LỜI GIẢI CHUYÊN đề 22

Phần B LỜI GIẢI THAM KHẢO Dạng Xác định VTPT Câu Chọn A  P  : 3x  z   Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Câu Chọn A  P  : x  y  3z   Mặt phẳng Câu Chọn B là r n2   3;0; 1 có vectơ pháp tuyến là  2;1;3 uu r n4   1; 2;3 Từ phương trình mặt phẳng (P) suy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là Câu Chọn C uu r P  : x  y  z 1  n4   2;3;1  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Câu Chọn D uu r P  : x  y  3z   n2   2; 1;3  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Câu Chọn A r n P : x  y  z     2;  3;1    P Véctơ là véctơ pháp tuyến của Câu Chọn B  P  : 4x  3y  z 1  r n3   4;3;1  P Véctơ là véctơ pháp tuyến của Câu Chọn A uu r P  :3 x  y  z   n2   3; 2;1  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là Câu Chọn C r P  : x  y  3z   n2   1; 2;3  Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là: Câu 10 Chọn D r k   0;0;1 Oxy  Do mặt phẳng vng góc với trục Oz nên nhận véctơ làm véc tơ pháp tuyến Câu 11 Chọn C uu r   : 2x  3y  4z   n0   2; 3; 4   Mặt phẳng r có véc tơ pháp tuyến uu r uu r r n   2;3;   n0 Nhận thấy , hay n phương với n0 r n   2;3;   Do véc tơ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Câu 12 Chọn D Câu 13 Chọn C r r n   2;  3;   c   Mặt phẳng có VTPT là x y z 1    �  x  y  z   � 3x  y  z   Câu 14 Phương trình 2 1 r Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng n  (3;6; 2)  P  : x  y  z   nên véc tơ pháp tuyến của mặt Câu 15 Phương trình tổng quát của mặt phẳng  P  có tọa độ là  2;  6;  8 hay  1;  3;   phẳng Câu 16 Câu 17 uu r u2   0; 2;    P  : y  3z   là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  : 3x  y   là  3; 1;0  Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Ta có Dạng Xác định phương trình mặt phẳng Dạng 2.1 Xác định phương trình mặt phẳng Câu 18 Chọn D Câu 19 Chọn B  Oyz  r i   1;0;0  O  0;0;0  Mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến là nên ta có phương trình mặt  Oyz  là : 1 x     y     z    � x  phẳng Câu 20 Chọn C r O 0;0;0 n   0;1;0    Oy Câu 21 Ta có mặt phẳng Ozx qua điểm và vng góc với trục nên có VTPT Do phương trình của mặt phẳng Ozx là y  Dạng 2.2 Xác định phương trình mặt phẳng biết ́u tố vng góc Câu 22 Chọn A r M  1; 2; 3 n   1; 2;3 Phương trình mặt phẳng qua điểm và có vectơ pháp tuyến là 1 x  1   y    3 z  3  � x  y  z  12  Câu 23 Lời giải Chọn A uuu r  P  qua A  0;1;1 và nhận vecto AB   1;1;  là vectơ pháp tuyến Mặt phẳng  P  :1 x    1 y  1   z  1  � x  y  z   Câu 24 Chọn A uuur AB    6; 2;  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là I  1;1;  của đoạn thẳng AB Do đó, phương trình mặt phẳng là:   x  1   y  1   z    � 6 x  y  z  � x  y  z  Câu 25 Chọn D Câu 27 Chọn B và qua trung điểm AB Suy I  1;1;1 Gọi I ulà uu rtrung điểm của đoạn thẳng AB   4; 2;  Ta có uuur AB I AB Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng qua trung điểm của và nhận AB làm vtpt,    : 2x  y  z   nên có phương trình là Câu uuu r 26 Chọn A AB  ( 4; 6; 2)  2(2; 3; 1) r  P  qua A  5; 4;  nhận n  (2; 3; 1) làm VTPT  P  : x  y  z  20  AB Gọi    là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Gọi I là trung điểm của đoạn uthẳng uur    qua I  1;1;  và nhận AB   6; 2;  làm VTPT �    : 6  x  1   y  1   z    �    : 3x  y  z  Câu 28 Chọn D I  3; 2; 1 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm , có vec tơ pháp tuyến r uuu r n  AB   2; 1; 1  x  3  1 y    1 z  1  � x  y  z   có phương trình: Chọn đáp án B Câu 29 Chọn A Mặtuuu phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm của AB là M (4;3; 1) và có véctơ pháp tuyến r là AB  (4; 4; 6) nên có phương trình là 4( x  4)  4( y  3)  6( z  1)  � 2( x  4)  2( y  3)  3( z  1)  � x  y  z  17  Câu uuu r 30 Chọn D uuu r   AB  3; 1; 1 AB     3; 1; 1 làm vtpt Suy Do mặt phẳng cần tìm vng góc với AB nên nhận    :  x  1   y     z  1  � 3x  y  z   ra, phương trình mặt phẳng Câu 31 uuur Chọn B BC   1; 2;   P  cần tìm Ta là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng r có uuur n   BC   1; 2; 2   P là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là x  y  z   Vậy phương trình mặt phẳng Câu 32 Chọn D uuu r uuu r AB  ( 4; 6; 2) Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB nên nhận AB uuu r làm vectơ pháp tuyến, Mặt phẳng qua A(5; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến, AB  (4; 6; 2) có phương trình 4( x  5)  6(y 4)  2(z  2)  hay x  y  z  20  Vậy chọn D Câu 33 Chọn C  P  có dạng:  x  3  1 y  1   z    �  x  y  z  12  �5 � uuu r I� 0; ; 1� AB   2; 1;6  �là trung điểm của AB ; Câu 34 Gọi � �5 � r I� 0; ; 1�  n   2; 1;6   � � Mặt phẳng qua và có VTPT nên có PT: 5�    : 2  x   � �y  �  z  1  � x  y  12 z  17  � 2� Câu uuu r 35 Chọn B r AB   2; 2;   2  1;1;  1 , u   1;1;  1 uuur n P    1;2; 1 uuur uuu r uuur � n Q   � AB � ,n P  �  1;0;1  Q  :x  z  Vậy uuu r uu r P AB   3; 3;  nP   1; 3;   Câu 36 Ta có: , vectơ pháp tuyến của mp là r uuu r uu r �  0;8;12  n� AB,n P� �  Q Từ giả thiết suy là vectơ pháp tuyến của mp  Q  qua điểm A  2; 4;1 suy phương trình tổng quát của mp  Q  là: Mp  x     y    12  z  1  � y  z  11  uuu r AB   1; 2; 1 Câu 37 Ta có AB � I  2;1;1 Gọi I là trung điểm của r uuu r n  AB   1; 2; 1    của đoạn thẳng AB qua I và nhận + Mặt phẳng trung trực làm vectơ pháp tún có phương trình là x    y  1   z  1  � x  y  z    2y  z   Vậy mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là xuu ur BC   1; 2; 5  Câu 38 Do mặt phẳng vng góc với BC nên là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 1 x     y  1   z  1  � x  y  z   Vì phương trình uuu rmặt phẳng là : AB   1;  1;  1 Câu 39 Ta có: Phương trình mặt phẳng qua A và vng góc với AB có phương trình là:  x  1   y  1   z    � x  y  z   uuur uur Q  nQ   1; 2;  1 AB   2; 2;1  Câu 40 Ta có , vectơ pháp tuyến mặt phẳng : uur uur uuu r  P  : nP  nQ �AB   4;  3;   Theo đề bài ta có vectơ pháp tún mặt phẳng Phương trình mặt phẳng Mặt phẳng  P qua  P có dạng x  y  z  C  A  0;1;0  nên: 3  C  � C   P  là x  y  z   Vậy phương trình uur mặt uur phẳng nP , nQ  P  và  Q  Câu 41 lầnuurlượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng uuu r Gọi AB   2;  1;5  nP   2;  1;  Ta có , uur uuur uur uur uuur uur uur n � AB, nP � Q Q  P n  AB n  n      P �  3;14;  Vì qua A, B và nên Q , Q , chọn Q �  Q  là Do dó phương trình của  x  1  14  y     z    hay 3x  14 y  z   Câu 42 Chọn C uur uu r n = ( 3;- 2;2) nb = ( 5;- 4;3) Véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là a , uu r uu r � � �� n ;n � = ( 2;1;- 2) �a b � u r n = ( 2;1;- 2) 2x + y - 2z = O : Phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ ,VTPT Câu 43 Chọn A r  Q Vì  P  nên  Q  nhận vtpt n   1; 3;  của  P  làm vtcp vng góc với uuu r Q Q AB   3; 3;     Mặt khác qua A và B nên nhận làm vtcp  Q nhận uur r uuu r �  0;8;12  nQ  � n , AB � � làm vtpt  Q  : 0( x  1)  8( y  1)  12( z  3)   Q  : y  3z  11  Vậy phương trình mặt phẳng , hay Vậy a  b  c  Chọn A Câu 44 uuur Chọn A AB   1; 2; 1 Ta có uur P P nP   1;1;1   Từ suy vec tơ pháp tuyến của là uur  Q  là nQ Gọi vec tơ pháp tuyến của uur uuu r n  AB  1 Q  Vì chứa A, B nên Quur uur  Q    P  nên nQ  nP   Mặt khác uur uuu r uur � nQ  � AB 1 ,    � , nP �  3; 2; 1 Từ ta uur  Q  qua A  1; 1;  và có vec tơ pháp tuyến nQ   3; 2; 1 nên  Q  có phương trình là  x  1   y  1   z    � x  y  z   Câu 45 Chọn A uur uur  P  có vectơ pháp tuyến nP   1; 3; 2 ,  Q có vectơ pháp tuyến nQ   1;0; 1    vng góc với  P  và  Q nên    có vectơ pháp tuyến là Vì mặt phẳng uur uur � � n �P , nQ �  3;3;3    1;1;1    cắt trục Ox điểm có hoành độ nên    qua điểm M  3;0;0  Vì mặt phẳng uur n   1;1;1  M  3; 0;0      có phương trình: Vậy qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên x  y  z   uur uur uur n n , n �  P  Khi véc tơ pháp tuyến của  P  là: P  � � �  2; 1;   Câu 46 Gọi mặt phẳng phải tìm là  P  là x  y - z  Phương trình của Câu 47 Lờigiải uur uuur P n p  (1;1;1)  Mặt phẳng có véc tơ pháp tuyến là Véc tơ AB  (1; 2;  1) uur r r Q Q P n       Gọi n là véc tơ pháp tuyến của , vuông góc với nên n có giá vng góc với p , mặt r uuur uur  Q  nên n vng góc với uAB khác véc tơ AB có giá nằm mặt phẳng uur uuu r r r � uuur �  3; 2;1 n , AB  Q  qua � Mà n p và AB khơng phương nên ta