Tài liệu tổng hợp các kiến thức dùng cho cuộc thi VMO cùng với các bài toán, vấn đề hay về hình học, số học, đại số, tổ hợp. Tài liệu liên quan đến một số kĩ thuật dùng định lí giới hạn kẹp, định lí Ruf và hàm sinh, hàm tổng các chữ số, định lí thặng dư Trung Hoa, phương pháp đếm bằng hai cách thông qua bảng ô vuông, một số bài toán về trò chơi, hàng điểm điều hòa....
MỤC LỤC Ban biên tập Lời giới thiệu Trần Nam Dũng Học toán nào? Võ Quốc Bá Cẩn Một tính chất thú vị tam thức bậc hai nhị thứ bậc 25 Nguyễn Văn Huyện, Tống Hữu Nhân Một số vấn đề bất đẳng thức bậc bốn ba biến 33 Nguyễn Mạnh Linh Một số vấn đề xung quanh tổng lũy thừa 55 Nguyễn Hoàng Vinh Hàm lồi biến bất đẳng thức 69 Kiều Đình Minh Một số kỹ thuật sử dụng định lý giới hạn kẹp 83 Trần Minh Hiền Định lý Ruf hàm sinh 107 Nguyễn Đình Thành Cơng, Nguyễn Văn Hưởng Một số tốn trị chơi 125 Đậu Hoàng Hưng Phương pháp đếm hai cách thông qua bảng ô vuông 145 Trần Ngọc Thắng Phương pháp quỹ đạo 157 Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic Trần Quang Hùng Tổng quát ứng dụng toán chia đôi đoạn thẳng 169 Huỳnh Chí Hào Hàng điểm điều hịa 185 Nguyễn Văn Linh Các tam giác có dạng AB C AC D kBC 209 Nguyễn Ngọc Giang Vẻ đẹp toán thi Olympic Hungary 229 Nguyễn Duy Liên Định lý thặng dư Trung Hoa số ứng dụng 241 Lê Phúc Lữ S.n/ – hàm tổng chữ số 267 Ban biên tập Lời giải bình luận đề thi VMO 2015 299 Ban biên tập Đề thi Olympic Toán quốc tế 2015 349 LỜI GIỚI THIỆU Ban biên tập Các bạn cầm tay kỷ yếu chương trình Gặp gỡ Tốn học 2015 Viện nghiên cứu cao cấp Toán (VIASM) phối hợp với công ty cổ phần Giáo dục Ti tan (Titan Education) trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu tổ chức Vũng Tàu tháng 7, 2015 Gặp gỡ toán học 2015 thực bảo trợ Chương trình trọng điểm quốc gia phát triển toán học giai đoạn 2010-2020 Tuy nhiên, coi ấn phẩm độc lập, tài liệu tham khảo bổ sung dành cho bạn học sinh thầy cô giáo Chủ đề kỷ yếu Các phương pháp giải toán với 16 viết phương pháp giải toán Đại số, Giải tích, Hình học, Số học, Tổ hợp tác giả thầy cô giáo chuyên toán, nghiên cứu sinh, học viên cao học, bạn sinh viên học sinh đến từ miền đất nước Sự ủng hộ nhiệt tình có chất lượng tác giả dành cho Kỷ yếu tạo Kỷ yếu dày dặn, có nội dung phong phú, cập nhật Vì số lý khác nhau, số viết chưa đưa vào Kỷ yếu lần này, trao đổi với tác giả để sử dụng ấn phẩm sau Ban biên tập xin chân thành cảm ơn ủng hộ tác giả cho kỷ yếu Gặp gỡ toán học 2015 suốt năm qua Bên cạnh đó, kỷ yếu giới thiệu Lời giải Bình luận kỳ thi năm học vừa qua: VMO 2015, Vietnam TST 2015 IMO 2015 Qua lời giải chi tiết đặc biệt phần bình luận, độc giả có nhìn rộng mặt phương pháp giải tốn Ban biên tập xin cảm ơn lãnh đạo đơn vị tổ chức đồng hành Gặp gỡ toán học, đặc biệt quan tâm, động viên GS Ngô Bảo Châu, GS Nguyễn Hữu Dư, TS Nguyễn Thị Lê Hương, TS Nguyễn Văn Lượng thầy Lê Quốc Hùng dành cho hoạt động chương trình nói chung Kỷ yếu nói riêng Ban biên tập gửi lời cảm ơn đặc biệt đến họa sĩ thiết kế Phạm Minh Thư (Trento, Italy) thiết kế áo thật đẹp đại cho Kỷ yếu lần Hy vọng kỷ yếu tài liệu bổ ích cho bạn học sinh thầy giáo Tp Hồ Chí Minh, 7/2015 Ban biên tập Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic HỌC MỘT BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO? Trần Nam Dũng (Đại học KHTN, thành phố Hồ Chí Minh) Quý hồ tinh bất đa Tơn Vũ Để cải thiện trí óc, ta cần học ít, thấu hiểu nhiều Rene Descartes Đi chậm, tiến xa Ngạn ngữ Nga Mỗi tốn tơi giải trở thành quy tắc mà sau dùng để giải toán khác Hãy chia khó khăn thành thành phần đủ nhỏ để giải chúng Rene Descartes Làm để học tốt mơn tốn ln câu hỏi mà nhiều bạn học sinh trăn trở Tại có nhiều bạn bỏ nhiều thời gian cho việc học toán, tiến chậm, nhiều lúc cịn đứng n chỗ thụt lùi? Có nhiều bạn nhìn học thoải mái, học đâu hiểu đó, áp dụng điều học vào tính khác Vấn đề cách học Khi học tốn, có bạn học qua loa, nắm lời giải thơi, chuyển qua tốn khác Không đào sâu khai thác, không so sánh với tốn khác để tìm chung, khơng tóm tắt lại để điểm yếu, khơng mở rộng để xem phương pháp giải cịn áp dụng đến đâu Vì thế, lời giải đơn lời giải Không phải phương pháp, khơng có kết nối đa chiều với toán khác Chúng ta tưởng tượng, cần thuộc đường thành phố Hồ Chí Minh Với hàng trăm đường thế, có nhớ khơng? Và bỏ cơng sức học nhớ hết? Nhưng ta học cách có hệ thống, trục ngang, trục dọc lớn, sau cụm theo quận, theo phường Ta không cần nhớ hết, cần biết quận nào, phường nào, gần đường lớn Khi cần chi tiết ta nghiên cứu sau, khoanh vùng khơng cịn việc khó Học giải tốn Nếu học tốn cách riêng rẽ biết đủ Và ta có đủ thời gian để nhớ toán Và ta biết khó hy vọng cho trúng tủ, mà tốn gần, tương tự, có mối liên hệ với tốn biết Vậy cần vận dụng mối liên hệ với tốn đó, kho tàng vài nghìn tốn xếp lộn xộn, khơng có lớp lang ta có đủ thời gian mà đem mà dùng khơng? Nói cách hình ảnh, giả sử ta có 100 tốn, thay học 100 cách riêng lẻ, ta chọn 10 15 chốt Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic 13 15 14 10 11 12 Lúc đó, tốn chốt (ta biết rõ cách giải) hay thường (là toán ta chưa biết gặp) có mối liên hệ hàng ngang, cột dọc hay đường chéo với tốn khác Từ đó, cần ta phục hồi lại, y ta giải Sudoku Dưới ta xem xét số ví dụ khai thác phương pháp giải toán từ chứng minh lời giải kinh điển Chứng minh G.Polya cho bất đẳng thức AM-GM học sử dụng số bất đẳng thức không Chúng ta biết bất đẳng thức AM-GM nhiều cách chứng minh nó: Dùng quy nạp lùi, dùng hàm lồi, dùng khai triển, dùng dồng biến Tuy nhiên cách chứng minh G.Polya đẹp đẽ đem đến cho ta nhiều học bổ ích Định lý (Bất đẳng thức AM-GM) Nếu a1 ; a2 ; : : : ; an n số thực dương ta có a1 C a2 C n C an p n a1 a2 an : Lời giải Trước hết ta chứng minh bổ đề: Bổ đề Nếu x1 ; x2 ; : : : ; xn số thực dương có tích x1 C x2 C C xn n: Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo n: Với n D mệnh đề hiển nhiên Giả sử mệnh đề với n số Ta chứng minh mệnh đề với n C số Xét n C số x1 ; x2 ; : : : ; xn ; xnC1 có tích 1: Nếu tất số (và 1/ bất đẳng thức trở thành đẳng thức Trong trường hợp ngược lại, phải có số > số < 1: Khơng tính tổng qt tốn, ta giả sử xn < 1; xnC1 > 1: Khi ta có xn 1/.xnC1 x1 C C xn 1/ < 0; suy xn C xnC1 > xn xnC1 C 1: Từ ta có C xn C xnC1 > x1 C C xn C xn xnC1 C 1: 1/ Học toán nào? Áp dụng giải thiết quy nạp cho n số x1 ; : : : ; xn ; xn xnC1 có tích 1; ta có x1 C C xn C xn xnC1 n: 2/ Từ 1/ 2/ ta suy x1 C C xn C xn C xnC1 > n C 1: Như bổ đề đến n C 1: Theo nguyên lý quy nạp toán học, bổ đề với n: Quay trở lại toán, ta đặt an a1 x1 D p ; : : : ; x D ; p n n n a1 an a1 an x1 xn D p n a1 a1 p n an an a1 an x1 C C xn n; C C p n D a1 a1 an D 1: an Áp dụng bổ đề ta có suy p n a1 a1 an an a1 n; an tương đương với a1 C a2 C n Bất đẳng thức AM-GM chứng minh p n C an a1 an : Trong lời giải này, có hai ý tưởng chính, thứ bước đưa toán toán với điều kiện chuẩn hóa x1 x2 xn D thứ hai bước sử dụng số để "dồn" xn ; xnC1 thành xn xnC1 (cụ thể thay xn C xnC1 xn xnC1 C 1/: Nhờ có bước thay mà ta áp dụng giả thiết quy nạp Ta tiếp tục phân tích ý tưởng chuẩn hóa bước mục sau Ở ta khai thác ý tưởng sử dụng số để so sánh đại lượng không bậc Bài toán Cho x; y; z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức x C y C z C 2xyz C 2.xy C yz C zx/: 1:1/ Phân tích Ở x C y C z xy C yz C zx bậc, so sánh được, xyz đại lượng khác bậc Ta muốn dùng số để so sánh xyz với đại lượng vế trái, làm đơn giản bớt thành phần Lời giải Trong số x; y; z ln có hai số lớn hay nhỏ hay 1: Giả sử x; y ta có x 1/.y 1/ 0; suy xy C x C y: Từ 2xyz C 2z 2xz C 2yz: Như vậy, để chứng minh 1:1/; ta cần chứng minh x2 C y2 C z2 C 2xy C 2z: Nhưng bất đẳng thức cuối hiển nhiên tương đương với x Bài tốn chứng minh y/2 C z 1/2 0: 1:2/ Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic Bài toán bổ đề có nhiều ứng dụng hiệu quả, đặc biệt bất đẳng thức không chứa xyz: Bạn đọc sử dụng toán để giải toán song sinh sau Bài tập (Hello IMO, 2007) Cho x; y; z số thực dương Chứng minh xyz C 2.x C y C z / C 5.x C y C z/: Bài tập (Ninh Thuận, 2014) Cho x; y; z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức xyz C x C y C z C 3.x C y C z/: Hằng số áp dụng nói trên, nguyên tắc, thay số Điều quan trọng việc chọn số phải liên quan đến đại lượng hai vế phải giúp ta giải toán Bài toán Cho a; b; c ba số dương đặt 1 x DaC ; y DbC ; z DcC : b c a Chứng minh ta có bất đẳng thức xy C yz C zx 2.x C y C z/: 2:1/ Phân tích Trong ví dụ này, ta dùng kỹ thuật chuồng thỏ, vách ngăn số 2: Điều thấy rõ từ hai vế bất đẳng thức cần chứng minh Lời giải Trong số x; y; z ln có hai số lớn hay nhỏ hay 2: Giả sử x; y ta có x 2/.y 2/ 0; suy xy C 2.x C y/: 2:2/ Như vậy, để chứng minh 2:1/; ta cần chứng minh yz C zx 2z C 4; z.y C x 2/ 4: à  2:3/ Thật vậy, ta có  z x C y 2/ D c C a à1 aC CbC b c cC a àà aC c r c a r a D 4: c Ở ta sử dụng đánh giá b C b1 lần dùng AM-GM cuối) Tức 2:3/ Cộng với 2:2/ vế theo vế, ta có điều phải chứng minh Bài tốn (Việt Nam MO, 1996) Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn điều kiện xy C yz C zx C xyz D 4: Chứng minh ta ln có xCyCz xy C yz C zx: 3:1/ Học tốn nào? Phân tích Các đại lượng ngược chiều so với ví dụ 1; 2: Do ta khơng theo cách chuồng thỏ mà theo cách Polya Lời giải Giả sử x y z: Vì xy C yz C zx C xyz D nên tất số > 1; tất số < 1: Từ suy x z 1: Đặt s D x C z p D xz ta có y.s C p/ D sCy p ta cần chứng minh sy C p: Ta có s C p/.s C y p/ D s2 C sp C sy p 4s C ps p2 D s sp 2/2 C p.s p 1/: Mặt khác s 1DxCz p xy D x 1/.1 z/ 0; nên từ suy s C p/.s C y có nghĩa s C y sy p sy p/ 0; 0: Ta có điều phải chứng minh Bài tập (PTNK, 2014) Cho a; b; c số thực dương thỏa mãn điều kiện a C 1/.b C 1/.c C 1/ D C 4abc: Chứng minh ta có bất đẳng thức a C b C c Ä C abc: Bài học từ Polya chuẩn hóa chứng minh bất đẳng thức Trong toán trên, ta thấy sử dụng số cách thích hợp, ta rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức đơn giản Với bất đẳng thức khơng thể có số (vì nhân tất biến với đại lượng bất đẳng thức không thay đổi, số bị thay đổi) Những số xuất ta đưa điều kiện chuẩn hóa Ngồi ra, chuẩn hóa cịn giúp đơn giản biểu thức cồng kềnh, đặc biệt biểu thức chứa Ta bắt đầu ví dụ kinh điển Cho a D a1 ; a2 ; : : : ; an / gồm n số thực dương Với số thực r; ta đặt  Mr a/ D a1r C a2r C n C anr à 1r ; (trung bình bậc r a): Ta có bất đẳng thức trung bình lũy thừa tiếng sau: Nếu r > s Mr a/ Ms a/: Rất thú vị bất đẳng thức cực mạnh (từ suy AM-GM, Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức trung bình điều hịa) lại chứng minh dùng BDT Bernoulli Dưới ta xét trường hợp bất đẳng thức 10 Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic Bài toán Nếu r > s > Mr a/ Ms a/: Lời giải Biểu thức Mr a/ Ms a/ cồng kềnh ta chưa biết xử lý Sử dụng ý tưởng từ chứng minh G.Polya, ta giải tốn "đã chuẩn hóa sau" Bổ đề Cho r > s: Nếu a1s C a2s C C ans D n a1r C a2r C Thật r > s > nên r s C anr n: > 1: Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có air D C ais r s 1C r s a s i : Cho i chạy từ đến n cộng lại vế theo vế, ta có điều phải chứng minh Bài toán Hãy từ bổ đề suy kết toán 4: Bài toán (Saudi Arabia TST 2015) Cho x; y; z số thực dương thỏa mãn điều kiện à  1 C C D 10: x C y C z/ x y z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức  à 1 2 P D x C y C z / C 2C : x2 y z Lời giải Lời giải tốn chia nhỏ thành bước sau 1: Dùng tư tưởng chuẩn hóa, đưa tốn tốn tương đương (vì sao?) sau: Cho x; y; z ba số dương thỏa mãn x C y C z D 10; x1 C y1 C z1 D 1: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn  à 1 2 P D x C y C z / C 2C : x2 y z 2: Đặt t D xyz D xy C yz C zx: Tính P theo t: 3: Đánh giá x; y; z phương pháp điều kiện có nghiệm hệ phương trình 4: Đánh giá t khảo sát hàm số phương pháp sử dụng số 5: Đánh giá P: Bạn đọc dựa vào sơ đồ để tìm lời giải cụ thể Bài tốn (Việt Nam MO, 2004) Cho x; y; z > thoả mãn x C y C z/3 D 32xyz: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P D x4 C y4 C z4 x C y C z/4 : Bài toán (British MO, 1986) Cho x; y; z số thực thoả mãn điều kiện x C y C z D x C y C z D 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P D x y C y z C z x: