322_Toán cao cấp

322_Toán cao cấp

Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến

X được gọi là tập xác định của hàm số f

Tập hợp f (x) x X  được gọi là tập giá trị của hàm số f

Đồ thị của hàm số:

Cho hàm số f có tập xác định X Tập hợp tất cả các điểm x, f x với    x X được gọi

là đồ thị của hàm số f

Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

■ Nếu x , x1 2a, b , x 1 x2  f x 1 f x 2 thì f được gọi là hàm số tăngtrên khoảng (a, b)

■ Nếu x , x1 2a, b , x 1 x2  f x 1 f x 2 thì f được gọi là hàm số giảmtrên khoảng (a, b)

Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốctọa độ.

1.1.2 Giới hạn của hàm số một biến:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có thể trừ ra điểm

  

    d) xlim c cx0 

 là VCB, ngược lại nếu  x là VCB thì

  thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0

Vậy f liên tục tại x0

Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó:

i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho:

1.4 Đạo hàm:

1.4.1 Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x0a, b Cho x0 một

số gia x Đặt  y f x 0  x f (x )0 Nếu tồn tại giới hạn

Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi

Đạo hàm của hàm số y được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) Ký hiệu:

1.4.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm

M x ,f (x ) có phương trình: y y 0 f x  0 x x 0

1.4.3 Cách tính đạo hàm:

 



 c) y x e 2 x d) y x.sinx

1.4.4 Vi phân của hàm một biến:

Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0

1.5 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân:

1.5.1 Khử dạng vô định trong tính giới hạn:

3 2 x

2 3 x

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x0a, b Điểm x được gọi là0

điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại khoảng mở I x 0I sao cho:

Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu

Định lí: Nếu x0 là điểm thỏa f x 0 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm

x0 là điểm cực tiểu của hàm số

Nếu x0 là điểm thỏa f x 0 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm

x0 là điểm cực đại của hàm số

Định lí: Nếu x0 là điểm mà tại đó f x 0 0 và f x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tạiđiểm x0

Nếu x0 là điểm mà tại đó f x 0 0 và f x 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

1.5.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b)

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làmnhư sau:

Vậy max f (x) 5x 0, 2 x 2 x 1

     và xmin f (x) 10, 2 x 1

Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi

sản phẩm phải là: p = 1000 – x Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sảnphẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x

a) Tìm tổng thu nhập R(x)

b) Tìm tổng lợi nhuận P(x)

c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max

d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c)

Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ

1.1 Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu:

Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán được trong một năm, h là chiphí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng,còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích thước của mỗi lô hàng ) Ta xem

n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong một năm của cửahàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C Q bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưukho và chi phí cho các chuyến hàng

■ Chi phí lưu kho: Q.h

2

■ Chi phí cho các chuyến hàng: n.p

Q

Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm Chi phí gởi trong kho là $ 10

một cái trong một năm Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái Cửahàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phíhàng tồn kho là nhỏ nhất ?

Giải

Ta có: n = 2500, h = 10

Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần Khi đó: Q1;2500 

Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là Q

2 Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm

Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 sản phẩm,

chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho mỗi chuyến đặt hàng là $10.Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí của cửa hàng là nhỏ nhất

1.2 Ý nghĩa của đạo hàm:

Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một

loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ) Trong thực tế người ta quan

tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x0 khi x thay đổi một lượng nhỏ x Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng x là:







 hay  y f x 0xVậy x thay đổi một lượng xthì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng f x 0x ( chẳng

hạn giá thay đổi một lượng xthì số hàng bán ra thay đổi một lượng là f x 0x )

Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là P 50 Q  2 Tìm tốc độ thay đổi giá khilượng cầu Q thay đổi Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ?

Giải

Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P 2Q Do đó: P (1) 2.12 Điều này cónghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị sảnphẩm là 2 đơn vị tiền

Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên.

Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhàhơn Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đấtcất nhà sẽ giảm đi

1.3.1 Giá trị cận biên của chi phí:

Cho hàm chi phí C = C(Q) Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí Giá trịnày có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị

Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là:

Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị

1.3.2 Giá trị cận biên của doanh thu:

Cho hàm doanh thu R = R(Q) Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu

Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ

Q = 10000 125P Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42

1.4 Hàm cầu và tính co giãn của cầu:

Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu

về loại sản phẩm đó ) Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P, và nhìnchung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu cầu càng thấp vàngược lại

Khi ta có hàm cầu: Q = f(P)  P g(Q)

Hàm tổng doanh thu: R PQ g(Q).Q 

Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR

Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A Marshall đặt là:

.Q (P)

   ( đọc là eta)  được gọi là độ co giãn của cầu

Ví dụ: Cho hàm cầu Q 30 4P P   2 Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3

1.5 Lựa chọn tối ưu trong kinh tế:

Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x)

Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí

C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C

Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau:

■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại)

■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa.

■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu)

Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian Q Q d Q(P) và hàm tổngchi phí là: C = C(Q) Tìm sản lượng Q trong một đơn vị thời gian để lợi nhuận tối đa

Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao cho

Q Q(P)  P P(Q) Từ đó doanh thu của xí nghiệp là R(Q) P(Q).Q và lợi nhuậncủa xí nghiệp là: N = R – C Sản lượng Q muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớnnhất

Ví dụ: Cho hàm cầu Q 300 P  và hàm chi phí C Q 3  19Q2 333Q 10 Tìm Q

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11

1.6 Định mức đánh thuế doanh thu:

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn

vị thời gian Q Q(P) và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là C = C(Q).Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được nhiều thuếnhất

Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0 Ta có: Q =

Q(P)  P P(Q)

QN’

Lợi nhuận của xí nghiệp là:

N P(Q).Q C(Q) Qt  

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max Do đó thuế thu được sẽ là T =Q(t).t Ta cần xác định t để Tm a x

Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí: C Q 2 100Q 10

a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổngthuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại

b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn

vị sản phẩm là bao nhiêu?

Giải

a) Ta có: Q = 300 – P  P = 300 – Q

Doanh thu của xí nghiệp là: R = P Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2

Thuế của xí nghiệp là: Q.t

Lợi nhuận của xí nghiệp là:

Vậy để T ta chọn mức thuế là t = 100.max

Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức:

Q = 200 100 25

4



 sản phẩm trong một đơn vị thời gian

b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất 40 sản phẩm thì:Q 200 t 40 t 40

4



Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị sản phẩm

Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm biết hàm tổng chi phí

2

C Q 1000Q 100 và hàm cầu Q = 4100 P

2

 a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổngthuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại

b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn

vị sản phẩm là bao nhiêu?

a) Tìm mức sản xuất Q, 2 Q 10  để có chi phí tối thiểu.

b) Tìm mức sản xuất Q, 5 Q 10  để có chi phí tối thiểu

7 Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và tổng chi phí là:

8 Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi phí C

a) R 1400 6Q , C 1500 60Q  2  b) R 4000 33Q , C 2Q  2  3  3Q2 400Q 500c) R 4350 13Q , C Q  2  3  5,5Q2 150Q 675

9 Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là:

a) C = Q3  5Q2 60Qb) C = Q3  21Q2 500Q

Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến

2.1 Khái niệm hàm hai biến:

Cho E là một tập hợp con của 2

 Một hàm hai biến xác định trên E là một quy luật fđặt tương ứng mỗi điểm x, yEvới một số thực duy nhất z = f(x, y)

Ký hiệu: f: E  

x, y  z f (x, y)

E được gọi là tập xác định của f

Ví dụ: Hàm số f (x, y)  1 x 2  y2 có tập xác định là hình tròn đóng x2 y2 1

2.2 Giới hạn của hàm hai biến:

2.2.1 Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, có thể trừ ra

điểm x , y0 0D( D là tập mở) Ta nói hàm số f(x, y) có giới hạn là A khi x, y tiến

đến x , y nếu với mọi dãy điểm 0 0  x , yn n  D, x , y n n  x , y , x0 0 n  x , y0 n  y0

0 0



 Lấy hai dãy x , y sao cho n  n

n n

1xn1yn

1xn2yn

2.3 Sự liên tục của hàm hai biến:

2.3.1 Định nghĩa: Hàm z f (x, y) được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) nếu

2.4 Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao:

2.4.1 Định nghĩa đạo hàm riêng:

Cho hàm z f (x, y) xác định trên miền D, x , y0 0D Nếu tồn tại giới hạn

2.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao:

 Nếu hàm f x, yx  có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạohàm riêng cấp hai theo biến x Ký hiệu: fxx x, y hoặc

2 2

f (x, y)x

f (x, y)y

Ví dụ: Cho f (x, y) x 2  3xy3sin y.Tính fxxx, y , f yyx, y ,f xy x, y

Giải

x

f (x, y) 2x 3y   , f (x, y)y 9xy2 cosy

 f (x, y) 2,f (x, y)xx  yy 18xy sin y,f (x, y) xy 9y2

2.5 Vi phân toàn phần của hàm hai biến:

2.5.1 Định lí:

i) Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) thì f(x, y) có các đạo hàm riêng tại(x0, y0)

ii) Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa (x0, y0)

và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x0, y0) và

2.6 Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến:

2.6.1 Cực trị của hàm hai biến:

Cho z f (x, y) là một hàm hai biến xác định trong miền D, điểm x , y0 0D Điểm

x , y được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con0 0

Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm x , y 0 0

Định lí: Nếu f(x, y) có cực trị tại x , y mà tại đó tồn tại các đạo hàm riêng thì0 0

Lưu ý: Khi  0 thì chưa kết luận được cực trị, ta gọi đây là điểm nghi ngờ cần xétthêm.

2 y

Tại các điểm dừng trên hai trục tọa độ thì AC  B2 = 0

Rõ ràng: z x y 2 2 0 x, y, còn điểm tới hạn thì z = 0 Nên các điểm giới hạn đều

là điểm cực tiểu và zCT 0

2.6.2 Cực trị có điều kiện của hàm hai biến:

Cho hàm z f (x, y) xác định trên miền D,  là một hàm xác định trên D Tìm cực trịcủa hàm z f (x, y) với điều kiện x, y 0

Phương pháp giải:

Đặt L(x, y) f (x, y)  x, y

Giải hệ phương trình:

L0xL0y

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 4 3,

2.6.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến:

Cho hàm z f (x, y) liên tục trong miền đóng bị chặn D D  D và có các đạo hàmriêng cấp 1 trên D Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm z f (x, y) ta tìmcác điểm dừng của hàm z f (x, y) trong D Tìm các giá trị của hàm tại các điểm nghingờ có cực trị trên D So sánh các giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm: f(x,y) = x2 2y2  x tronghình tròn D : x2 y2 1

Các ứng dụng của hàm số nhiều biến số:

2.1 Cực trị của hàm nhiều biến:

Ví dụ: Giả sử chi phí C của một công ty phụ thuộc vào hai biến số x và y là số lượng

sản phẩm từng loại mà công ty sản xuất ra Giả sử bằng cách tính gần đúng ta xác địnhđược công thức của hàm chi phí:

2 2

C f (x, y) 2x  y  4x 8y

Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo

Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo ( tức lànhà sản xuất phải bán hết sản phẩm với giá do thị trường quyết định) Cho biết giá báncủa các sản phẩm trên là p ,p , ,p và hàm tổng chi phí trong một đơn vị thời gian là1 2 n

C C q ,q , ,q Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhất

Phương pháp giải: Gọi q ,q , ,q là số lượng các loại sản phẩm được sản xuất trong1 2 nmột đơn vị thời gian Khi đó doanh thu của xí nghiệp là: R p q 1 1 p q2 2  p q n n vàlợi nhuận thu được là: N R C p q   1 1 p q2 2  p q n n  C(q ,q , ,q )1 2 n

Mức sản lượng q q(q ,q , ,q ) 1 2 n muốn tìm là q để N đạt max

Ví dụ: Xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm với giá bán p1 = 8, p2 = 6 Hàm tổng chi

2.2 Cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến:

Cho hàm sản xuất P f (x, y) xy  với điều kiện ràng buộc về ngân sách là: 2x + y = 6.Tìm điều kiện của x, y để sản xuất ra được nhiều sản phẩm nhất

Chương 3: Phép tính tích phân hàm một biến 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định:

Định nghĩa: Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) Ta gọi F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên khoảng (a, b) nếu F (x) f (x)   x a,b Ký hiệu: