Phương pháp quy nạp toán học

“Phương pháp quy nạp toán học” là tài liệu bổ trợ kiến thức cho các em học sinh trong quá trình học tập và ôn thi học sinh giỏi. Thông qua hệ thống ví dụ và bài tập. Học sinh thấy được sự vận dụng của “Phương pháp quy nạp toán học” vào các bài toán chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức và chia hết liên quan đến số tự nhiên n trong chương trinh bậc phổ thông.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 2017 ĐỀ TÀI:PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I.MỞ ĐẦU I.1 Lý do chọn đề tài: ­   “Phương   pháp   quy   nạp   toán   học”     phương   pháp     sử   dụng   xun suốt chương trình phổ  thơng.Song tài liệu nghiên cứu cịn ít,chương  trình được phân phối   lớp 11 và chỉ  có 1 tiết.Trong khi thực tế  giảng dạy   học sinh trên lớp những năm qua và u cầu của bộ mơn địi hỏi phải nghiên   cứu ,vận dụng phương pháp để giải các bài tốn liên quan đến số tự nhiên lại   rất cần thiết ở bậc phổ thơng.Chính vì thế Tơi đã tìm các bài tốn và sắp xếp   một cách có hệ  thống và lời giải thích hợp để  giảng dạy để  học sinh sử  dụng“Phương pháp quy nạp tốn học”. Ngày một tốt hơn I.2 Mục đích nghiên cứu: ­ “Phương pháp quy nạp tốn học” là tài liệu bổ  trợ kiến thức cho các   em học sinh trong q trình học tập và ơn thi học sinh giỏi ­ Thơng qua hệ  thống ví dụ  và bài tập. Học sinh thấy được sự  vận   dụng của “Phương pháp quy nạp tốn học” vào các bài tốn chứng minh đẳng   thức,bất đẳng thức và chia hết liên quan đến số tự nhiên n trong chương trinh   bậc phổ thông I.3 Đối tượng nghiên cứu: ­ Học sinh lớp 11,12  I.4.Phương pháp nghiên cứu: ­ Phương pháp thống kê ­ Phương pháp nêu vấn đề, I.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiêm: ­   Chỉ   rõ   “Phương   pháp  quy   nạp”  được  sử   dụng  để   giải  toán   trong  những trường hợp nào ­ Hệ thống  ví dụ ,bài tập trong sáng kiến kinh nghiệm thể hiện sự kết   nối  các   đại  lượng kiến thức trong chương trình bậc phổ  thơng một cách  thống nhất ­ Từ  thực tế  giảng dạy, với kinh nghiệm của bản thân trong q trình  dạy và học, từ đó tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho năm 2016­2017 với  nội dung:  Cụ thể như sau: Vấn đề 1:   Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một đẳng thức Vấn đề 2:   Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh một bất đẳng thức Vấn đề  3 : Dùng qui nạp toán học để  chứng minh một biểu thức dạng U n  chia hết cho một số tự nhiên Trong sáng kiến này, các bước cơ  bản để  giải một bài toán  sẽ  được   đưa ra từ  các ví dụ  minh họa, sau đó là  ứng dụng vào giải một số  bài tốn   trong các nâng cao trong chương trình sách giáo khoa và học sinh giỏi mơn  tốn ­ Mặc dù rất tâm huyết với Sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp quy  nạp tốn học”, nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh  khỏi những thiếu sót. Tối rất mong nhận được sự  góp ý kiến của q Thầy,  Cơ, bạn đồng nghiệp và các em học sinh để    Sáng kiến kinh nghiệm được  hồn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm: ­ Các bài tốn liên quan đến số  tự  nhiên n, học sinh được học từ  bậc  tiểu học ,trung học cơ sở được giải quyết trên các cơ  sở  biến đổi hoặc dựa   trên một số  dấu hiệu cho trước .Khơng thỏa mãn cho những thắc mắc của  học sinh là các bài tốn liên quan đến số  tự  nhiên có thật sự  là đúng với mọi   số tự nhiên hay khơng ? hay chỉ đúng trong trường hợp hữu hạn ­ Các kiến thức được sử  dụng trong sáng kiến này đều thuộc phạm vi   kiến thức được trình bày trong Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11.  ­ Các ví dụ được tổng hợp từ các bài tốn lấy từ sách giáo khoa,sách bài  tập và một số sách tham khảo hiện hành và một số đề do tơi tự làm.  2.Thực trạng nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: ­Trong q trình giảng dạy bài  “ Phương pháp quy nạp tốn học”  thuộc Giải tích lớp 11 chương III “Dãy số,Cấp số cộng và Cấp số nhân” .Tơi  nhận thấy rằng: giữa kiến thức cơ bản sách giáo khoa lớp 11 và một số  bài  tốn liên quan đến số  tự  nhiên trong chương Đạo hàm,Số  phức có khoảng  cách rất gần gũi và khơng khó. Nhưng đối với  học sinh thì thật khơng dễ chút  nào.  Ngun nhân là: +Chương trình sách giáo khoa trình bày cơ đọng và đơn giản nhất để  học sinh dể học +Thời gian học và rèn luyện kỹ năng vận dụng ít +Trong khi đó các bài tốn địi hỏi kiến thức vận dụng tổng hợp và liên  mơn +Các sách bồi dưỡng về chun đề Quy nạp tốn học chưa có và chưa  được quan tâm nên rất khó với các em học sinh  ­ Để  giải quyết khó khăn này.Tơi   đã thực nghiệm đề  tài : “ Phương  pháp quy nạp tốn học”  nhằm hệ thống các kiến thức liên quan từ dễ đến  khó, sắp xếp trật tự phù hợp với từng đối tượng học sinh để  các em dễ  tiếp  thu  3.Giải pháp và tổ chức thực hiện ­ Đề  tài “Phương pháp quy nạp tốn học.”  được đưa vào ngay khi  học sinh học   bài “Phương pháp quy nạp tốn học.”   thuộc Giải tích lớp  11,Chương III “Dãy số,cấp số cộng,cấp số nhân” trong giờ bài tập, trong các  tiết tự  chọn và tiếp tục học   các chương Đạo hàm lớp 11,Số  phức trong   chương trình lớp 12.  ­ Cùng phương pháp giải cụ thể giúp học sinh hứng thú, say mê học và   giải quyết các vấn đề phát sinh trong q trình làm tốn            ­ Nhìn tổng thể học sinh nắm được mối liên hệ giữa các đơn vị kiến  thức liên quan thành một thể  thống nhất và mục đích chương trình sách giáo  khoa rõ ràng,khoa học a. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn  của Thầy giáo ­ Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học  chính khố ,tự  chọn với các bài tập   mức độ  vừa phải. Thầy giáo đưa ra  phương pháp giải, ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có  thể có được của bài tốn. Sau đó cho học sinh tìm tịi, phát hiện một số  vấn   đề xung quanh bài giải ở mức độ đơn giản ­ Thực hiện một số  buổi trong cơng tác bồi dưỡng đối với những học  sinh khá hơn ở mức độ những bài tốn cao hơn b.Hình thức tự nghiên cứu các bài tốn có sự hướng dẫn của Thầy giáo Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong q trình học tập của học  sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng   lên 4. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.  PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Các kiến thức vận dụng Phương pháp quy nạp thực sự  có hiệu lực với lớp các bài tốn chứng minh  một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n  N Phương pháp giải Để  chứng minh một mệnh đề  Q(n) đúng với mọi  n p , ta thực hiện 2 bước  theo thứ  tự: Bước 1 :   Kiểm tra mệnh đề là đúng với  n = p Bước 2  :   Giả  sử  mệnh đề  đúng với   n = k p ,     ta phải chứng minh rằng   mệnh đề đúng với   n = k +   CÁC VÍ DỤ MINH HỌA  Vấn đề 1::  Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một đẳng thức   Ví dụ 1 :  Chứng minh rằng : với mọi số tự nhiên n 2 ,ta có :                   an – bn = (a – b)(a n – 1 + a n – 2.b +… +a.b n ­2 +b n– 1 )  Giải Ta chứng minh đẳng thức bằng phương pháp qui nạp Khi n=2 thì VT =  a 2 – b 2 , VP =  (a –b)(a+ b)= a2 – b2   Vậy  đẳng thức đúng với n=2 Giả sử đẳng thức đúng với  mọi n = k  2 ,  tức là :a k – b k = (a – b )(a k­1 + a k­2.b + … + a.b k­2 + b k­1     ) Ta chứng minh đẳng thức  cũng  đúng với n=k + 1 , tức là :                 a k+1 – b k+1 = (a­b)(ak +  a k­1.b +…+ a.b k­1 + bk) Thật vậy : áp dụng giả thiết qui nạp , ta có :                                                         a k+1 ­ b k+1  = a k+1 – ak.b+ak.b – b k+1             = ak(a­b) + b(ak­bk) = ak(a­b) +b(a­b)(a  k­1 + a k­2.b + …+ a.b  k­2 + b  k­1 )     = (a­b) [ak + b(a k­1 +a k­2 .b +…+a.b k­2 +b k­1) ] = (a­b)(ak +a k­1.b +…+a.b k­1 +bk ) Vậy mệnh đề  đúng với mọi số tự nhiên n Ví dụ 2: Chứng minh rẳng:  Mọi số tự nhiên  n  1,ta có:   12 + 22 + 32 + + ( n − 1) + n2 = n ( n + 1) ( 2n + 1)    “Đại số và Giải tích 11 trang 83” Giải  Khi n = 1 VT= 12 = ;VP= 1( + 1) ( + 1) =  nên  mệnh đề đúng với n=1  Giả sử mệnh đề đúng với n = k 1 , tức là :  12 + 22 + 32 + + ( k − 1) + k2 = k(k + 1)(2k + 1)  Ta phải chứng minh mệnh đề  cũng đúng với n = k +1 , tức là : 12 + 22 + 32 + + � ( k + 1) − 1� � �+ ( k + 1) =   Thật     :   12   +22+32+…+(k­1)2   +   (k + 1)(k + 2)(k + 3)   k2  +(k+1)2= 2 � 12 + 22 + 32 + + ( k − 1) + k �+ ( k + 1)      � �                    k (k 1)(2k 1) � 2k2 + 7k + � (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k + ( ) � �= 6    + (k+1)2 =   � � Vậy mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n     1 Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng qt của Dãy số sau : u1 3, u n 2u n ;  ( n 1)   “Giải tốn Đại số và Giải tích 11­Trần Thành Minh”                                 Giải Ta có  :        u1 = = 3.20                     u2 = 2.u1 = 2.3 = = 3.21                     u3 = 2.u2 = 2.6 = 12 = 3.22                      u = 3.2n−1 n Ta sẽ chứng minh    un = 3.2n−1   bằng  phương pháp qui nạp  Khi n = 1 ta có   u1 =  . Mệnh đề đúng với n=1 đúng  Giả sử mệnh đề  đúng với n = k,  ( k 1)  tức là :  uk = 3.2k −1 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 , tức là :  uk +1 = 3.2k Thật vậy :  uk +1 = 2.uk = 3.2.2k −1 = 3.2k Vậy mệnh đề đúng với n = k+1 nên cũng đúng vơi mọi  n Chú ý : Sau ví dụ ba ta rút ra phương pháp giải chung cho dạng tốn tìm số   hạng tổng qt của một Dãy số gồm  hai  bước : Bước 1  :  Tìm vài số hạng  đầu của Dãy                                              Bước 2   : Dự đốn số hạng tổng qt, rồi chứng minh bằng qui nạp Ví dụ 4:   Tính đạo hàm cấp n của  hàm số sau :      y 1 x “Giải tốn Đại số và Giải tích 11­Trần Thành Minh” Giải −1.2.3 1.2 / // ///  Ta có :   y = − + x ; y = + x ; y = + x ( ) ( ) ( ) ( n) Dự đoán :  y = ( −1) n n! ( 1+ x) n +1 (n ) Bây giờ ta tìm  y  bằng quy nạp như sau :  Với n=1 ta có  y = / ( −1) 1! ( 1+ x) 1+1 =− (1+ x)  Mệnh đề đúng với n=1 Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k 1)  ta có :  y Thật vậy:   y ( k +1) =y ( k) k k k! k                                   x k k +1 � −1) ( k + 1) ( + x ) � ( −1) ( k + 1) ! ( =� � �= ( −1) k !� ( 1+ k ) +1 � �� ( + x ) 2( k +1) � � � (1+ x) k ( n)  Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi  n ﾥ  hay  y = ( −1) n n! ( 1+ x) n +1      Chú ý : Phương pháp giải chung cho dạng tốn này có thể phân làm hai bước   như sau :  Bước 1    :Tính đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai, đạo hàm cấp ba,…,cho tới   khi dự đốn được đạo hàm cấp n Bước 2:   Chứng minh đạo hàm cấp n đúng bằng qui nạp tốn học  z Ví dụ 5 :  CMR : Nếu số phức z thỏa mãn :  + z = cos α � + z n = cos α zn Giải z  Với n=1,   VT = + z , VP= cos  Mệnh đề đúng  với n=1 Giả sử mệnh đề  đúng với n=k   ( k 1) , tức là : + z k = cos kα    zk Ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1, tức là:  z k +1 + z k +1 = cos ( k + 1) α Thật vậy  :     z k +1 � �1 � �1 � �k −1 + z k +1 = � k + z k � � + z �− �z + k −1 � z � �z � �z ��                                          cos k cos cos k                                         = [ cos(k − 1)α + cos(k + 1)α ] − cos ( k − 1) α                                            =2cos(k+1)     Vậy   mệnh   đề       với   n   =   k   +1,   hay   n   ta   có  1 + z = cos α � n + z n = cos α z z n 2n + + + n = − 3 4.3n Ví dụ 6:     CMR  mọi n thuộc N*  ta có :  + “Bài tập Đại số và giải tích 11 trang 86” Giải 3   . Mệnh đề đúng với n=1 12 Với n = 1 , ta có :   VT = ;VP = − k 2k + + + k = −     (*)  3 4.3k Giả sử mệnh đề  đúng với n = k  ( k 1) , tức là :   + Ta   phải   chứng   minh   mệnh   đề     với   n   =   k+1,   tức     :  k ( k + 1) 2(k + 1) + + + + k + k +1 = − 3 3 4.3k +1 Thật vậy : Cộng   vào hai vế  của   (*)   một lượng là :  k +1 , ta sẽ    được  3k +1 k ( k + 1) 2(k + 1) + + + + k + k +1 = −   3 3 4.3k +1 n 2n + + + n = − , 3 4.3n Vậy mệnh đề đúng với n = k+1,hay  ∀n ﾥ *  ta có  + Ví dụ 7:Chứng minh rằng:  + + = cos π 2n +1 “Bài tập Đại số và Giải tích 11­Trang 89” Giải: Gọi  Cn = cos π 2n +1 π Khi n=1. ta có VT= ,VP= cos =  Mệnh đề  đã cho đúng với n=1 Giả sử mệnh đề  đúng với n=k ,tức là  Ck = cos π 2k +1 Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 tức là :  Ck +1 = cos π 2k + Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có :  Ck +1 = + Ck = + cos π π π π = cos k + = cos k +  (Vì  cos k + > 0) k +1 2 2 Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi  n N * Hay  n N *  ta có + + = cos π 2n +1 Ví dụ 8: Chứng minh rằng đạo hàm cấp n của hàm số  y = sin ( ax + b )  là: nπ � � y ( n ) = a n sin � ax + b + �,  n � � N* Giải: π� � Với n=1 ta có: y / = a cos ( ax + b ) = a sin �ax + b + � � 2� π� � Với n=2 ta có:  y / / = a cos �ax + b + �= a sin ( ax + b + π ) � 2� � n Dự đoán đạo hàm cấp n của hàm số  y = sin ( ax + b )  là  y ( ) = a n sin �ax + b + � nπ � �  � π� � Với n=1 ta có:  y / = a cos ( ax + b ) = a sin �ax + b + �. Mệnh đề đúng với n=1 � 2� � k Giả thiết mệnh đề đúng với n=k ( k 1)  ta có : y ( ) = a k sin �ax + b + � kπ � � � Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1 tức là: � ( k + 1) π � y ( k +1) = a k +1.sin � ax + b + � � � Thật vậy:  / / �k kπ � � k +1 kπ � � ( k) � y ( k +1) = � y a sin � ax + b + = a cos � ax + b + � � � �= � � � � � � � ( k + 1) π � � k +1 ax + b + � �= a sin � � � � � n Vậy. Đạo hàm cấp n của hàm số  y = sin ( ax + b )  là  y ( ) = a n sin �ax + b + � n nπ � � �, N* Bài tập đề nghị  Bài 1:   CMR :    n N *   , ta có :   1+3+5+…+(2n­1) =  n2  Bài 2 :   CMR:    n N * ,  ta có  :     1 + + + + n = n ( n + 1)                              n2 n             Bài 3 :  CMR :   n N *  ,ta có : 13 n Bài  4 :  CMR :    Mọi a >0, a  1,  x1 , x2 , , xn >  ,ta có hệ thức sau:                                 log a ( x1 x2 xn ) = log ax1 + log ax2 + + log axn  Bài   5:  CMR:  ﾥ , n  1, với mọi cặp số (a,b),ta có cơng thức sau đây, gọi là  Cơng thức khai triển nhị thức Niutơn (a+b) n =C0n a n +C1n a n­1b1+C 2n a n­2b 2+ +C kn a n­k b k + +C nn b n   � n ( n + 1) � 3 3 Bài  6:         CMR  :  Sn = + + + + n = � �                              � � Bài 7: CMR: Với mọi số tự nhiên n 1,ta có đăng thức : Bài 8:CMR : Mọi n thuộc N ta có: 1 n 4 25 2n n(n 1)   2n 2n Bài 9:            Tính  đạo hàm cấp n của các hàm số sau : a)  y = ln ( + x )               b)  y = x − x            c)  y = sin ax ( a = const )      d)  y = sin x ( ) 1 Bài 10:   Tìm tổng số       Sn = 1.2 + 2.3 + + n n +   ( ) Bài 11: Tìm số hạng tổng quát của các Dãy số sau :                       a)    u1 = 3, un+1 = + un                              b)   u1 = a, un+1 = a + b.un Vấn đề    2:  Dùng phương pháp qui nạp  để  chứng minh một bất đẳng  thức Ví dụ 1:  Chứng minh bất đẳng thức Bec­nu­li(Bernoulli). Nếu h >0 , với mọi   số tự  nhiên n 2 ta có:      ( + h ) n + nh                         “Đại sơ và giải tích 11­ 2000” Giải Nếu n =2, ta có : (1+h)2 = 1+2h+h2 > 1+2h    (vì h2 > 0).Vậy mệnh đề đúng với  n=2. Giả sử mệnh đề đúng đến n = k  ( k )  , tức là :( 1+h)k > 1+kh           (2).  Ta  phải  chứng  minh  mệnh   đề    cũng     đến   n  =k+1.Hay  (1+h) k+1  >  1+ (k+1)h.                                                            Th ật v ậy : (1+h) k+1 =(1+h)(1+h)k ( 2)  (1+h)(1+kh) =1+h+kh+kh2                                                       = 1+h(1+k)+kh2 > 1+h(1+k).(vì kh2 >0) Vậy mệnh đề đúng với n=k+1.hay  ∀n  ta có  ( + h ) n + nh Ví dụ  2 :Chứng minh rằng  nếu x  >0  thì với mọi số tự  nhiên n ta đều có :  ex > + x + x2 xn + +                                      “Chuyên đề  Hàm số  ­Trần  2! n! Phương”                        Giải Xét hàm số: f ( x) = e x n � x2 xn � −� + x + + + �                                                               2! n! � � Ta phải chứng minh :   ∀x > 0, n �N : Thật vậy  , ta có :  ∀n, Xét  f ( x ) >   (2.1) n f ( 0) = n f ( x) = e − ( 1+ x) Ta có   x , f ( x) = e x − > 0, ( ∀x > ) , f x   tăng với  mọi x >0    f ( x ) > f ( 0) 1 Vậy Công thức (2.1) đúng với n=1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k.                                                                       Ta có:      ∀x > 0, f � x2 xk � x x = e − + x + + + ( ) � �>    (2.2) k 2! k! � �  Ta phải chứng minh : ∀x > 0,  Thật vậy ta có :                               f f , k +1 , k +1 f � x2 xk xk+1 � x x = e − + x + + + + >0 ( ) � � � � k +1 2! k ! k + ! ( ) � � k � 2x k.xk−1 ( k + 1) x � 1+ + + + ( x) = e − � � � 2! k! ( k + 1) ! � � � x � x k −1 x k � + �= ( x ) = e − �1 + x + + k −1 k ! � � x f ( x) k Theo (2.2) có   f k ( x ) > � f k +1 ( x ) > � f k +1 ( x ) tăng với  ∀x > f k +1 ( x ) > f k +1 ( ) = Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n  Ví dụ 3: Cho hàm số f  xác định với mọi x và thoả mãn điều kiện :                              f(x+y)  f(x).f(y)   với mọi x,y  (3)     «Chun đề Hàm số ­Hồng Đức »   CMR :       Với mọi số  thực x và mọi số  tự  nhiên n ta có   f ( x ) 2n � �x � � �f �2n � �  �� � � (3) Giải x Trong BĐT f(x+y)  f(x).f(y) thay x và y bằng  , ta được:                                f Vậy  bất đẳng thức  x f x x f x f n x x f 2 f x f x 2 2n  đúng với n=1 Giả sử bất đẳng thức đúng với n =k ,  ( k 1)  . Ta có :  f ( x ) � �x �f �2k �� Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1, tức là :  f ( x ) 2k � � � �       � � 2( k +1) � �x � � �f �2k +1 � � �� � � Thật vậy ta có: 10 � x � �� x � �f � � � � 2k + � � �2k + � � �x � � x f � ��f � += �2k � �2k +   2k � �x � � �f � � � k � � �2 � � �x �f � k � �2 2k 2� � �� x � �� � f� � � � � k +1 � � � � �� � 2k � � � � � � 2k + �� x � � �f � � k +1 � � � �2 � Do tính chất bắc cầu ta có được :   f x f 2k x 2k Bất đẳng thức đúng với  n = k+1 nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n * Ví dụ 4:       n N ,ta có :       sin nα n sin α “Giải tốn Đại số và Giải tích 11­Trần Thành Minh” Giải Với n  =1 ,   VT = sin1.α = sin α = VP   nên mệnh đề đúng với n=1 Giả sử  mệnh đề  đúng với n = k ( k 1) ,ta có :  sin kα k sin α   Ta phải chứng minh mệnh đề  đúng với n = k+1,tức là: sin(k + 1)α Thật vậy,   sin ( k + 1) α = sin kα cos α + cos kα sin α   ta   sin kα cos α + cos kα sin α có sin kα + sin α * Vậy mệnh đề đúng với n = k+1 , nên  n N ,ta có :       sin nα Ví dụ 5: Chứng minh rằng Dãy số   u1 = 2, un +1 = ( k + 1) sin α   k sin α + sin α :  ( k + 1) sin α n sin α   un +   ( ∀n 1) là  dãy số giảm và  bị chặn.              “Giải tốn Đại số và Giải tích 11­Trần Thành Minh” Giải Giải:  Để   chứng   minh   dãy   số     cho     dãy   số     giảm     Ta   chứng   minh     phương pháp  qui nạp.Ta phải chứng minh :  un+1 < un , ( ∀n N * ) Khi  n  = 1 thì   u2 = u1 + + = = < = u1 Mệnh đề đúng với n=1 2 Giả sử mệnh đề  đúng với n = k ,  ( k 1)  , tức là :  uk +1 < uk Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1:  uk + < uk +1 Thật vậy :   uk + = uk +1 + ( do5.1) uk + < = uk +1 11 * Vậy mệnh đề đã cho đúng với n = k+1 nên cũng đúng với  mọi n thuộc N   Chứng minh Dãy đó cho là bị  chặn dưới.  Ta dùng phương pháp qui nạp để  ( ) chứng minh :   un > 1, ∀n N *   Khi  n=1 ,  u1 = >  nên mệnh đề  đúng với n=1 Giả sử  mệnh đề  đúng với  n = k ,  ( k 1)  nghĩa là   uk > Ta phải chứng minh   :      uk +1 >   Thật vậy : u k uk 1 1     . Vậy dãy số đã cho bị chặn dưới bởi 1 Chú ý :   Khi gặp dạng toán chứng minh Dãy số đơn điệu và bị chặn ta thực   hiện như sau : Bước  1 :  Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh dãy số là đơn điệu  Bước  2 :  Dự đoán số  M  trong trường hợp dãy bị  chặn trên bởi M và Số  m   trong trường hợp dãy số  bị  chặn dưới bởi m .Sau đó dùng phương pháp qui   nạp để chứng minh dãy bị chặn bởi trên bởi M hoặc bị chặn dưới bởi m trong  trường hợp  ngược lại  Ví dụ 6: Chứng minh rằng :   1 n n n, n N,n Giải Khi n =3  bất đẳng thức đã cho trở  thành  64 27 Mệnh đề  đúng với  n=3 Giả sử mệnh đề  đúng với n =k  ( k 3)  ta có  1 k k k    Ta chứng minh mệnh đề  đúng với  n k , tức là :  k +1 k k k k � � �� � � 1�� 1� � 1� Thật vậy :    � 1+ 1+ 1+ + � � + �< k � + �= k + � � =� � � �< � � k +1 � � k +1 � � k +1 � � k � � k � � k � Vậy mệnh đề đúng với n= k+1 nên nó cũng đúng với mọi n Hay  n n n, n N,n Ví dụ 7:   Cho    x1,x2,…,xn là các số dương. Chứng minh rằng : 12                    x1 x2 x2 xn x3 x3 x1 x4 xn x2 xn xn x1 x n xn 2, n  « Chun đề Hàm số Hồng Đức » Giải Với n = 4 , bất đẳng thức có dạng :  x1 x2 x3 x2 x4 x3 x1 x4 x4 x2 x1 x1 x2 x3 x3 x4 x2 x1 x4 x3  mênh đề đúng với  n=4 Giả sử bất đẳng thức  đúng với n = k  ( k )    x x x x k −1 k Tức là : x +1 x + x +1 x + + x + x + x + x k k k −2 k −1 Ta chứng minh bất đẳng thức  đúng với n = k+1 Do vai trị bình đẳng giữ  các xi   ( i = 1,2,…,k+1), nên khơng giảm tính tổng  qt       tốn   ta   có   thể   giả   sử     x k+1  =     min{   x1,x2,…,xn  }   ,   tức     :  x > 0, x k +1 k +1 s k Do:    x1 x2 xk x1 x2 xk x ,x k k +1 x2 x3 x2   xk x1 x1 x   xk xk xk 1 xk ; xk xk xk Do x1 x1 xk   x2 xk x ; k1 x1 x k x1 x k   x2 xk x3 x1 ta   có   xk x1 x k :  Từ đó suy ra  Sk +1 > Vậy bất đẳng thức đúng với  n = k +  nên cũng đúng với mọi  n Ví dụ 8 :  Chứng minh rằng :    ∀n  , ta có    1.3.5 2n 2.4.6.2n 2k “Giải tốn Đại số và Giải tích 11­Trần Thành Minh” Giải Khi n = 1 , thì (1) trở thành : Mệnh đề đúng với n=1 Giả sử  mệnh đề  đúng với n = k  ( k 1) ,nghĩa là :   1.3.5 2k 2.4.6 2n 2k Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, tức là : 1.3.5 2k 2k 2.4.6 2k 2k 2k    13 Thật vậy: 2k 2k 2k 2k   (bất đẳng thức ln đúng vì sau khi bình phương  hai vế,quy đồng,chuyển vế  ta thu được  bất đẳng thức  tương đương:  mệnh đề đúng   Ta có: 1.3.5 2k 2k 2.4.6 2k 2k Vậy : ∀n , 2k 1.3.5 2n 2.4.6.2n 2k 2k 2k  mệnh đề đúng với n=k+1 2k Bài tập đề nghị  π Bài 1.Cho   < α < n −             Chứng minh rằng   :  tan nα > n tan α ( ) Bài 2.Chứng minh rằng : với a >0 thì    a + a + + a < + 4a + Bài 3.Chứng minh rằng    :       n n+1 > ( n + 1) , ( n 3)   n Bài 4.Chứng  minh rằng  với mọi số tự nhiên n ta có :            a)1 + + + + n n n +1      n            b)1 + 1 + + + n n −1            c) 1 n 2 Bài 5.Chứng minh bất đẳng thức  2 2 2 2 2n n Bài 6.Chứng minh với mọi số nguyên dương n , ta có : 2n − 1 <                               b) ( 2n ! < 22 n ( n !) ) 46 2n 2n +                     a) n + + n < 3 Bài 7.Chứng minh rằng : ∀n N  ta có  + Bài 8.Chứng minh rằng dãy số   u n xác định bởi :    u1 n 2,u n u n    ,       N * là tăng và bị chặn trên  Bài 9.Với  n  Chứng minh rằng:  n n n      n Bài 10.Chứng minh mọi số tự nhiên  n khác 0 ta ln có : n n 14 Bài   11.Chứng   minh     với     số   tự   nhiên   n   lớn           ta   có   : n n n! n n ( 2n ) ! Bài  12.Với  n N * Chứng minh rằng:   ( n !) 4n , n +1  Bài 13.Cho n số dương  a1 , a2 , , an  thỏa mãn  a1 a a n Chứng minh rằng : a1 a a n n(*)  Dấu ‘’=’’xảy ra khi nào ? Bài 14. Chứng minh mọi số tự nhiên n >1, ta có : ( n + 1) cos Bài  15. Cho n là số tự nhiên và       < ( n + 1) α < π π − n cos > n +1 n π Chứng minh rằng: ( − cos n α ) ( + cos n α ) < tan nα tan α Bài 16 ∀n �N , n > Chứng minh rằng: 1 13 + + > n +1 n + 2n 14 Vấn đề  3 : Dùng qui nạp toán học để  chứng minh một biểu thức dạng   Un chia hết cho một số tự nhiên  Ví dụ 1:  Chứng minh rằng  n N * , a n n3 3n 5n   chia hết cho 3 Giải Với n = 1 ta có :    a1 13 3.12 5.1 93     đúng  Giả sử mệnh đề  đúng với n = k ,  k , tức là :   a k k3 3k 5k 3 Ta   phải   chứng   minh   mệnh   đề       với   n   =   k+1,   nghĩa     : ak Thật k   kﾥ ﾥ ﾥ 3ﾥk 2ﾥ ﾥﾥ5k 3 3k   k 3 :       ak k3 3k 3k 3k 6k 5k 5  3ﾥ k ﾥ2 ﾥ 9ﾥk ﾥ 3 3 Vậy mệnh đề đúng với n = k+1, nên cũng đúng với mọi  n N * Ví dụ 2:Chứng minh rằng   n , ta có :  an  =    n n n n 2 n Giải  Khi n = 2  , ta có :  a2  =  2 2        đúng Giả sử  mệnh đề đúng với n =k ,  ( k )  ,  tức là : ak   =   k k k k 2 k Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1, nghĩa là :  ak+1 =    k 1 k k k 1 2 k 15 k k k k k k k k k k k k =� ( k + k + 1) 2k + ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + k ) � � � 4 4 42 4 4 43 42 43                                          2 k 2 Vậy mệnh đề  đúng với n = k+1 ,nên mệnh đề đúng với  n   Ví dụ 3:  Chứng minh rằng :  an = 33n +3 − 26n − 27676, ∀n ﾥ * Giải Với n = 1 , ta có :a1  =  33.1 26.1 27 676 676   nên mệnh đề đúng Giả sử mệnh đề đúng với n = k ,  k  tức là : ak  =  33k 26k 27 676 Ta phải chứng minh mệnh đề  đúng với n = k+1,  tức là : ak+1=   33 k Thật vậy :ak+1  =   3( k 26 k 1) 27 676        26( k 1) 27 27 33k 26k 27 ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ 676 ﾥ ﾥ kﾥ ﾥ676 ﾥ 676 676 ( 3.1) Vậy mệnh đề  đúng với n = k+1 , nên mệnh đề đúng với mọi  n Ví dụ 4:   Chứng minh rằng:   n : n 1.2 n 3n 1.2 n 38 Giải Với n = 1 , ta có : 2.1 1.21 31 1.2 2.1 5.4 9.2 3838   nên mệnh đề  đúng   với  n=1 Giả sử mệnh đề  đúng với n = k,  k   tức là : k 1.2 k k 1.2 k 38 Ta   phải   chứng   minh   mệnh   đề       với   n   =   k+1,tức   là  52 k + 2−1.2k +1+1 + 3k +1+1.22 k + 2−1 38 Thật vậy  : 52 k + 2−1.2k +1+1 + k +1+1 22 k + 2−1 = 25.52 k −1.2.2 k +1 + 3.3k +1.4.2k +1 = 50.52 k −1.2 k +1 + 12.3k +1.22 k −1                                     = 50 ( 52 k −1.2k +1 + 3k +1.22 k −1 ) − 38.3k +1.22 k −1 Chia hết cho 38 Vậy mệnh đề đúng với n = k+1 , nên cũng đúng với  n N * Ví dụ 5:  Chứng minh rằng  :  n , ta có :   3n 14n 21n 10n 24   Giải Với n = 1 ta có :  14 21 10 024  , nên (5) đúng  Giả sử mệnh đề  đúng với n = k,  k , nghĩa là : 3k 14k 21k 10k 24  Ta phải chứng minh mệnh đề đúng vói n = k+1 , nghĩa  là: 3k 14 k 21 k 10 k 24      16 Thật vậy :  3k 21 k 14 k 2k 21 k 10 k 10 k k4 4k 6k 4k 14 k 3k 3k 3k 14k 21k _ 10k 12.k k k 24 ﾥ ﾥﾥ ﾥ ﾥ ﾥﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥ ﾥﾥ 24 ( 5.1) 24 Vậy mệnh đề đúng với n = k+1 , nên với  n 3n 14n 21n 10n 24 Bài tập đề nghị Bài 1:   CMR     n N * : 16 n 15n 1225 Bài 2:   CMR    ∀n �N , u n = 13n − 16                                                                  Bài 3:     CMR       ∀n �N ,122n + + 11n + 133                                                            Bài 4:     CMR     n N : 4.32 n 32n 36 64                                                       Bài 5:     CMR     n N : n 2n  chia hết cho 3 Bài 6:     CMR      ( n + 1) ( n + ) ( 2n )  chia hết cho  1.3.5 ( 2n − 1) , n N  5.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: ­ Sau khi tơi dạy một số tiết trên lớp và một số buổi bồi dưỡng thì từ cho tiến  hành kiểm tra khả  năng tiếp thu kiến thức của học sinh trên các lớp tơi dạy  thì thu được kết quả sau: Bài kiểm tra: (15 phút) Câu 1: Biểu thức nào sau đây cho ta giá trị đúng của tổng:  S = 13 + 23 + 33 + + n3 � n ( n + 1) � n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ( 3n + 1) A            B          C        D � � 24 � � Câu   2:Biểu   thức     sau     cho   ta   giá   trị     tổng  S = − + − + − 2n + ( 2n + 1) A   1                  B.  0                           C.n                          D.   n+1 1 1 Câu 3:Với mọi số nguyên dương n,Tổng  S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n n + ( ) n n n +1              B.                         C.                       D.  n +1 n +1 n+2 n+2 Câu 4: Với mọi số nguyên dương n,Tổng  Sn = 32 n − A.  A.  6                 B.  3                           C.  12                         D.  8 Câu 5: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số  tự  nhiên n thỏa mãn  n  thì: A.   2n < n                 B.   2n < 2n               C.   2n < n +              D.  2n > 2n + Câu 6: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương  n thì: A. 1 + 1 1 1 + + + > n                   B.    + + + + >3 n n n 17 C. 1 + 1 1 1 + + + < n                   D.     + + + + >4 n n Câu 7: Với mọi số nguyên dương n 1.Bất đẳng thức nào sau đây là đúng? A.   3n > 4n +             B.   3n > 4n +         C.  3n > 3n +            D.  3n > 3n + Câu 8: Với mọi số nguyên dương n. Tổng  Sn = n3 + 11n  chia hết cho: A.  6                         B.   4                     C.  9                        D.  12 Câu 9: Với mọi số nguyên dương n. Tổng  Sn = n3 + 3n + 5n +  chia hết cho: A.  3                         B.  4                      C.  5                        D.  7 Câu 10.  Với mọi số nguyên dương n. Tổng  Sn = 42 n − 32 n −  chia hết cho: A.   23.3                     B.    22.3.7                C.   2.32.7                  D.   2.3.7 Kết quả thu được: Lớp 11A 11B 11C 11D Năm học 2016­2017 2016­2017 2016­2017 2016­2017 Số học sinh  đạt yêu cầu 21/31 (67,7 %) 23/32 (71,9%) 25/30 (83,3%) 25/29 (88,2%) C. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT  ­ Cần tăng cường hơn nữa hệ thống ví dụ  và bài tập trên sách giáo khoa, tài  liệu   tham   khảo   để   học   sinh   có   thể   tự   nghiên   cứu     vận   dụng   Đề   tài:  “Phương pháp quy nạp tốn học.” trong q trình giải tốn  ­ Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết ,khơng sao chép nội dung của  người khác XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG          Thanh hóa, Ngày 02 tháng 5 năm 2017                                                                                     Người viết đề tài                                                                                         Lê Nguyên Thạch   TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tốn Giải tích và Đại số 11­Trần Thành Minh Chun đề Hàm số ­Hồng Đức Chun đề Hàm số ­Trần Phương Đại số và Giải tích 11­2007 Bài tập Đại số và Giải tích 11­2007 Bài tập Giải tích 12­2007 Đại số và Giải tích 11­2000 18 NHỮNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐàĐƯỢC XẾP LOẠI CẤP  NGÀNH tt Tên đề tài Rèn luyện kỹ năng chứng minh đẳng thức trong Đại  số tổ hợp Các yếu tố tam giác trong khảo sát hàm số Xếp  loại C Năm học B 2014­2015 2013­2014 19 ... khó, sắp xếp trật tự phù hợp với từng đối tượng? ?học? ?sinh để  các em dễ  tiếp  thu  3.Giải? ?pháp? ?và tổ chức thực hiện ­ Đề  tài ? ?Phương? ?pháp? ?quy? ?nạp? ?tốn? ?học. ”  được đưa vào ngay khi  học? ?sinh? ?học? ?  bài ? ?Phương? ?pháp? ?quy? ?nạp? ?tốn? ?học. ” ... +Các sách bồi dưỡng về chun đề? ?Quy? ?nạp? ?tốn? ?học? ?chưa có và chưa  được quan tâm nên rất khó với các em? ?học? ?sinh  ­ Để  giải? ?quy? ??t khó khăn này.Tơi   đã thực nghiệm đề  tài : “ Phương? ? pháp? ?quy? ?nạp? ?tốn? ?học? ??  nhằm hệ thống các kiến thức liên quan từ dễ đến ... Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong q trình? ?học? ?tập của? ?học? ? sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của? ?học? ?sinh ngày càng được tăng   lên 4. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.  PHƯƠNG PHÁP? ?QUY? ?NẠP TỐN HỌC Các kiến thức vận dụng Phương? ?pháp? ?quy? ?nạp? ?thực sự