Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – Bộ Giáo dục và Đào tạo (Mã đề 01) bao gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm giúp các em học sinh ôn luyện, củng cố kiến thức và chuẩn bị chu đáo cho kì thi THPT Quốc gia hàng năm gặt hái nhiều thành công.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TỐN HỌC ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề Mã đề 101 Câu 1. Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? uur A. n3 = ( 1; 2; −1) uur B. n4 = ( 1; 2;3) ur C. n1 = ( 1;3; −1) uur D. n2 = ( 2;3; −1) C. + log a D. log a Câu 2. Với a là số thực dương tùy, log a bằng A. log a B. + log a Câu 3. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −2; ) B. ( 2; + ) C. ( 0; ) D. ( 0; + ) Câu 4. Nghiệm phương trình 32 x−1 = 27 là A. x = B. x = C. x = D. x = Câu 5. Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = và u2 = Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. −6 B. C. 12 Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên A. y = x3 − x + D. B. y = − x3 + 3x + C. y = x − x + D. y = − x + x + x − y −1 z + = = Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : Vectơ nào dưới đây là một vectơ −1 chỉ phương của d? uur uur ur ur A. u2 = ( 2;1;1) B. u4 = ( 1; 2; −3) C. u3 = ( −1; 2;1) D. u1 = ( 2;1; −3) Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là A. πr h B. πr h C. πr h 3 Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 27 B. A72 C. C72 D. 2πr h D. Câu 10. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 2;1; − 1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 2;1;0 ) B. ( 0;0; − 1) C. ( 2;0;0 ) D. ( 0;1;0 ) 1 0 Câu 11. Biết f ( x ) dx = −2 và g ( x ) dx = 3, khi đó � �f ( x ) − g ( x ) � �dx bằng A. −5 B. C. −1 Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là A. 3Bh B. Bh C. Bh Câu 13. Số phức liên hợp của số phức − 4i là A. −3 − 4i B. −3 + 4i C. + 4i Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = B. x = C. x = −1 Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + là A. x + x + C B. x + x + C D. D. Bh D. −4 + 3i D. x = −3 C. x + C D. x + C Câu 16. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình f ( x ) − = là A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 17. Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a và BC = a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 90o B. 45o C. 30o D. 60o Câu 18. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z − z + 10 = Giá trị z12 + z22 A. 16 B. 56 C. 20 D. 26 x −3 x Câu 19. Cho hàm số y = có đạo hàm là A. (2 x − 3).2 x 2 B. x −3 x.ln C. (2 x − 3).2 x −3 x D. ( x − x).2 x ln Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x − 3x + trên đoạn [ − 3;3] bằng A. −16 B. 20 C. D. −3 x 2 − x −1 Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − z − = bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. B. C. D. 15 Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA ' = 3a (hình minh họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng 3a 3a a3 a3 B. C. D. 4 2 Câu 23. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + ) , ∀x ﾡ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. A. B. C. D. Câu 24. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b = 16 Giá trị của log a + log b bằng A. B. C. 16 D. Câu 25. Cho hai số phức z1 = − i z2 = + 2i Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1 + z2 có toạ độ là A. ( 4;−1) B. ( −1; ) C. ( 4;1) Câu 26. Nghiệm của phương trình log ( x + 1) + = log ( x + 1) là D. ( 1; ) A. x = B. x = −3 C. x = D. x = Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 2m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,8m B. 1, 4m C. 2, 2m D. 1, 6m Câu 28. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. B. C. D. Câu 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 và x = (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? f ( x ) dx + � f ( x ) dx A. S = − � −1 C. S = B. S = −1 f ( x ) dx �f ( x ) dx − � −1 1 f ( x ) dx �f ( x ) dx + � 1 −1 f ( x ) dx − � f ( x ) dx D. S = − � Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;3;0 ) B ( 5;1; −2 ) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x − y − z + = B. x − y − z − = C. x + y + z − = D x + y − z − 14 = x −1 Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng ( −1; + ) là ( x + 1) 3 + C B. 2ln ( x + 1) + + C C. 2ln ( x + 1) − + C D. 2ln ( x + 1) − +C A. 2ln ( x + 1) + x +1 x +1 x +1 x +1 Câu 32. Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = và f ( x ) = cos π x + , ∀x ﾡ , khi đó f ( x ) dx bằng π +4 π + 14π π + 16π + π + 16π + 16 B. C. D. 16 16 16 16 Câu 33 Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2;0; ) , C ( 2; − 1;3) D ( 1;1;3) Đường A. 2 thẳng đi qua C và vng góc với mặt phẳng ( ABD ) có phương trình là x = −2 − 4t A. y = −2 − 3t z = 2−t x = + 4t B. y = −1 + 3t z = 3−t ( ) x = −2 + 4t C. y = −4 + 3t z = 2+t x = + 2t D. y = − t z = + 3t Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn z + i − ( − i ) z = + 10i Mô đun của z bằng A. B. C. Câu 35. Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x ) như sau: x − −3 −1 − f ( x) + 0 D. − + + Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 4; + ) B. ( −2;1) Câu 36. Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f C. ( 2; ) ( x ) liên tục trên ﾡ D. ( 1; ) và có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình f ( x ) < x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ( 0; ) khi và chỉ khi D. m > f ( ) A. m f ( ) − B. m f ( ) C. m > f ( ) − Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 13 12 313 A. B. C. D. 25 25 625 Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 10 3π B. 39π C. 20 3π D. 10 39π Câu 39. Cho phương trình log x − log ( 3x − 1) = − log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm A. B. C. D. Vơ số Câu 40. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng A. 21a 14 B. 21a C. 2a D. 21a 28 Câu 41 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ﾡ Biết f ( ) = xf ( x ) dx = , đó x2 f ( x ) dx bằng 31 B. −16 C. D. 14 Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P ( −3;0; −3) B. M ( 0; −3; −5 ) C. N ( 0;3; −5 ) D. Q ( 0;5; −3) A. Câu 43. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên ( ) Số nghiệm thực của phương trình f x − 3x = A. B. là C. D. Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các + iz là một đường trịn có bán kính bằng 1+ z A. 34 B. 26 C. 34 D. 26 Câu 45. Cho đường thẳng y = x và Parabol y = x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 và S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S thì a thuộc khoảng nào sau đây? số phức w = �3 � A. � ; � �7 � � 1� �1 � 0; � B. � C. � ; � � 3� �3 � Câu 46. Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ( x ) như sau �2 � D. � ; � �5 � Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − x ) là A. B. C. D. Câu 47. Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng: A. 27 B. 21 C. 30 D. 36 ( Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + ) = Có tất bao nhiêu điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của ( S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau? A. 12 B. C. 16 D. x − x − x −1 x + + + Câu 49. Cho hai hàm số y = và y = x + − x + m ( m là tham số thực) có đồ thị x − x −1 x x +1 lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại điểm phân biệt là A. ( − ; 2] B. [ 2; + ) C. ( − ; ) D. ( 2; + ) Câu 50. Cho phương trình ( log 22 x + log x − ) x − m = ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt A. 49 B. 47 C. Vô số D. 48 HẾT ĐÁP ÁN 1.B 11.A 21.C 31.B 41.B 2.A 12.B 22.A 32.C 42.C 3.C 13.C 23.D 33.C 43.B 4.C 14.C 24.A 34.C 44.A 5.D 15.A 25.A 35.B 45.C 6.A 16.C 26.D 36.B 46.C 7.C 17.B 27.D 37.C 47.A 8.A 18.A 28.D 38.C 48.A 9.C 19.A 29.B 39.A 49.B 10.B 20.B 30.B 40.B 50.B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + 3z − = Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? uur A. n3 = ( 1; 2; −1) uur B. n4 = ( 1; 2;3) ur C. n1 = ( 1;3; −1) uur D. n2 = ( 2;3; −1) Lời giải Đáp án B uur Từ phương trình mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = ta có vectơ pháp tuyến của ( P ) là n4 = ( 1; 2;3) Câu 2: Với a là số thực dương tùy, log a bằng A. log a B. + log a C. + log a D. log a Lời giải Đáp án A Ta có log a = log a Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −2;0 ) B. ( 2; + ) C. ( 0; ) D. ( 0; + ) Lời giải Ta có f ( x ) < � ∀x �� ( 0; ) Đáp án C f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; ) Câu 4: Nghiệm phương trình 32 x−1 = 27 là A. x = B. x = C. x = Lời giải D. x = Đáp án C Ta có x −1 = 27 � x −1 = � x −1 = � x = Câu 5: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = và u2 = Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. −6 B. C. 12 D. Lời giải Ta có: u2 = u1 + d � = + d � d = Đáp án D Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên A. y = x3 − x + B. y = − x3 + 3x + C. y = x − x + Lời giải D. y = − x + x + Đáp án A Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C vàD Khi x − thì y − nên hệ số a > Vậy chọnA Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : chỉ phương của d? uur A. u2 = ( 2;1;1) uur B. u4 = ( 1; 2; −3) x − y −1 z + = = Vectơ nào dưới đây là một vectơ −1 ur C. u3 = ( −1; 2;1) ur D. u1 = ( 2;1; −3) Lời giải Đáp án C Câu 8: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là A. πr h B. πr h C. πr h 3 D. 2πr h Lời giải Câu 9: Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là A. 27 B. A72 C. C72 Lời giải Đáp án A D. Đáp án C Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là C72 Câu 10: Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 2;1; − 1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 2;1;0 ) B. ( 0;0; − 1) C. ( 2;0;0 ) D. ( 0;1;0 ) Lời giải Hình chiếu vng góc của điểm M ( 2;1; − 1) trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0; − 1) 1 Đáp án B Câu 11: Biết f ( x ) dx = −2 và g ( x ) dx = 3, khi đó � �f ( x ) − g ( x ) � �dx bằng A. −5 0 C. −1 Lời giải B. 1 0 D. 1 Đáp án A f ( x ) dx − � g ( x ) dx = −2 − = −5 � Ta có � �f ( x ) − g ( x ) � �dx = � Câu 12: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là A. 3Bh B. Bh C. Bh Lời giải D. Bh Đáp án B Câu 13: Số phức liên hợp của số phức − 4i là A. −3 − 4i B. −3 + 4i C. + 4i Lời giải D. −4 + 3i Đáp án C z = − 4i � z = + 4i Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x = B. x = C. x = −1 Lời giải D. x = −3 Đáp án C Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = −1 Câu 15: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + là A. x + x + C B. x + x + C f ( x ) dx = � Ta có � ( x + ) dx = x + 5x + C C. x + C Lời giải D. x + C Đáp án A Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình f ( x ) − = là A. 2 B. 1 C. 4 Lời giải D. 3 Đáp án C Ta có f ( x ) − = � f ( x ) = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = Do đó phương trình f ( x ) − = có 4 nghiệm phân biệt tại bốn điểm phân biệt. Câu 17: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a và BC = a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) A. 90o B. 45o C. 30o Lời giải D. 60o Đáp án B ( ) ﾡ , ( ABC ) = SCA ﾡ Ta thấy hình chiếu vng góc của SC lên ( ABC ) là AC nên SC SA ﾡ = =1 Mà AC = AB + BC = 2a nên tan SCA AC Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45o Câu 18: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z − z + 10 = Giá trị z12 + z22 A. 16 B. 56 C. 20 D. 26 Lời giải Đáp án A Theo định lý Viét ta có z1 + z2 = 6, z1 z2 = 10 Suy ra z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = − 20 = 16 Câu 19: Cho hàm số y = x A. (2 x − 3).2 x −3 x ln −3 x có đạo hàm là B. x2 −3 x.ln C. (2 x − 3).2 x −3 x D. ( x − x).2 x − x −1 Lời giải Đáp án A Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x3 − 3x + trên đoạn [ − 3;3] bằng A. −16 B. 20 C. D. Lời giải Ta có: f ( x ) = x − x + � f Có: f ( x ) = � 3x − = � ( x ) = 3x Đáp án B −3 x =1 x = −1 Mặt khác : f ( −3) = −16, f ( −1) = 4, f ( 1) = 0, f ( 3) = 20 f ( x ) = 20 Vậy max [ −3;3] Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − z − = bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. B. C. D. 15 Lời giải Đáp án C Ta có: ( S ) : x + y + z + x − z − = � ( x + 1) + y + ( z − 1) = � ( x + 1) + y + ( z − 1) = 32 2 2 Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng R = Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA ' = 3a (hình minh họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng A. 3a B. 3a a3 