322_Toán cao cấp
Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpChương I: Phép tính vi phân hàm một biến1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số:1.1.1. Hàm số:Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số thực ¡. Một hàm số xác định trên X là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X∈ với một giá trị duy nhất f(x) ∈ ¡ . Ký hiệu: f : X → ¡ x y f (x)=aX được gọi là tập xác định của hàm số f. Tập hợp { }f (x) x X∈ được gọi là tập giá trị của hàm số f.Đồ thị của hàm số:Cho hàm số f có tập xác định X. Tập hợp tất cả các điểm ( )( )x,f x với x X∈ được gọi là đồ thị của hàm số f.Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b).■ Nếu ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2x , x a,b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < thì f được gọi là hàm số tăng trên khoảng (a, b).■ Nếu ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2x , x a,b , x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > thì f được gọi là hàm số giảm trên khoảng (a, b).Hàm số chẵn, hàm số lẻ:Cho hàm số xác định trên tập hợp X.■ f được gọi là hàm số chẵn nếu x X x Xf ( x) f (x)∀ ∈ ⇒ − ∈− =■ f được gọi là hàm số lẻ nếu x X x Xf ( x) f (x)∀ ∈ ⇒ − ∈− = −1 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpĐồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến:Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm ( )0x a, b∈. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới 0xnếu với mọi dãy { } ( ) { }n 0x a,b \ x⊂, n 0nlim x x→∞= ta đều có ( )nnlimf x A→∞=Ký hiệu: ( )00x xlim f x A 0, 0,0 x x f (x) A→= ⇔ ∀ε > ∃δ > < − < δ ⇒ − < εCác phép toán về giới hạn:Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi 0x x→. Khi đó:[ ]0 0 0x x x x x xi) lim f (x) g(x) limf (x) limg(x)→ → →± = ±[ ]0 0 0x x x x x xii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x)→ → →=()00 00x xx x x xx xlim f (x)f (x)iii) lim lim g(x) 0g(x) lim g(x)→→ →→= ≠[ ]x x00 0lim g( x)g( x )x x x xiv) lim f (x) lim f (x)→→ → = Một số giới hạn cơ bản:a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x0 thuộc miền xác định của nó thì: ( )00x xlim f (x) f x→=b) xxlim e→+∞= +∞, xxlim e 0→−∞=c) xx 0lim ln x , lim ln x+→+∞→= −∞ = +∞d) 0x xlimc c→=e) x 0sinxlim 1x→=2 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpf) xx 0e 1lim 1x→−=g) xx1lim 1 ex→ ∞ + = Ví dụ: Tính các giới hạn sau:a) 2x 2x 1xlim e− + +→∞ b) ( )1xxlim 1 sinx→ ∞+ c) x 0sin5xlimx→ GiảiTa có:a) 2x 2x 1xlim e 0− + +→∞=b) ( ) ( ) ( )xsinx sinxlim1 1 1x xx sin x sin xx x xlim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e→ ∞→ ∞ → ∞ → ∞ + = + = + = c) x 0 x 0 x 0sin5x sin5x sin5xlim lim 5. 5lim 5.1 5x 5x 5x→ → → = = = = 1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn:1.2.1. Vô cùng bé:Định nghĩa: Hàm ( )xα được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x→nếu ( )0x xlim x 0→α =.Cho ( )xα, ( )xβ là hai VCB khi 0x x→. Giả sử tồn tại ( )( )0x xxlim Ax→α=β♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì ( )xα, ( )xβ là hai VCB tương đương. Ký hiệu: ( ) ( )x xα β: khi 0x x→.♦ Trường hợp 2: Nếu A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡ thì ( )xα, ( )xβ là hai VCB cùng cấp.♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB ( )xαgọi là cấp cao hơn VCB ( )xβ khi 0x x→. Ký hiệu: ( ) ( )( )x O xα = β khi 0x x→.3 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpVí dụ: Ta có: x 0sinxlim 1x→=sinx x⇒ :khi x 0→Ví dụ: Ta có: 2x 0xlim 0x→=nên 2x cấp cao hơn x.1.2.2. Vô cùng lớn:Định nghĩa: Hàm ( )xα gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi 0x x→ nếu ( )0x xlim x→α = +∞Dễ thấy rằng nếu ( )xα là VCL thì ( )1xαlà VCB, ngược lại nếu ( )xα là VCB thì ( )1xαlà VCL ( )( )x 0α ≠Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB.1.3. Hàm số một biến liên tục:Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), ( )0x a, b∈. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu 00x xlim f (x) f (x )→=.Trường hợp 00x xlim f (x) f (x )−→= thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x0,00x xlim f (x) f (x )+→= thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0. Vậy f liên tục tại x0 0 00x x x xlim f (x) lim f (x) f (x )+ −→ →⇔ = =.Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x0. Vậy f gián đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại 0x xlim f (x)→ hoặc 00x xlim f (x) f (x )→≠Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó:i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho: [ ]f (x) M x a,b≤ ∀ ∈ ii) f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b].iii)[ ] [ ]( )0 0c f (a),f (b) , x a,b : f x c∀ ∈ ∃ ∈ =iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại [ ]0 0x a,b : f (x ) 0∈ =4 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpv)1.4. Đạo hàm:1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao:Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), ( )0x a, b∈. Cho x0 một số gia x∆. Đặt ( )0 0y f x x f (x )∆ = + ∆ −. Nếu tồn tại giới hạn ( )0 0x 0 x 0f x x f (x )ylim limx x∆ → ∆ →+ ∆ −∆=∆ ∆ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0.Ký hiệu: ( )( )0 00x 0 x 0f x x f (x )yf x lim limx x∆ → ∆ →+ ∆ −∆′= =∆ ∆Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi.Đạo hàm của hàm số y′ được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu: y f (x)′′ ′′=Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là ( ) ( )( )n n 1y y−′=1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( )0 0M x ,f (x ) có phương trình: ( ) ( )0 0 0y y f x x x′− = −1.4.3. Cách tính đạo hàm:5 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpCác đạo hàm cơ bản: ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )n n 1x x2 2c 0 c constx nxa a .lna 0 a 11lnx x 0xsinx cosx cosx sinx1 1tgx cotgxcos x sin x−′= =′=′= < ≠′= >′ ′= =−′ ′= =−Các quy tắc tính đạo hàm:( ) ( )( )( )2cu c.u c constu v u vuv u v v uu u v v uv v′′= =′′ ′± = ±′′ ′= +′′ ′− = Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) 3 2y x 3x 1= − + b) 2x x 1y2x 5+ −=+ c) 2 xy x e= d) y x.sinx=1.4.4. Vi phân của hàm một biến:Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0.Vi phân của hàm y = f(x) là ( )dydy f (x)dx f xdx′ ′= ⇔ =Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f là: ( )( )nn nd y f x dx=Ví dụ: Cho hàm số 3y x 2x 1= + +. Khi đó: ( )2 2 2dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + =1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân:1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn:6 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpĐịnh lí: Quy tắc L’HospitalNếu 0x x(x)lim(x)→ϕψ có dạng 00 hoặc ∞∞ thì 0 0x x x x(x) (x)lim lim(x) (x)→ →′ϕ ϕ=′ψ ψVí dụ: a) Tính 33 2x2x 3x 3lim-x 2x x→ ∞− ++ + (dạng ∞∞)b) Tính 32xx 3x 3lim4x x 2→ ∞− ++ + (dạng ∞∞)c) Tính 23x3x 3lim3 x 5x→ ∞− +− + (dạng ∞∞)1.5.2. Cực trị của hàm một biến:Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và ( )0x a, b∈. Điểm 0xđược gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở ( )0I x I∈ sao cho: ( ) { }0 0f(x) < f x x I \ x∀ ∈Điểm 0xđược gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở ( )0I x I∈ sao cho: ( ) { }0 0f(x) > f x x I \ x∀ ∈Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu.Định lí: Nếu x0 là điểm thỏa ( )0f x 0′= và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số.Nếu x0 là điểm thỏa ( )0f x 0′= và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm sốĐịnh lí: Nếu x0 là điểm mà tại đó ( )0f x 0′= và ( )0f x 0′′< thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. 