Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: TỐN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/6/2013 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang A = + ÷: Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức x −1 x− x ( x +1 ) x −1 (với x > 0, x ≠ ) Rút gọn A Tìm giá trị lớn biểu thức P = A − 16 x Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x + ( m − 1) x − = (1) (với x ẩn, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = + Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m Tìm m để biểu thức B = (x12 − 9)(x 22 − 4) đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) x + y + z = Giải hệ phương trình xy + yz − zx = x + y + z = 14 ( )( ) 2 2 Tìm tất cặp số thực (x; y) thỏa mãn x + x + y = 4x y Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khác O H khác B) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn hai điểm M N Trên tia đối tia NM lấy điểm C AC cắt đường tròn K khác A, hai dây MN BK cắt ở E Chứng minh tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp Qua N kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt tia MK F Chứng minh tam giác NKF tam giác cân Giả sử KE = KC Chứng minh KM + KN không đổi H di chuyển đoạn thẳng OB Câu (1,5 điểm) ( ) ( Cho x, y số thực thoả mãn x x + 2y − + y − ) = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức C = x + y Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho a2 − ab + số nguyên HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ ký: Giám thị 1: Giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: TỐN - Ngày thi 21/6/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, nếu vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực toàn hội đồng chấm Tuyệt đối không làm tròn điểm II Hướng dẫn chi tiết Câu (1,0 điểm) A= + ÷: x −1 x− x Câu (1,5 điểm ) Câu (2,0 điểm ) 1+ x = x ( ) x −1 ( ) x −1 x +1 ( ) x −1 x +1 = Đáp án Điểm 1 ÷ = + x x −1 x −1 ÷ ( ) ( ) x −1 x +1 x −1 x 0,5 0,5 (0,5 điểm) x −1 − 16 x = − + 16 x ÷ x x + 16 x ≥ 2.4 = ⇒ P ≤ −7 Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có x 1 P = −7 ⇔ = 16 x ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) 16 x Vậy max P = −7 x = 16 (1,0 điểm) P = A − 16 x = ( ) ( ) 0,25 0,25 Phương trình (1) có nghiệm x = + ⇔ + + ( m − 1) + − = 0,25 ⇔ + 2 + 1+ m −1− − = 0,25 ( ( ) ) ⇔ 1+ m = − ⇔ m = ( 4− 2) ( ⇔m= ( + 1) ( 4− 1+ ) ⇔m=5 − 1) −1 0,25 0,25 −6 Vậy với m = − phương trình cho có nghiệm x = + (1,0 điểm) Ta có ∆ = ( m − 1) + 24 > ∀m ⇒ PT (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x ∀m 0,25 B = ( x1x + ) − ( 2x1 + 3x ) 0,25 Theo Vi-ét ta có x1x = −6 ⇒B = − ( 2x1 + 3x ) ≤ 0,25 2 2x1 + 3x = x1 = x1 = −3 ⇔ x = −2 x = B = x1x = −6 x + x = − m m = m = 2 0,25 Vậy maxB = m = m = (1,0 điểm) 14 = x + y + z = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = − ( xy + yz + zx ) Câu (2,0 điểm ) ⇒ xy + yz + zx = 11 Kết hợp với phương trình xy + yz − zx = suy xz = y + ( x + z ) = ⇒ y ( x + z ) hai nghiệm PT X − 6X + = ⇔ X = y ( x + z ) = x + z = ⇒ x z hai nghiệm phương trình Y − 3Y + = ⇔ Y = xz = Y = Do ( x;z ) = ( 1;2 ) ( x;z ) = ( 2;1) Thử lại ta thấy x = 1, y = 3, z = x = 2, y = 3, z = thỏa mãn HPT cho Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y; z) (1; 3; 2) (2; 3; 1) (1,0 điểm) ( x + 1) ( x + y2 ) = 4x y ⇔ x + x y2 + x + y − 4x y = ⇔ x − 2x y + y + x y − 2x y + x = ⇔ ( x − y ) + x ( y − 1) = Câu (3,0 điểm ) x − y = x = x = ±1 ⇔ ⇔ y = y = x ( y − 1) = Vậy cặp số thực (x; y) thỏa mãn toán (0; 0), (1; 1) (-1; 1) (1,0 điểm) · Ta có AHE = 90 (giả thiết) · Mặt khác AKB = 90 (góc nội tiếp chắn · nửa đường tròn) hay AKE = 90 · · ⇒ AHE + AKE = 180 nên tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 (1,0 điểm) · Vì BK ⊥ AC (do AKB = 90 ) NF ⊥ AC (giả thiết) nên BK // NF (2 góc đồng vị) KNF (2 góc so le) (1) · · · · ⇒ KFN = MKB = NKB ¼ » · · = sđMB = sđNB Mặt khác MKB NKB (ĐL góc nội tiếp) 2 ¼ = NB » (vì đường kính AB vng góc với dây cung MN) nên mà MB · · (2) MKB = NKB · · Từ (1) (2) suy KFN Vậy ∆NKF cân K = KNF (1,0 điểm) · Nếu KE = KC ∆KEC vng cân K ⇒ KEC = 450 · · · Tứ giác AHEK nội tiếp nên BAK ) = KEC = 450 (cùng bù với HEK ⇒ ∆AKB vuông cân K ⇒ OK ⊥ AB Mà MN ⊥ AB (gt) nên OK // MN Gọi I giao điểm KO với (O ; R) IK // MN » = NK ¼ ⇒ MI = KN Vì IK MN hai dây cung (O) nên MI · Vì KI đường kính (O) nên KMI = 90o Áp dụng định lí Pitago, ta có : KM + MI = KI hay KM + KN = 4R Vậy: KM + KN không đổi H di chuyển đoạn thẳng OB (0,75 điểm) ( ) ( x x + 2y − + y − ( ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = ⇔ x + 2x y − 3x + y − 4y + = ) ⇔ x + 2x y + y − x + y + x + = 0,25 ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = − x ≤ ∀x Với x + y = C ta có C − 4C + ≤ ⇔ C − 4C + ≤ ⇔ ( C − ) ≤ ⇔ C − ≤ ⇔ −1 ≤ C − ≤ ⇔ ≤ C ≤ Câu (1,5 điểm ) x = x = x = x = C =1⇔ ⇔ C = ⇔ ⇔ ; 2 x + y = y = ±1 x + y = y = ± Vậy minC = x = y = ±1 ; maxC = x = y = ± (0,75 điểm) a2 − 2 số nguyên ⇒ b ( a − ) = a ( ab + ) − ( a + b ) M( ab + ) ab + ⇒ ( a + b ) M( ab + ) 0,25 0,25 0,25 Do tồn số nguyên dương k cho ( a + b ) = k ( ab + ) (1) Nếu k ≥ từ (1) ta có a + b ≥ ab + ⇔ ( a − 1) ( b − 1) + ≤ , mâu thuẫn Do k = Từ (1) ta có ( a + b ) = ab + ⇔ ( a − ) ( b − ) = Giải phương trình với điều kiện a, b nguyên dương a = 3, b = a = 4, b = Thử lại thấy có a = 4, b = thỏa mãn đề Vậy (a; b) = (4; 3) 0,25 0,25 Hết ... thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: TỐN - Ngày thi 21/6/2013 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) I Hướng... = Vậy cặp số thực (x; y) thỏa mãn toán (0; 0), (1; 1) (-1; 1) (1,0 điểm) · Ta có AHE = 90 (giả thi? ?́t) · Mặt khác AKB = 90 (góc nội tiếp chắn · nửa đường tròn) hay AKE = 90 · · ⇒ AHE + AKE... tiếp 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 (1,0 điểm) · Vì BK ⊥ AC (do AKB = 90 ) NF ⊥ AC (giả thi? ?́t) nên BK // NF (2 góc đồng vị) KNF (2 góc so le) (1) · · · · ⇒ KFN = MKB = NKB ¼ » · · = sđMB