chọn n = �P , mặt khác A  1; 1;2   Q  là: nên phương trình của mặt phẳng 3  x  1   y  1  1( z  2)  � x  y  z   uuur r AB   2; 1;1 P n P    1; 1;0   Câu 48 Ta có: Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến là: r uuur r uuur r � n �  AB � � n  AB; n P  � r r � r � �  1;1; 1 n  n P   Gọi n là véctơ pháp tún của mặt phẳng cần tìm Khi � 1 x    1 y  1  1 z    � x  y  z   Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: AB  OC � � AB   OHC  � AB  OH � AB  CH � Câu 49 Ta có: �BC  OA � BC   OAH  � BC  OH � BC  OH � Tương tự AB  OH � � OH   ABC  � BC  OH Ta có: � uuuur uuur OH   ABC  � n ABC  OH   2;1;1 Do  x    ( y  1)  ( z  1)  � x  y  z   Phương trình mặt phẳng (P) là: Dạng 2.3 Xác định phương trình mặt phẳng biết yếu tố song song Câu 50 Lời giải Chọn A    //    , PT có dạng    : 3x  y  2z  D  (điều kiện D �4 ); Gọi    qua M  3;  1;  2 nên 3.3  1  2. 2  D  � D  6 (thoả đk); Ta có:    :3x  y  2z   Vậy Câu 51 Chọn C Gọi  Q  là mặt phẳng qua điểm A  2; 1;  và song song với mặt phẳng  P    Do  Q  // P nên phương trình của  Q  có dạng x  y  z  d  ( d �2 ) Do A  2; 1;  � Q  nên 2.2   1  3.2  d  � d  11 (nhận) Vậy  Q  : x  y  3z  11  Câu 52 Chọn C Phương trình mặt phẳng ( ABC ) qua ba điểm A(2;0;0) , B (0; 0;7) và C (0;3;0) là x y z   1 2 Câu uuu r 53 Chọn uuurA uOy   0;1;0  ; AB   3;0;  uur uuu r uuu r �  4;0;3 nP  � u AB Oy � � Lấy Do  P  :  x  3  z  � x  3z  12  r r    //  P  � n ( )  n ( P )   2; 1;3   Gọi là mặt phẳng cần tìm Vì Câu 54  Ta có: qua A  1;3; 2  và có véctơ pháp tún là    là: Do phương trình tổng quát của mặt phẳng  x  1  1 y  3   z    hay x  y  z   r n ( )   2; 1;3 Câu 55 Ta có uuur AB  2; 2;1 uuur uuur r AB, i �  P  suy n P   � � �  0;1; 2  Gọi mặt phẳng cần viết phương trình là  P  có dạng: y   z  1  � y  z   Vậy PT mặt phẳng Mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox nên có dạng: By  Cz  ( P ) qua điểm A(1; 1;  1) nên B.1  C  1  � B  C Chọn B  C  ta ( P ) : y  z  Câu 56 B  C �0   P  không qua O , song song mặt phẳng  Q  Câu 57 Mặt phẳng �  P  : x  y  z  d  ( d �0 , d �3 ) d   3 d 0 � 1 � d�  P ; Q � d  6 � � 12  22  22 � d 3  � � Ta có � Đối chiếu điều kiện ta nhận d  6  P  : x  y  2z   Vậy Câu 58 Chọn A  P  song song    : x  y  z   nên  P  : x  y  z  m  , với m �1 Có  P  qua điểm A  1;1;  nên 2    m  � m  (nhận) Do  P  : 2x  y  z   Vậy măt phẳng cần tìm là  Q  song song  P  nên phương trình mặt phẳng  Q  : x  y  z  C  ; C �5 Ta có, Câu 59 M  0;0;5  � P  Chọn 5C C4 d   P ; Q   d  M ; Q   3� � 2 �   2   C  14 � Ta có C  �  Q : 2x  y  z    Q  cắt Ox điểm M1  2; 0;0  có hoành độ âm nên trường hợp  Q  không thỏa đề bài này C  14 �  Q  : x  y  z  14   Q  cắt Ox điểm M  ;0;  có hoành độ dương  Q  : x  y  z  14  thỏa đề bài  Q  : x  y  z  14  Vậy phương trình mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  Câu 60.uur Vì mặt uurphẳng � vtptnP  vtptnQ   1;2;   P  có dạng x  y  z  D  Phương trình mặt phẳng A  3;0;0  � Q  Gọi � d   P ,  Q   d  A,  P   � 3 D  D  (l ), qua O 3 D � � 1� � ��  D  3 � D  6 ( n ) � uuu r AB  (3; 0; 4) Câu 61 r Oy có vectơ phương là j  (0;1; 0) r  P Gọi n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng r r � �n  j r r uuur r �r uuu � � n  n  AB �j , AB �  4;0;3 Do � nên ta chọn A  3;0;0  Khi phương trình mặt phẳng cần tìm qua điểm và có vectơ pháp tún  P  :4  x  3   z     P  : x  3z  12  Vậy x y z mp  ABC     � x  y  z  12  Câu 62 Phương trình : Mặt phẳng  P r n   4;0;3 là  ABC  nên phương trình có dạng: song song với mặt phẳng x  y  z  d  , d �12  P  cách D và mặt phẳng  ABC  Mặt phẳng � d   ABC  ,  P    d  D,  P   � d  A,  P    d  D,  P   � 6.2  d  6.2  3.4  2.6  d � d  12  d  36 � d  24 (thỏa mãn)  P  : x  y  z  24  Vậy phương trình mặt phẳng  P  có dạng x  2y  2z  d  Với d �0;d �3 Câu 63 Gọi phương trình mặt phẳng Có  32  2 d   P  ; Q    �  32  2 d 3 d 0 �  1� � d  6 12  22  22 �  P  có dạng: x  2y  2z   Kết hợp điều kiện � Dạng 2.4 Xác định phương trình mặt phẳng đoạn chắn Câu 64 Lời giải Chọn C x y z M  2;0;0  N  0;  1;0  P  0;0;2  �  MNP  :  1   Ta có: , , x y z   1 Câu 65 Ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 3 Câu 66 Ta có A  1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3 là hình chiếu của M lên Ox, Oy, Oz x y z   1 Phương trình đoạn chắn có dạng: x y z ABC  3   2  � x  y  z  12   Câu 67 Phương trình mặt phẳng : Câu 68 Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng qua các điểm x y z    A  1;0;0  B  0;3;0  C  0;0;5 , , là A  1;0;0  B  0;  2;0  C  0;0;3 Câu 69 Ta có phương trình mặt phẳng qua ba điểm , và là: x y z   1 2 Câu 70 Chọn D Cách  P  qua điểm M  a;0;0  , N  0; b;  , P  0;0; c  Giả sử x y z  P :    a b c Suy �1 1 a2   1 � � �a b c � � �2 � 2  1 �  1 � b c � P A  1;1;1 B  0; 2;   Mà qua và nên ta có hệ �b c Theo giả thuyết ta có OM  2ON � a  b � b   P : x  2y  z   TH1 b  � c  2 suy �c  suy  P  : x  y  z   TH1 b  1 M  1; 2;3 Gọi A, B, C là hình chiếu vng góc của điểm lên Ox, Oy, Oz A  1;0;0  , B  0;2;0  , C  0;0;3 Suy ra: x y z   1 ABC   Vậy phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là  ABC  (theo đoạn chắn) là Câu 72 Phương trình mặt phẳng x y z    � 3 x  y  z   1 3 Câu 73 M (8; 2; 4) chiếu lên Ox, Oy, Oz là A(8; 0; 0), B(0; 2; 0), C (0; 0; 4) Câu 71 x y z    � x  y  2z   Phương trình đoạn chắn qua A, B, C là: 2 A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  , abc �0 Câu 74 Giả sử x y z   1   a b c Khi mặt phẳng có dạng: M �   �     1 a b c Do uuuu r uuuu r uuur uuur AM    a;1; 3 , BM   2;1  b; 3 , BC   0; b; c  , AC    a;0; c  Ta có: uuuu r uuur b  3c � �  b  3c  � �AM BC  � �� �� r uuur �uuuu 3c a BM AC  �2a  3c  � � � Do M là trực tâm tam giác ABC nên: 14     � c   � a  7, b  14 2 1   Thay vào ta có: 3c 3c c x y 3z    :    � x  y  3z  14  14 14 Do  2 A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0; c  Câu 75 Giả sử Ta uuucó: r uuur AH    a;1;1 ; BH   2;1  b;1 uuur uuur BC   0; b; c  ; AC    a;0; c  Khi mặt phẳng  ABC  : x y z   1 a b c �2 1 �H � ABC  �a  b  c  a3 � u u u r u u u r � � � � b6 �AH BC  � � b  c  � � �uuur uuur � 2a  c  � c6 � � �BH AC  � Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên A  3;0;0  Vậy A  m;0;0  , B  0; n;  , C  0;0; p  m, n, p �0 cắt các trục Ox, Oy , Oz , Ta có x y z    có dạng m  n  p  phương trình mặt phẳng Mặt phẳng  Câu 76   1  1 m n p Mà uuuu r uuuu r uuur uuur AM    m; 2;3 , BM   1;  n;3 , BC   0; n; p  , AC    m; 0; p  Ta có uuuu r uuur � p  2n  � �AM BC  � �uuuu �� r uuur p  m   2 � �BM AC  M là trực tâm tam giác ABC 14 p 1 2   m  14; n  7; Từ và suy ra: x y 3z    � x  y  3z  14    Suy có phương trình 14 14 T  a  b  c     Vậy M �   � Từ giả thiết ta có a  0, b  0, c  và thể tích khối tứ diện OABC là x y z   1 P  Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng có dạng a b c 1 M � P  �    a b c Mà Câu 77 VOABC  abc 10  P  và  là góc MN và NH Gọi H là hình chiếu vng góc của N mặt phẳng uuuu r r � Vì MN phương với u nên góc  có số đo khơng đổi,   HNM HN  MN cos  � MN  HN HN  d  I ,  P    R  cos  Có nên MN lớn � HN lớn � r uur 1 cos   cos u , nP  MN  HN  2 cos  Có nên   Câu 157 I  2; 4;  +) Mặt cầu ( S ) : ( x  2)  ( y  4)  z  39 có tâm là , bán kính R  39 2 Gọi M ( x , y , z ) �( S ) Ta có: x  y  z  19  x  y 2 MA2  ( x  1)  y  z  20  x  y uuur uuuu r MB  (2  x ;1  y ;3  z ) ; MC  ( x ;  y ;   z ) uuur uuuu r MB.MC  2 x  x   y  y   z  19  x  y  x  y   6 x  y  12 uuur uuuu r  18 x  18 y  44 MA  MB MC Suy u u ur uuuu r MA  MB MC  � 18 x  18 y  44  �  x  y   Theo giả thiết Do M �( P) :  x  y   Ta có d ( I ; ( P))   32  39  C nên mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn 2 có bán kính R1 với R1  R  d  39  32  � �D, M � P  � D, M � S  � D, M �(C) 2R  Mặt khác ta có � Do độ dài MD lớn Vậy chọn A 32 Dạng Một số bài toán liên quan mặt phẳng – mặt phẳng Dạng 5.1 Vị trí tương đối, khoảng cách, giao tuyến Câu 158 Chọn C Lấy A  2;1;3 � P  Do Câu 159 Mặt phẳng Do mặt phẳng  P  P  P song song với qua điểm 7  nên Ta có O  0; 0;  song song mặt phẳng d   P  ,  Q    d  O,  Q     Q  Q d   P  ,  Q    d  A,  Q    nên khoảng cách hai mặt phẳng  2.1  2.3   P 2 2 và  Q  bằng: � Câu 160 Chọn D  P  ,  Q  vng góc với và Hai mặt phẳng 1.m  2.1   2   � m   m 2 2   �   1 1 (vơ lý 1 ) Câu 161 