Cấp số nhân-Lớp 11

1 CẤP SỐ NHÂN Giáo viên: Nguyễn Quang vinh Tổ: Toán – Tin Trường THPT Vũ Tiên- Thái Bình 2 VÍ DỤ MỞ ĐẦU Cho hai dãy số sau: 1, Dãy hữu hạn: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64. 2, Dãy vô hạn: 3, 9, 27, …, 3 n ,… Tìm quy luật của hai dãy số trên ? 3 Trả lời: Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số -2. Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số 3. Dãy số thứ nhất: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64. Tính chất chung Dãy số thứ hai: 3, 9, 27, …, 3n,… Hai dãy số trên được gọi là các cấp số nhân Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng liền trước với hằng số không đổi 4 1.Định nghĩa. Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là: (u n ) là cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, u n = u n-1 .q q: gọi là công bội. Nhận xét Cấp số nhân hoàn toàn xác định khi biết một phần tử u k và q. 5 Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có u 1 = -3 và q = -2 Tính các phần tử u 4 , u 5 ? Lời giải. 2 1 . ( 3).( 2) 6u u q = = − − = 3 2 . (6).( 2) 12u u q = = − = − 4 3 . ( 12).( 2) 24u u q = = − − = 5 4 . (24).( 2) 48u u q = = − = − 6 Nhận xét. - Nếu q = 0 thì u n = 0, ∀n ≥ 2. - Nếu q = 1 thì u n = u 1 , ∀n ≥ 1. Dãy (u n ) là dãy hằng số. 7 Đáp án Bắt đầu Tìm dãy số lập thành cấp số nhân Ví dụ 2 A. 2, -4, 8, 16, -32, 64 B. 4, 0, 0, 0, …,0,… C. 0, 3, 0, 0,…, 0,…. D. 1 , 2 − 1 , 6 − 1 , 18 − 1 , 54 − 1 , 162 − Đáp án: B (q=0), D(q=1/3) 8 Ví dụ 3 Cho dãy (u n ) xác định bởi: u 1 =2, u n =3u n-1 +2,∀n ≥1. CMR dãy (v n ) lập thành cấp số nhân. Đặt v n = u n +1,∀n ≥1. Lời giải ⇒ u n-1 = v n-1 -1 Ta có: ∀n ≥1, v n-1 = u n-1 +1 ⇒ v n = u n + 1=(3u n-1 +2)+1 = 3(u n-1 +1) = 3.v n-1 ⇒ Dãy (v n ) lập thành cấp số nhân với công bội q = 3. 9 2. Tính chất Định lí 1. Nếu (u n ) là một CSN thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: u k 2 =u k-1 .u k+1 Chứng minh. - Nếu q = 0 thì có CSN: u 1 , 0, 0, …, 0,… Khi đó hiển nhiên có tính chất: u k 2 = u k-1 .u k+1 , k ≥ 2. - Nếu q ≠ 0 thì định nghĩa CSN ta có: 1 . ( 2) k k u u q k − = ≥ 1 ( 2) k k u u k q + = ≥ ⇒ u k 2 = u k-1 .u k+1 10 Chú ý 1. u k 2 = u k-1 .u k+1 không tương đương với 1 1 . k k k u u u − + = 2 1 1 1 1 . . k k k k k k u u u u u u − + − + = ⇔ = Nếu u k ≥ 0, ∀ k thì: Tồn tại hay không một CSN có u 2009 =-3; u 2011 =34 ? Không tồn tại, vì: u 2010 2 =u 2009 .u 2011 =-3.34=-102 <0 2. Chứng minh (u n ) là CSN ta chứng minh: 1 . , 2. n n u u q n − = ∀ ≥ [...]... được chọn một phần thưởng người đó xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ: ô thứ nhất 1 hạt thóc, ô thứ 2 hai hạt… cứ như vậy số thóc ở ô sau gấp đôi số thóc của ô trước cho đến ô cuối cùng Hãy tính số hạt thóc để rải kín các ô bàn cờ? 16 Giải Số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1 = 1, q = 2 S64 = 264 – 1 Cứ cho rằng 1000... Zê-nông đã không chú ý đến tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn chỉ là một số hữu hạn 19 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 1 Mỗi CSN có u1>0 và 01 là một dãy số: … A Tăng B Giảm C Không tăng,không giảm 3 Mỗi CSN q>1 là một dãy số giảm khi: A u1>0 B u1 0 và u3=7,... 63 ⇒ u4 = 63 2 u5 81 27 7 2 u5 = u4 u6 ⇒ u6 = = = u4 3 7 7 11 Định lý 2 Số hạng tổng quát của cấp số nhân Cho CSN (un) với công bội q un = u1.q n −1 Chứng minh: Ta có: u2 = u1.q u3 = u2 q = u1.q.q = u1.q 2 2 3 u4 = u3 q = u1.q q = u1.q 3 4 u5 = u4 q = u1.q q = u1.q ………………… Vậy: un = u1.q n −1 12 Định lý 3 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân Cho CSN (un) công bội q Đặt: Sn=u1+u2+…+un Nếu q=1 thì... là bao nhiêu? Số tiền của người đó sau một tháng bằng tổng tiền gốc và tiền lãi, do đó có: a +a.0,004 = a.1,004 (đồng) Giải Đặt un là số tiền rút ra sau n tháng Khi đó (un) là CSN với công bội q=1,004 u1=107.1,004 (đồng) ⇒ un= u1.qn-1=107.1,004.(1,004)n-1 ,∀n ≥ 1 Sau 6 tháng, số tiền là: u6= u1.q5=107.1,004.(1,004)5=10243473 (đồng) Sau 12 tháng, số tiền là: u12= u1.q11=107.1,004.(1,004 )11= 10490721(đồng)... kì hạn như sau: “Khi kết thúc kì hạn gửi tiền mà người gửi không đến rút thì toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi) sẽ được chuyển gửi tiếp với kì hạn mà người gửi đã gửi” Giả sử có một người gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng với lãi suất kì hạn này là 0,4% 1 Nếu 6 tháng sau, kể từ ngày gửi, người đó mới đến rút tiền thì số tiền rút được (cả vốn lẫn lãi) là bao nhiêu ? 2 Với câu hỏi như trên, với giả thiết... Giải Số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u1 = 1, q = 2 S64 = 264 – 1 Cứ cho rằng 1000 hạt thóc nặng 20g thì khối lượng thóc là 369 tỉ tấn Nếu đem rải đều số thóc này lên bề mặt trái đất thì sẽ được 1 lớp thóc dày 9mm Hỏi nhà vua làm sao có được lượng thóc khổng lồ như vậy 17 Bài toán 3 (nghịch lí Zê-nông) Asin – một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người . thành cấp số nhân với công bội q = 3. 9 2. Tính chất Định lí 1. Nếu (u n ) là một CSN thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của hai số hạng. cùng. Hãy tính số hạt thóc để rải kín các ô bàn cờ? 17 Giải. Số hạt thóc để làm phần thưởng chính là tổng 64 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với u 1