Chuỗi fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi fourier

Mục lục MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Chuỗi số thực 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Phần dư chuỗi số 1.1.3 Tính chất 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ 1.1.5 Chuỗi số dương 1.1.6 Chuỗi đan dấu 10 1.1.7 Chuỗi số 11 Chuỗi hàm số 13 1.2.1 Dãy hàm số 13 1.2.2 Chuỗi hàm số 16 CHUỖI FOURIER 2.1 18 Chuỗi lượng giác 18 2.1.1 Định nghĩa 18 2.1.2 Định lý 18 2.1.3 Định lý 19 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi 2.2 2.3 2.1.4 Định lý 19 2.1.5 Định lý 20 2.1.6 Bổ đề 20 Chuỗi Fourier 21 2.2.1 Định nghĩa 21 2.2.2 Định nghĩa 21 2.2.3 Định lý 23 2.2.4 Bổ đề (Riman) 24 2.2.5 Định lý 26 2.2.6 Công thức Dirichlet 26 2.2.7 27 2.2.8 Phương pháp trung bình cộng chuỗi Fourier 28 2.2.9 Tính chất đầy đủ hệ đa thức 31 2.2.10 Tính chất hệ số Fourier 34 2.2.11 Đạo hàm, tích phân tính hội tụ chuỗi Fourier 36 2.2.12 Định lý (Đini) 40 2.2.13 Dạng phức chuỗi Fourier 41 Khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier 42 2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier hàm số 42 2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát 43 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 53 3.1 Bài toán 53 3.2 Bài toán 54 3.3 Bài toán 55 3.4 Bài toán 57 3.5 Bài toán 58 3.6 Bài toán 59 3.7 Bài toán 60 3.8 Bài toán 61 3.9 Bài toán 62 3.10 Bài tập tự giải 63 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi PHẦN MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích ngành quan trọng toán học mang nhiều ứng dụng thực tế sống Trong sống gặp nhiều tượng có tính chất quay vịng, chu kì Tốn học gọi vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn Một loại hàm tuần hoàn thường xét hàm số y = Asin(ωx + α) Việc trực tiếp xét tượng nêu tương đối khó Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, nhà toán học nghĩ cách biểu diễn chúng qua hàm số lượng giác cos nπx nπx sin n n Từ xuất khái niệm chuỗi Fourier hàm số khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Để làm sáng tỏ ứng dụng chuỗi Fourier để làm quen nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài "Chuỗi Fourier khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier" làm khóa luận tốt nghiệp hướng dẫn Th.S Phạm Thị Thái MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu - Trình bày số ứng dụng chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier - Rèn luyện khả nghiên cứu khoa học thân - Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên ngành Toán trường Đại Học Tây Bắc tất u thích quan tâm đến mơn giải tích 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu chuỗi Fourier, tính hội tụ chuỗi, tính chất hệ số Fourier - Nghiên cứu điều kiện để khai triển hàm số thành chuỗi Fourier - Hệ thống hóa số kiến thức chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Nghiên cứu sâu chuỗi Fourier, từ làm sở hình thành nên số khái niệm tính chất giải tích PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong khn khổ khóa luận nghiên cứu chuỗi Fourier cách khai triển số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Vấn đề nghiên cứu khóa luận vấn đề cịn mẻ so với sinh viên bậc đại học Vì phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Sưu tầm, đọc nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức - Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua tổng hợp kiến thức trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực kế hoạch hồn thành khóa luận NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA KHĨA LUẬN Khóa luận trình bày hệ thống kiến thức: từ kiến thức sở đến mở rộng chuỗi chuyên sâu mơn giải tích, cụ thể chuỗi Fourier Hơn nữa, khóa luận tổng hợp nghiên cứu số tính chất chuỗi Fourier khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier CẤU TRÚC CỦA KHĨA LUẬN Khóa luận chia thành chương với nội dung sau đây: Chương Trình bày, hệ thống hóa số kiến thức như: Chuỗi số, chuỗi hàm số, chuỗi lượng giác làm sở cho chương sau Các nội dung kiến thức phát biểu mà không chứng minh Chương 2: Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa chuỗi Fourier Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân chuỗi Fourier nghiên cứu số điều kiện để khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Trên sở đó, chương cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier, khai triển Fourier tổng quát hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển hàm xác định đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ hàm Dựa vào để tính tổng chuỗi Fourier Chương 3: Chương trình bày số tốn có lời giải khai triển số hàm số thành chuỗi Fourier Trong chương đưa số tập đề nghị Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Chuỗi số thực Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Giả sử {un }+∞ n=1 dãy số thực Ta gọi +∞ u1 + u2 + + un + = un (1.1) n=1 chuỗi số thực (chuỗi số) n uk tổng riêng thứ n chuỗi số (1.1) Nếu Định nghĩa 1.2 Ta gọi Sn = k=1 lim Sn = S ∈ R (1.2) n→+∞ +∞ ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S viết S = un n=1 Trường hợp ngược lại, không tồn lim Sn lim Sn = ±∞ chuỗi số (1.1) n→+∞ n→+∞ gọi chuỗi phân kì +∞ Ví dụ 1.3 (i) Chuỗi số hội tụ có tổng tổng riêng thứ n chuỗi n n=1 Sn = Do lim Sn = lim (1 − n→∞ n→+∞ 1 1 + + + n = − n 2 ) = 2n Ket-noi.com kho tai lieu mien phi +∞ n phân kì tổng riêng thứ n chuỗi (ii) Chuỗi n=1 Sn = + + + n = n(n + 1) n(n + 1) = +∞ n→+∞ Do lim Sn = lim n→+∞ 1.1.2 Phần dư chuỗi số Giả sử chuỗi số (1.1) hội tụ S tổng Khi ta gọi Rn = S − Sn (1.3) phần dư thứ n chuỗi số (1.1) Chú ý: Nếu chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng S lim Rn = lim (S − Sn ) = n→+∞ 1.1.3 n→+∞ Tính chất +∞ +∞ un chuỗi số Tính chất 1.4 Giả sử chuỗi số n=1 hội tụ có tổng tương ứng I n=1 J Khi đó: +∞ (un ± ) hội tụ có tổng tương ứng I ± J (i) Chuỗi số n=1 +∞ (ii) Nếu k ∈ R số chuỗi số kun hội tụ có tổng kI n=1 Tính chất 1.5 Trong chuỗi, ta thêm vào bớt số hữu hạn số hạng mà không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kì 1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy) +∞ un hội tụ với số ε > bất kì, tồn số nguyên dương N Chuỗi số n=1 cho: ∀n, p ∈ N∗ , n ≥ N ⇒ |un+1 + un+2 + + un+p | < ε +∞ un hội tụ lim un = Tính chất 1.7 Điều kiện cần để chuỗi n=1 n→+∞ +∞ n un hội tụ có tổng S Sn = Chứng minh Giả sử chuỗi số n=1 uk tổng riêng thứ k=1 n chuỗi Khi lim Sn = S un = Sn − Sn−1 n→+∞ Do lim un = lim (Sn − Sn−1 ) = S − S = 0(đpcm) n→+∞ n→+∞ +∞ Nhận xét 1.8 Nếu lim un = không tồn lim un chuỗi số n→+∞ n→+∞ un phân n=1 kì Tuy nhiên, tính chất 1.7 điều kiện cần nên chuỗi số thỏa mãn điều kiện lim un = chưa kết luận chuỗi hội tụ hay phân kỳ n→+∞ +∞ Ví dụ: Chuỗi số q n (q số) gọi chuỗi số nhân Chuỗi hội tụ n=1 |q| < 1, phân kỳ |q| ≥ 1.1.5 Chuỗi số dương +∞ un có số hạng un ≥ với n gọi chuỗi số Định nghĩa 1.9 Chuỗi số n=1 dương +∞ Chú ý: Chuỗi số (s số) gọi chuỗi Riemann Chuỗi hội tụ s n=1 n s > phân kỳ s ≤ Trong trường hợp s = ta chuỗi +∞ n=1 1 = + + + + n n chuỗi phân kì Chuỗi số cịn gọi chuỗi điều hòa Các dấu hiệu hội tụ: +∞ un hội tụ dãy tổng riêng bị chặn Định lý 1.10 Chuỗi số dương n=1 Định lý 1.11 (Dấu hiệu so sánh 1.) +∞ +∞ un ≤ kể từ số trở un Giả sử hai chuỗi số dương n=1 n=1 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Khi +∞ +∞ hội tụ chuỗi số (i) Nếu chuỗi số n=1 +∞ un n=1 +∞ un phân kỳ chuỗi số (ii) Nếu chuỗi số hội tụ phân kỳ n=1 n=1 Định lý 1.12 (Dấu hiệu so sánh 2.) +∞ +∞ un Giả sử hai chuỗi số dương n=1 un = k (0 = k ∈ R) Khi hai chuỗi n→+∞ vn có lim n=1 số hội tụ phân kỳ Định lý 1.13 (Dấu hiệu tích phân Cauchy.) Giả sử f hàm số liên tục khoảng [1; +∞) , f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [1; +∞) f giảm với x đủ lớn Đặt u1 = f (1), u2 = f (2), , un = f (n), +∞ un hội tụ Khi chuỗi số n=1 y lim f (x)dx y→+∞ hữu hạn 1.1.6 Chuỗi đan dấu Định nghĩa 1.14 Chuỗi số có dạng +∞ (−1)n−1 un = u1 − u2 + u3 − (1.4) (−1)n un = −u1 + u2 − u3 + (1.5) n=1 +∞ n=1 với un ≥ 0, ∀n ∈ N∗ gọi chuỗi số đan dấu Sau định lí thường hay sử dụng chuỗi số đan dấu: 10 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi với f (x + 0) + f (x − 0) , f (−l + 0) + f (l + 0) S(x) = , ∀x ∈ (−l; l) S(x) = ∀x = ±l Nếu hàm cho (0; l), theo ta khai triển chẵn hàm f (x) (0; l) dạng: a0 f (x) ∼ l +∞ kπ x, ak = ak cos l l k=1 f (x) cos kπ xdx l (2.18) khai triển lẻ hàm f (x) (0; l) dạng: l +∞ kπ f (x) ∼ x, bk = bk sin l l k=1 f (x) sin kπ xdx l (2.19) Khai triển (2.16), (2.18), (2.19) gặp nhiều lĩnh vực đạo hàm riêng(chẳng hạn khảo sát dao động dây đàn có độ dài l) 52 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH CHUỖI FOURIER 3.1 Bài toán Khai triển chuỗi Fourier hàm f (x) = x khoảng (−π; π) Bài giải Theo giả thiết ta có f (x) xác định, liên tục khoảng (−π; π), tồn đạo hàm liên tục điểm khoảng, cịn hai điểm mút x = ±π có đạo hàm phía suy rộng Để khai triển, ta phải thác triển giải tích ham f (x), mở rộng thành hàm phụ f ∗ (x) có miền xác định mở toàn trục số R, với chu kỳ T = 2π xét khoảng (−π; π) hàm f ∗ trùng với hàm f cho Cụ thể là:      x − k2π π + k2π < x < pi + k2π ∗ f (x) =     0 x = π + k2π, k ∈ Z 53 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Khi đó, f ∗ (x) hàm lẻ Hàm thỏa mãn định lý Đini, khai triển thành chuỗi Fourier: +∞ ∗ f (x) = f (x) = bn sin nx ∀x ∈ (−π; π) n=1 Trong đó, bn tính theo công thức: π π f (x) sin nxdx = π bn = π ∗ x sin nxdx = (−1)n+1 , n ∈ N∗ n (−1)n+1 Vậy f (x) = sin nx ∀x ∈ (−π; π) n n=1 +∞ 3.2 Bài toán Khai triển hàm f (x) = x2 thành chuỗi Fourier: a Theo cosin cung bội b Sử dụng khai triển để tính tổng chuỗi: +∞ n=1 , n2 +∞ n=1 (−1)n+1 , n +∞ n=1 (2n − 1)2 Bài giải Theo yêu cầu tốn, ta phải tìm hàm thác triển f ∗ (x) f (x) miền khai triển tương ứng cho f (x): a Chuỗi Fourier theo cosin cung bội, hàm thác triển f ∗ (x) từ f (x) phải hàm chẵn đoạn [−π; π] Vậy ta xét f (x) = x2 [−π; π] ta có: f ∗ (x) = (x − k2π)2 với − π + k2π ≤ x ≤ π + k2π, k ∈ Z Đây hàm xác định, liên tục toàn trục số R, chu kỳ T = 2π, chẵn, tồn đạo hàm liên tục điểm khoảng (−π; π), hai điểm mút x = ±π tồn đạo hàm phía 54 Khi xét f ∗ (−π; π) trùng với khoảng f cho Khai triển Fourier ta có: +∞ a0 f (x) = f (x) = + an cos nx, n=1 ∗ ∀x ∈ [−π; π] Trong có: π π f (x)dx = π a0 = π ∗ 2π x dx = Với n ∈ N∗ thì: π an = π π f ∗ (x) cos nxdx = π x2 cos nxdx = (−1)n n2 Vậy ta có khai triển: +∞ (−1)n π cos nx, f (x) = x = + n2 n=1 ∀x ∈ [−π; π] b Sử dụng khai triển câu a để tính tổng chuỗi: +∞ n=1 , n2 +∞ n=1 (−1)n+1 , n2 +∞ n=1 (2n − 1)2 π2 = n=1 n +∞ (−1)n+1 π2 + Trong câu a, ta cho x = suy = n2 12 n=1 +∞ + Trong câu a, ta cho x = π suy + Cộng hai chuỗi số lại ta có: +∞ n=1 3.3 π2 = suy (2n − 1)2 +∞ n=1 π2 = (2n − 1)2 Bài tốn Khai triển tuần hồn hàm f (x), chu kỳ 2π sau thành chuỗi Fourier:      −1 − π < x f (x) =     1 < x π 55 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Bài giải Ta thấy hàm f (x) hàm khả vi khúc [−π; π] Đồ thị biểu diễn sau: Hàm f (x) hàm lẻ Vậy chuỗi Fourier nó, ak = Ta tính bk : π bk = π f (x) sin kxdx = − π −π π = π −π sin kxdx = − π sin kxdx + π sin kxdx 2 cos kx|π0 = − (cos kπ − 1) kπ kπ =− (−1)k − kπ Vây bk =      0 k = 2π      k = 2p + kπ chuỗi Fourier có dạng: S(x) = π sin x + 1 sin 3x + sin 5x + + sin(2p + 1)x + 2p + f (x + 0) + f (x − 0) π =f =1 Trong đó, S(x) = Vậy S π hay 1= π √ √ √ √ √ √ 2 2 2 + − − + + − 11 56 √ Rút làm thừa số chung, ta tính tổng chuỗi sau: 1+ 3.4 1 1 − − + + − + (−1)n 11 1 + 4n + 4n + π + = √ 2 Bài toán Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) với chu kỳ 2π xác định công thức:      x ≤ x < π f (x) =     0 − π ≤ x ≤ +∞ n=1 (2n − 1) Từ tính tổng chuỗi số: Bài giải Các hệ số Fourier hàm f tính theo công thức Ơle: π a0 = π π f (x)dx = π −π x2 dx = π an = π π π f (x) cos nxdx = π −π x cos nxdx   π π 1  x sin nx − sin nxdx π n n 0      −2 cos nx π  n2 π n = 2k + = = n2 π     n = 2k 0 = π bn = π π f (x) sin nxdx = π x sin nxdx −π  =  −x cos nx π n −x cos nx = nπ π π π + n       = n     − n 57  cos nxdx n = 2k + n = 2k Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Vậy chuỗi Fourier hàm f là: π − π cos x cos 3x + + + 12 32 sin x sin 2x − + Theo định lý Đirichlet, π f (x + 0) + f (x − 0) = − π cos x cos 3x + + + 12 32 sin x sin 2x − + với x ∈ R Vì hàm f (x) liên tục điểm x = (2k + 1)π, k ∈ Z nên f (x) = π − π cos x cos 3x + + + 12 32 sin x sin 2x − + ∀x = (2k + 1)π Tại điểm x = (2k + 1)π, tổng chuỗi Fourier hàm f bằng: f (x + 0) + f (x − 0) f (−π + 0) + f (π − 0) 0+π π = = = 2 2 Đặc biệt, x = π ta có: π π = + π 1 1 + + + + + (2n − 1)2 Vậy +∞ n=1 3.5 π2 = (2n − 1)2 Bài toán Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định công thức: f (x) = x2 , ∀x ∈ [−π; π] Từ chứng minh +∞ n=1 π = n 58 Bài giải Hàm f hàm chẵn, liên tục R, hệ số Fourier bn = 0, ∀n ≥ Các hệ số cịn lại tính theo cơng thức Ơle: π a0 = π π x2 dx = π −π π x3 x dx = π = 2π π f (x) cos nxdx = π an = π π x2 cos nxdx = (−1)n n2 Vậy chuỗi Fourier hàm f là: +∞ π2 (−1)n +4 cos nx n2 n=1 Hàm f liên tục toàn trục số Theo định lý Dirichlet, +∞ (−1)n π2 +4 cos nx, ∀x ∈ R f (x) = n2 n=1 Tại x = π, f (π) = π = +∞ π2 +4 n=1 n π2 = n=1 n +∞ Vậy (−1)n−1 π2 Nếu thay x = = n2 12 n=1 +∞ 3.6 Bài toán Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định công thức f (x) = x2 , ∀x ∈ [0; 2π) Bài giải Hàm f (x) liên tục điểm x = k2π, k ∈ Z Ta có: 2π a0 = π x2 dx = 59 x3 3π 2π = 8π Ket-noi.com kho tai lieu mien phi 2π an = π x2 cos nxdx = n2 2π bn = π −4π n x2 sin nxdx = Vậy chuỗi Fourier hàm f là: +∞ f (x) = 8π +4 n=1 π cos nx − sin nx , ∀x = k2π n n Tại điểm x = k2π, tổng chuỗi Fourier hàm f bằng: f (x + 0) + f (x − 0) f (x + 0) + f (0 − 0) + (2π)2 = = = 2π 2 Tại x = 0, ta có: +∞ 8π +4 = 2π suy n n=1 3.7 +∞ n=1 π2 = n2 Bài toán Khai triển thành chuỗi Fourier đoạn [−π; π] hàm số f (x) = x Bài giải Theo cơng thức Ơle, ta có: π a0 = π xdx = −π π an = π x cos nxdx = 0, ∀n ∈ N∗ −π π bn = π x sin nxdx = (−1)n−1 , ∀n ∈ N∗ n −π Vậy chuỗi Fourier hàm f là: +∞ (−1)n−1 n=1 60 sin nx n Theo định lý Đirichlet, ∞ (−1)n−1 sin n=1 f (x + 0) + f (x − 0) nx = = x − π < x < π n = Tại x = f (−π + 0) + f (π − 0) = x = ±π π ta có: +∞ (−1)n−1 nπ = π n sin n=1 Do ta tính tổng: +∞ n=0 3.8 (−1)n π = 2n + Bài tốn Tìm khai triển chẵn khai triển lẻ đoạn [0; π] hàm số f (x) = x Bài giải Thác triển lẻ hàm số f (x) là: f ∗ (x) = x, với −π ≤ x ≤ π Theo tốn 7, ta có: +∞ (−1)n−1 n=1 sin nx f ∗ (x + 0) + f ∗ (x − 0) = = x, ∀x ∈ (−π; π) n Vậy khai triển lẻ f (x) = x khoảng (0; π) là: +∞ (−1)n−1 x=2 n=1 sin nx , ∀x ∈ (0; π) n Thác triển chẵn hàm f (x) hàm:      x ≤ x ≤ π f (x) =     −x − π ≤ x ≤ 61 Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Theo công thức Ơle: π π f ∗ (x) sin nxdx = π bn = π xdx = π −π π π an = f ∗ (x) cos nxdx = x cos nxdx π π −π      0 n = 2k =     − n = 2k + πn Vì hàm tuần hồn với chu kỳ 2π, thác triển tuần hoàn f ∗ hàm liên tục toàn trục số, cho nên: π − π cos x cos 3x + + 12 32 = f ∗ (x), ∀x ∈ [−π; π] Vậy khai triển chẵn hàm số f (x) = x đoạn [0; π] là: x= π − π cos x cos 3x + + 12 32 = f ∗ (x), ∀x ∈ [0; π] Tại x = ta có: 0= π − π cos cos + + 12 Do ta có: +∞ n=1 3.9 π2 = (2n − 1)2 Bài toán Khai triển thành chuỗi Fourier khoảng (−l; l) hàm số f (x) = x Bài giải Vì f (x), x ∈ (−l; l) hàm lẻ nên an = 0, với n Các hệ số Fourier lại: l x sin nπxdx = (−1)n−1 bn = 62 , ∀n ∈ N∗ nπ Vậy chuỗi Fourier hàm f là: π +∞ (−1)n−1 n=1 sin nπx n Theo định lý Đirichlet, π 3.10 +∞ (−1)n−1 n=1 sin nπx f (x + 0) + f (x − 0) = = x , ∀x ∈ (−l; l) n Bài tập tự giải Bài tập Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số sau đây, biết chúng hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π f (x) = s(t) =      1, −π ≤ x <     2, ≤ x ≤ π      sin2t, 0≤t