THÔNG TIN TÀI LIỆU
TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN LỚP TỪ INTERNET Họ tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ Giáo viên Toán cấp -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam" QUẢNG NAM, THÁNG 03-2018 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go LỜI NĨI ĐẦU Sơ lược thân, tơi Hồ Khắc Vũ, giáo viên sư phạm Toán c ấp 2-3 t ốt nghiệp khoa Sư phạm Toán, trường đại học Quảng Nam Với mong muốn tìm tòi, sưu tầm tập hợp tất đề Toán l ớp c kỳ thi Học sinh giỏi cấp để anh chị em đồng nghi ệp, b ậc ph ụ huynh em học sinh có tài liệu để tham kh ảo, ôn t ập luy ện thi Với lý đó, tơi sưu tầm 500 đề thi HSG toán m ạng đ ể cho vào file PDF này, file mang giá trị vơ giá, v ới m ục đích t ới t ận tay ng ười học mà không tốn đồng phí Lý tơi ch ọn file PDF ch ứ không ph ải file word đơn giản để khỏi lỗi font chữ anh chị em có th ể chỉnh sửa font chữ tơi sẵn sàng chia sẻ file word vơ t Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng giúp anh ch ị em đồng nghiệp ôn tập tốt em học sinh l ớp luy ện nhuần nhuyễn trước bước vào kỳ thi Cuối lời, khơng có tơi xin gửi l ời chúc câu th tâm đ ắc mà th ầy để lại cho "Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng d ội vang" Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go S 01 Bài 1: (3đ) Chứng minh rÇng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 Bµi 2: x2 x a) Rót gän biĨu thøc: x x 18 x yz xz xy 1 2 0( x, y, z �0) x y z x y z b) Cho Tính Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gäi O lµ giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài (1đ) Tìm giá trị lớn nhÊt hc nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + ĐỀ SỐ 02 Câu Tìm số có chữ số: a1a a tho· m·n ®iỊu kiƯn a vµ b sau: a1a 2a = a 7a a 4a 5a 6a a a a a) b) C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng tr×nh: x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F vµ E Chøng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Vµ OBC Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 ĐỀ SỐ 03 C©u 1: a Rót gän biÓu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 Câu 2: a Cho (1) (2) x2 y z 2 2 a b c TÝnh giá trị biểu thức A= b Bit a + b + c = TÝnh : B = C©u 3: Tìm x , biết : (1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: a.BM EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trị nhỏ cđa P= (a+ b+ c) () ĐỀ SỐ 04 Bµi (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + x x x 6 x 8 96 94 92 2) Giải phơng trình: 98 Bài (2đ): P x 3x 2x 1 cã gi¸ trị Tìm giá trị nguyên x để biểu thức nguyên Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go b) gãc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gäi E lµ trung ®iĨm cđa BC; F lµ trung ®iĨm cđa AK Chøng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: , ( x kh¸c 0) ĐỀ S 05 Câu ( điểm ) Cho biểu thức A = a, Tìm điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN lµ trung trùc cđa AC 5, Chøng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): Cho biểu thức A = Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu ( điểm) a, Chứng minh b, Cho TÝnh ĐỀ SỐ 06 Bµi : (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc : M= a) Rót gän b) Tìm giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên A= Bài : điểm Giải phơng trình : Ngi su tm, tng hp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go a) x2 - 2005x - 2006 = b) + + = Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng qua E song song với AB c¾t AI ë G Chøng minh : a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) AEF ~ CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không ®ỉi Bµi : (1®) Chøng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 ĐỀ SỐ 07 C©u 1: ( ®iĨm ) Cho biĨu thøc: A= ( Víi x ; x ) 1) Rót gän biĨu thøc A 2) Tính giá trị biểu thức A với x= Câu 2: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thøc: x2+y2+1 x.y + x + y ( víi x ;y) b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A= Câu 3: ( điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD TRên đờng chéo BD lấy ®iĨm P , gäi M lµ ®iĨm ®èi xøng cđa C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F lần lợt hình chiếu điểm M AD , AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP DB CP = 2,4 cm,; Tính cạnh hình chữ nhật ABCD Câu ( điểm ) Cho hai bất phơng trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) T×m m để hai bất phơng trình có tập nghiÖm Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go ĐỀ S 08 Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Phân tích đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc: y = ; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất số nguyên x thoả mãn phơng trình: : ( 12x ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x ) = 330 B, Giải bất phơng trình: Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vuông gãc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy Biết IC = ID = a Đờng thẳng kẻ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b A, Chứng minh tích AC DB không đổi ®êng th¼ng qua I thay ®ỉi B, Chøng minh r»ng C, BiÕt SAOB = TÝnh CA ; DB theo a S 09 Bài 1( điểm) Cho biểu thøc : P x2 y2 x2y2 x y 1 y x y 1 x x 1 1 y 1.Rót gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài 2(2 điểm) Giải phơng trình: 1 1 x 5x x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 Bµi 3( điểm) Tìm giá trị lớn biẻu thức: M 2x x2 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F lần lợt trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chứng minh MAD cân 3.Tính diện tích MDC theo a Bài 5(1 điểm) Cho số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 2 � Chøng minh r»ng : a +b +c S 10 Câu (1,5đ) 1 1 Rót gän biĨu thøc : A = 2.5 + 5.8 + 8.11 +……….+ (3n 2)(3n 5) C©u (1,5đ) Tìm số a, b, c cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) x x có Câu (2đ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức giá trị nguyên Câu Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng mét tam gi¸c , träng tâm G, trực tâm H, tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác O Thì H,G,O thẳng hàng S 11 Câu 1:Cho biểu thức: A= a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, Tìm giá trị biểu thức A có giá trị c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= với x>0 .b, Giải phơng trình: x+1+: 2x-1+2x =3 Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N lần lợt điểm thuộc cạnh AB,BC,CA,AD cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go .a, Xác định vị trí ®iĨm K,L,M,N cho tø gi¸c MNKL cã diƯn tÝch mhỏ .b, Tứ giác MNKL câu a hình gì? cần thêm điều kiện tứ giác MNKL hình chữ nhật Câu 4: Tìm d phÐp chia ®a thøc x 99+ x55+x11+x+ cho x2-1 S 12 Bài 1: (3đ) Cho phân thức : M = a) Tìm tập xác định M b) Tìm giá trị x để M = c) Rút gọn M Bài 2: (2đ) a) Tìm sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tích hai ba số ta đợc 242 b) Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B A = n3 + 2n2 - 3n + ; B = n2 -n Bài 3: (2đ) a) Cho sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = TÝnh biÓu thức M= b) Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC, ba đờng phân giác AN, BM, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tØ lƯ víi 4,7,5 a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm c) Chøng minh ĐỀ SỐ 13 C©u 1: ( 2,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ x2 – x – (1 ®iĨm) b/ x x 14x + 24 (1,5 điểm) Câu 2: ( ®iĨm) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go T×m GTNN cđa : x2 + x + Câu 3: ( điểm) Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n) M120 víi m, n � Z Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho a > b > so s¸nh sè x , y víi : 1 a x = 1 a a ; Câu 5: ( 1,5 điểm) b y = b b x x2 x3 Giải phơng trình: + + = 14 Câu 6: ( 2,5 điểm) Trên cạnh AB phía hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy 15 Chứng minh tam giác CFD tam giác S 14 Câu (2 điểm): Với giá trị a b đa thøc f(x) =x4-3x3+3x2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x2+4-3x Câu (2 điểm) Phân tích thành nhân tử (x+y+z)3 x3-y3-z3 Câu (2 điểm ) : a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ : x +x+1 b-Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3) Câu 4(2 điểm ) : Chøng minh r»ng nÕu a 2+b2+c2=ab+bc+ac th× a=b=c Câu (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P cho Từ P dựng PM vuông gãc víi BC PK vu«ng gãc víi CA Gäi D trung điểm AB Chứng minh : DK=DM S 15 Câu 1: (2đ) Tìm hai số biết a Hiệu bình phơng số tự nhiên chẵn liên tiếp 36 b Hiệu bình phơng số tự nhiên lẻ liên tiếp 40 Câu 2: (1,5đ) Số lớn hơn: Câu 3: (1,5 đ) Giải phơng trình Ngi su tm, tng hp: H KHC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" 10 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF ĐỀ SỐ 486 Câu (2,0 điểm) x3 y z 3xyz 2 Rút gọn biểu thức: B = ( x y ) ( y z ) ( x z ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: 3 �1 � �3 � � x � � x � x � �4 � a) �4 �3 x � � 3 x � x� � �x � x x � � � � b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = 3x x x 14x 8x b) B = 3x 6x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng trung điểm BC, AM H hình chiếu M CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E trực tâm tam giác ABN Câu (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD N điểm ®êng chÐo AC cho BNM 90 Gäi F điểm đối xứng A qua N Chứng minh r»ng FB AC ĐỀ SỐ 487 Bài 1: a) Thực phép chia: (x - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 370 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - a b c Bài 2: a) Tính S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) 1� 1 � � � b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) �3n 3n � 150 150 150 150 47.50 c) Tính 5.8 8.11 11.14 Bài 3: Giải phương trình x 1 x 1 x 5 x 3 x 3 a) x x x x x(x x 1) b) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; tứ giác BCE; ACBD hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB MA ' MB' MC ' h h hc = b (A’ � BC; B’�AC; C’ �AB) Chứng minh rằng: a (Với ha, hb, hc ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) ĐỀ SỐ 488 Bài 1: Cho phân thức: x4 P = x x 20 x 1,5 a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P Bài 2: So sánh A B biết: a) A = 2002 2004 B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD BG vng góc với AC Chứng minh: a) ACE ABG AFC CBG b) AB AE + AD AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA DA M N a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị khơng đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Bài 5: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 371 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy ĐỀ SỐ 489 n2 n 1 m n 1 Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá trị nguyên dương n c) Nếu a chia 13 dư b chia 13 dư a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A= b) B= bc ca ab (a b)( a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) � � � � � �� � 1� � x x : x � �� � � � � � x � � x � � x � � x � �� � x� � 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 2009.2011 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức 2011x y z sau không phụ thuộc vào biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 5: Giải phương trình: � Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M trung điểm BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : BC2 a) BD.CE= � BDE CED b) DM, EM tia phân giác � c) Chu vi ADE không đổi ĐỀ SỐ 490 m n2 n 1 n 1 Câu 1: a) Tìm số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá trị nguyên dương n c) Nếu a chia 13 dư b chia 13 dư a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 372 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go a) A= b) B= bc ca ab (a b)( a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) � � � � � �� � 1� � x x : x � �� � � � � � x � � x � � x � � x � �� � x� � 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 2009.2011 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức 2011x y z sau không phụ thuộc vào biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 5 Câu 5: Giải phương trình: 1942 1944 1946 1948 1950 � Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M trung điểm BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : BC2 a) BD.CE= � BDE CED b) DM, EM tia phân giác � c) Chu vi ADE không đổi ĐỀ SỐ 491 Bài 1) (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b Bài 2) (2 điểm) a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 số phương 10n 9n b) Chứng minh với số tự nhiên n phân số 20n 20n tối giản Bài 3) (3 điểm) a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức P xyz x y y z z x 14 54 94 17 �4 �4 � � �4 b) Tìm tích: M= 11 19 Bài 4) (4 điểm) a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by x +y + z �0; xyz �0 CMR: 1 2 1 a 1 b 1 c Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 373 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 1 yz xz xy 0 P x y z b) Cho x y z , tính giá trị biểu thức: �x x2 x x2 � P :� � x 2x 1 � x 1 x x x � Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P1 Bài 6: (3 điểm).Cho hình vng ABCD, gọi E, F thứ tự trung điểm AB, BC a) CMR: CE vng góc với DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh AM = AD Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự tâm hình vng ABDE, ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MNI tam giác gì? Vì sao? ĐỀ SỐ 492 Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử 3 b) Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a b) (b c) (c a ) 210 Tính giá trị biểu thức Câu 2: (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 374 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: 1 � x x y y z z 2 Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng c) Kẻ DH BC BH, DH Chứng minh CQ PD H �BC ĐỀ SỐ 493 Bài 1: (3 điểm) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 – 30x2 + 31x – 30 b/ Cho a + b + c = ab + bc + ca = 12 Tính giá trị biểu thức: (a - b)2012 + (b - c)2013 + (c - a)2014 Bài 2: (4 điểm) a/ Tìm số nguyên dương n bé cho: A = n3 + 4n2 - 20n - 48 chia hết cho 36 b/ Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n số nguyên Bài 3: (5 điểm) a/ Giải biện luận phương trình sau: x m x x 1 x b/ Tìm giá trị nhỏ M biết: x 2x 2014 M x2 với x 0 Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có  = 800, AD phân giác Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Tình số đo góc FED Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 375 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Bài 5: (5,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh : a/ Tứ giác BEDF hình bình hành ? b/ CH.CD = CB.CK c/ AB.AH + AD.AK = AC2 ĐỀ SỐ 494 Bài 1: (3 điểm) �� x � �1 A� : �� x 3� �3 x 3x ��27 3x � Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: 6y a) y 10 y y 1 y � x �1 x 3 x 1 � � �2 � x 3 2 b) Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy? Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương ĐỀ SỐ 495 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 376 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Phần I: Trắc nghiệm (8 điểm) Khoanh tròn vào đáp án Câu 1: (1 điểm) Giá trị biểu thøc víi x = 2; lµ: A B C D Câu 2: (1 điểm) Xác định a để đa thøc x – 5x2 + 11x + a chia hÕt cho ®a thøc x – 3: A a = 45 B a = 15 C a = - 45 D a = - 15 Câu 3: (1 điểm) Khi thực biểu thức ta đợc kết là: A B C D Câu 4: (1 điểm) Phơng trình x – 3x2 + 3x – = cã tËp nghiệm là: A B C D Câu 5: (1 điểm) Phơng trình có tập nghiệm là: A B C D Câu 6: (1 điểm) Đờng chéo hình vuông 4cm Cạnh hình vuông bằng: A B C 2cm D 8cm Câu 7: (1 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích 60cm 2, gọi M N trung điểm BC AC Vậy diện tích tam giác AMN ? A 45cm2 B 30cm2 C 20cm2 D 15cm2 Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác ABC Tia phân giác góc A cắt BC D Cho AB = 6, AC = x, BD = 9, BC = 21 Độ dài x lµ: A x = 14 B x = 12 C x = D x = PhÇn II: Tự luận (12 điểm) Câu 1: (4 điểm) a) Tính b) Với giá trị n biểu thức nguyên? Tính giá trị đó? có gí trị sè Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 377 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go C©u 2: (3 điểm) Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50km/h Đi đợc 24 phút gặp đờng xấu nên vận tốc quãng đờng lại giảm 40km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Quãng đờng AB dài là: Câu 3: (3 điểm) Cho tø gi¸c ABCD cã AB = 3, BC = 4, CD = 12 vµ DA = 13; gãc CBA=900 Tính diện tích tứ giác ABCD Câu 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36cm, AD = 24cm Gọi E trung điểm AB, đờng thẳng DE cắt AC F cắt CB kéo dài G.Tính DE, DG, DF ? S 496 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: g) x2 – y2 – 5x + 5y h) 2x2 – 5x Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: Bài 3: Cho phân thức: g) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định h) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH vµ trung tuyÕn AM j) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 378 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go k) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? l) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ? ĐỀ SỐ 497 Bài (4,0 điểm) P 2x x 2x 8x 4x 4x 8x Cho biểu thức: a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P = Bài (4,0 điểm) a Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thoả mãn: 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + 6 ab b+c cd d +a Chứng minh A = abcd số phương b Tìm a ngun để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + Bài (3,0 điểm) a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 �x +1 � x +1 �2x - � + � � � �0 x x x � � � � b Giải phương trình: Bài (3,0 điểm) a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh tam giác b Cho x, y, z dương x + y + z =1 Chứng minh : 1 �9 x yz y xz z xy Bài (5,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 379 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Câu : (2 điểm) ấ SỐ 498 Cho P= a) Rót gän P b) T×m giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= C©u : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số ®o chu vi C©u 1: (3 ®iĨm) ĐỀ SỐ 499 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 380 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Cho biểu thức A = 15n2 - 16n - 15 Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A s nguyờn t Câu 2: (5 điểm) A a 16 a 4a 8a 16a 16 Cho biĨu thøc: a Rót gän biểu thức A b Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A có giá trị nguyên Câu 3: (3 điểm) 4x 3x Giải phơng trình sau: x x x 10 x Câu 4: (7 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC cho EAF 45 Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ A đến EF Gọi G, I theo thứ tự giao điểm BD với AF, AE Chøng minh r»ng: a ED = EH, FB = FH b BG2 + DI2 = GI2 Gäi M giao điểm AH BD Kẻ MP DC, MQ BC (P �CD, Q � BC) Xác định vị trí điểm M để tam giác APQ có diện tích nhỏ Câu 5: (2 điểm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x4 y4 y z z x4 �1 x3 y y z z x3 ĐỀ SỐ 500 Bài (4 điểm) a) Tìm số dương a, b, c thỏa mãn a2 + 2c2 = 3c2 + 19 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x +1 Bài (3 điểm) Để tham gia ngày chạy Olympic sức khỏe toàn dân, trường A nhận số áo chia cho lớp Biết theo thứ tự, lớp thứ nhận áo Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 381 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 1 số áo lại, đến lớp thứ n (n = 2; 3; 4; ) nhận 4n áo số áo lại Cứ lớp nhận hết số áo Hỏi trường A nhận áo? Bài (3 điểm) Tìm tất số nguyên dương n để (1 + n2017 + n2018) số nguyên tố Bài (3 điểm) Một giải bóng chuyền có đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) Biết đội thứ thắng a1 trận thua b1 trận, đội thứ hai thắng a2 trận thua b2 trận, , đội thứ thắng a9 trận thua b9 trận Chứng minh a12 + a22 + a32 + + a92 = b12 + b22 + b32 + + b92 Bài (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài a (cm) Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A B) Vẽ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm D E cho CD = CA CE = CB a) Chứng minh AE vng góc với BD b) Gọi M N trung điểm AE BD Tìm vị trí điểm C đoạn thẳng AB để đa giác CMEDN có diện tích lớn c) Gọi I trung điểm MN Chứng minh khoảng cách từ I đến AB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C Bài (2 điểm) Hình vng có 3x3 (như hình bên) chứa số mà tổng số hàng, cột đường chéo gọi hình vng kì diệu Chứng minh số tâm (x) hình vng kì diệu trung bình cộng hai số lại hàng, cột, đường chéo CHÍNH THỨC HẾT -Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 382 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go -CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG - Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Tốn cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 383 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Để Đi" 384 ... hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" 18 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one... 20 08 x 2007 x 20 08 Người sưu tầm, tổng hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" 27 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ... hợp: HỒ KHẮC VŨ Giáo viên Toán cấp 2-3 Tam Kỳ- Quảng Nam "Thành Cơng Có Duy Nhất Một Điểm Đến,Nhưng Có Rất Nhiều Con Đ ường Đ ể Đi" 28 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN Success has only one
Ngày đăng: 03/06/2020, 22:11
Xem thêm: