Mục tiêu của đề tài là Giúp học sinh nhận dạng được các phương trình, phương trình chứa tham số có thể sử dụng đạo hàm để giải. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và ôn luyện HSG môn Toán
S Ở GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO T Ạ O THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO SÁNG KI Ế N KINH NGHI Ệ M TÊN ĐỀ TÀI Ứ NG D Ụ NG Đ Ạ O HÀM Đ Ể GI Ả I M Ộ T S Ố PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ PH ƯƠ NG TRÌNH CH Ứ A THAM S Ố Ng ườ i th ự c hi ệ n: Nguy ễ n Th ị Lan Ch ứ c v ụ : Giáo viên SKKN thu ộ c lĩnh v ự c (mơn): Tốn M Ụ C L Ụ C N ộ i dung M Ụ C L Ụ C 1. M đ ầ u Lí do ch ọ n đ ề tài M ụ c đích c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m Đ ố i t ượ ng và ph m vi nghiên c ứ u Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u 2. N ộ i dung sáng ki ế n kinh nghi ệ m 2.1. C s lí lu ậ n c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m 2.2. Th ự c tr ng v ấ n đ ề tr ướ c khi áp d ụ ng sáng ki ế n kinh nghi ệ m 2.3. Gi ả i pháp đã s d ụ ng đ ể gi ả i quy ế t v ấ n đ ề 2.4. Hi ệ u qu ả c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m đ ố i v i ho t đ ộ ng giáo d ụ c, v i b ả n thân, đ ng nghi ệ p và nhà tr ườ ng 3. K ế t lu ậ n, ki ế n ngh ị TÀI LI Ệ U THAM KH Ả O Trang 3 4 3 4 4 4 5 19 5 6 6 19 19 19 20 21 1. M đ ầ u a. Lí do ch ọ n đ ề tài 1. Tốn h ọ c là mơn khoa h ọ c c b ả n c ủ a các mơn h ọ c khác, địi h ỏ i ng ườ i h ọ c, ng ườ i d y ph ả i đam mê, tâm huy ế t, t ỉ mĩ kiên nh ẫ n m i có th ể n ắ m đ ượ c. Nó là mơn h ọ c khó, tr u t ượ ng v i th i l ượ ng n ộ i dung ch ươ ng trình sâu gây khó khăn cho ng ườ i h ọ c và ng ườ i d y Th ự c t ế cho th ấ y nhi ề u h ọ c sinh đam mê, u thích mơn tốn nh ng k ế t qu ả thi HSG, thi đ i h ọ c không cao so v i môn khác. 2. Bài tốn tham s ố là các bài tốn th ườ ng g ặ p trong các kì thi h ọ c sinh gi ỏ i, ể n sinh đ i h ọ c cao đ ẳ ng Đây toán có nhi ề u ph ươ ng pháp gi ả i h ọ c sinh th ườ ng lúng túng hay m ắ c sai l ầ m khi gi ả i quy ế t. Khi gi ả m t ả i ch ươ ng tr ình thì các d ng tốn ph ả i s d ụ ng đ ị nh lí đ ả o c ủ a tam th ứ c b ậ c hai không th ể v ậ n d ụ ng đ ượ c nên h ọ c sinh ph ả i v ậ n d ụ ng ch ủ y ế u đ ị nh lý Viét và m ộ t s ố cách gi ả i khác nh hàm s ố ho ặ c “đi ề u ki ệ n c ầ n đ ủ ” đ ể gi ả i quy ế t bài toán ch ứ a tham s ố d ẫ n đ ế n cách gi ả i ph ứ c t p Do h ọ c sinh r ấ t khó rèn luy ệ n t ố t ph ầ n Bên c nh đó, đ o hàm m ộ t n ộ i dung quan tr ọ ng c ủ a ch ươ ng trình tốn THPT. Nó v a là đ ố i t ượ ng, nh ng h n th ế v a công c ụ h ữ u hi ệ u đ ể gi ả i quy ế t nhi ề u v ấ n đ ề ph ứ c t p c ủ a tốn THPT Trong có vi ệ c ứ ng d ụ ng đ o hàm đ ể gi ả i các bài tốn ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố. 3. Chúng ta bi ế t r ằ ng các đ ề thi đ i h ọ c và đ ề thi HSG c ấ p t ỉ nh nh ữ ng năm g ầ n bao gi có nh ấ t m ộ t toán ch ứ a tham s ố Đó là nh ữ ng d ng tốn khó đ ố i v i h ọ c sinh, có nhi ề u không th ể gi ả i đ ượ c b ằ ng ph ươ ng pháp đ i s ố thông th ườ ng, kinh ể n ho ặ c có th ể gi ả i đ ượ c nh ng g ặ p nhi ề u khó khăn, ph ứ c t p V i vi ệ c s d ụ ng đ o hàm đ ể gi ả i toán v ề ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố s ẽ đ ượ c gi ả i quy ế t m ộ t cách r ấ t t ự nhiên, ng ắ n g ọ n và d ễ hi ể u V ề v ấ n đ ề này, có r ấ t nhi ề u tài li ệ u, sáng ki ế n kinh nghi ệ m (SKKN). Tuy nhi ên tài li ệ u vi ế t chuyên sâu, h ệ th ố ng v ề nh ữ ng ứ ng d ụ ng c ủ a đ o hàm đ ể gi ả i toán ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố không nhi ề u và h ọ c sinh th ườ ng g ặ p khó khăn, lúng túng trong vi ệ c nh ậ n di ệ n, gi ả i quy ế t d ng to án Do vi ệ c ch ọ n l ự a m ộ t đ ề tài SKKN nh ằ m góp ph ầ n gi ả i quy ế t v ấ n đ ề vi ệ c làm phù h ợ p v i th ự c ti ễ n, th ể hi ệ n tình yêu ngh ề trách nhi ệ m c ủ a ng ườ i cán b ộ giáo viên Chính v ậ y tơi ch ọ n đ ề tài SKKN là: “ Ứ ng d ụ ng đ o hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố ” b. M ụ c đích c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m Các v ấ n đ ề đ ượ c trình bày trong đ ề tài này có th ể h ỗ tr ợ cho các em h ọ c sinh trung h ọ c ph ổ thơng có nhìn tồn di ệ n h n v ề vi ệ c s d ụ ng đ o hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố Giúp h ọ c sinh nh ậ n d ng đ ượ c ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố có th ể sử d ụ ng đ o hàm đ ể gi ả i. B i d ưỡ ng cho h ọ c sinh v ề ph ươ ng ph áp, k ỹ gi ả i tốn Qua đó h ọ c sinh nâng cao kh ả năng t duy, sáng t o. Nâng cao kh ả năng t ự h ọ c, t ự b i d ưỡ ng và kh ả năng gi ả i các bài toán trong k ỳ thi tuy ể n sinh v ào Đ i h ọ c và ơn luy ệ n HSG mơn Tốn c. Đ ố i t ượ ng và ph m vi nghiên c ứ u Đ ố i t ượ ng nghiên c ứ u: Đ ề tài nghiên c ứ u d ng toán v ề ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố Ph m vi nghiên c ứ u: Đ ề tài thu ộ c ch ươ ng trình đ i s ố gi ả i tích c ủ a trung h ọ c ph ổ thơng đ ặ c bi ệ t ph ươ ng trình và ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố d. Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u Trình bày cho h ọ c sinh nh ữ ng ki ế n th ứ c c b ả n v ề l ý thuy ế t v ề đ o hàm c ủ a hàm s ố Thông qua nh ữ ng ví d ụ c ụ th ể v i cách gi ả i đ n gi ả n, t ự nhiên nh ằ m làm cho h ọ c sinh th ấ y đ ượ c nh ữ ng th ế m nh c ủ a vi ệ c s d ụ ng ph ươ ng pháp trên. Các ví d ụ minh h ọ a trong đ ề tài này đ ượ c l ọ c t các tài li ệ u tham kh ả o và các đ ề thi đ i h ọ c các năm g ầ n đây và s ắ p x ế p t d ễ đ ế n khó. Trong các ti ế t h ọ c trên l p tôi ra cho h ọ c sinh gi ả i vi d ụ d ướ i nhi ề u ph ươ ng pháp đ ể t đó đánh giá đ ượ c tính u vi ệ t c ủ a ph ươ ng pháp trên Đ ể th ự c hi ệ n m ụ c đích nhi ệ m v ụ c ủ a đ ề tài, trình nghiên c ứ u tôi đã s d ụ ng các ph ươ ng pháp sau: Nghiên c ứ u lo i tài li ệ u s ph m, qu ả n lí có liên quan đ ế n đ ề tài Ph ươ ng pháp quan sát (công vi ệ c d y h ọ c c ủ a giáo viên và HS) Ph ươ ng pháp đi ề u tra (nghiên c ứ u ch ươ ng trình, h s chun mơn, …) Ph ươ ng pháp đàm tho i ph ỏ ng v ấ n (l ấ y ý ki ế n c ủ a giáo viên và HS thông qua trao đ ổ i tr ự c ti ế p) Ph ươ ng pháp th ự c nghi ệ m 2. N ộ i dung sáng ki ế n kinh nghi ệ m 2.1. C s lí lu ậ n c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m a. Lí lu ậ n chung: Ch ươ ng trình giáo d ụ c ph ổ thơng ph ả i phát huy tính tích c ự c, t ự giác, ch ủ đ ộ ng sáng t o c ủ a h ọ c sinh, phù h ợ p v i đ ặ c tr ng môn h ọ c, đ ặ c ể m đ ố i t ượ ng h ọ c sinh, ề u ki ệ n c ủ a t ng l p h ọ c, b i d ưỡ ng h ọ c sinh ph ươ ng pháp t ự h ọ c, kh ả năng h ợ p tác, rèn luy ệ n k ỹ năng v ậ n d ụ ng ki ế n th ứ c vào th ự c ti ễ n, tác đ ộ ng đ ế n tình c ả m, đem l i ni ề m vui, h ứ ng thú và trách nhi ệ m h ọ c t ậ p cho h ọ c sinh. b. Ki ế n th ứ c v ậ n d ụ ng: + Đ ị nh nghĩa đ o hàm, quy t ắ c tính đ o hàm, công th ứ c tính đ o hàm c ủ a hàm s ố th ườ ng g ặ p, công th ứ c tính đ o hàm c ủ a hàm h ợ p + Đ ể gi ả i ph ươ ng trình có ch ứ a tham s ố b ằ ng ph ươ ng pháp đ o hàm ta c ầ n n ắ m c ầ n n ắ m v ữ ng các m ệ nh đ ề (MĐ) sau: Cho hàm s ố y = f ( x) liên t ụ c trên t ậ p D MĐ1: S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình f(x) = g(x) b ằ ng s ố giao ể m c ủ a hai đ th ị hàm s ố y = f(x) và y = g(x) MĐ2: Ph ươ ng trình f ( x) = m có nghi ệ m x D � f ( x ) m max f ( x ) x D x D MĐ3: Cho hàm s ố y = f ( x) đ n đi ệ u trên t ậ p D. Khi đó f ( u ) = f ( v ) � u = v (v i m ọ i u , v D ) 2.2. Th ự c tr ng v ấ n đ ề tr ướ c khi áp d ụ ng sáng ki ế n kinh nghi ệ m Qua th ự c ti ễ n h ọ c t ậ p gi ả ng d y, b ả n thân nh ậ n th ấ y ứ ng d ụ ng c ủ a đ o hàm gi ả i toán c ấ p THPT r ấ t đa d ng, đ ặ c bi ệ t gi ả i ph ươ ng trình ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố Nh ng h ọ c sinh th ườ ng không m nh d n, t ự tin s d ụ ng công c ụ r ấ t m nh này (hay nói cách khác là ch a có k ỹ năng s d ụ ng) trong gi ả i tốn vì: Đ o hàm là ph ầ n ki ế n th ứ c m i v i h ọ c sinh, g ắ n li ề n v i to án h ọ c hi ệ n đ i, h ọ c sinh b ắ t đ ầ u đ ượ c làm quen cu ố i ch ươ ng trình l p 11. Trong t c ấ p THCS đ ế n c ấ p THPT h ọ c sinh đ ượ c ti ế p xúc v i r ấ t nhi ề u bài tốn v ề gi ả i ph ươ ng trình (có tham s ố và khơng có tham s ố ) quen s d ụ ng ph ươ ng pháp gi ả i toán đ i s ố kinh đi ể n đ ể gi ả i Tài li ệ u vi ế t v ề ứ ng d ụ ng c ủ a đ o hàm gi ả i tốn ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố không nhi ề u, h ọ c sinh không nh ậ n di ệ n đ ượ c các d ng toán và ch a đ ượ c h ướ ng d ẫ n m ộ t cách h ệ th ố ng ph ươ ng pháp đ ể gi ả i quy ế t bài toán tr ọ n v ẹ n S ố l ượ ng các bài toán nêu trên xu ấ t hi ệ n ngày càng nhi ề u trong các đ ề thi ể n sinh vào Đ i h ọ c, Cao đ ẳ ng, k ỳ thi HSG c ấ p t ỉ nh nh ữ ng năm g ầ n đây và ph ươ ng pháp s d ụ ng đ ể gi ả i ch ủ y ế u là s d ụ ng đ o hàm 2.3. Gi ả i pháp và t ổ ch ứ c th ự c hi ệ n Trong th ự c ti ễ n gi ả ng d y cho h ọ c sinh, t ác gi ả giúp h ọ c sinh nh ậ n d ng bài toán và ph ươ ng pháp gi ả i các d ng toán theo h ệ th ố ng bài t ậ p đ ượ c s ắ p x ế p theo m ộ t trình t ự logic Ph ươ ng pháp gi ả i D ng 1: Gi ả i ph ươ ng trình khơng ch ứ a tham s ố T các tính ch ấ t trên ta có 3 ph ươ ng pháp bi ế n đ ổ i nh sau: Ph ươ ng pháp 1 : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ng: f(x) = k, nh ẩ m m ộ t nghi ệ m r i ch ứ ng minh f(x) đ ng bi ế n (ngh ị ch bi ế n) đ ể suy ra ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t Ph ươ ng pháp : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ng: f(x) = g(x), nh ẩ m m ộ t nghi ệ m r i dùng l ậ p lu ậ n kh ẳ ng đ ị nh f(x) đ ng bi ế n g(x) ngh ị ch bi ế n ho ặ c hàm h ằ ng suy ra ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t Ph ươ ng pháp : Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ng: f(u) = f(v) ch ứ ng minh f đ n đi ệ u khi đó ta có: u = v. Đ ố i v i b ấ t ph ươ ng trình bi ế n đ ổ i v ề d ng f (u ) < f ( v ) r i ch ứ ng minh f đ n đi ệ u đ ể k ế t lu ậ n. D ng 2: Gi ả i ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố D ng tốn th ườ ng g ặ p là tìm giá tr ị tham s ố m đ ể ph ươ ng trình có nghi ệ m (ho ặ c có nghi ệ m thõa mãn ề u ki ệ n đó) V i d ng tốn này ta có th ể th ự c hi ệ n theo các b ướ c nh sau: B ướ c 1: Bi ế n đ ổ i ph ươ ng trình v ề d ng: f ( x ) = g ( m ) B ướ c 2: Tìm t ậ p xác đ ị nh D c ủ a hàm s ố f ( x ) B ướ c 3: Tính f ' ( x ) B ướ c 4: L ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố f ( x ) B ướ c 5: Xác đ ị nh f ( x ) và max f ( x ) x D x D T v ậ n d ụ ng m ộ t m ệ nh đ ề nêu ph ầ n ki ế n th ứ c bên trên rút ra k ế t lu ậ n cho bài toán L u ý: Tr ườ ng h ợ p các ph ươ ng trình ch ứ a các bi ể u th ứ c ph ứ c t p, ta có th ể xem xét đ ặ t ẩ n ph ụ đ ể đ n gi ả n chúng. N ế u đ ượ c ta làm nh ư sau: + Đ ặ t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x) là m ộ t bi ể u th ứ c trong ph ươ ng tr ình ) + T đi ề u ki ệ n ràng bu ộ c c ủ a ẩ n s ố x D , tìm đi ề u ki ệ n c ủ a ẩ n s ố t, ví d ụ t K (chú ý là ph ả i tìm đ ượ c đi ề u ki ệ n ch ặ t c ủ a t) + Đ a ph ươ ng trình ẩ n s ố x v ề ph ươ ng trình ẩ n s ố t ta đ ượ c f ( t ) = h( m) + L ậ p b ả ng bi ế n thiên c ủ a hàm s ố f ( t ) trên t ậ p K + T b ả ng bi ế n thiên rút ra k ế t lu ậ n bài tốn Các ví d ụ minh h ọ a D ng 1: Gi ả i ph ươ ng trình khơng ch ứ a tham s ố Ví d ụ 1 : Gi ả i ph ươ ng trình: x − + x − = (1) Nh ậ n xét: Quan sát v ế trái c ủ a ph ươ ng trình (1), ta th ấ y khi x tăng thì giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c trong căn cũng tăng.T đó suy ra v ế trái là hàm đ ng bi ế n,v ế ph ả i b ằ ng 1 là hàm h ằ ng, đây là đi ề u ki ệ n thích h ợ p đ ể s d ụ ng tính đ n đi ệ u H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: x Đ ặ t f ( x ) = Ta có: Ta có 4x − + 4x2 − 1 f ( ) = � x = là 1 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình 2 4x �1 � f ' ( x) = + > 0, ∀x �� ; +�� 4x −1 �2 � 4x −1 Do hàm s ố f ( x ) = x − + x − đ ng bi ế n � � ; + , nên ph ươ ng � � trình f ( x ) = nên n ế u có nghi ệ m thì đó là nghi ệ m duy nh ấ t. V ậ y x = là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng tr ình đã cho �π π � + cosx =2 v� � ix � - ; � �2 � (HSG L p 12 Nam Đ ị nh 2006) H ướ ng d ẫ n gi ả i �π π � tg2x + cosx v� � ix � - ; � Xét hàm s ố : f (x ) = e , ta có �2 � Ví d ụ 2 : Gi ả i ph ươ ng trình: e tg2x �2etg2x − cos3x � tg2x � f '(x ) = 2tgx e − sin x = sin x � � cos3x � cos x � � Vì 2etg2x > cos3x > Nên d ấ u c ủ a f’(x) chính là d ấ u c ủ a sinx. T đây ta có f (x ) V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m duy nh ấ t x = 0 f (0) = Ví d ụ 3 : Gi ả i ph ươ ng trình: x3 − 3x + x − sin x = H ướ ng d ẫn gi ải Đ ặ t f ( x) = x3 − 3x + x − sin x Ta có: f (0) = � x = là 1 nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình L i có: f ' ( x) = x − x + − 2cos x = ( x − x + 1) + ( − cos2 x ) = ( x − 1) + 4sin x > , x Nên f(x) luôn đ ng bi ế n v i m ọ i x Do v ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t x = 0 Ví d ụ 4 : Gi ả i ph ươ ng trình x ( x + 3) + ( 3x − ) − 3x = H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: x x ( x + 3) = ( − x ) − x � x ( x + 3) = − x � ( − x ) + 3� Ph ươ ng trình � � Xét hàm s ố f t t t t 3t v i t Ta có f ( t ) = 3t + > 0, ∀t R Nên f(t) đ ng bi ế n trên R Do đó f ( x ) = f ( − 3x ) � x = x − x ��� �2 x = − 3x x �x = x = −4 x =1 V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m là : x = 1 Ví d ụ 5: G i ả i ph ươ ng trình : x(2 + x + 3) + (4 x + 2)( + x + x + 1) = (Olympic 304 ĐBSCL 2000) H ướ ng d ẫn gi ải Ta th ấ y ph ươ ng trình ch ỉ có nghi ệ m trong (− ;0) Ph ươ ng trình � ( −3x ) (2 + (−3x )2 + 3) = (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + 3) * Đ ặ t u = 3x, v = 2x + 1; u,v > 0. Ph ươ ng trình * � u (2 + u + 3) = v(2 + v + 3) (1) Xét hàm s ố f (t ) = 2t + t + 3t v i t>0 Ta có f '(t ) = + 2t + 3t t + 3t Ph ươ ng trình (1) > 0 ∀t > � f (u ) = f (v) � u = v u = v 3x = 2x +1 � x = − V ậ y x = − là nghi ệ m duy nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình Ví d ụ 6 : Gi ả i ph ươ ng trình : −2 x − x + x −1 = ( x − 1) (1) H ướ ng d ẫ n gi ả i Ph ươ ng trình ( 1) � −2 x − x + x −1 = x − x + � x −1 + x − = x − x + x − x Xét hàm s ố f ( t ) = 2t + t Ta có f ( t ) = + 2t ln > 0, ∀t R nên hàm s ố f ( t ) = 2t + t đ ng bi ế n trên R Do đó f ( x − 1) = f ( x − x ) � x − = x − x � x = V ậ y ph ươ ng trình đã cho có nghi ệ m là : x = 1 2 2 Nh ậ n xét : Ở ví d ụ đ ế n ví d ụ đ ề u s d ụ ng tính ch ấ t: N ế u hai v ế c ủ a ph ươ ng trình đ n ệ u ng ượ c chi ề u (v ế đ ng bi ế n, v ế ngh ị ch bi ế n t ậ p K) ho ặ c m ộ t v ế đ n ệ u, v ế h ằ ng s ố ph ươ ng trình có t ố i đa m ộ t nghi ệ m nên n ế u nh ẩ m đ ượ c m ộ t nghi ệ m thì đó là nghi ệ m duy nh ấ t Ví d ụ 7 : Gi ả i ph ươ ng trình : log x2 + x + = x − 3x + 2x2 − 2x + H ướ ng d ẫ n gi ả i Đ ặ t u = x + x + 1; v = x − x + ( u > 0; v > ) � v − u = x − 3x + Khi đó ph ươ ng u v trình đã cho tr thành log = v − u � u + log3 u = v + log v (1) Xét hàm s ố f ( t ) = t + log3 t Ta có f ( t ) = + >0 > 0, ∀t > nên hàm s ố f ( t ) = t + log t đ ng bi ế n t t ln Do đó t (1) ta có f ( u ) = f ( v ) � u = v � v − u = � x − 3x + = � x =1 x=2 V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đã cho là x = 1; x = Ví d ụ 8 : Gi ả i ph ươ ng trình : x3 − x + x3 − 3x + = 3x + + x + (1) H ướ ng d ẫ n gi ả i Bi ế n đ ổ i (1) � x3 − 3x + + x3 − 3x + = x + + x + (*) Xét hàm s ố f ( t ) = t + t 10 Ta có f ( t ) = + 33 t2 R \ { 0} Do đó hàm s ố đ ng bi ế n > 0, ∀t T (*) � f ( x3 − 3x + 1) = f ( x + ) � x − 3x + = x + � x3 − x − 3x − = � ( x + 1) ( x − x − 1) = � x=− x= V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình đã cho là x = − ; x = Ví d ụ 9 : Gi ả i ph ươ ng trình : 2003x + 2005x = 4006x + (HSG Ngh ệ An 2005) H ướ ng d ẫ n gi ả i x x Xét hàm s ố : f (x ) = 2003 + 2005 − 4006x − Ta có: f '(x ) = 2003x ln2003+ 2005x ln2005 − 4006 f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > ∀x � f "(x ) = vo� nghie� m nhie� u nha� t la� mo� t nghie� m f'(x) =0 co� f(x) =0 co� nhie� u nha� t la� hai nghie� m Mà ta th ấ y f(1) = f(0) = 0 n ên pt đã cho có hai nghi ệ m x = 0 và x = 1 Nh ậ n xét: N ế u f x nghi ệ m có n nghi ệ m f ' x có khơng q n D ng 2: Gi ả i ph ươ ng trình ch ứ a tham s ố Ví d ụ 1. ( ĐH kh ố i A – 2007) Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c : x − + m x + = x − H ướ ng d ẫ n gi ả i Đi ề u ki ệ n: x Ph ươ ng trình đã cho � −3 Đ ặ t t = x −1 x −1 + 24 = m ( 1 ) x +1 x +1 x −1 Khi đó ph ươ ng trình ( 1 ) tr thành : −3t + 2t = m x +1 11 x −1 = 1− x +1 x +1 x −1 Xét hàm s ố t ( x ) = trên đo n [ 1; + x +1 Vì t = − ) �x − �4 Ta có : t ( x ) = � > 0, ∀x � ( x + 1) �x + � ' M ặ t khác lim t = lim x + x t ( 1) = + x −1 =1 x +1 0> t Bài toán đã cho tr thành: f (t ) = −3t + 2t = m Tìm m đ ể h ệ có nghi ệ m t x < � g ( x) > � y ' < Vì v ậ y ta có b ả ng bi ế n thiên sau x y’ y 0 3 + 0 + + + 15 S ố nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình cho b ằ ng s ố giao ể m c ủ a đ th ị hàm s ố y = f(x) và đ ườ ng th ẳ ng y = m. D ự a vào b ả ng bi ế n thiên ta có 15 y ph ươ ng trình có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t m > m > ( 0; + ) 2 Ví d ụ 7: Cho ph ươ ng trình log x + log x − = m ( log x − 3) (1) Tìm m đ ể ph ươ ng trình có nghi ệ m x �[ 32; +�) H ướ ng d ẫ n gi ả i log x , suy ra log x − nên m T đi ề u ki ệ n: x �[ 32; +�) Ph ươ ng trình (1) � log 22 x − 2log x − = m ( log x − 3) � log 22 x − 2log x − = m ( log x − 3) (2) 16 Đ ặ t t = log x, ( t ) Ph ươ ng trình (2) tr thành t − 2t − = m ( t − 3) � m = Xét hàm s ố f ( t ) = f '( t ) = −4 ( t − 3) t +1 (v i t ). t −3 t +1 (3) t −3 < 0, ∀t Ta có b ả ng bi ế n thiên t f '( t ) f ( t) 5 + − 3 1 Phu ng trình (1) có nghi ệ m x �[ 32; +�) khi và ch ỉ khi phu ng trình (3) có nghi ệ m t đi ề u này x ả y ra khi < m K ế t h ợ p v i m , ta đ ượ c < m Ví d ụ 8 : Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m duy nh ấ t −1 � � − x − x3 + x + = m (1) trên � ;1� �2 � H ướ ng d ẫ n gi ả i −1 �2 � � � Xét hàm s ố f ( x ) = − x − x3 + x + trên � ;1� ' Ta có f ( x) = −3 x − x2 − � = −x� + 2 x + 2x + � 1− x 3x2 + x � � x3 + x + � 3x + −1 �2 � � � Xét hàm s ố g ( x ) = x3 + x + trên � ;1�. Ta có g ( x ) = 3x + x = � x = Ta có b ả ng bi ế n thiên x − 0 1 17 ' g ( x) + 0 − g ( x) 4 11 1 �2 � � � − ;1� D ự a vào b ả ng bi ế n thiên ta th ấ y g ( x) �1, ∀x �� �1 � − ;1� ta có 3(−+ � và ∀x �� ) +4�3+x+ � 3.1 �2 � 3x + �1 � + > 0, ∀x �� − ;1 Suy ra �2 � � − x2 x3 + x + Do đó f ( x ) = � x = B ả ng bi ế n thiên: x − 3x 2 0 1 ' f ( x) + 0 f ( x) 1 3 − 22 −4 Ph ươ ng trình (1) là ph ươ ng trình hồnh đ ộ giao đi ể m c ủ a d : y = m và (C ) : f ( x ) = − x − x3 + x + Ph ươ ng trình có nghi ệ m duy nh ấ t khi −4 m < 3 − 22 ho ặ c m = 1 Nh ậ n xét : Đây là bài tốn mà ta khơng đ ặ t đ ượ c ẩ n ph ụ , n ế u dùng phép bi ế n đ ổ i m ấ t căn thì d ẫ n đ ế n m ộ t ph ươ ng trình ph ứ c t p. Cách gi ả i đ a v ề dùng b ả ng bi ế n thiên r ấ t đ n gi ả n Đó u ể m c ủ a cách gi ả i trên Bài t ậ p 1. Gi ả i ph ươ ng trình : 3x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = 18 ( ĐS: x = − ) 2. Gi ả i ph ươ ng trình x + − x + = x − x + 1 ( ĐS: x = − ; x = ) 3. Gi ả i ph ươ ng trình : x3 − + x − + x = ( ĐS: x = ) 4. Gi ả i ph ươ ng trình x + 15 = x − + x + ( ĐS: x = ) 5. Gi ả i ph ươ ng trình : ( 8x + ) x + ( x − ) − x = ( ĐS: x = ) 6. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m x (4 x)(2 x 2) m 4 x x ( ĐS: m ) 7. Tìm m đ ể ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t: x 24 x x m x ( ĐS: 2( + 6) m < + ) π π � � − ; � 8. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m trên đo n � � 2� 2 sin 2x m(1 cos x ) ( ĐS: m ) 9. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m: 2sin x + 3cos x = m3sin x ( ĐS: m ) 10 Tìm giá tr ị c ủ a tham s ố m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c phân bi ệ t : x + + − x + ( x + 1)(8 − x) = m 2 ( ĐS: m < + ) 11. Tìm m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m th ự c x2 x ( m 1)( x ( ĐS : m x) m ; −6 + 16 12. Tìm các giá tr ị c ủ a tham s ố m đ ể ph ươ ng trình sau có nghi ệ m x + − x = − x + x + m ( ĐS : − m 10 ) 19 13. Tìm m đ ể ph ươ ng trình : − x + x + = mx có nghi ệ m � � � ( ĐS : m �( −�; −1] � ; +� ) � 2.4. Hi ệ u qu ả c ủ a đ ề tài Sau khi các bài toán này đ ượ c th ự c hành trên l p và ki ể m tra, đa s ố h ọ c sinh ti ế p thu và v ậ n d ụ ng t ố t Năm h ọ c 2011 – 2012 r ấ t nhi ề u h ọ c sinh l p 12C8 đ t đi ể m Tốn t 7,25 tr lên trong các kì thi đ i h ọ c, cao đ ẳ ng Năm h ọ c 2013 – 2014 s ố h ọ c sinh đ t đi ể m 8,0 càng nhi ề u trong mơn Tốn trong kì thi đ i h ọ c, cao đ ẳ ng Năm h ọ c 2014 – 2015 có 9 em h ọ c sinh l p 12C3 em đ t đi ể m cao t 8,25 tr lên trong kì thi đ i h ọ c, cao đ ẳ ng 3. K ế t lu ậ n, ki ế n ngh ị + K ế t lu ậ n Qua th i gian vi ế t SKKN và v ậ n d ụ ng chuyên đ ề này vào gi ả ng d y, tôi nh ậ n th ấ y vi ệ c làm này đã thu đ ượ c k ế t qu ả đáng k ể t phía các em h ọ c sinh. Đây th ự c s ự là m ộ t cơng c ụ h ữ u hi ệ u, giúp h ọ c sinh gi ả i quy ế t bài tốn nhanh, g ọ n và chính xác. Đ ng th i các em đã có đ ượ c cái nhìn t ổ ng th ể v ề cách gi ả i quy ế t bài toán này. Đi ề u này ph ầ n nào t o cho các em h ọ c sinh có đ ượ c tâm th ế t ố t khi s ắ p b ướ c vào các k ỳ thi quan tr ọ ng Qua vi ệ c ứ ng d ụ ng đ ề tài này vào gi ả ng d y cho h ọ c sinh, t ôi nh ậ n th ấ y đây là m ộ t chuyên đ ề có th ể ti ế p t ụ c áp d ụ ng cho các năm ti ế p theo, đ ặ c bi ệ t r ấ t phù h ợ p v i đ ố i t ượ ng là h ọ c sinh khá, gi ỏ i. T ấ t nhiên là ph ả i ti ế p t ụ c hoàn thi ệ n đ ề tài này h n n ữ a.Bài h ọ c kinh nghi ệ m đ ượ c rút ra t q trình áp d ụ ng SKKN c ủ a tơi là: Ph ả i th ườ ng xuyên h ọ c h ỏ i trau r i chun mơn đ ể tìm ra ph ươ ng pháp d y h ọ c phù h ợ p +Ki ế n ngh ị Ng ườ i Th ầ y ph ả i nhi ệ t tình, g ươ ng m ẫ u, làm cho em th ấ y đ ượ c tinh th ầ n nghiêm túc hăng say nghiên c ứ u khoa h ọ c c ủ a mình, có v ậ y h ọ c sinh m i noi g ươ ng Th ầ y quy ế t t âm và ham mê h ọ c t ậ p, t đó đ ể các em khơng c ả m th ấ y áp l ự c trong h ọ c t ậ p Ti ế p theo là, th ườ ng xun t o ra tình hu ố ng có v ấ n đ ề , kích thích s ự tìm tịi h ọ c t ậ p h ọ c sinh 20 Đ ố i v i tr ườ ng THPT Nguy ễ n Quán Nho c ầ n quan tâm h n n ữ a trong vi ệ c phát hi ệ n và đào t o h ọ c sinh khá gi ỏ i cũng nh ôn luy ệ n hoc sinh thi THPTQG đ ể đ ề tài phát huy h n n ữ a tính t ự h ọ c c ủ a HS, tính t ự b i d ưỡ ng c ủ a giáo viên Đ ố i S GD ĐT c ầ n chú tr ọ ng h n n ữ a trong công tác ki ể m tra và đánh giá ch ấ t l ượ ng giáo d ụ c, đ ổ i m i khâu ra đ ề thi ch ọ n HSG t ỉ nh, thi ch ọ n đ ộ i tuy ể n d ự thi HSG QG đ ể đ ề tài có ý nghĩa h n Đ ố i v i B ộ giáo d ụ c và đào t o, đ ổ i m i khâu ra đ ề thi THPTQG và thi HSG qu ố c gia nh ấ t là các câu phân lu ng Trong quá trình th ự c hi ệ n đ ề tài, tơi đã nh ậ n đ ượ c nh ữ ng góp ý q báu c ủ a các đ ng nghi ệ p, song do th i gian nghi ên c ứ u và ứ ng d ụ ng ch a dài, nên đ ề tài c ủ a tơi khơng tránh kh ỏ i cịn nhi ề u h n ch ế R ấ t mong ti ế p t ụ c nh ậ n đ ượ c s ự đóng góp khác t phía đ ng nghi ệ p đ ể tơi có th ể hồn thi ệ n h n đ ề tài c ủ a mình. Xin chân thành c ả m n ! XÁC NH Ậ N C Ủ A TH Ủ TR ƯỞ NG Đ Ơ N V Ị Thanh Hóa, ngày 13 tháng 5 năm 2016 Tơi xin cam đoan đây là SKKN c ủ a mình vi ế t, khơng sao chép n ộ i dung c ủ a ng ườ i khác Nguy ễ n Th ị Lan T ÀI LI Ệ U THAM KH Ả O 1. Gi ả i tích 12 nâng cao, NXB giáo d ụ c năm 2008. Nhóm tác gi ả Đồn Qu ỳ nh, Nguy ễ n Huy Đoan, Tr ầ n ph ươ ng Dung, Nguy ễ n Xu ân Liêm, Đ ặ ng Hùng Th ắ ng 21 2. Gi ả i tích 12 c b ả n NXB giáo d ụ c. Nhóm tác gi ả Tr ầ n Văn H o, Vũ Tu ấ n, Lê Th ị Thiên H ươ ng, Nguy ễ n Ti ế n Tài, C ấ n Văn Tu ấ t 3. Gi i thi ệ u đ ề thi tuy ể n sinh vào đ i h ọ c, t năm h ọ c 19971998 đ ế n năm h ọ c 20042005. NXB Đ i h ọ c Qu ố c gia HN c ủ a tác gi ả Doãn Minh C ườ ng 4. Gi i thi ệ u đ ề thi tuy ể n sinh vào đ i h ọ c – cao đ ẳ ng toàn qu ố c, t năm h ọ c 20022003 đ ế n năm h ọ c 20092010. NXB Hà N ộ i c ủ a nhóm tác gi ả Tr ầ n Tu ấ n Đi ệ p, Ngơ Long H ậ u, Nguy ễ n Phú Tr ườ ng 5. Các bài toán v ề giá tr ị l n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t Tác gi ả : Nguy ế n Thái Hịe XB năm 2006 6. T p chí tốn h ọ c và tu ổ i tr ẻ , NXB Giáo d ụ c. c ủ a B ộ giáo d ụ c đào t o H ộ i toán h ọ c Vi ệ t Nam (1996 2007) 7. Chun đ ề các ph ươ ng pháp gi ả i ph ươ ng trình mũ, lơgarit và các lo i h ệ ph ươ ng trình đ i s ố Nxb c ủ a Hu ỳ nh Công Thái 22 ... t ph ươ ng? ?trình? ?và? ?ph ươ ng? ?trình? ?ch ứ a tham? ?s ố d. Ph ươ ng pháp nghiên c ứ u Trình? ?bày cho h ọ c sinh nh ữ ng ki ế n th ứ c c b ả n v ề l ý thuy ế t v ề đ o hàm c ủ a hàm s ố... đ o hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng trình, ph ươ ng trình ch ứ a tham? ?s ố Giúp h ọ c sinh nh ậ n d ng đ ượ c ph ươ ng trình, ph ươ ng trình? ?... ng d ụ ng đ o? ?hàm đ ể gi ả i m ộ t s ố ph ươ ng? ?trình? ?và? ?ph ươ ng? ?trình ch ứ a? ?tham? ?s ố ” b. M ụ c đích c ủ a sáng ki ế n kinh nghi ệ m Các v ấ n đ ề đ ượ c? ?trình? ?bày trong