Elíp_Nâng cao

Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống (E) I . CÁC ĐỊNH NGHĨA Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) • Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F 1 M + F 2 M = 2a Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c • Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. • Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. • Tỉ số gọi là tâm sai của elip. c e a = M ∈ (E ) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a , (a > c > 0 ) ° ° F 1 F 2 2c  M II . Phương trình chính tắc của elip y x O ° (- c ; 0 ) ( c ; 0 ) ( x ; y ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F 1 F 2 , trục Oy là trung trực của F 1 F 2 như hình vẽ. Khi đó ta có tọa độ F 1 , F 2 là Cho elip (E) có các tiêu điểm F 1 , F 2 . Tiêu cự F 1 F 2 = 2c như hình vẽ. M ∈ (E) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a với a > c > 0 F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0)và M • ° ° F 1 F 2 ° (E) 2c x y F 1 F 2 O -c c   M ( x ; y ) (E) ° Ta có ° M(x ; y) ∈ (E) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a (1) F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0) F 1 M 2 = ( x + c ) 2 + y 2 F 2 M 2 = ( x - c ) 2 + y 2 ⇒ F 1 M 2 - F 2 M 2 = và F 1 M 2 + F 2 M 2 = 4cx (*) 2x 2 + 2y 2 + 2c 2 (**) (*) ⇒ F 1 M - F 2 M = 1 2 (2) 4 4 2 2 cx cx cx F M F M a a = = + (1) và (2) ⇒ F 1 M = và F 2 M = c a x a + c a x a − (3) Các đoạn thẳng F 1 M và F 2 M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3) Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình : (a 2 - c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) (4) Vì a > c > 0 nên a 2 > c 2 . Đặt b 2 = a 2 - c 2 (b > 0), ta có ( ) 2 2 2 2 1 0b x y a b a+ > >= (5) là phương trình chính tắc của elip đã cho. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 b x a y a b x y a b ⇔ + = ⇔ + = Ta gọi phương trình : GHI NHỚ Định nghĩa : M ∈ (E ) ⇔ F 1 M + F 2 M = 2a , (a > c > 0 ) Trong đó F 1 , F 2 là hai tiêu điểm cố định, F 1 F 2 = 2c là tiêu cự y Phương trình chính tắc của elip : 2 2 2 2 1 x y a b + = Trong đó a > b > 0, c 2 = a 2 – b 2 x F 1 F 2 O -c c   M (E) ° ° Tiêu điểm F 1 ( - c ; 0) F 2 ( c ; 0) tâm sai Bán kính qua tiêu F 1 M = a + ex , F 2 M = a - ex c e a = Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ? NHÓM I: Có a = 6, c = 2 ⇒ b 2 = a 2 – c 2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E 1 ) là: 2 2 1 36 32 x y + = NHÓM II: Có a = 7, c = 4 ⇒ b 2 = a 2 – c 2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E 2 ) là: 2 2 1 49 33 x y + = NHÓM III: Có a = 7, c = 6 ⇒ b 2 = a 2 – c 2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E 3 ) là: 2 2 1 49 13 x y + = NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5 ⇒ b 2 = a 2 – c 2 = 1056/25. Do đó pt (E 4 ) là: 2 2 1 1056 49 25 x y + = E. (E) đi qua một trong các điểm N 1 ( 6 ; 1) , N 2 ( 8 ; – 5) và N 3 ( – 1 ; 6) Ví dụ 2: Cho (E): 2 2 1 25 16 x y + = . Hãy chọn mệnh đề SAI : A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F 1 ( – 3 ; 0) , F 2 ( 3 ; 0) B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6 C. (E) qua các điểm A 1 (– 5 ; 0) , A 2 (5 ; 0) , B 1 ( 0 ; – 4) và B 2 (0 ; 4)  Ví dụ 3: Cho (E): 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b + = > > và điểm M (x 0 ; y 0 ) ∈ (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT: D. (E) đi qua M 1 ( 3 ; 16/5) , M 2 ( – 3 ; 16/5) , M 3 ( 3 ; – 16/5 ) và M 4 (– 3 ; – 16/5) A. Các điểm M 1 ( – x 0 ; y 0 ) , M 2 ( x 0 ; – y 0 ) , M 3 (– x 0 ; – y 0 ) cũng thuộc (E) C. – a ≤ x 0 ≤ a và – b ≤ y 0 ≤ b  B. (E) cắt các trục tọa độ tại A 1 (– a ; 0) , A 2 ( a ; 0) , B 1 (0 ; – b) , B 2 (0 ; b) D. Tất cả đều đúng III.Nhận xét về hình dạng của elip x F 1 F 2 O – c c M ( x 0 ; y 0 ) ° ° ° ° M 2 ( x 0 ; – y 0 ) M 1 M 3 (– x 0 ; – y 0 ) (x 0 ; – y 0 ) A 1 A 2 y B 1 B 2   ° ° ° °° a – a – b b 1.Tính đối xứng Xét elip (E) có pt chính tắc: 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b + = > > Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng  (E) cắt trục hoành tại A 1 (– a ; 0) và A 2 ( a ; 0). Ta có A 1 A 2 = 2a  (E) cắt trục tung tại B 1 (0 ; – b) và B 2 ( 0 ; b). Ta có B 1 B 2 = 2b 2. Hình chữ nhật cơ sở Ta gọi A 1 , A 2 , B 1 , B 2 là 4 đỉnh của elip (E).  Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A 1 A 2 là trục lớn của (E )  Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B 1 B 2 là trục nhỏ của (E ) ° ° ° ° P Q RS ( a ; b ) ( a ; – b ) (– a ; b ) (– a ; – b )  Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E) . = − = 15 ( 0) M M y do y ⇒ =− < Vậy ( ) 4; 15M Ví dụ 7: Tìm tâm sai của elíp biết độ dài trục lớn bằng ba lần độ dài trục nhỏ . Theo giả thiết suy ra