50 ĐỀ HSG 8 TOÁN

2 Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 51 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (6 điểm) Cho biểu thức: 2x  �21  x  x � 2x  P�   1 �: 2 �4 x  12 x  13 x  x  20 x  � x  x  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P  Câu (3 điểm) Giải phương trình: a) 15x �1 �  1 12�  � x  3x  �x  3x  � 148  x 169  x 186  x 199  x     10 23 21 19 b) 25 c) x   Câu (2 điểm)Giải Câu toán cách lập phương trình: Một người xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm 5km / h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách A B vận tốc dự định người Câu (7 điểm) Cho hình chữ nhật A BCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng C qua P a) Tứ giác AMDB hình ? b) Gọi E F hình chiếu điểm M lân AB, AD Chứng minh EF / /AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP  BD CP  2,4cm, PD  PB 16 Tính cạnh hình chữ nhật ABCD 2008 2010 Câu (2 điểm) a) Chứng minh rằng: 2009  2011 chia hết cho 2010 x,y,z số lớn Chứng minh rằng: b) Cho Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1  � 2 1 xy 1 x 1 y HƯỚNG DẪN GIẢI 3 x � ;x � ;x � ;x � ;x �4 2 Câu 1.Điều kiện: a) Rút gọn P 2x  2x  � x � x �� 2 � x  � b) ) x  c) 1 1 � .P  ;  ) x  � .P  2 P 2x   1 ��� x  5�U(2)   2; 1;1;2 2x  x x   2 � x  (tm) x   1� x  (ktm) x   1� x  (tm) x   2 � x  (tm) Kết luận: d) P x � 3;6;7 P nhận giá trị nguyên 2x   1 2x  x Ta có:   0� x   � x  Để P  x  Với x  5thì P  Câu a) Ta có: 15x �1 �   12�  � x  3x  �x  3x  � � �1 15x �  1 12 �  �DK :x �4;x �1 x  3 x  1 �  x  4  x  1 � Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com � 3.15x  3 x  4  x  1  3.12 x  1  12 x  4 � 3x  � x  (TM ) � 3x x  4  � � �� x 4 � x  4 (KTM ) � S   0 b) Ta có: 148  x 169  x 186  x 199  x     10 25 23 21 19 �148  x � �169  x � �186  x � �199  x � ��  1� �  2� �  3� �  4� � 25 � � 23 � � 21 � � 19 � �1 1 � �  123 x �    � � 123 x  � x  123 �25 23 21 19 � S   123 x   c) Ta có: x  �0x � x    nên x   x  Phương trình viết dạng: x    � x   5 � x   � x 2 � x �� �� x   2 � x0 � Vậy S   0;4 Câu 3.Gọi khoảng cách A B x(km) (x  0) Vận tốc dự định người xe gắn máy là: x 3x  (km / h) 10 3 3h20'  (h) 3x  5(km / h) 5km / h Vận tốc người xe gắn máy tăng lên là: 10 �3x �  x � x  150(tm) �10  5� � � Theo đề Câu ta có phương trình: Vậy khoảng cách A B 150km 3.150  45(km / h) Vận tốc dự định là: 10 Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD � PO đường trung bình tam giác CAM � AM / /PO � AMDB hình thang � � b) Do A M / /BD nên OBA  MAE (đồng vị) � � Tam giác A OB cân O nên OBA  OAB Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật AEMF AIE cân I nên �  IEA � IAE � � Từ chứng minh : có FEA  OAB, đó: EF / /AC (1) Mặt khác IP đường trung bình MA C nên IP / /A C (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E,F,P thẳng hàng c) MAF : DBA(g.g) � MF A D  FA AB Không đổi PD PD PB  �   k � PD  9k,PB  16k 16 d) Nếu PB 16 Nếu CP  BD Do đó: CBD : DCP(g.g) � CP  PB.PD hay PD  9k  1,8(cm);  2,4 CP PB  PD CP  9.16k � k  0,2 PB  16k  3,2(cm) BD  5(cm) Chứng minh BC  BP.BD  16 , đó: BC  4cm, CD  3cm Câu a) Ta có: Vì     20092008  20112010  20092008   20112010    20092008    2009  1 20092007   2010.  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp chia hết cho 2010 (1) TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì   20112010    2011 1 20112009   2010. . chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh b) 1  � 2 1 xy 1 x 1 y (1) � 1 �� 1 � �� 2 ��0 � �   xy  xy  x  y � �� � x(y  x) y(x  y) �  �0 1 x2  1 xy  1 y2 (1 xy)     y  x  xy  1  ۳ Vì  1 x   1 y  (1 xy) 2 x �1;y ��  1�xy (2) xy � BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x  y (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 52 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (6 điểm) a) Giải phương trình: y2  2y   x  2x  1 1    �0 b) Giải bất phương trình: x  5x  x  7x  12 x  9x  20 x  11x  30 Câu (5 điểm) 2.1 ) Cho đa thức P(x)  6x  7x  16x  m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x  b) Với m vừa tìm câu a, tìm số dư chia P(x) cho 3x  phân tích thừa số bậc 2.2) Cho đa thức P(x)  x  ax  bx  cx  dx  e Biết P(1)  1;P(2)  4;P(3)  16;P(5)  25 Tính P(6);P(7)? Câu (2 điểm) Cho a,b,c�� 0;1� � a  b  c  � Tìm giá trị lớn biểu thức P  a2  b2  c2 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu (7 điểm) Cho hình bình hành ABCD  AC  BD  Gọi E, F hình chiếu B,D lên AC; H, K hình chiếu C AB AC a) Tứ giác DFBE hình ? Vì ? b) Chứng minh: CHK : BCA c) Chứng minh: AC  AB.AH  AD.A K HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) Ta có: y2  2y   � y2  2y  x2  2x   x  2x     2 ��  x  1  3�  y  1  2�� � �� � �  x  1  y  1  3 y  1  2 x  1   2 2 �  x  1  y  1  3 y  1  2 x  1  Vì  x  1 2 2 �0; y  1 �0 2 � x  1 � x  1 �� �� y  1 � y1 � 1 1    �0 x  5x  x  7x  12 x  9x  20 x  11x  30 1 1 �    �0 x �1;2;3;4;5;6  x  2  x  3  x  3  x  4  x  4  x  5  x  5  x  6 b) 1 1 1 1        �0 x x x x x x x x 1 4 ��۳� 0  x 2  x 6 x x  x  2  x  6 � � � x 2 � � x 6 � 2 x  � �� � � � x �� � x 2 � � � x 6 � � � Kết hợp với điều kiện ta có  x  x �3;4;5 Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 2 2.1) a) P(x)  6x  7x  16x  m  6x  9x  16x  24x  8x  12  m  12  3x2  2x  3  8x  2x  3  4 2x  3  m  12     2x  3 3x2  8x   m  12 Để P(x)M 2x  3 m  12  � m  12 3 2 b) Với m  12;P(x)  6x  7x  16x  12  6x  4x  3x  2x  18x  12    2x2  3x  2  x  3x  2  6 3x  2   3x  2 2x2  x  Phân tích P(x) tích thừa số bậc nhất: P(x)  6x3  7x2  16x  12   2x  3  3x  2  x  2 2.2 ) Vì P(1)  1;P(2)  4;P(3)  9;P(4)  16;P(5)  25 Mà P(x)  x5  ax4  bx3  cx2  dx  e � P(x)   x  1  x  2  x  3  x  4  x  5  x2 � P(6)  5.4.3.2.1 62  156 � P(7)  6.5.4.3.2  72  769 Câu Vì a,b,c�� 0;1� ��  1 a  1 b  1 c �0 � Ta có:  1 a  1 b  1 c  1  a  b  c   ab  bc  ac  abc Vi a  b  c  2  1  ab  bc  ac  abc �0 � ab  bc  ac �abc  1�1(Vi  a  b  c Lại có: abc �0) � 2 ab  bc  ac �2  a2  b2  c2  2 ab  bc  ac � P  a2  b2  c2   a  b  c  2 ab  bc  ac   2 ab  bc  ac �4   2 Vậy Pmax  �  a,b,c hoán vị  0;1;1 Câu Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a) DF / /BE (vì vng góc với AC) AFD  CEB (Cạnh huyền – góc nhọn) � DF  BE � DFBE hình bình hành � b) BC / /AK � BCK  90 �  900  BCH � ABC (góc ngồi CHB) �  900  BCH � � ABC �  HCK � HCK � � � Có: CKD  ACD  DAC (góc DKC) � � � � �  BAC �  BCA � HBC mà BCA  DAC;BAC  DCA � CKD : CBH � c) CD CK AB CK  �  � CHK : BCA  c.g.c BC CH BC CH AEB : AHC � AB AE  � AE.AC  AB.AH  1 AC AH AFD : AKC � AF AD  � AF.AC  AD.AK  2 AK AC Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: AE.A C  AF.A C  AB.AH  AD.A K(3) Mà AFD  CEB cmt � AF  CE  3 � AC. AE  EC   AB.AH  AD.AK � AC  AB.AH  AD.AK (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 53 ĐỀ THI CHỌN HSG TỐN LỚP Câu (6 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1    a) Giải phương trình: x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 b) Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   �3 b c a a c b a b  c Câu (5 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm số nguyên n để n  1chia hết cho n  Câu (3 điểm) 1   �9 a) Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh rằng: a b c 2000 2000 2001 2001 2002 2002 b) Cho a,b dương a  b  a  b  a  b 2011 2011 Tính a  b Câu (6 điểm) Cho tam giác A BC vuông A Gọi M điểm di động AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM cắt tia BM H, cắt tia BA O Chứng minh rằng: a)OA.OB  OC.OH � b) OHA có số đo khơng đổi c) Tổng BM.BH  CM.CA khơng đổi Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) ĐKXĐ: x �4;x �5;x �6;x �7 Phương trình trở thành: 1    x  4  x  5  x  5  x  6  x  6  x  7  18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 1 �   x  x  18 � 18(x  7)  18 x  4   x  7  x  4 � � x  13 �  x  13  x  2  � � x � b) Đặt b  c  a  x  0; Từ suy a c  a  b  y  0; a b c  z  yz x y x z ;b  ;c  2 Thay vào ta được: A � �y x � �x z � �y z � y  z x z x y 1�    � � �  � �  � �  � 2x 2y 2z 2� � �x y � �z x � �z y � A �    2 Từ suy hay A �3 � a  b  c Câu a) Gọi số phải tìm a b , ta có a  b chia hết cho   a3  b3   a  b a2  ab  b2   a  b �  a  b  3ab� � � Ta có:  a  b  3ab chia hết cho Vì a  b chia hết Do vậy, b)  a  b �  a  b �   3ab� �chia hết cho     n5  1Mn3  � n5  n2  n2  Mn3      �  n  1  n  1 M n  1  n  � n2 n3   n2  Mn3   n1 � n  1Mn2  n  � n  n  1 Mn2  n  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x    x  1  x  1  x    �  x  1  x    � x  x  � x  x    x  (ktm) � � �� x  (tm) � x   (ktm) � x  2, phương trình cho trở thành: +)Nếu   x   x  1  x  1  x    �  x    x  1  x  1  x    4 �  x  1  x    4 � x4  5x2   � 5� � �x  �  � 2� vô nghiệm Phương trình có nghiệm x  Câu 1) Ta có: n3  n  n  n  1  n  1 Vì n  1; n; n  ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số chia hết cho n Do  n M (2) Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với n  n  M24 2) Giả sử  1 ;   suy  dpcm  n  4n  2013  m  m ��  n  2 Suy  2009  m � m   n    2009 �  m  n    m  n    2009 Mặt khác 2009  2009.1  287.7  49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com m  n   2009 m  1005 � � TH 1: � �� m  n  1 n  1002 � � m  n   287 m  147 � � TH : � �� mn27 n  138 � � m  n   49 � m  45 � TH 3: � �� m  n   41 n2 � � Vậy số cần tìm 1002;138;2 Câu 1) a) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB  AD  a, BC  2a Diện tích hình thang ABCD b) S  AB  CD  AD   a  2a  a  3a 2 2 � ADH  � ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB   , DC BC hai tam giác ADC IBD đồng dạng � � Suy ACD  BDI Từ (2) �  1 ,   � � ADH  BDI 0 � � � � � Mà ADH  BDH  45 � BDI  BDH  45 hay HDI  45 2) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M � � Ta có: BAD  AMC (hai góc vị trí đồng vị) � � DAC ACM (hai góc vị trí so le trong) �  DAC � � BAD AMC  � ACM ACM Mà nên hay cân A, suy AM  AC  b AD BA c   BM b  c Do AD / / CM nên CM c AD 1 �1 � CM  AM  AC  2b �  �  �  � (1) b  c 2b la �b c � Mà �1 � 1 �1 �  �  �(2);  �  �(3) l c a � lc �a b � Tương tự ta có: b � Cộng  1 ;   ;  3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu Ta có: a  �2a; b  �2b � a  b  �2a  2b � a  b �2 2 2 1  � Chứng minh với hai số dương x, y x y x  y � �1 S  2�  �1 ��2  a  b  a   b  � � Do đó: Vậy GTLN S 1, dạt a  b  (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐỀ SỐ 99 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Câu (4 điểm) �  a  1  a  4a �a  4a M �  �: a  4a a  a    � � � � Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm a để M  c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Câu (5 điểm) 1) Giải phương trình sau: x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 a) b) x  x   2) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm  x x  2 x  m    xm xm m2  x 3) Tìm a, b cho f ( x)  ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g ( x)  x  x  Câu (4 điểm) x  y  z  x3  y  z  Tính A  x 2015  y 2015  z 2015 2) Một người dự định xe máy từ A đến B với vận tốc 30km / h, sau người nghỉ hết 15 phút, phải tăng vận tốc thêm 10km / h để đến B định Tính quãng đường AB ? 1) Cho Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE  CM a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ hàng CH  BN  H �BN  Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng Câu (2 điểm) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  2016 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    2015  a 2016  b 2017  c P HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (2 điểm) a) Điều kiện: a �0; a �1 �  a  1  2a  4a �a3  4a M �   �: a  a  4a a  a    � � � � Ta có: � a  1  2a  a � 4a  �2   � 2 a  a  a  a  a  a  a a  4      � � � �  a  1     a  4a  a  a   a  1  a  a  1 4a a 4 a  3a  3a    2a  4a  a  a  4a a 4  a  1  a  a  1 a  4a 4a   a 1 a  a  b) M  � 4a  � a  Kết hợp với điều kiện suy M  a  a �1 a     a  4a    a  2 4a  M  1 2 a  a  a 4 c) Ta có:  a  2 2 Vì a  �0 với a nên  a  2  a  2 1 a2  �1 với a 2 Dấu "  " xảy a  Vậy MaxM  a  0�a2 Câu 1) a) Ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x  x  x 6 x 8    98 96 94 92 �x  � �x  � �x  � �x  � ��  1� �  1� �  1� �  1� � 98 � � 96 � �94 � �92 � 1 � �1 �  x  100  �    � �98 96 94 92 � 1 1    �0 Vì 98 96 94 92 Do đó: x  100  � x  100 Vậy phương trình có nghiệm : x  100 b) Ta có: x  x3   �  x  1  x3    �  x  1  x  x  1  x    x  x     * � 1� x  x   �x  �  2 x  x   x    với x   � � Do  * �  x  1  x    � x � 1;2 Nên  x x  2 x  m    m2  x2 2) x  m x  m m x ĐKXĐ: x  m �0 x �۹� (1) m �   x   x  m    x  2  x  m     x  m  �  2m  1 x  m   * +Nếu 2m   � m  3  * � x  ta có: (vơ nghiệm) m2 m�  * � x  2m  ta có +Nếu - Xét x  m � m2  m � m   2m  m 2m  � 1� � 2m  m   � m  m   � � m  �  � 2� 2 (Khơng xảy vế trái ln dương) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét x   m m2   m � m    2m  m 2m  � m  � m  �1 � Vậy phương trình vơ nghiệm 3) Ta có: m m  �1 g ( x)  x  x    x  1  x   f ( x)  ax  bx  10 x  chia hết cho đa thức g  x   x  x  q ( x) cho f ( x)  g ( x).q ( x) Nên tồn đa thức Vì � ax3  bx  10 x    x    x  1 q( x)  1 Với x  � a  b   � b   a  Với x  2 � a  b     Thay  1 vào   ta có: a  4 b  2 Câu x  y  z 1�  x  y  z 1 1) Từ Mà x3  y  z  �  x  y  z   x3  y  z  �  x  y  z   z   x3  y3   �  x  y  z  z �  x  y   x  xy  y    x  y  z   x  y  z  z  z2 � � � �  x  y   x  y  z  xy  yz  xz  xz  yz  z  z  x  xy  y   �  x  y   3z  xy  yz  xz   �  x  y  3 y  z   x  z   x y0 x  y � � �� yz0� � y  z � � � � xz0 x  z � � 2015 2015 2015 * Nếu x   y � z  � A  x  y  z  2015 2015 2015 * Nếu y   z � x  � A  x  y  z  2015 2015 2015 * Nếu x   z � y  � A  x  y  z  Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2) Gọi x  km  độ dài quãng đường AB ĐK: x  x Thời gian dự kiến hết quãng đường AB: 30 (giờ) 30(km) Quãng đường sau giờ: Quãng đường lại : x  30  km  x  30 Thời gian quãng đường lại: 40 (giờ) x x  30 1  40 Theo ta có phương trình: 30 � x  30.5  3. x  30  � x  60 (thỏa mãn) Vậy quãng đường AB 60km Câu a) Xét OEB OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB  OC Và �C �  450 B 1 BE  CM  gt  Suy OEM  OMC (c.g.c ) � � � OE  OM O1  O3 � O �  BOC �  900 O tứ giác ABCD hình vng � O �  EOM �  900 �O kết hợp với OE  OM � OEM vuông cân O Lại có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Từ giả thiết ABCD hình vng � AB  CD AB / / CD AM BM  MN MC (định lý Ta-let)  *  * AB  CD � AE  BM  AB / / CD � AB / / CN � Mà BE  CM  gt  thay vào AM AE  � ME / / BN MN EB Ta có: (theo Định lý Talet đảo) c) Gọi H ' giao điểm OM BN � � Từ ME / / BN � OME  MH ' B � � � MH ' B  45 Mà OME  45 OEM vng cân O 0 � C � OMC : BMH '  g g  OM MC �  , �  CMH � ' BM MH kết hợp OMB (hai góc đối đỉnh) �  MH � ' C  450 � OMB : CMH '(c.g.c) � OBM � � � Vậy BH ' C  BH ' M  MH ' C  90 � CH '  BN Mà CH  � BN  H BN  H H' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu Ta có: 2a  3b  3c  3a  2b  3c 3a  3b  2c    2015  a 2016  b 2017  c b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031    2015  a 2016  b 2017  c P Đặt 2015  a  x 2016  b  y 2017  c  z b  c  4033 c  a  4032 a  b  4031   2015  a 2016  b 2017  c yz zx x y y x x z y z          x y z x y z x z y P �2 y x z x y z 2 2 6 x y x z z y Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp (Co  si ) TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dấu "  " xảy x  y  z suy Vậy giá trị nhỏ biểu thức a  673, b  672, c  671 P a  673, b  672, c  671 (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 100 ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN LỚP Bài (4,5 điểm) 6x  �1 � Q�   :  x  2 � x  x  x  x  � � Cho biểu thức : Q, rút gọn Q a) Tìm điều kiện xác định Q b) Tìm x c) Tìm giá trị lớn biểu thức Q Bài (4,5 điểm) a) Giải phương trình : 2x  2x  6x2  9x   1 2x  2x   x  1  x   b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  x  x  y  y  13 c) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho : 2 Bài (4,0 điểm) ab  bc  ca    b c a abc � � a) Cho Chứng minh a  b  c b) Cho số tự nhiên n  Chứng minh 2n  10a  b  a, b ��,0  b  10  tích ab chia hết cho Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC  DH DA HD HE HF    AD BE CF b) Chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com d) Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC , CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Bài (1,0 điểm) AB  AC  b; BC  a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh Cho tam giác ABC cân A có rằng: 1 b   b a  a  b Bài (1,0 điểm) a b c   �  c2  a2 Cho a, b, c  0; a  b  c  Chứng minh rằng:  b HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a) ĐK: Q b) x �1; x �2 x2  x   x   x   x    x  1   x3  x   x  1  x    x  x  1 x  x  x  1 � 1  � x  x   � x  x   �     � x2 x2  x  � So sánh với điều kiện suy x  Q � 1� 3 Q ;  0; x  x   �x  � �  � 2� 4 x  x  Vì c) Q GTLN � x  x   � x  tm   Q đạt GTLN � x  x  đạt Lúc Vậy GTLN Q Q x 1 7 x � ;x � 2 Câu a) ĐK: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com  x  3  x     x  5  x  1   x    x  1  x  x   x  1  x    x    x  1  x    x  1  x    x  1 x  20 x  21  x  12 x  x  16 x   x  x  �   x    x  1  x    x  1 x  16 2 x  x  16 �   x    x  1  2x  7 � x  16  2 x  x  16 � x  x  � x  x  1  x  (tm) � � � 1 � x (ktm) � Vậy phương trình có nghiệm x  b) Ta có x3  x  x    x  x    x    x  x     x     x    x  1  x  1 c) Ta có: x  y  y  13 � x   y  1  12 �  x  y  1  x  y  1  12 Do x  y    x  y  1  y  số chẵn x, y ��* nên x  y   x  y  Do x  y  x  y  hai số nguyên dương chẵn Từ suy có trường hợp : � x  y  Vậy  x; y    4;1 x  y   x  y   Câu ab  bc  ca  1 1   �a b c b c a b c a a) Từ Do đó: ab  1 bc 1 ca 1 a b   ;b  c    ;c  a    c b bc a c ac b a ab Suy :  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c   c  a  a 2b 2c �  a  b   b  c   c  a   a 2b 2c  1  �  a  b  b  c  c  a  1) (do abc �� Suy a  b  c Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có: 2n  10a  b � bM2 � abM2 (1) (2) Ta chứng minh abM Thật , từ đẳng thức  10a  b � có chữ số tận b n Đặt n Σ� 4k r  k , r �,0 r 3 n ta có:  16 n k r 2n  2r  2r. 16k  1 M 10 � 2n r r  Nếu tận Suy Từ b  2r � 10a  2n  2r  2r. 16k  1 M � aM � abM  1   suy abM Câu a) Chỉ S HBC S ABC b) Ta có: BDH : ADC ( g.g ) � BD DH  � BD.DC  DH DA AD DC HD.BC HD   AD.BC AD HE S HAC HF S HAB  ;  BE S CF S ABC ABC Tương tự HD HE HF S HBC  S HAC  S HAB S ABC     1 AD BE CF S S ABC ABC Do đó: c) Chứng minh �  ABC � AEF : ABC  c.g c  � AEF � � � � Tương tự: DEC  ABC Do đó: AEF  DEC � � � � � � Mà AEF  HEF  DEC  HED  90 nên HEF  HED Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com � EH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF EM  BC d) Do BEC vuông E, M trung điểm BC nên (trung tuyến FM  BC ứng với cạnh huyền), Tương tự: MQ  EF Do đó: EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên � MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực MQ, NI , PK đồng quy điểm tam giác DEF nên ba đường thẳng Câu Vẽ BH đường cao tam giác ABC  BA  BD  có BH đường cao nên đường trung Tam giác BAD cân B tuyến AD Tam giác ABC có BD đường phân giác, ta có: � AH  DA AB b DA DC DA  DC AC b b2   �     � DA  DC BC a b a ab a b a b ab Tam giác HAB vuông H, theo định lý Pytago ta có: AB  BH  AH � BH  b  AD (1) Tam giác HBC vuông H, theo định lý Pytago, ta có: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com BC  BH  HC � BH  BC   AC  AH  2 2 2 � AD � a � b � � � AD � BH  a  b  b AD  (2) 2 Từ (1) (2) ta có: AD AD 2 b   a  b  b AD  � b  a  b AD  b 4  ab a b b 1 b �  b  a  b  a  �  �   ab ab b a  a  b  a  b Vậy toán dược chứng minh Câu Do a, b   b2 �2b với b nên: a ab ab2 ab  a  � a   a   b2  b2 2b b bc c ca �b  ; �c  2 1 a Tương tự ta có:  c a b c ab  bc  ca   �3  2 1 c 1 a Mà a  b  c  nên  b (1) a  b  c  �  a  b  c  Cũng từ � a  b  c   ab  bc  ca   2 Mà a  b �2ab; b  c �2bc; c  a �2ac nên a  b  c �ab  bc  ca Suy 2 2  ab  bc  ca  �9 � ab  bc  ca �3   a b c 3   �   2 1 ,     b  c  a 2 Từ suy Đẳng thức xảy � a  b  c   dpcm  (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) _HẾT _ Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 6 86 84 82 b) �x  214 � �x  132 � �x  54 � ��  1� �  2� �  3� � 86 � � 84 � � 82 � x  300 x  300 x  300 �   0 86 84 82 �1 1 � �  x  300 �   �� x  300  � x  300 ? ?86 84 82 ...  5)  15  a a a    a2  8a  a2  8a  15  15     8a  22 a2  8a  120   8a  12  a  8a  10   a  2  a  6  a  8a  10 2  8a  11  12 2 Câu 2.Giả sử :  x ... 4y  ? ?8  x  4  y  4  1 .8  2.4 Từ ta tìm giá trị x,y,z là:  x;y;z  �  5;12;13 ; 12;5;13 ; 6 ;8; 10 ;  8; 6;10  (Học sinh làm cách khác điểm tối đa) ĐỀ SỐ 58 ĐỀ THI CHỌN HSG TỐN