm, như  vậy để  áp dụng được   phương pháp này học sinh phải được trang bị  các kiến thức về  sự  đơn điệu của các  hàm số, cách chỉ  ra tính đơn điệu của hàm số. Trong phương pháp này qua các phép  biến đổi thường xuất hiện phương trình có dạng  f ( x) = f ( y ) , trong đó hàm số  f đơn  điệu trên miền xác định của nó Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x3 − x = y3 − y (1) x8 + y = (2) Lời giải:  1, y Từ phương trình (2) ta có  x ��� x 1, y Xét hàm số  f (t ) = t − 5t  trên [­1;1] f (t ) nghịch biến trên (­1;1) Có  f '(t ) = 3t − < 0, ∀t [­1;1] Khi đó,  f ( x) = f ( y ) � x = y   Vậy từ (1) suy ra  x = y , thay vào (2) có:  x8 + x − = Đặt  a = x , giải phương trình tương ứng có  a = −1 + −1 + � x = y = �4 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x + − y +1 = (1) y + − 2x + = (2) Lời giải:  Điều kiện  x −1 ;y −1 Trừ hai vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:                   x + − y + + x + − y + =             � x + + x + = y + + y +                 (3) Xét hàm số  f (t ) = t + + 2t +  trên  Hàm số  f (t )  là hàm đồng biến trên  −1 � � ;+ �2 � −1 � � ;+ �2 � Khi đó, từ (3) có  f ( x) = f ( y ) � x = y Vớ i  x= y,   thay   vào   phương   trình   (1)   ta   x + − 2x + = � x + = 2x + + � 2x +1 = − x �−1 �−1 x x � � � �2 � �2 � x = 5−2 2 � �x − 10 x − = 4(2 x + 1) = (1 − x) � �                                                                               20 được:  Phương pháp giải hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = (5 − 7;5 − 7) x − 3x − x + 22 = y + y − y Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  2 x + y −x+ y = ( I)                                    (ĐH khối A – 2012) Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (1) � ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1)  sau đó  3 xét hàm số  f ( t ) = t − 12t Lời giải: ( x − 1) Hệ (I)  − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) (1) � 1� � 1� �x − �+ �y − �= � 2� � 2� � − x − � � Từ (2) có:  � �−1 y + 1 � �1 − � � � � − �2 (2)   x y � 3� � 3� − ; �, có   f ' ( t ) = 3t − 12 < ∀t �� − ;   nên   f ( t ) Xét hàm số   f ( t ) = t − 12t     � � 2� � 2� � � 3� − ; nghịch biến trên  � � 2� � Do đó phương trình (1) � x − = y + � y = x − 2 x= x= Thay  y = x −  vào phương trình (2) ta được:  x − x + = �1 � ��3 1� �� � , ;− � Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  ( x; y )  là  � ; − �� 2 2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  ( 4x ) + x + ( y − 3) − y = (1) 4x2 + y + − 4x = (2)                                           (ĐH khối A – 2010) Hướng dẫn: Phương trình (1) viết về dạng  f ( x ) = f Lời giải: Điều kiện  x ,y ( ) ( ) − y  với  f ( t ) = t t + 2 ( − y ) + 1� Phương trình (1) � x ( x + 1) = − y � � �    (3) 2 Xét hàm số  f ( t ) = t ( t + 1) , có  f ' ( t ) = 3t + > ∀t ﾡ f ( t )  đồng biến Khi đó, phương trình (3) � x = − y   (4)                                                                               21 Phương pháp giải hệ phương trình − 4x2 Từ (4) suy ra  x  và  y = 4 Thay vào (2), ta được phương trình:  x − x + − x − =  (5) � 3� 0;  Xét hàm  g ( x ) = x − x + − x −  trên  � � 4� � < ∀x − 4x nhất của (5). Thay vào (4) ta được  y =   Có   g ' ( x ) = x ( x − 3) − � 3� �1 � 0; �và   g � �=   nên   x =   nghiệm   duy  � � 4� �2 � �1 �2 � � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ( x; y ) = � ; � Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  ( 1) ( 2) x +1 + x −1 − y4 + = y x + x ( y − 1) + y − y + =                                           (ĐH khối A – 2013) Hướng dẫn: Đặt  u = x − 1, biến đổi phương trình (1) và xét hàm số Lời giải: Điều kiện  x 4− y+ =(� x y 1) Từ (2) � y Đặt  u = x − 1, u  Phương trình (1) có dạng:  u + + u = y + + y (3) Xét hàm số   f ( t ) = t + + t  trên  [ 0; + ) hàm đồng biến trên  [ 0; + , có  f ' ( t ) = ) 2t t4 + +1 > t  suy ra  f ( t ) là  Khi đó, phương trình (3)  � u = y � x = y + Thay  x = y +  vào (2) ta được  y ( y + y + y − ) = ( )                                                    � y ( y − 1) y + y + y + y + y + y + =                                                y=0     (do  y ) y =1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm  ( x; y )  là  ( 1;0 ) , ( 2;1) III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải các hệ phương trình sau: 1.  x x + y y = 35 x y + y x = 30 2.  2( x + y ) = 3( x y + xy ) x+3 y =6                                                                               22 Phương pháp giải hệ phương trình x + y + xy = 13 3.  x + y + x y = 91 2x + y = 9.  x2 + x = y2 + y x + y = 3( x + y ) x− 1 = y− x y 8.  10.  y = x +1 x + y − x − y = 12 11.  xy ( x − 1)( y − 1) = 36 ( x + y )(1 + 13.  15.  ) = 49 x y2 ( x + y )(1 + ) = xy y ( x − y ) = 3x x( x + y ) = 10 y x + xy − y = 17.  y x −5 − = − x y xy 19.  21.  23.  y + xy = x 29.  x (2 + y ) = x( y − 2) = x + y + xy = x+ y =4 14.  x + y − y + 19 = x + y + x + x y + xy y = y (1 + x ) = x(1 + y ) x2 + y2 = x3 + x = y3 + y x2 + y2 = x + y + x(3 x + y )( x + 1) = 12 x2 + y + 4x − = x + y y = +1 x xy x xy + y xy = 78 16.  18.  22.  24.  26.  x +1 + x + y = x y =2 12.  20.  + x2 y = 5x x3 y = 25.  3x + y = 27.  y3 + = ( y − y + x ) x2 6.  x +2 y = y y y2 = x + x x2 = y + 7.  4.  x3 + = ( x − x + y ) ( x − y )( x − y ) = ( x + y )( x + y ) = 15 x + y − 3x + y = 3x − y − x − y = + x3 y = 19 x y + xy = −6 x x3 (6 + 21 y ) = x( y − 6) = 21 x y + 27 = 18 y 4x2 y + x = y x + y = 64 − x y ( x + 2) = y + 28.  x + y + x2 = x2 − + x + y = 697 81 30.  2 x + y + xy − 3x − y + = x4 + y =                                                                               23 Phương pháp giải hệ phương trình x2 + y = 31.  33.  y + 4(2 x − 3) y − 48 y − 48 x + 155 = x + x+ + x+ = y−1+ y− 3+ y− x + y + x + y = 44 x( x + y + 1) − = 35.  ( x + y)2 − + = x 37.  39.  x − x − y −1 = 40.  y + x + y x − xy = x+ 41.  45.  47.  49.  44.  xy + y x − + = 13 y 2 y3 + x − x = − x − y 46.  ( x2 + − x )( x2 y2 − 2x + y = x2 − 4x + + y3 = 2x + y = − 2x − y x + + 1− y = x + y − xy = x2 + + y + = 4 x + y − xy = x + y − xy = 2 y x − + 3y − = x − y = x − + xy x + x2 + x + y + − x + y2 + x + y + − y = 2y + =1 x + y −1 x 42.  2x x2 + y2 − =4 y + x+ y −3 =3 y xy + y − y = −1 43.  34.  38.  x + + 1− y = 32.  36.  2x + y = − 2x − y x + x + y + + x + y + x + y + + y = 18 ) y2 +1 − y = 48.  x − 3x − y − y + = x − − y + x = x3 + y − xy = 2x4 + y − 2x − y = ( − x) x + 15 − x + + = x + xy xy + y + = y y − xy + xy + x − = 50.  x3 − x y + x + y − xy − y = − x − y y −1 = x + y − xy + x − y + = 4x2 − y + x + = 2x + y + x + y Bài Tập Trắc nghiệm x + 5x + y = Câu 1: Tập nghiệm của hệ phương trinh:  ̀  la:̀ 2x −1.5x + y = A.  { ( 1;0 ) , ( log 5;log − log ) } B.  { ( 1;0 ) , ( log 2; log + log ) } C.  { ( 2;1) , ( log 5; log − log ) } Câu 2: Giải hệ phương trinh:  ̀ A.  x =1 y =1 B.  D.  { ( 1;0 ) , ( log 5;log − log ) } 6x − 2.3y = 6x.3y = 12  ta được: x =1 y = log Câu 3: Nghiêm cua h ̣ ̉ ệ phương trinh:  ̀ C.  3− x.2 y = 1152 log ( x + y) = x=2 y = log 20 D.  x = log y =1  la:̀                                                                               24 Phương pháp giải hệ phương trình x =1 x=7 A.  B.  y=2 y = −2 x = −2 y=7 C.  D.  x=2 y =1 3x + y = 81 Câu 4: Biết hệ phương trình:  có 1 nghiệm  ( x ; y )  Tính  M = x − y0 : log x + log y = B.  M = A.  M = Câu  5:  Biết  hệ  phương  trình:   M = x + y0 : A.  M = C.  M = 2 log x − log y =   có  duy nhất 1  nghiệm   ( x ; y0 )  Tính  x + = 5y B.  M = Câu 6: Số nghiệm của hệ phương trình:  A. 0 D.  M = −1 B. 1 C.  M = D.  M = −1 log x − log y = là: x + = 5y C. 2 D. 3 3x = − x Câu 7: Số nghiệm của hệ phương trình:  y2 − x + y −2 là: e = e A. 0 B. 1 C. 2 Câu 8: Số nghiệm của hệ phương trình:  A. 0 32x − y = 77 B. 1 y D. 3 là: −8 = C. 2 x D. Vơ số nghiệm 3x.32y = 81 Câu 9: Tập nghiệm của hệ phương trình:  x + y −2y là: e e = e −5 A.  ( −2;3) B.  ( −2;3) & ( 3; −2 ) Câu 10: Số nghiệm của hệ phương trình:  A. 1 Câu 11: Tập nghiêm cua h ̣ ̉ ệ phương trinh:  ̀ là: x + y =1 C. 3 D. vô nghiệm x.3y = 81 log(x + y) − l ogx = log B.  { ( 2;0 ) , ( 16; −28 ) } Câu 12: Hệ phương trinh:  ̀ D. Kết quả khác 3x + y = B. 2 A.  { ( 1; ) , ( 16; −28 ) } C.  ( 3; −2 ) C.  { ( 0; ) , ( 2;0 ) } x + 2y = 4x − log ( x − 1) − log  la:̀ ( y + 1) = D.  { ( −2;8 ) , ( 1; ) }  có một nghiệm  ( x ; y0 )  Tính tổng  x + y0 :                                 C. 4                               D. 18 log x + = + log y Câu 13: Biết hệ phương trình:   có một nghiệm  ( x ; y0 )  Tính tổng  log y + = + log x A. ­4                                B.  x + 2y :  A. 3                                 B. 6                                   C. 9 Câu 14: Giải hệ phương trình  3x − y = ( y − x )( xy + 8) x2 + y2 =       D. 39  Ta có nghiệm                                                                               25 Phương pháp giải hệ phương trình A. (4; 4), (­ 4; ­ 4) B. (2; 2), (­ 2; ­ 2) 3) Câu 15: Giải hệ phương trình  C. (1; 1), (­ 1; ­ 1) 2x − y = y − x x + xy + y = B. (3; 3) A. (­ 2; ­ 2) D. (3; 3), (­ 3; ­   Ta có nghiệm C. (2; 2) D. (1; 1), (­ 1; ­  1) Câu 16: Giải hệ phương trình  A. 2 x.9 y = 36 3x.4 y = 36  Ta có một nghiệm  ( x ; y0 )  Tính tổng  x + y0 B. 3 Câu 17: Giải hệ phương trình C. 4 3x + x = y + 11 y + y = x + 11 B. (2; 3), (3; 2) A. (1; 1) D. 5  Ta có nghiệm C. (2; 1), (1; 2) D. (2; 2) x + y = 2m Câu 18: Tìm m để hệ phương trình    có nghiệm duy nhất x + y = 4m + 2m − 24 B. m = 3 C. m = ­ 3 v m = 4 D. m = ­ 4 v m =  A. m = 4 Câu 19: Tìm m để hệ phương trình  A. m   ­ 2 v m   3 x + y = 2m x.3 y = m + B. ­ 2   m   3 Câu 20: Tìm m để hệ phương trình   A. m   4 C. m   3 x+ y =m 2x + y = B. m   4   có đúng 2 nghiệm phân biệt 4x +1 86−2x 34x +5 B. [­2; 2] 271+ x D. m  > 4  là: C. (­ ; 1] D. [2; 5] log2 ( 2x − 4) log2 ( x + 1)  là: log0,5 ( 3x − 2) log0,5 ( 2x + 2) Câu 22: Tập nghiệm của hệ phương trình  A. [4; 5] D. m   2 C. m