-I HÅC THI NGUYN TR ÕNG -I HÅC S PHM -INH THÀ THO H PH ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER C’A BI TON BIN HÉN H—P -ÈI VŒI DI -N HầI LUN VN THC S TON HC ThĂi Nguyản - 2020 -I HÅC THI NGUYN TR ÕNG -I HÅC S PHM -INH THÀ THO H PH ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER C’A BI TON BIN HÉN H—P -ÈI VI DI -N HầI Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tẵch M¢ sË: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng˜Ìi hểng dăn khoa hc TS NGUYN TH NGN ThĂi Nguyản - 2020 LÌi cam oan TÊi xin cam oan r¬ng nẻi dung trẳnh b y luên vôn n y l trung th¸c v khÊng trÚng l°p vĨi · t i khĂc Tấi cng xin cam oan rơng mi sá gip ễ cho viằc thác hiằn luên vôn n y  ềc cÊm ẽn v cĂc thấng tin trẵch dăn luên vôn  ềc ch r ngun gậc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 Ngèi viát luên vôn -INH THÀ THO i LÌi c£m Ïn -º ho n th nh ềc luên vôn mẻt cĂch ho n chnh, tấi luấn nhên ềc sá gip ễ nhiằt tẳnh ca TS Nguyạn Th NgƠn Tấi xin chƠn th nh b y t lÃng biát ẽn sƠu sc án cấ giĂo v xin gi lèi tri Ơn nhĐt ca tấi ậi vểi nh˙ng i·u cÊ gi¡o ¢ d nh cho tÊi TÊi xin ch¥n th nh c£m Ïn Ban Gi¡m hi»u Tr˜Ìng -Ôi hc S phÔm -Ôi hc ThĂi Nguyản, cĂc PhÃng chc nông ca Trèng -Ôi hc S phÔm -Ôi hc ThĂi Nguyản, cĂc Qu ThƯy Cấ giÊng dÔy lểp Cao hc k26 (2018 2020) Trèng -Ôi hc S phÔm -Ôi hc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhng kián thc qu bĂu cng nh tÔo i·u ki»n cho tÊi ho n th nh kh‚a hÂc BÊn luên vôn chc chn s khấng trĂnh nhng khiám khuyát vẳ vêy rĐt mong nhên ềc sá ng gp kián ca cĂc thƯy cấ giĂo v cĂc bÔn hc viản luên vôn n y ềc ho n ch¿nh hÏn CuËi cÚng xin c£m Ïn gia ¼nh v bÔn b  ẻng viản, khẵch lằ tấi thèi gian hc têp, nghiản cu v ho n th nh luên vôn Tấi xin chƠn th nh cÊm ẽn! ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ -INH TH THO ii Mˆc lˆc LÌi cam oan LÌi c£m Ïn i ii Mc lc iii M Ưu 1 Kián thc chuân b 1.1 Hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh 1.2 Bi¸n Íi Fourier 1.2.1 Bi¸n Íi Fourier cıa c¡c h m cÏ b£n gi£m nhanh 1.2.2 Bián i Fourier ca h m suy rẻng tông chêm 1.3 KhÊng gian Sobolev 1.3.1 KhÊng gian Hs (R) 1.3.2 C¡c khÊng gian Hos ( ) ; Ho;os ( ) ; Hs ( ) 4 8 1.4 KhÊng gian Sobolev vectÏ 1.5 To¡n t˚ gi£ vi ph¥n 11 H» ph˜Ïng tr¼nh c°p tẵch phƠn Fourier ca b i toĂn biản hẩn hềp Ëi vÓi d£i n hÁi 2.1 B i to¡n n hÁi bi¶n hÈn hỊp Ëi vĨi d£i 2.1.1 -°t b i to¡n 14 14 14 iii 2.1.2 -˜a b i toĂn biản hẩn hềp và hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn 15 2.2 Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.1 Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.2 Bián i hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d 22 2.2.3 Bián i hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh 24 Kát luên 30 T i liằu tham khÊo 31 iv M Ưu Phẽng trẳnh cp tẵch phƠn v hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn th˜Ìng xu§t hi»n c¡c b i to¡n v· d‡ tªt, mÊi tr˜Ìng nh˜ c¡c b i to¡n v· v¸t n˘t, c¡c b i to¡n v· d£i n hÁi Tẵnh tn tÔi v nhĐt nghiằm ca cĂc b i to¡n n y ¢ ˜Ịc nhi·u nh to¡n hÂc quan tƠm nghiản cu Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn vểi php bián i Fourier ềc mẻt sậ nh toĂn hc nh Popov.G.Ya, Duduchavar.R, Nguyạn Vôn Ngc, quan tƠm nghiản cu Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier ềc Nguyạn Vôn Ngc, Nguyạn Th NgƠn nghiản cu Vểi mong muận ềc tẳm hiu tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn vểi php bián i Fourier xuĐt hiằn giÊi b i toĂn biản hẩn hềp ca phẽng trẳnh song i·u h·a tr¶n d£i n hÁi, tÊi chÂn · t i Hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier ca b i to¡n bi¶n hÈn hỊp Ëi vĨi d£i n hi Luên vôn ngo i phƯn M Ưu, Kát luên, T i liằu tham khÊo, luên vôn c chẽng nẻi dung: Chẽng trẳnh b y tng quan mẻt sậ kián thc cẽ bÊn và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh, bián i Fourier ca c¡c h m cÏ b£n, c¡c khÊng gian Sobolev, khÊng gian Sobolev vectÏ, to¡n t˚ gi£ vi ph¥n Ch˜Ïng trẳnh b y và tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi b i to¡n bi¶n hÈn hỊp Ëi vĨi d£i n hÁi, a cĂc hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d, a tiáp hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh Chẽng Kián thc chuân b Trong chẽng n y trẳnh b y mẻt sậ kát quÊ và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh, bián i Fourier ca c¡c h m cÏ b£n gi£m nhanh, bi¸n Íi Fourier ca cĂc h m suy rẻng tông chêm, khấng gian Sobolev, khÊng gian Sobolev vectÏ, to¡n t˚ gi£ vi ph¥n CĂc kát quÊ trẳnh b y chẽng n y ˜Òc tham kh£o t¯ t i li»u [2; 3; 4] : 1.1 Hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh -nh nghắa 1.1.1 Hằ phẽng trẳnh xi = Xk =1 ci;kxk + bi; (i = 1; 2; :::) ; (1.1) ‚ xi l c¡c sË c¦n x¡c ‡nh, ci;k v bi l c¡c h» sË ¢ biát, ềc gi l hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh -nh nghắa 1.1.2 Têp hềp nhng sË x1; x2; ::: ˜Òc gÂi l nghi»m cıa h» (1.1) n¸u thay Íi nh˙ng sË ‚ v o vá phÊi ca (1.1) ta c cĂc chuẩi hẻi t v tĐt cÊ nhng ng thc ềc thoÊ mÂn Nghiằm ềc gi l nghiằm chẵnh náu n ềc tẳm bơng phẽng phĂp xĐp x liản tiáp vểi giĂ tr ban Ưu bơng khấng -nh nghắa 1.1.3 Hằ vấ hÔn (1.1) ềc gi l hằ chẵnh quy náu X (1.2) jci;kj < 1; (i = 1; 2; :::) : k=1 Náu c thảm iÃu kiằn X k=1 (1.3) jci;kj ; < < 1; (i = 1; 2; :::) ; th¼ h» n y ˜Ịc gÂi l ho n to n chẵnh quy Náu cĂc bĐt ng th˘c (1.2) (t˜Ïng ˘ng (1.3)) Ûng vÓi i = N + 1; N + 2; ::::; th¼ h» (1.1) ˜Ịc gi l táa chẵnh quy (tẽng ng, táa ho n to n ch½nh quy) Ta k½ hi»u X i=1 k =1 jci;kj; (i = 1; 2; :::): H» ch½nh quy i > 0, h» ho n to n ch½nh quy cho i > Gi£ s˚ h» (1.1) l hằ chẵnh quy v cĂc hằ sậ tá bi th‰a m¢n i·u ki»n (1.4) jbij K i; (K = const > 0) : -nh l 1.1.4 (Sá tn tÔi cıa nghi»m b‡ ch°n) N¸u c¡c h» sË t¸ ca hằ vấ hÔn chẵnh quy thoÊ mÂn iÃu kiằn (1.4) th¼ n‚ c‚ nghi»m b‡ ch°n jxij K v nghiằm n y c th tẳm ềc bơng phẽng phĂp xĐp x liản tiáp -nh l 1.1.5 (Sá "cht ct") Nghi»m ch½nh x X cıa h» ch½nh quy xi = ci;kxk + bi; (i = 1; 2; 3; :::) ; k=1 cÚng vĨi c¡c h» sË t¸ th‰a mÂn iÃu kiằn jbij phẽng phĂp "cht ct", nghắa l n¸u xN i N xi = K i c‚ thº tẳm ềc bơng l nghiằm ca hằ hu hÔn Xk =1 ci;kxk + bi; (i = 1; 2; 3; :::; N) ; th¼ N xi = lim x N!1 i : Ta c‚ k¸t qu£ sau: B( )2 X! ! -nh l 2.2.4 (Sá tn tÔi nghiằm) GiÊ s ! x¡c ‡nh thc v o /2 H ; =( ; ); >1: (x) v , ! (x) cho h m f (x) Khi ‚ h» ph˜Ïng trẳnh cp tẵch ! ( ) = (1; 1) : phƠn (2.12) c mẻt nghiằm nhĐt u = F u (x; 0) H!o /2 ( ) ; v (x; 0) b /2 ( ) ; t˘c l ! /2 Ho (); [u] Ho ‚ u (x; 0) v v (x; 0) l nh˙ng chuyºn v trản trc y = 0: Chng minh Biu diạn to¡n t˚ A ˜Òc x¡c ‡nh b i h m (2.16) dÔng A = A+ + B; vểi 1 (2.20) A+u = pF [A+ub] ; B+u = pF [B+ub] ; u = [F u] ; v sau ‚ x²t h» ph˜Ïng tr¼nh ! ! /2 (); (2.21) A+u (x) = g (x) ; u (x) Ho /2 vĨi g (x) Ho T¯ ( ) l mỴt h m vectÏ ¢ cho Z d Xj [f; u] := =1 lj’j (t) uj (t)dt; [ v Z (u; v)A+!; /2 = T F [v ] (t)A+ (t) F [u] (t) dt; ta c‚ ! Z T [A+u; v] = F [v ] (t)A+ (t) F (u) (t) dt = (u; v) A+; /2 21 : ! cho u v ! ( ) : Do ‚, n¸u u /2 v l h m vectÏ tÚy thuẻc Ho (u; v)A+; vẳ [g; v] l /2 ! /2 (2.22) (); Ho v = [g; v] ; ! mẻt h m tuyán tẵnh liản tc trản khấng gian Hilbert Ho ! tẵnh chĐt ca nh lẵ Riesz, c mẻt nghiằm nhĐt uo Ho ! o Ho A+; /2 t¯ (2.22) v (2.23) k²o theo u = uo hÏn n˙a ku k A; /2 o ! ;v [u; v] = (u ; v) ! = A g () Ho th‰a m¢n (2.21) th¼ ! /2 /2 /2 ()bi ( ) cho /2 (2.23) (); ! Ck g ! /2 ( ) ; kH + A+; /2 C l mẻt hơng sậ dẽng Do toĂn t A dÔng l b‡ ch°n Khi ‚, h» (2.12) vi¸t d˜Ĩi A+u + Bu = f; ta thu ˜Òc u + A+ Bu = A+ (2.24) f: Theo BÍ · (1.5.8) to¡n t˚ Bu ˜Òc x¡c ‡nh b i (2.20) l ! /2 tˆc t¯ Ho ! ()voH Theo ‚ h» (2.24) l ! /2 ( ) Do ‚ to¡n t˚ A+ ho n to n li¶n B l ho n to n liản tc hằ phẽng trẳnh Fredholm Do ‚ h» n y c‚ nghi»m /2 ( ) nhĐt nghiằm u Ho 2.2.2 Bián i hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phẽng trẳnh tẵch ph¥n k˝ d‡ = (x a) (b x) (a < x < b) Ta gÂi -‡nh ngh¾a 2.2.5 Gi£ s˚ x) L ( p ( ) l khÊng gian Hilbert cıa c¡c h m t½ch vÊ h˜Ĩng v chu©n ˜Ịc x¡c ‡nh b i cÊng th˘c b (u; v)L2 = Z a (x) u (x) 22 v (x) dx; q kukL2 = (u; v)L2 1 < +1: BÍ · 2.2.6 Gi£ s˚ ’ L2 ( ) K½ hi»u ’o l th¡c triºn - khÊng cıa h m 1/2 ’ tr¶n R Khi ‚ ’o Ho ( ) Trong khÊng gian L2 ( ) ta xt toĂn t tẵch phƠn kẳ d S [’] (x) = Za b i ’ ) ( x d; x2 ; tẵch phƠn ềc hiu theo nghắa giĂ tr chẵnh Cauchy Hằ (2.5) c th ềc viát lÔi dểi dÔng (x) ; x ( ) ; [( i) : t sign (t) a (t ) u (t) + t a (t) u (t)] (x) = ’ F jj F 1[ j j 21 22 2 t a11 (t) u1 (t) + i: t sign (t) a12 jj b b (t) u2 (t)] (x) j j b (x) ; = ’1 b (2.25) ‚ a11 (t), a21 (t), a12 (t), a22 (t) ˜Òc x¡c ‡nh b i c¡c cÊng th˘c (2.9), (2.10), (2.11) Nghi»m u1 (x) = F [u ] (x) v u2 (x) = F [u2] (x) cıa hằ b b1 phẽng trẳnh cp tẵch phƠn (2.5) ềc biu diạn dểi dÔng b 1Z um (x) = a (2.26) vm ( )sign (x ) d ; vÓi i·u ki»n vm L2 ( ) Ho 1/2 ( ) ngh¾a l Z a b vm (x) dx = 0; (2.27) (m = 1; 2) : S˚ dˆng bi¸n Íi Fourier, bi¸n Íi h» (2.26) ta ˜Ịc um (t) = b Zb it ( it) vm ( ) e d = a ( it) vm (t) ; (m = 1; 2) : b Th¸ (2.28) v o (2.25) ta thu ˜Ịc h» ph˜Ïng tr¼nh F [i:sign (t) a (t) v (t) a (t) v (t)] (x) = ’ (x) ; 11 F b1 b2 12 [a21 (t) vb1 (t) + i:sign (t) a22 (t) vb2 (t)] (x) = ’2 (x) ; 23 (2.28) x ( ) : (2.29) S˚ dˆng cÊng th˘c F [sign (t) F [v]] (x) = 1Zv()d i b ;v2L 1(): x a Ta bi¸n Íi v¸ tr¡i c¡c ph˜Ïng tr¼nh cıa h» ph˜Ïng tr¼nh (2.29) ta ˜Ịc hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn kẳ d b v1 ( ) d + > b Za v1 ( ) m11 (x ) d x Z > b a > > b > b > > > < > > v Z a Z ()d x a x2(); = ’1 (x) ; > > v2 ( ) m12 (x ) dv2 (x) Za b v1 ( ) m21 (x ) d + Z v2 ( ) m22 (x ) d + v1 (x) a = ’2 (x) ; x ( ) ; + > > > > > > > > (2.30) : m11 (x) = Z (a11 (t) ‚ ) sin txdt; m22 (x) = Z0 (a22 (t) ) sin txdt; m12 (x) = m21 (x) = Z (a12 (t) ) cos txdt: 2.2.3 Bi¸n Íi h» ph˜Ïng trẳnh tẵch phƠn k d và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh -nh l 2.2.7 ToĂn t tẵch phƠn S b chn khấng gian L2 kS [’]k L () 24 Ck’k L : () ( ): Gi£ s˚ Tk (x) v Uk (x) l cĂc a thc Chebyshev loÔi mẻt v loÔi hai, tẽng ng Ta c cĂc mậi quan h» sau ¥y: Tn (cos ) = cos n ; sin (n + 1) ; sin Un (cos ) = Za b Z T k [ (x)]Tj[ (x)] (x) dx = (2.31) k kj; ab Uk [ (x)] Uj [ (x)] (x) dx = Z (2.32) a b T k [ (y)] dy (x Za b y) (y) (y) Uk [ (y)] dy x ‚ = kj l y kj; b a Uk [ (x)] ; k = 0; 1; :::; (b a) Tk [ (x)] ; k = 1; 2; :::; = (2.33) (2.34) (2.35) Kronecker v k½ hi»u k = 0; k = ; k = 1; 2; :::; 2 (b a) = ; (x) =2x (a + b) : b a ( ; Trong hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn (2.30) thay c¡c h m vm ( ) = ‚ m ()2L ( ), ta thu ˜Òc h» ph˜Ïng tr¼nh sau: 25 m (), () b Z > > b + ()d ( )m12 (x ) d () Z a b ( )m11 (x ) d a a > (x) > > > : > > > > > > =’ (x) ; x (); (x) b b b > 2( > < > > Z )d +Z ( ) (x ) a () m21 (x ) d + Z () a () m a () (x ) d 22 > > > > > > > > (x) +: = ’2 (x) ; x (): (x) > > (2.36) > > : ()v Biºu diạn cĂc h m ( ) dểi dÔng cĂc chuẩi sau ¥y: hm Xj 1( )= j ‚ A Th¸ (2.37) v A (2.37) (2.38) =1 X 2( )= Aj Tj [ ( )] ; Aj Tj [ ( )] ; =1 Am (2.38) v o (2.36), thay i th tá ca tẵch phƠn v j v j l cĂc hơng sậ cha bi¸t, ngo i ta c·n c‚ ˜Ịc h» ph˜Ïng tr¼nh sau: > > > > > > > > > > > X j=1 Aj1 > > j=1 Aj l: tÍng ta thu j j=1 > > X Zb > > T [( > > j ab < > T [ ( )] j=1 > X > Aj Z > ( ) (x j () > > > > > > > > > > > > > > > : + Aj a b T Z X j=1 a Z a j [( T [ ( )] j )] + A ) j=1 X b j m12 (x () Xj Tj [ ( )] =1 j ( ) )d A = ’1 (x); b )] + A ) j=1 X m22 (x Z Tj [ ( )] ( ) m11 (x ) d a ( ) (x b 1 j Z Tj [ ( )] ( ) m21 (x ) d a X )+ j =1 26 T Aj j [ ()] () = ’2 (x): (2.39) Theo -‡nh L½ (2.2.7), sau mẻt sậ bián i hằ (2.39), ta thu ềc hằ sau ềc gi l hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh a) An(1)+1 + (b (1) Aj Cnj j=1 > (11) (2) Aj Cnj (12) (1) = Fn ; X > > > A n+1 < > (2) (b a) > + (2.40) A j j=1 (1) X C +A j C nj (2) (22) nj (21) = Fn ; (2) > > > > > > n = 0; 1; 2; :::: : Trong ‚ b (22) C = Z nj C = Z nj > C (12) (12) Cnj = nj < Cnj (x) Un [ (x)] dx a Z Tj [ ( )] a b (11) b b (x) Un [ (x)] dx a Z m22 (x ) d ; () Tj [ ( )] a m11 (x ) d ; () ; n = 0; 2; 4; :::; j = 2; 4; 6; ::: ; (n = 0; 2; 4; :::; j = 1; 3; 5; ::: or n = 1; 3; 5; :::; j = 2; 4; 6; :::) ; + (n+1) j (b a)(n+1) ( or n = 1; 3; 5; :::; j = 1; 3; 5; :::); e (12) : (21) Cnj = > + Cnj (n+1) j (b a)(n+1) (21) e e ; (n = 0; 2; 4; :::; j = 2; 4; 6; ::: (21) or n = 1; 3; 5; :::; j = 1; 3; 5; :::); > < C : > e ; (n = 0; 2; 4; :::; j = 1; 3; 5; ::: or n = 1; 3; 5; :::; j = 2; 4; 6; :::) ; nj Cenj (21) b = Z a b (x) Un [ (x)] dx Z a b Cenj (12) = Z a Tj [ ( () (x) Un [ (x)] dx Fn (1) Z a Tj [ ( () m (x ) d ; 21 b Z )] )] m (x ) d ; 12 b = (x) Un [ (x)] ’1 (x) dx; a Z b (2) Fn = (x) Un [ (x)] ’2 (x) dx: a 27 -‡nh l˛ 2.2.8 H» ph˜Ïng tr¼nh tẵch phƠn kẳ d (2.30) v hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40) l tẽng ẽng Ch˘ng minh Gi£ s˚ vm ( ) L2 (a; b) ; l nghiằm ca hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k¼ d‡ (2.30) Ta c‚ v1 ( ) = v2 ( ) = () () () 1 () = = () Xj () Xj Aj Tj [ ( )] ; =1 Aj Tj [ ( )] : =1 bián i trản ta a hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn kẳ d (2.30) - S dˆng c¡c vÓi v1 ( ) ; v2 Ëi ( ) và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40) ậi Amj vểi j=1 : Ngềc lÔi, ta s chng minh t hằ phẽng trẳnh (2.40) suy h» ph˜Ïng tr¼nh (2.30) Gi£ s˚ Amj 1j=1 l2 l nghiằm ca hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40), ta bián i hằ ph˜Ïng tr¼nh (2.40) v· h» ph˜Ïng tr¼nh (2.39) S˚ dˆng biºu th˘c phÍ (2.34) Ti¸p theo ta ho¡n v‡ th˘ tá lĐy tng v tẵch phƠn, vểi kẵ hiằu (2.37), (2.38) ta thu ˜Ịc h» ph˜Ïng tr¼nh (2.36) Ta thay m ( ) = vm ( ) : ( ) ; ta thu ˜Ịc h» ph˜Ïng tr¼nh k¼ d‡ (2.30) Ëi vÓi v1 ( ) ; v2 ( ) -‡nh l½ ˜Ịc ch˘ng minh Ta k½ hi»u X2k E C C 2l+1 (1) = 2j+1;2n 2j+2;2n (2) = Ak ; X2k = Ak ; 1= (1) Fl ; E2l+2 = (b a) 1= (k = 1; 2; 3; :::) ; (b a) (b a) C (11); C C (21); C jn jn 2j+1;2n 2j+2;2n (b a) =+ (2.41) (2) Fl ; (l = 0; 1; 2; :::) ; (b a) = (b a) (2.42) C (12); (2.43) C(22): (2.44) jn jn 28 Khi hằ (2.40) c th viát dểi dÔng 1X j Xn + =1 CnjXj = En (n = 1; 2; :::) : (2.45) BÍ · 2.2.9 B§t ¯ng th˘c sau ¥y luÊn l b§t ¯ng th˘c Ûng L (n 1; j 2) : jCnjj (2.46) nj Trong ‚ L l mẻt hơng sậ dẽng nhĐt nh B à 2.2.10 Náu cĂc Ôo h m ( k) m (x) ; m = 1; l c¡c h m li¶n tˆc trản [a, b] thẳ bĐt ng thc sau luấn ng L jEnj ( nk n = 1; 2; :::; k = 0; 1; :::) : -‡nh l˛ 2.2.11 Gi£ s˚ ’1 (x) v ’2 (x) l c¡c h m sË Â cho, giÊ thiát rơng fE g1 l n n=1 ˜Ịc x¡c ‡nh b i (2.42) thc khÊng gian Khi hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40) c nghiằm nhĐt fXng1n=1 l2 Hằ phẽng trẳnh n y l hằ táa ho n to n ch½nh quy Ch˘ng minh K½ hi»u L l ma vấ hÔn vá trĂi ca phẽng trẳnh (2.40) T¯ b§t ¯ng th˘c (2.46) ta suy h» c°p chuẩi th nh phƯn ca L l hẻi t, ‚ L l to¡n t˚ ho n to n liản tc khấng gian Hilbert l2 Do vêy, hằ vấ hÔn (2.40) l hằ phẽng trẳnh Fredholm Tẵnh nhĐt nghiằm ca hằ phẽng trẳnh n y ềc suy t tẵnh nhĐt nghiằm ca hằ phẽng trẳnh (2.5) Nh vêy, hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40) c nhĐt nghiằm thuẻc khÊng gian VÓi mÈi n = N ı lÓn, ta c‚ L X jC j X j j2 1< (n = N + 1; N + 2; :::) : n Do hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh (2.40) l hằ táa ho n to n ch½nh quy -‡nh l½ ˜Ịc ch˘ng minh j=1 nj =1 29 Kát luên ca luên vôn Luên vôn n y  trẳnh b y mẻt sậ kát quÊ nghiản cu ca Nguyạn Vôn Ngc cẻng sá [4] và tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn vểi php bián i Fourier xuĐt hiằn giÊi b i toĂn biản hẩn hềp ca phẽng trẳnh song iÃu hÃa trản dÊi n hi Nẻi dung chẵnh ca luên vôn bao gm: v - - - Kián thc cẽ bÊn và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh, bián i Fourier ca c¡c h m cÏ b£n gi£m nhanh, bi¸n Íi Fourier ca cĂc h m suy rẻng tông chêm, cĂc khấng gian Sobolev, khÊng gian Sobolev vectÏ, to¡n t˚ gi£ vi phƠn CĂch t b i toĂn biản, a b i toĂn biản và hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier xuĐt hiằn giÊi b i toĂn biản hẩn hềp ậi vểi dÊi n hi v kát quÊ chẵnh l c¡c -‡nh l½ (2.2.2), -‡nh l½ (2.2.4) -˜a c¡c hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d -a tiáp hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k d và hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh Hằ vấ hÔn cĂc phẽng trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh n y l hằ táa ho n to n ch½nh quy 30 T i li»u tham kh£o [1] [2] [3] [4] Duduchava R (1979), Integral equation with fixed singularites , Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig N.V Ngoc and Popov G Ya (1986), Dual integral equations associated with Fourier transforms, Ukrainskii matemticheskii Zhurnal 38 (2), 188-195 N.V Ngoc (1988), On the solvability of dual integral equations involving Fourier transforms, Acta Math VietNam, 13 (2), 21-30 Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan, (2010), Solvability of a system of dual integral equations involving Fourier transforms , Vietnam Jounal of Mathematics 38:4, 467-483 [5] Ostryk V I (2009), Impression of a semiinfinite stamp in an alastic strip with regard for friction and adhesion , J Math Sci 160 (4), 453-469 [6] Soldatenkov I A (2003), The solution of the contact problem of the theory of elasticity for a thick strip with adhesion, J Appl Math Mech 67 (5), 775-782 31 ... trẳnh Ôi sậ tuyán tẵnh 1.2 Bi¸n Íi Fourier 1.2.1 Bi¸n Íi Fourier cıa c¡c h m cÏ b£n gi£m nhanh 1.2.2 Bi¸n Íi Fourier ca h m suy rẻng tông chêm 1.3 KhÊng... giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.1 Tẵnh giÊi ềc ca hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier 17 2.2.2 Bián i hằ phẽng trẳnh cp tẵch phƠn Fourier và hằ phẽng trẳnh tẵch phƠn k... ( x)i ; f S : CĂc tẵnh chĐt cẽ bÊn ca bián i Fourier S0 Tẵnh chĐt -Ôo h m cıa bi¸n Íi Fourier (1.10) D F [’] = F [(ix) ’] ; ’ S : Tẵnh chĐt Bián i Fourier ca Ôo h m (1.11) F [D ’] = ( it) F [’]