Đây là đề thi vào 10 chuyên toán chính thức của trường thpt chuyên lương văn tụy ninh bình, có hướng dẫn chấm chi tiết. Trường thpt chuyên LVT là một trong số những trường chuyên top đầu trong hệ thống trường chuyên của nước ta, trường đã trải giành được rất nhiều giải thưởng và danh hiệu vô cùng cao quý. Đề thi chuyên Toán của trường luôn được đánh giá hay, phân loại tốt và kiến thức thi vô cùng đa dạng, hữu ích cho những em học sinh lớp 9 đang ôn thi vào 10 chuyên toán ninh bình nói riêng và cả nước nói chung. Chúc các em học file tài liệu này sẽ đỗ vào lớp 10 chuyên toán của trường thpt chuyên mà mình mong ước.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn: TỐN – VỊNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu (3 điểm): x− x x + x − x −5 + Cho biểu thức: P = ÷ ÷: x + − x − x − ÷ ÷ x − x − x − với x∈R x ≥ 0, x ≠ a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x thỏa mãn P = c) Tìm giá trị nhỏ P Câu (3 điểm): a) Rút gọn A = − − 29 −12 b) Giải phương trình: 4x + y = 4xy + 4x − 2y − x + y − − c) Giải hệ phương trình: x = y + y = z + z = x +1 Câu (1 điểm): · Cho tam giác ABC có BAC = 750 , đường cao AH, H thuộc đoạn BC BH = · · Chứng minh rằng: AH = BH Xác định số đo góc ABC, ACB CH Câu (2 điểm): Cho nửa đường trịn đường kính AB, tâm O, bán kính R C điểm cung AB Trên đoạn OC lấy điểm M, N cho OC = 2OM = 3ON; tia AM cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai D; tia BN cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai E; gọi I giao điểm AM BN a) Tính diện tích tam giác IAB theo R · b) Chứng minh rằng: Góc DOE có số đo 900 Câu (1 điểm): Cho ba số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 = z2 Chứng minh rằng: xy M12 HẾT -Họ tên thí sinh : Số báo danh Họ tên, chữ ký giám thị 1: Họ tên, chữ ký giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn: TỐN – VỊNG II Hướng dẫn chấm gồm trang I Hướng dẫn chung Bài làm học sinh đến đâu cho điểm đến Học sinh sử dụng kết câu trước làm câu sau Đối với hình, vẽ sai hình khơng vẽ hình khơng cho điểm Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho điểm đủ phần hướng dẫn, thang điểm chi tiết tổ chấm thống Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch đảm bảo thống thực toàn hội đồng chấm Tuyệt đối khơng trịn điểm II Hướng dẫn chi tiết Câu ( điểm): a) điểm x− x x +2 x − x −5 P = + : − ÷ ÷ ÷ x −2÷ ( x + 1)( x − 2) x + ( x + 1)( x − 2) 0,25 = (x − x ) + 4( x + 1) ( x + 2)( x − 2) − (x − x − 5) : ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) 0,25 = x +3 x +4 x +1 : ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) 0,25 = x +3 x +4 x +1 0,25 b) điểm 0,5 0,5 x +3 x +4 =4⇔ x− x =0 x +1 x = ⇔ x = P=4⇔ Kết luận: x = 0; x = c) 1,0điểm P= x+3 x +4 2 = x +2+ = x +1+ +1 x +1 x +1 x +1 0,25 Áp dụng BĐT liên hệ TBC TBN (BĐT Cô-si) x +1+ 2 ≥ ( x + 1) =2 x +1 x +1 ⇒ P ≥ 2 +1 Đẳng thức xảy x + = 0,25 ⇔ x +1 = ⇔ x = −1 ⇔ x = − 2 x +1 Vậy Min P = 2 + , đạt x = − 2 0,25 0,25 Câu (3 điểm): a (1 điểm): A= = − − (2 − 3) − 6−2 = − ( −1) = − ( −1) =1 b (1 điểm): Điều kiện: x + y ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 4x + y = 4xy + 4x - 2y - x + y - -1 ⇔ (2x - y) - 2(2x - y) + 1- x + y - = ⇔ (2x - y -1) + x + y - = 2x - y -1 = ⇔ x + y - = x = ⇔ y = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) 0,25 0,25 0.25 c (1 điểm): Điều kiện xác định: x, y, z ≥ Giả sử x = Max{x; y; z} ⇒ x = Max{ x , y, z} ⇒ z=Max{x; y; z} ⇒x = z ⇒x = y = z 0,5 x = x −1 ⇔ x − x −1 = ⇔ x = + ⇔ x = + 2 0,25 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm x = y = z = + 2 Câu (1 điểm): 0,25 A B C H · · · · · + Nếu AH > BH ABH > BAH ⇒ ABH > 450 ( ABH + BAH = 900 ) 0.25 · · · · ⇒ ACH < 600 ( ABH + ACH = 1800 − ABC = 1050 ) · ⇒ tan ACH < tan 600 = · = Mà tan ACH AH · ⇒ AH = CH.tan ACH ⇒ AH < CH ⇒ AH < BH ⇒ Mâu thuẫn CH + Nếu AH < BH tương tự ta suy mâu thuẫn Do đó: AH = BH 0,25 · · = 450 , ACB = 600 Dễ thấy tam giác ABC có ABC Câu (2 điểm): 0.25 0,25 C D E A IM N H O B a) điểm 0.25 Kẻ IH vng góc với AB H ⇒ IH || OC3 0.25 0.25 IH AH IH OM OM = AO AH = AO = AH = 2IH AH ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ = IH BH IH ON BH = 3IH BH = = = ON BO BH BO 0.25 4R AH = 2R ⇒ IH = Mà AH + BH = AB = 2R ⇒ BH = 6R ⇒ SIAB = 0.25 2R IH.AB = b) điểm 2 Áp dụng định lí Pi-ta-go tam giác IAH OBN ta có: IA = IH + AH = NB = OB2 + ON = 2R , 0,25 R 10 AE AB AB.NO 2R Ta có: ∆AEB : ∆NOB ⇒ NO = NB ⇒ AE = NB = 10 0.25 · Trong tam giác AEI có: AEI = 900 , AE = 2R 2R 2R , AI = ⇒ EI = AI − AE = ⇒ AE = EI ⇒ ∆AEI vuông cân đỉnh E 10 10 · · ⇒ EAI = 45 hay ⇒ EAD = 45 0,25 · · · Mặt khác EOD = 2.EAD ⇒ EOD = 900 0,25 Câu (1 điểm) : a ≡ 0(mod3) *) Nhận xét: Với số nguyên a ta có a ≡ 1(mod3) Thật vậy: Giả sử a M3 ⇒ a = 3k ± ⇒ a = 9k ± 6k + ≡ 1(mod3) Do đó: x ≡ 1(mod3) ⇒ z ≡ 2(mod3) ⇒ MT Nếu x y khơng chia hết cho y ≡ 1(mod3) Suy ra: Ít hai số x, y phải chia hết cho 3⇒ xy M3 x ≡ 1(mod4) z ≡ 2(mod4) ⇒ MT *) Nếu x, y lẻ suy z chẵn ⇒ y ≡ 1(mod4) ⇒ z ≡ 0(mod4) z ≡ 0(mod4) *) Nếu x, y chẵn xyM4 ⇒ xyM12 0.25 0.25 *) Nếu hai số x, y có số chẵn số lẻ x ≡ 1(mod8) ⇒ y2 = z − x M ⇒ y M4 ⇒ xy M4 Giả sử x lẻ, y chẵn suy z lẻ z ≡ 1(mod8) xy M3 ⇒ xy M 12 (vì (x; y) = 1) Vậy xy M4 0.25 0.25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn: TỐN – VỊNG II Hướng dẫn chấm gồm trang... 0,25 R 10 AE AB AB.NO 2R Ta có: ∆AEB : ∆NOB ⇒ NO = NB ⇒ AE = NB = 10 0.25 · Trong tam giác AEI có: AEI = 900 , AE = 2R 2R 2R , AI = ⇒ EI = AI − AE = ⇒ AE = EI ⇒ ∆AEI vuông cân đỉnh E 10 10 · ·... BH ABH > BAH ⇒ ABH > 450 ( ABH + BAH = 900 ) 0.25 · · · · ⇒ ACH < 600 ( ABH + ACH = 1800 − ABC = 105 0 ) · ⇒ tan ACH < tan 600 = · = Mà tan ACH AH · ⇒ AH = CH.tan ACH ⇒ AH < CH ⇒ AH < BH ⇒ Mâu thuẫn