7 x y’ y x1 0 0 - + + CĐ CT x2 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpNếu x0 là điểm mà tại đó ( )0f x 0′= và ( )0f x 0′′> thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. 1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b). Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm như sau:Bước 1: Tính y′Bước 2: Giải phương trình y 0′= tìm các nghiệm [ ]ix a,b∈Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi)Khi đó: [ ]{ }ix a,bmax f (x) max f(a), f(b), f(x )∈= [ ]{ }ix a,bmin f (x) min f(a), f(b), f(x )∈= Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3y x 3x 3= − + trên đoạn [ ]0,2Ta có: 2y 3x 3′= − 2x 1 y 1y 0 x 1x 1 y 5= ⇒ =′= ⇔ = ⇔= − ⇒ =Mặt khác: f (0) 3,f (2) 5= =Vậy [ ]( )x 0,2maxf (x) 5 x 2 x 1∈= = ∨ = − và [ ]( )x 0, 2min f(x) 1 x 1∈= =Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20xa) Tìm tổng thu nhập R(x)b) Tìm tổng lợi nhuận P(x)c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max.d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c)Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max.MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ8 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C( )Q bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng.■ Chi phí lưu kho: Q.h2■ Chi phí cho các chuyến hàng: n.pQVí dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?Giải Ta có: n = 2500, h = 10.Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q[ ]∈ 1;2500.Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là Q2. Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm là 10. Q2= 5Q (1)Số lần đặt hàng mỗi năm là: 2500Q. Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là: (20 + 9Q) 2500Q = 50000Q+ 22500 (2)Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là:C(Q) = 5Q + 50000Q + 22500Ta có : ( )′= −250000C Q 5Q ( )′= ⇔ =2C Q 0 5Q 50000=⇔ = ⇔= −2Q 100Q 10000Q 100 Vì Q[ ]∈ 1;2500nên ta loại Q = - 1009 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp( )′′= >3100000C Q 0Q với Q>0 nên[ ]( ) ( )∈= =Q 1;2500min C Q C 100 23500Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là =250025100.Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi. Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất.1.2. Ý nghĩa của đạo hàm:Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ x∆ . Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng x∆ là: ( ) ( )0 0y f x x f x∆ = + ∆ −Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 +x∆ là: yx∆∆Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là: ( )0 00x 0 x 0f (x x) f (x )ylim lim f xx x∆ → ∆ →+ ∆ −∆′= =∆ ∆Khi x∆ khá nhỏ thì ( )0yf xx∆′≈∆ hay ( )0y f x x′∆ ≈ ∆Vậy x thay đổi một lượng x∆thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng ( )0f x x′∆ ( chẳng hạn giá thay đổi một lượng x∆thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là ( )0f x x′∆ )Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là 2P 50 Q= −. Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?GiảiTốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P 2Q′= −. Do đó: P (1) 2.1 2′= − = −. Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sản phẩm là 2 đơn vị tiền.Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên.Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi.10 [...]... = + + + 19 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Tài liệu tham khảo 1. Đậu Thế Cấp. Toán cao cấp ( Dùng cho ngành Đại học kinh tế ). NXB ĐHQG TP HCM, 2003. 2. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn. Giải tích tốn học tập 1, 2, 3. NXBGD, 1977. 3. Trắc nghiệm và đề mẫu Toán cao cấp B 2 và C 2 (ngành QTKD). Đại học mở bán công TP HCM, 2001. 