Ta có Vậy khơng tồn m để hai mặt phẳng ( ), (  ) song song với ( ) // (  ) � Câu 162  P Mặt phẳng  Q Mặt phẳng � có véc tơ pháp tuyến n1  2; m;3 � có véc tơ pháp tuyến n2  n;  8;   � k 1  kn � � � �  P  / /  Q  � n1  k n2 (k ��) � �m   8k � �m  � �n     6k � � � � � Mặt phẳng Nên chọn đáp án B  P  ,  Q  vuông góc với và Câu 163 Hai mặt phẳng 1.m  2.1   2   � m   R  : m  x  y  z  3   x  y  z  1  qua điểm M  1;1;1 nên ta có: Câu 164 Vì m   2.1   3   2.1    1  � m  3 uur P nP   2;1;1  Câu 165 Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến uur  Q  : x  y  z   có vectơ pháp tuyến nQ   1; 1; 1 Mặt u phẳng u r uur uu r uur nP nQ     � nP  nQ �  P    Q  Mà x  y  z   Vậy mặt phẳng là mặt phẳng cần tìm r � 1� x y z n� 1; ; �    � ABC   ABC  b c  b c � � Câu 166 • Phương trình : có VTPT: r  P  : y  z   �  P  có VTPT: n '   0;1;  1 • Phương trình 33 r ur •  ABC    P  � n.n '  � Câu 167  P Mặt phẳng 1  0�bc b c uuur n P    1;1; 2  có véctơ phápuuu tuyến là r  Q  có véctơ pháp tuyến là n Q    4;  m; m  Mặt phẳng uuur uuur uuur uuur P    Q  � n P   n Q  � n P  n Q   � 4.1   m  2m  � m   Ta có: m  Nên �  P / /  Q  2.0  2.0  4 � � d   P  ;  Q    d  A;  Q     � A  8;0;0  � P  12  22  22 � Câu 168 Ta có Nhận xét:  P  : ax  by  cz  d  Q  : ax  by  cz  d '  a  b  c   song song với Nếu mặt phẳng d d ' d   P ; Q    d �d ' a  b2  c �  P / /  Q 16  2.0  2.0  � � d   P  ;  Q    d  A;  Q     � A  16;0;0  � P  12  22  22 � Câu 169 Ta có 1   � P  : x  y  3z    Q  : x  y  z    Câu 170 Ta có: Các giải trắc nghiệm: Cơng thức tính nhanh: d  P ; Q   P  : Ax  By  Cz  D1  0;  Q  Ax  By  Cz  D2  D2  D1 2 = A  B C  1   14  P ; Q  2 3 áp dụng công thức: d     P  � Q  A  0;0;1 B  1; 2;   � Câu 171 Gọi Chọn , b  2 �2  b  � �� ��  �   � A, B �   a  8 �a   b  � Theo giả thiết ta có Do a + 4b = - 16 1   � � 1  P  //  Q  nên d   P  ;  Q    d  M ;  Q   với M  0;1; 1 � P  Câu 172 Vì  P  //  Q  2 1  8 d   P ; Q   d  M ; Q    7 2 49 �1 � �1 � 12  � � � � 36 �2 � �3 � ur  P  : mx  y  nz   có vectơ pháp tuyến n1  m; 2; n  Câu 173 + m uu r  Qm  : x  my  nz   có vectơ pháp tuyến n2  1; m; n  xM  1 yM  z M  0 34 uu r n  4; 1; 6     : 4x  y  6z   có vectơ pháp tuyến  P  Q     nên + Giao tuyến của hai mặt phẳng m và m vng góc với mặt phẳng ur uur ur uur � �  Pm      � n1  n n1 n  4m   6n  m2 � � � � � �� �� �� uu r uur � � uu r uur � n 1  Qm      �n2  n �n2 n  �4  m  6n  � � Vậy m  n  Câu 174 Cách    có phương trình x  by  cz  d  thỏa mãn các điều kiện: qua hai điểm A  1;1;1 và Xét mặt phẳng B  0; 2;  , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy hai điểm cách O Vì  qua A  1;1;1 và B  0; 2;  nên ta có hệ phương trình: 1 b  c  d  �  * � �2b  2c  d  � d � M   d ;0;  , N � 0; ;0 �   Ox , Oy b � � Mặt phẳng cắt các trục tọa độ d d  b Vì M , N cách O nên OM  ON Suy ra: Nếu d  tồn mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán (mặt phẳng này qua điểm O ) d d  � b  �1 b Do để tồn hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: c  d  2 c4 � � �� d  6 Ta mặt phẳng  P  : x  y  z   �2c  d  �  Với b  , cd 0 c  2 � � ��  * � � �2c  d  2 �d  Ta mặt phẳng  Q  : x  y  z    Với b  1 , b b  c c   1   2   9 Vậy: 2 Cách uuu r AB   1; 3;1  * � �    có phương trình x  by  cz  d  thỏa mãn các điều kiện: qua hai điểm A  1;1;1 và Xét mặt phẳng B  0; 2;  , đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy hai điểm cách O M , N Vì M , N cách O nên ta có trường hợp sau: ur uuuu r  P   u1  (1;1;0) M ( a ;0;0), N (0; a ;0) MN  (  a ; a ;0) a � TH1: với là Ta có , chọn là r uuu r ur uuuu r nP  � AB, u1 � � � (1; 1; 4) , véc tơ phương với MN Khi  P  : x  y  z  d1  suy uu r uuuu r  Q   u2  (1;1; 0) M (  a ;0;0), N (0; a ;0) MN  ( a ; a ;0) a � TH2: với là Ta có , chọn là r uuu r uu r uuuu r nQ  � AB, u2 � � � (1;1; 2) , véc tơ phương với MN Khi  Q  : x  y  z  d2  suy 35 Vậy: b1b2  c1c2   1   2   9 Dạng 5.2 Góc của mặt phẳng Câu 175 Chọn C uuuur  P  qua O và nhận OH   2;1;2 làm VTPT r  Q  : x  y  11 có VTPT n   1;1;0   � cos  P  , Q   Ta có uuuu rr OH n � �  P  , Q   450 r  OH n   uu r uur n p   1; 2;  nQ   1;0; m  1 ( P ) ( Q ) Câu 176 Mặt phẳng , có vectơ pháp tuyến là ,  Vì ( P ) tạo với (Q ) góc nên uur uur  2(2m  1)  cos    cos n p ; nQ �   (2m  1)2 �  4m  1   m2  4m   � 4m  20m  16  m 1 � �� m4 � b 1  � � a  b 1 � P  a   � A B Câu 177 Mặt phẳng qua hai điểm , nên a cos   P  ,  Oyz     2  P  tạo với  Oyz  góc 60�nên a  b  c (*) Và Thay a  b  vào phương trình a  b  c   � 0;3  Khi  c2  � c    P H là hình chiếu vng góc của O xuống mặt phẳng Câu 178 u Ta uurcó OH   2; 1;   P là vectơ pháprtuyến của mặt phẳng  Q  có vectơ pháp tuyến là n   1; 1;  Mặt phẳng  P ,  Q Gọi  là góc hai mặt phẳng uuur r OH n 2.1  1.1  2.0 cos   uuur r   �   45� 2 2 2 OH n 1  1  Ta có  P  ,  Q  là 45� Vây góc hai mặt phẳng ur P n1   a; b; c   Câu 179 Giả sử có VTPT uuur ur uuu r ur uuur  P  có VTCP AB   3; 2;0  suy n1  AB � n1 AB  � 3a  b  2   0.c  � 3a  2b  � a  b  1 nên OH   P  Do 36 uu r n2   1;0;0   Oyz  có phương trình x  nên có VTPT ur uu r n1.n2 a.1  b.0  c.0 2  � ur uu r  � 2 2 2 cos   n1 n2 a b c 0 0 Mà a  � a  a  b2  c 2 2 � 49a  a  b  c a b c � 45a  4b  4c  Thay  1 vào  2  2   2 ta 4b  c  r �2 � � � n  � ;1; � a  � � b 1 � r �3 � 4b  22  � � �� �� � n   2;3;6  r �2 b  1 � 2 � � � � r a n�  ; 1; � � � n   2;3; 6  � �hay � � �3 � Chọn c  ta có x  y  z  12  � �  P  �2 x  y  z  Vậy Câu 180 Chọn C  P  và  Q  Gọi  là góc hai mặt phẳng 1.1  2.m  2.(m  1) 1 cos     � 2 2 2 2   (2)  m  ( m  1) m  2m  � 1� 3 3 �m  � � 2� Khi đó: � m  cos  Góc nhỏ � lớn 1 m  Q  : x  y  z  2019  2 Khi , qua điểm M (2019;1;1) Dạng Một số bài toán liên khác quan điểm – mặt phẳng – mặt cầu Câu 181 Chọn D 2;3) Dễ thấy A nằm ngoài mặt cầu ( S ) Tâm mặt cầu là Iu(1; uuu r uuur ( S ) � AM  IM � AM IM  AM Đường thẳng tiếp xúc với � ( x  2)( x  1)  ( y  3)( y  2)  ( z  4)( z  3)  � ( x   1)( x  1)  ( y   1)( y  2)  ( z   1)( z  3)  � ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)2  ( x  y  z  7)  � x  y  z   ( Do ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  0) uuuu r uuuu r M  x; y; z  OM   x; y; z  AM   x  2; y  2; z   Câu 182 Giả sử , � �x  x    y  y    z  z    �2 uuuu r uuuu r x  y2   z  2  M � S  � OM AM  Vì và nên ta có hệ 2 �x  y  z  x  y  z  � � �2 2 �x  y  z  z   � 2x  y  6z   Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: x  y  z   Câu 183 Chọn D 37 M  x; y; z  � S  Gọi điểm là điểm cần tìm x  y   z    � x  y  z  z   � x  y  z  4 z  Khi đó:uuuu r uuuu r OM   x; y; z  AM   x  2; y  2; z   Ta có: và uuuur uuuu r � x  x  2  y  y  2  z  z  2  Suy OM AM  � x2  y  z  2x  y  z     1  1 vào   ta Thay 4 z   x  y  z   � x  y  z    S có tâm I  1;1;1 Câu 184 và bán kính R   S Do IA      R nên điểm A nằm ngoài mặt cầu 2 AMI vuông M : AM  AI  IM     có tâm A bán kính � M thuộc mặt cầu  S � 2 S� :  x  2   y  2   z  2    Ta có phương trình M � S  � S �  Ta có 2 �  x  1   y  1   z  1  �  I � 2 x   y   z         � Tọa độ của M thỏa hệ phương trình � 2 �x  y  z  x  y  z    I  � �2 2 �x  y  z  x  y  z  10  � x  y  z   � x  y  z   Ta có M � P  : x  y  z   Suy Câu 185 Chọn C  P  tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: ax  by  cz  d  Gọi phương trình mặt phẳng 2 ( đk: a  b  c  ) 38 �a  2b  c  d 2 � 2 a  b  c � � �3a  b  c  d � 1 � d  A;  P    � 2 a  b  c � � � d  B;  P    � a  b  c  d � � � 1 2 d  C;  P    � � a  b  c � Khi ta có hệ điều kiện sau: �a  2b  c  d  a  b  c � � � �3a  b  c  d  a  b  c � a  b  c  d  a  b2  c � � 3a  b  c  d  a  b  c  d � �� 3a  b  c  d  a  b  c  d 3a  b  c  d  a  b  c  d � Khi ta có: a0 � �� a bc d  � �2b  c  d  b  c � 2 � � �� c  d  � c  d  0, b �0 �2b  c  d  b  c � 4b  c  d  � �� �� 2b  c  d  b  c  d cd 0 c  d  4b, c  �2 2b � �� với a  ta có � có mặt phẳng � b a � � �3b  a  b  c � �� � �3b  a �� �� �c  11 a 2 2 2 � � �2a  a  b  c �2a  a  b  c � Với a  b  c  d  ta có có mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có mặt phẳng thỏa mãn bài toán Câu 186  S  :  x  3   y     z  5  36 2 I  3; 2;5  , bán kính R   S Có IM  25  16     R , nên M thuộc miền ngoài của mặt cầu  S  N , nên MN  IN N Có MN tiếp xúc mặt cầu Gọi J là điểm chiếu của N lên MI Mặt cầu có tâm 39 IN 36 12   IM (không đổi), I cố định IN  I J IM Có Suy  P  cố định và mặt cầu  S  , nên N thuộc đường tròn  C  tâm J Suy N thuộc � �x   � � � �y    � u u u r u u u r uu r IJ uuur 12 �  IM  IM z    IJ  IM � N  x; y; z  5 5 � IM Gọi , có IJ  � 23 � � N� 5; ; � � 5 �, k  2a  5b  10c  50 Vậy k  50 Câu 187 Chọn B  S  tâm I  a; b; c  là x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Phương trình mặt cầu 2 Đk: a  b  c  d  �4a  2b  8c  d  21 �10a  d  25 � �� �2a  6b  2c  d  11  S  qua các điểm M , N , P và tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  � �R  a 4a  2b  8c  10a  25  21 6a  2b  8c  6a  2b  8c  � � � � � � d  10a  25 d  10a  25 d  10a  25 � � � �� �� �� 2a  6b  2c  10a  25  11 8a  6b  2c  14 32a  24b  8c  56 � � � 2 2 2 � � � a b c d  a b c d  b2  c  d  � � � 6a  2b  8c  c  a 1 � � � � d  10 a  25 d  10a  25 � � �� �� 26a  26b  52 b  a  � � 2 � � b c d 0 b2  c2  d  � � �   a     a  1  10a  25  2 � 2a  16a  30  a3 � �a  � � a3 � b  1 b  3 � � �� �� hay � a5 � c2 c4 � � � � d 5 � �d  25 Vì a  b  c  nên chọn c     cắt các trục Ox, Oy, Oz các điểm A  a;0;0  , B  0; b ;0  , C  0;0; c  Câu 188 Mặt phẳng Do H là trực tâm tam giác ABC nên a, b, c �0 x y z   a  b  c 1  Khi phương trình mặt phẳng : 2     1 H  1; 2;   �   Mà nên: a b c 40 uuur uuur uuur uuur AH    a; 2;   BH   1;  b;   BC   0;  b; c  AC   a; 0; c  Ta có: , , , uuur uuur �AH BC  � b  c � �uuur uuur � BH AC  Lại có H là trực tâm tam giác ABC , suy � hay �a  2c (2) 2 9   1� c   a  9, b  2 1   2 , Thay vào ta được: 2c c c Vậy A  9;0;0  9� � � � B� 0; ;0 � C � 0; 0;  � � , � �, � 2 x  2b� y  2c� z  d  Khi đó, giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có phương trình là: x  y  z  2a� 2  a�    b�    c�  d  Với Vì điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình: d 0 � d 0 � � � 18a�  d  81 � a�  � � � � 81 � � � 9b� d  b�  � � � � 81 9c� d  � � c�  � � � Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: 2 x2  y  z  9x  �9 9 � 9 I � ; ; � y z 0 2 , có tâm �2 4 �và �9 � �9 � �9 � R  � � � � � �  �2 � �4 � �4 � bán kính �9 � 243 S  4 R  4 � �4 � � � � OABC Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tự diện là  S  có tâm I � C  và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM Câu 189  Giả sử mặt cầu  MNP  Gọi H là hình chiếu vng góc của I  S  tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM Ta có: � d  I , MN   d  I , NP   d  I , PM  � d  H , MN   d  H , NP   d  H , PM  � H là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác MNP x y z  MNP  có phương trình là    hay x  y  z     C    S1  � S2  � Tọa độ các điểm thuộc  C  thỏa mãn hệ phương trình:  2 � �x  y  z  x  y   �2 2 �x  y  z  x  y  z   � x  y  z   C  là    : 3x  y  z  Do đó, phương trình chứa mặt phẳng chứa 1.3   2    1  �  MNP       1  Vì  Ta có: MN  NP  PM  � MNP 41 � G  2; 2;  Gọi G là trọng tâm tam giác MNP và G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Thay tọa    , ta có: G �   độ của điểm G vào phương trình mặt phẳng  MNP  G  Gọi  là đường thẳng vng góc với �  MNP      � � G �   �  �   Vì � � d I , MN    d  I , NP   d  I , PM   r Khi đó: I � � Mặt cầu tâm I bán kính r tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM  C  và tiếp xúc với ba đường thẳng MN , MP, PM Vậy có vơ số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa Câu 190 Ta có  P Giả sử mặt cầu A, B nên ta có uuu r AB   4; 2;  P và mp   có vec tơ pháp tuyến  S  có phương trình r n   2; 1;  Do AB vng góc với x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Mặt cầu  S  qua hai điểm    6a  2b  2c  d  6a  2b  2c  d  11 � � �� �   25  2a  2b  10c  d  2a  2b  10c  d  27 � � Suy 8a  4b  8c  16 � 2a  b  2c  d  I , P   S P Mặt cầu   tiếp xúc với   nên ta có Ta có uuu r AB   4; 2;  � AB  16   16  d  C , AB   IM  52  32  2a  b  2c  11  Goi M là trung điểm AB ta có T Vậy C ln thuộc đường trịn   cố định có bán kính r  Câu 191 42 I  1; 2;3 Mặt cầu ( S ) có tâm , bán kính R  Có IA  IB  nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) uuur r M �5 ; ;3 � � � AB   3; 3;0    1; 1;0    a �2 �là trung điểm của AB , r r 2 a  (1;  1;0) n Gọi và  ( a; b; c) với a  b  c  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) �5 d  6a  3c � �I �( P) � a  b  3c  d  � �2 �� �r r ab a.n  � � � a  b  A , B � ( P ) � Vì nên có  Gọi  h  d  I , ( P)  (C )  ( P) �( S ) r , , là bán kính đường tròn (C ) r  R  h   h2 Diện tích thiết diện qua trục của hình nón ( N ) h2   h2 S  h.2r  h  h � 3 2 2 MaxS  h   h � h  a  2b  3c  d h  d  I ,( P)  �  a  b2  c2 ac � � a2  c2 � � a  c � Nếu a  c b  a; d  9a và ( P) : ax  ay  az - 9a  � x  y  z   (nhận) Nếu a  c b  a; d  3a và ( P ) : ax  ay  az - 3a  � x  y  z   (loại) T  abcd  Vây Câu 192 Chọn C I  a; b; c  Gọi là tâm mặt cầu R  d  I ,      d  I ,    Theo giả thiết ta có a b   c 1 m 1 m d  I ,     1  1 m  1 m Mà Ta có 1 � 1 �1  1  �  1 � 2 m  1 m �m  m � m  m � � 1  � 1   1(do m � 0;1 � m  1 m � m 1 m m  1 m � Nên 43 a   m   bm  cm   m   m   m  m  1 m R 1 m  1 m �R a  am  bm  cm  cm  m  m m2  m  � R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m ��  R  Rm  Rm  a  am  bm  cm  cm  m  m � � m  R  c  1  m  a  b  c  R  1  R  a   1 � �2 m  R  c  1  m  b  c  a  R  1  R  a    �    ,    với m � 0;1 nên pt Xét (1) mặt cầu tiếp xúc với tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng m � 0;1 (1) nghiệm với aR �R  c   � � � �� a  b  c  R 1  � � b  R � I  R; R;1  R  �R  a  � c  1 R � � R  R    R   10 R3 � R  d  I ,   � R  � 3R  12  R � � R  6(l ) � Mà Xét (2) tương tự ta a  R �R  c   � � � �� b  c  a  R 1  � � b   R � I   R;  R; R  1 �R  a  � c  R 1 � � 2 R  R    R   10 R6 � R  d  I ,   � R  � 3R  12  R � � R  3(l ) � Mà Vậy R1  R2  Câu 193 Gọi I  a; b; c   S  Khi ta có và R là tâm và bán kính của R  IA  d  I ;  P    d  I ;  Q    d  I ;  R   �IA  a  � � IA  a   b   c  � � a   � b  1 � a   � c  1 � � �IA  a  � b a2 b  a2 � � � � a 1  b  � � ca �� ca � � � � 2 a 1  c 1 � 2a  12a  28   a   a    a    a  1  � � TH1: (vô nghiệm) 44 � �IA  a  � b  a b  a a4 � � � � � � a   b  � � ca �� ca �� b  4 � R  � � � � � 2 2 a 1  c 1 c4 2a  16a  32  �   a    2  a     a    a  1 � � TH2: � T � �IA  a  � b  a2 b  a � � � � a 1  b  � � c  2a �� ca � � � � 2 a   c  � 2a  4a  12   a   a    a    a  1  � � H3: (vô nghiệm) � �IA  a  � b  a b  a � � � � a   b  � � c  2a �� ca � � � � 2 2 a   c  � 2a  12   a    2  a     a    a  1  � � TH4: (vô nghiệm) Vậy mặt cầu có bán kính R  Câu 194 Chọn D Mặt phẳng  P qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy,z'Oz các điểm A  a; 0;  ,B  0;b;  ,C  0; 0;c   P  có dạng: Khi phương trình mặt phẳng  P  qua M  1;1;  và OA  OB  OC nên ta có hệ: Theo bài mặt phẳng x y z   1 a b c abc � � a  b  c �1 2 � �  �     1 � a  c  b �a b c � �a  b  c   b  c  a � � Ta có:  1 a  b  c  - Với a  b  c thay vào  1  (loại) - Với a  b  c thay vào  1 a  c  b  - Với a  c  b thay vào  1 - Với b  c  a thay vào b  c   a  Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn bài toán là: x y z x y z x y z  P1  :    1;  P2  :    1;  P3  :    4 2 2 2 M  a ;b; c b ��, c �� Câu 195 với a �� uuuu rGọi uu,uu r AM   a  3; b  1; c   BM   a  5; b  5; c  1 Ta có: và �M � P  � � � �MA2  MB �M � P  � �MA2  35 MA  MB  35 � Vì � nên ta có hệ phương trình sau: � 2a  b  c   � 2a  b  c  4 � � 2 2 2 � �  a  3   b  1   c     a  5   b     c  1 � �4a  8b  12c  8 � � � 2 2 2  a  3   b  1   c    35  a  3   b  1   c    35 � � 45 � bc � b  a2 a0 � � � � � �� c  a2 �� c a2 �� b2 � 2 � �  a  3   b  1   c    35 �3a  14a  �c  , (do a ��) � M  2; 2;0  Ta có Suy OM  2 Câu 196 Chọn A � abc  �a  b  c  � 2 2 � �  a  1   b    b2   a     b     c  1 �MA  MB � � �MA2  MC � 2 2 a  1   b    c   a     b  1   c  3 �  � Ta có: abc  a 1 � � � � �� 3a  4b  c  14 � � b  � abc  � � 4a  7b  3b  1 � c3 � 46 ... d 3 d 0 �  1� � d  6 12  22  22 �  P  có dạng: x  2y  2z   Kết hợp điều kiện � Dạng 2.4 Xác định phương trình mặt phẳng đoạn chắn Câu 64 Lời giải Chọn C x y z M  2;0;0  N...  P  là 32  42  22 Khoảng cách d từ A đến � d ( A, ( P ))  29  2.2  2. 3  10 11 11 d  M ; P     3 12  2  22 Câu 92  1  2.2   d  M , P    22   2   12 Câu...  � � 12  22  22 4 2 Bán kính đáy của hình nón là r  R  h  25  16  1 V   r h   33.4  12 3 Thể tích của khối nón  S  có: tâm I  1; 2;3 , bán kính R  12  22  32  