HAM SO BAC 1 - TU LUAN

PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc hàm số có dạng y  ax  b  a   Sự biến thiên hàm số bậc nhất: + Tập xác định: D  R + Hàm số y  ax  b  a   đồng biến a  nghịch biến a  + Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số bậc nhất:  b  Đồ thị hàm số y  ax  b  a   đường thẳng có hệ số góc a, cắt trục hồnh A   ;0   a  cắt trục tung B  0; b  Lưu ý: + Nếu a   y  b hàm số hằng, đồ thị đường thẳng song song trùng với trục hoành + Cho đường thẳng d có hệ số góc k, d qua điểm M  x0 ; y0  , phương trình đường thẳng d là: y  y0  a  x  x0  B PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN HÀM SỐ BẬC NHẤT Dạng tốn Xác định hàm số bậc tƣơng giao đồ thị hàm số bậc Phƣơng pháp giải toán: Để xác định hàm số bậc ta thực theo bước sau: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! + Gọi hàm số cần tìm y  ax  b  a   + Dựa giả thiết toán để thiết lập hệ phương trình với ẩn a, b + Giải hệ phương trình để tìm ẩn số aa, bb suy hàm số cần tìm Cho hai đường thẳng d1 : y  a1 x  b1 d : y  a2 x  b2 Khi đó: a1  a2 a) d1 d trùng   b1  b2 a1  a2 b) d1 d song song   b1  b2  y  a1 x  b1 c) d1 d cắt  a1  a2 , tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình   y  a2 x  b2 d) d1 d vng góc  a1a2  1 Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng dd, tìm hàm số biết: a) d qua A 1;3 ; B  2; 1 b) d qua C  3; 2  song song với  : 3x  y   c) d qua M 1;  cắt hai tia Ox; Oy P, Q cho SOPQ nhỏ d) d qua N  2; 1 d  d ' với d ' : y  x  Giải Gọi hàm số cần tìm y  ax  b  a   3  a  b  a  4  a) A  d B  d nên ta có hệ phương trình:  1  2a  b b  Vậy hàm số cần tìm y  4 x  b) Ta có  : y  x 2   a  Vì d / /  nên  b   2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  a  Mặt khác C  d  2  3a  b   b   13  Vậy hàm số cần tìm y  c) Đường thẳng d cắt 13 x 2 trục  b  Ox P   ;0   a  cắt Oy Q  0; b  với a  0; b  1 b b2 Suy SOPQ  OP.OQ   b   2 a 2a Ta có M  d   a  b  b   a Do đó: SOPQ 2  a  2a 2 a   2 a 2 a   a  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:            S OPQ  a  a   a     Đẳng thức xảy  a  a  2  b  a  Vậy hàm số cần tìm y  2 x  d) Đường thẳng d qua N  2; 1 nên 1  2a  b Và d  d '  4.a  1  a   Do đó: b   1 Vậy hàm số cần tìm y   x  Ví dụ Cho hai đường thẳng d : y  x  2m d ' : y  3x  (m tham số) a) Chứng minh hai đường thẳng d, d’ cắt tìm tọa độ giao điểm chúng b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ d '' : y  mx  phân biệt đồng quy Giải a) Ta có ad  1  ad '  suy hai đường thẳng d, d’ cắt  y  x  2m x  m 1  Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d, d’ nghiệm hệ phương trình:   y  3x   y  3m  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Suy d d’ cắt điểm M  m  1;3m  1 b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên M  d '' , đó: m  3m   m  m  1   m  2m      m  3 + Với m  ta có ba đường thẳng d : y  x  2; d ' : y  3x  2; d '' : y   x  phân biệt đồng quy M  0;  + Với m  3 ta có d '  d '' suy m  3 khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy m  giá trị cần tìm Ví dụ Cho đường thẳng d : y   m  1 x  m d ' :  m  1 x  a) Tìm m để hai đường thẳng d, d’ song song với b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung A, d’ cắt trục hoành B cho tam giác OAB cân O Giải a) + Với m  1, ta có d : y  1; d ' : y  hai đường thẳng song song với   + Với m  1 ta có d : y  2 x  1; d ' : y  suy hai đường thẳng cắt M   ;6    + Với m  1 hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song với m  m   m2    m    m    m  m  m   Đối chiếu với điều kiện m  1 suy m  Vậy m  m  giá trị cần tìm   y   m  1 x  m  x  b) Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ    A  0; m  y  m x     2   y   m  1 x    m  1 x   Tọa độ điểm B nghiệm hệ   * y  y    Rõ ràng m  1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm  x    ;0  Với m  1 , ta có *    m2  B   1 m   y  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Do tam giác OAB cân O  m   m  m3  6  m  m    m  2  tm    m2 m  m    Vậy m  2 giá trị cần tìm Dạng tốn Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc Ví dụ Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a) y  3x  b) y   x  2 Giải a) Tập xác định D  R Vì a   suy hàm số đồng biến R Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y  3x  qua A  2;0  ; B  1;3 b) Tập xác định D  R Vì a    suy hàm số nghịch biến R Bảng biến thiên: Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!  3 Đồ thị hàm số y   x  qua A  3;0  ; B  0;  2  2 Ví dụ Cho hàm số y  x  3; y   x  y; y  2 a) Vẽ đồ thị hàm số hệ trục tọa độ b) Dựa vào đồ thị xác định giao điểm đồ thị hàm số Giải 3  a) Đường thẳng y  x  qua điểm A  0; 3 ; B  ;0  2  Đường thẳng y   x  qua điểm A  0; 3 ; C  3;0  Đường thẳng y  2 song song với trục hoành cắt trục tung điểm có tung độ -2 b) Đường thẳng y  x  3; y   x  cắt A  0; 3 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Đường thẳng y   x  3; y  2 cắt A '  1; 2  1  Đường thẳng y  x  3; y  2 cắt A ''  ; 2  2  Ví dụ Cho đồ thị hàm số có đồ thị  C  hình vẽ a) Hãy lập bảng biến thiên hàm số  3;3 b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số  4; 2 Giải a) Bảng biến thiên hàm số  3;3 b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có: max y   x  4; y   x  4;2 4;2 Dạng toán Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối y  ax  b Phương pháp giải toán: Vẽ đồ thị  C  hàm số y  ax  b ta làm sau: + Cách 1: Vẽ  C1  đường thẳng y  ax  b với phần đồ thị cho hoành độ x thỏa mãn ax  b  Vẽ  C2  đường thẳng y  ax  b lấy phần đồ thị cho ax  b  Khi  C  hợp hai đồ thị  C1   C2  Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! + Cách 2: Vẽ đường thẳng y  ax  b y  ax  b xóa phần đường thẳng nằm trục hoành, phần đường thẳng nằm trục hồnh  C  Chú ý: Biết trước đồ thị  C  : y  f  x  đồ thị  C1  : y  f  x  gồm phần: + Giữ nguyên đồ thị  C  bên phải trục tung + Lấy đối xứng đồ thị  C  bên trái trục tung qua trục tung Biết trước đồ thị  C  : y  f  x  đồ thị  C2  : y  f  x  gồm phần: + Giữ nguyên đồ thị  C  phía trục hồnh + Lấy đối xứng đồ thị  C  trục hoành qua trục hồnh Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số sau: 2 x x  a) y    x x  b) y  3x  Giải a) Với x  đồ thị hàm số y  x phần đường thẳng qua hai điểm O  0;0  ; A 1;  nằm bên phải đường thẳng x  Với x  đồ thị hàm số y   x phần đường thẳng qua hai điểm B  1;1 ; C  2;  nằm bên trái đường thẳng x  b) Vẽ hai đường thẳng y  3x  3; y  3x  lấy phần đường thẳng nằm trục hoành Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y  x  b) y  x  Giải  x  x  a) Cách 1: Ta có y    x  x  Vẽ đường thẳng y  x  qua hai điểm A  0; 2  ; B  2;0  lấy phần đường thẳng bên phải trục tung Vẽ đường thẳng y   x  qua hai điểm A  0; 2  ; C  2;0  lấy phần đường thẳng bên trái trục tung Cách 2: Đường thẳng d : y  x  qua A  0; 2  ; B  2;0  Khi đồ thị hàm số y  x  phần đường thẳng d nằm bên phải trục tung phần đối xứng qua trục tung b) Đồ thị y  x  gồm phần: + Giữ nguyên đồ thị hàm số y  x  phía trục hồnh + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  x  phía trục hoành lấy đối xứng qua trục hoành Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ Cho đồ thị  C  : y  x   x  a) Vẽ đồ thị  C  b) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số với x   3; 4 Giải  x x   a) Ta có y  5 x  12  x   x x   Vẽ đường thẳng y  x qua hai điểm O  0;0  ; A 1;1 lấy phần đường thẳng bên phải đường thẳng x  Vẽ đường thẳng y  x  12 qua hai điểm B  3;3 ; C  2; 2  lấy phần đường thẳng nằm hai đường thẳng x  2; x  Vẽ đường thẳng y   x qua hai điểm O  0;0  ; D  1; 1 lấy phần đường thẳng bên trái đường thẳng x  b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có: max y   x  4; y  2  x  3;4 10 3;4 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Dạng toán Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ nhất, lớn Phƣơng pháp giải toán: Cho hàm số f  x   ax  b đoạn  ;    R Khi đó, đồ thị hàm số y  f  x   ;   đoạn thẳng nên ta có số tính chất: max f  x   max  f  a  ; f  b   ;   f  x    f  a  ; f  b   ;    max f  x   max f  a  ; f  b   ;    Ví dụ 10 Cho hàm số f  x   x  m Tìm m để giá trị lớn f  x  1; 2 đạt giá trị nhỏ Giải Dựa vào nhận xét ta thấy max f  x  đạt x  x=1 x  1;2 Như đặt M  max f  x  M  f 1   m M  f     m 1;2 Ta có: M  f 1  f    m   m  m  m    1 2  2m  4m Đẳng thức xảy  m3  m m        Vậy giá trị nhỏ M 1, đạt m  Ví dụ 11 Cho hàm số y  x  x  3m  Tìm m để giá trị lớn hàm số y nhỏ Giải Gọi A  max y Ta đặt t  x  x  t    x  1 ,  t  Khi hàm số viết lại y  t  3m  với t   0;1 , suy ra: 3m    3m 0;1 Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: 3m    3m  3m    3m  A  max t  3m   max  3m  ;  3m   Do A  , đẳng thức xảy m  2 Vậy giá trị cần tìm m  11 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 12 Cho a, b, c thuộc  0;  Chứng minh rằng:  a  b  c    ab  bc  ca   Giải Viết bất đẳng thức lại thành   b  c  a   b  c   bc   Xét hàm số bậc nhất: f  a     b  c  a   b  c   bc  với ẩn a   0; 2 Ta có: f     b  c   bc      b   c   f      b  c    b  c   bc   bc  Suy f  a   max  f   ; f    12 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất! ... Cho hai đường thẳng d1 : y  a1 x  b1 d : y  a2 x  b2 Khi đó: a1  a2 a) d1 d trùng   b1  b2 a1  a2 b) d1 d song song   b1  b2  y  a1 x  b1 c) d1 d cắt  a1  a2 , tọa độ giao... d) d1 d vng góc  a1a2  ? ?1 Ví dụ Cho hàm số bậc có đồ thị đường thẳng dd, tìm hàm số biết: a) d qua A ? ?1; 3 ; B  2; ? ?1? ?? b) d qua C  3; 2  song song với  : 3x  y   c) d qua M ? ?1; ...  1; d ' : y  hai đường thẳng song song với   + Với m  ? ?1 ta có d : y  2 x  1; d ' : y  suy hai đường thẳng cắt M   ;6    + Với m  ? ?1 hai đường thẳng đồ thị hàm số bậc nên song song