33 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp Bài tập: 1. Tìm các giá trị... x dx ′ ′ = ⇔ = Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f là: ( ) ( ) n n n d y f x dx= Ví dụ: Cho hàm số 3 y x 2x 1= + + . Khi đó: ( ) 2 2 2 dy 3x 2 dx, d y 6xdx= + = 1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân: 1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn: 6 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp v) 1.4. Đạo hàm: 1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao: Định nghĩa: Cho... - 1)dy = 0 29 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.5.2. Vi phân cấp cao: Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số. ( ) 2 f f f f d f d df dx dy dx dx dy dy x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ( ) 2 d f d df⇔ = 2 2 2 2 2 2 2 f f f dx 2 dxdy dy x x y y ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là: ( ) n n 1 d... tại ( ) 0 0 x , y . 20 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao: • Nếu hàm ( ) x f x, y ′ có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu: ( ) xx f x, y ′′ hoặc 2 2 f (x, y) x ∂ ∂ • Nếu hàm ( ) y f x, y ′ có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu: ( ) yy f x, y ′′ ... hiệu: ( ) ( ) x xα β: khi 0 x x→ . ♦ Trường hợp 2: Nếu A , A 1, A 0∈ ≠ ≠¡ thì ( ) xα , ( ) xβ là hai VCB cùng cấp. ♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB ( ) xα gọi là cấp cao hơn VCB ( ) xβ khi 0 x x→ . Ký hiệu: ( ) ( ) ( ) x O xα = β khi 0 x x→ . 3 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp ( ) ′′ = > 3 100000 C Q 0 Q với Q>0 nên [ ] ( ) ( ) ∈ = = Q 1;2500 min C Q C 100 23500 Khi đó, số lần đặt... trị cực đại. b) Muốn cơng ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu? 14 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp Ví dụ: Ta có: x 0 sinx lim 1 x → = sinx x⇒ : khi x 0→ Ví dụ: Ta có: 2 x 0 x lim 0 x → = nên 2 x cấp cao hơn x. 1.2.2. Vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm ( ) xα gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi 0 x x→ nếu ( ) 0 x x lim x → α = +∞ Dễ thấy rằng nếu (... < ε 2.2.2. Tính chất: 16 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp Thơng thường phương trình vi phân cấp một có vơ số nghiệm phụ thuộc vào một tham số. Nhiều bài tốn u cầu tìm nghiệm của (1) thỏa 0 0 y(x ) y= . Phương trình (1) đôi khi được viết dưới dạng: y f (x,y) ′ = hay dy f (x, y) dx = . Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm: Cho phương trình vi phân cấp một y f (x,y) ′ = . Nếu f(x, y) liên tục trong... gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hiệu: y f (x) ′′ ′′ = Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là ( ) ( ) ( ) n n 1 y y − ′ = 1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm ( ) 0 0 M x ,f (x ) có phương trình: ( ) ( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − 1.4.3. Cách tính đạo hàm: 5 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp 1. Tìm (... của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên. Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi. 10 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Phương pháp giải: Gọi 1... (x) lim f (x) → → → = Một số giới hạn cơ bản: a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x 0 thuộc miền xác định của nó thì: ( ) 0 0 x x lim f (x) f x → = b) x x lim e →+∞ = +∞ , x x lim e 0 →−∞ = c) x x 0 lim ln x , lim ln x + →+∞ → = −∞ = +∞ d) 0 x x limc c → = e) x 0 sinx lim 1 x → = 2 Vương Vĩnh Phát Tốn cao cấp Ví dụ: Tốc độ thay đổi đầu tư là: 1 3 I(t) 60t= và tại thời điểm K(1) = 85. . =4 Vương Vĩnh Phát Toán cao cấpv)1.4. Đạo hàm:1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định. Toán cao cấp2 .4.2. Đạo hàm riêng cấp cao: • Nếu hàm ( )xf x, y′ có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo