bat dang thuc

Chuyên đề: Bất đẳng thức Tác giả : Nguyễn Văn Thủy su tập biên soạn năm 2000 chỉnh sửa năm :2007 Bác tặng cháu - chúc cháu thành công A- Mở đầu: Bất đẳng thức mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ yếu tố tam giác tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập , lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phat triển đa dang phong phú tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lôgíc có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hơng Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thứcvà vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Trong thực tế giảng dạy toán trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức vào giải tập có liên quan công việc quan trọngvà thiếu đợc ngời dạy toán ,thông qua rèn luyện T lôgic khả sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức số phơng pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính lí nên tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tốt Danh mục chuyên đề S.t.t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Néi dung trang Phần mở đầu Nội dung chuyên đề Các kiến thức cần lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghià Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10 Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12 Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội 14 Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16 Phơng pháp 8: dùng đổi biến 17 Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai 18 Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học 19 Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21 Các tập nâng cao 23 ứng dụng bất dẳng thức 28 Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 29 Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ ph- 31 ơng trình 20 Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình 33 nghiệm nguyên 21 Tài liệu tham khảo B- nội dung Phần : kiến thức cần lu ý 1- Định nghĩa 2- Tính chất 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu 5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số 6- Phơng pháp làm trội 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 10- Phơng pháp quy nạp 11- Phơng pháp phản chứng Phần :các tập nâng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên Phần I : kiến thức cần lu ý 1-Đinhnghĩa A B A B �0 � �A �B � A  B �0 2-tÝnh chÊt + + + + + + + + + + + + A>B  B  A A>B vµ B >C  A  C A>B  A+C >B + C A>B vµ C > D  A+C > B + D A>B vµ C >  A.C > B.C A>B vµ C <  A.C < B.C < A < B vµ < C B >  A n > B n n A>B  A n > B n víi n lỴ A > B  A n > B n víi n chẵn m > n > A >  A m > A n m > n > vµ  1  A B 3-mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A  víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + An � víi  A ( dÊu = x¶y A = ) + A 0 víi A (dÊu = x¶y A = ) + -A 0) + A B  A  B ( dÊu = xảy A.B < 0) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa Kiến thức : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A B > Lu ý dùng bất đẳng thức M � víi M VÝ dơ  x, y, z chøng minh r»ng : a) x + y + z  xy+ yz + zx b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3  (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiƯu x + y + z - xy – yz - zx = ( x  y )  ( x  z )  ( y  z ) 0 ®óng víi mäi x;y;z �R 2 V× (x-y) �0 víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 �0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z = ( x + y + z - xy – yz – zx)   (y-z)2 �0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x + y + z  xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) 0 ®óng víi mäi x;y;z �R VËy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z �R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1)  DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : a2  b2  a  b   a)  ;b)   a2  b2  c2  a  b  c    3 c) HÃy tổng quát toán gi¶i a) Ta xÐt hiƯu   a2  b2  a  b      a  2ab  b  a2  b2 = = 2a  2b  a  b  2ab =  a  b  0 a2  b2  a  b   VËy      DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiƯu a2  b2  c2  a  b  c    3   2 =  a  b    b  c    c  a  0  a2  b2  c2  a  b  c   VËy  3    DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tỉng qu¸t a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n  Tóm lại bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bíc 3:KÕt luËn A  B Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta cã m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Gi¶i:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1 0         2 2 m  m  m  m     n     p     q     (luôn đúng) 2  m  2 m   2 DÊu b»ng x¶y  m    m   m  n2  m p 0 m 2  p      n  p q 1  m q 0 q    m 22 0  n Bài tập bổ xung phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đợc chứng minh Chú ý đẳng thức sau:  A  B   A  AB  B  A  B  C   A  B  C  AB  AC  BC  A  B   A3  A B  AB  B VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh b2 ab b) a  b  ab  a  b c) a  b  c  d  e a b  c  d  e  a) a  Gi¶i: b2 ab  4a  b 4ab  4a  4a  b 0   2a  b  0 (bÊt đẳng thức đúng) a) a b2 VËy a  ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) b) a  b  ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b  0  (a  b)  (a  1) (b 1) Bất đẳng thøc ci ®óng 2 VËy a  b  ab  a  b DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a  b  c  d  e a b  c  d  e   4 a  b  c  d  e  4a b  c  d  e   a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c 0   a  2b    a  2c    a  2d    a  2c  0     Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh r»ng:  a10  b10  a  b   a  b  a  b  Gi¶i: a  10        b10 a  b  a  b a  b  a 12  a 10 b  a b10  b12 a 12  a b  a b  b12  a b a  b  a b b  a 0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  Bất đẳng thứccuối ta có ®iỊu ph¶i chøng minh VÝ dơ 3: cho x.y =1 vµ x.y Chøng minh x2  y2 2 x y Gi¶i: 2 x y 2 x y  x2+y2 x2+y2+(  (x-y- )2  x2+y2  2 ( x-y) :x y nên x- y  2 2 x+ 2 y 0  x +y +2- 2 x+ 2 y -2 0 2 ) - 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: 1)CM: P(x,y)= x y  y  xy  y  0 x, y  R a2  b2  c2  a  b c 2)CM: (gợi ý :bình phơng vế) 3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mÃn: x y.z 1  1 1    xyz  x y z Chøng minh r»ng :cã ®óng mét ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( x  y  z )=x+y+z - (   )  (v× x  y  z < x y z x+y+z theo gt)  sè x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dơng Nếủ trờng hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trờng hợp tức có ba sè x ,y ,z lµ sè lín Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x y 2 xy 2 b) x  y  xy dÊu( = ) x = y = c)  x  y  4 xy a b b a d) 2)Bất đẳng thức C« sy: a1  a  a3   a n n  a1 a a3 a n n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski a 2 Víi   a22   an2 x12  x22   2n  a1 x1  a2 x2   an xn  4) BÊt đẳng thức Trê- b-sép: a b c A  B C  a b c NÕu   A  B C NÕu   aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  aA  bB  cC a  b  c A  B  C  3  a b c  A  B C DÊu b»ng x¶y  b/ c¸c vÝ dơ vÝ dơ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 10 Phơng pháp 11: Chứng minh ph¶n chøng Lu ý: 1) Gi¶ sư ph¶i chøng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất đẳng thức sai kết hợp với giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý điều trái với giả thiết , điều trái ngợc Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh ®óng 2) Gi¶ sư ta ph¶i chøng minh ln ®Ị G K phép toán mệnh đề cho ta : Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết ln cđa nã Ta thêng dïng h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : A - Dïng mƯnh ®Ị ph¶n ®¶o :   K  G B Phủ định rôi suy trái giả thiết : C Phủ định suy trái với điều D Phủ định suy điều trái ngợc E Phủ định suy kết luận : VÝ dô 1: Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Gi¶ sư a  th× tõ abc >  a a < Mà abc > vµ a <  cb < Tõ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) >  b + c < a < vµ b +c <  a + b +c < tr¸i giả thiết a+b+c > Vậy a > tơng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iỊu kiƯn ac  2.(b+d) Chøng minh có bất đẳng thøc sau lµ sai: , c  4d a  4b Gi¶i : 25