Lời giải C. D. a3 Đáp án A Ta có: ABC là tam giác đều cạnh a nên S ∆ABC = a2 Ta lại có ABC A ' B ' C ' là khối lăng trụ đứng nên AA ' = 3a là đường cao của khối lăng trụ Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: VABC A ' B ' C ' = AA '.S∆ABC = a a 3a = 4 Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + ) , ∀x ﾡ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là B. A. C. Lời giải D. 1 Đáp án D Xét f ' ( x ) = x ( x + ) Ta có f ' ( x ) = � x ( x + ) = � 2 x=0 x = −2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị Câu 24: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a 4b = 16 Giá trị của log a + log b bằng A. B. C. 16 D. Lời giải Đáp án A Ta có log a + log b = log a + log b = log a b = log 16 = 4 Câu 25: Cho hai số phức z1 = − i và z2 = + 2i Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1 + z2 có toạ độ là A. ( 4;−1) B. ( −1; ) C. ( 4;1) Lời giải D. ( 1; ) Đáp án A z1 + z2 = ( − i ) + ( + 2i ) = − i Vậy số phức z = 3z1 + z2 được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy là M ( 4;−1) Câu 26: Nghiệm của phương trình log ( x + 1) + = log ( x + 1) là A. x = B. x = −3 C. x = Lời giải log ( x + 1) + = log ( x + 1) ( 1) D. x = Đáp án D 3.( x + 1) � ( 1) � log � � �= log ( x + 1) � x + = x + > � x = Vậy ( 1) có một nghiệm x = Câu 27: Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và 1, 2m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây? A. 1,8m B. 1, 4m C. 2, 2m D. 1, 6m Lời giải Đáp án D Ta có: V1 = π R12 h = π h và V2 = π R2 h = Theo đề bài ta lại có: V = V1 + V2 = V1 = π h + 36π h 25 36π 61π h= h = π R h 25 25 61 � R = 1,56 ( V , R lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính) 25 � R2 = Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. B. C. Lời giải D. Đáp án D Dựa vào bản biến thiên ta có lim+ y = +�� x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x lim y = � y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x − Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2 Câu 29: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0, x = −1 và x = (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. S = − f ( x ) dx �f ( x ) dx + � −1 C. S = B. S = −1 f ( x ) dx �f ( x ) dx + � f ( x ) dx �f ( x ) dx − � −1 1 1 −1 f ( x ) dx − � f ( x ) dx D. S = − � Lời giải Đáp án B Ta có S = �f ( x ) dx = −1 4 −1 −1 f ( x ) dx �f ( x ) dx + �f ( x ) dx = �f ( x ) dx − � Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 1;3;0 ) B ( 5;1; −2 ) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phuowbg trình là A. x − y − z + = B. x − y − z − = C. x + y + z − = D 3x + y − z − 14 = Lời giải Đáp án B uuur Ta có tọa độ trung điểm I của AB là I ( 3; 2; −1) và AB = ( 4; −2; −2 ) r uuur Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến n = AB nên có phương trình là ( x − 3) − ( y − ) − ( z + 1) = � x − y − z − = . Câu 31: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2x −1 ( x + 1) trên khoảng ( −1; + ) là 3 + C B. 2ln ( x + 1) + + C C. 2ln ( x + 1) − + C D. 2ln ( x + 1) − +C x +1 x +1 x +1 x +1 Lời giải Đáp án B ( x + 1) − 2x −1 dx dx f ( x ) dx = � dx = � dx = 2� − 3� = ln x + + +C 2 � x +1 x +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) A. 2ln ( x + 1) + Vì x �( −1; +�) nên f ( x ) dx =2ln ( x + 1) + +C x +1 Câu 32: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = và f ( x ) = cos π x + , ∀x ﾡ , khi đó f ( x ) dx bằng A. π +4 16 B. π + 14π 16 π + 16π + 16 Lời giải C. D. π + 16π + 16 16 Đáp án C f ( x ) dx = � Ta có: f ( x ) = � ( + cos x ) dx = x + sin x + C ( 2cos2 x + 1) dx = � 1 Theo bài: f ( ) = � 2.0 + sin + C = � C = Suy ra f ( x ) = x + sin x + 2 Vậy: π π π � � � π + 16π + π2 � � �2 cos x �4 � f x dx = x + sin x + dx = x − + x = + π −� − �= ( ) � � � � � � � � 16 � � �0 �16 ��4� 0� Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( 2;0; ) , C ( 2; − 1;3) và D ( 1;1;3) Đường thẳng đi qua C và vng góc với mặt phẳng ( ABD ) có phương trình là x = −2 − 4t A. y = −2 − 3t z = 2−t x = + 4t B. y = −1 + 3t z = 3−t x = −2 + 4t C. y = −4 + 3t z = 2+t x = + 2t D. y = − t z = + 3t Lời giải uuur uuur uuur uuur AB, AD � Ta có AB = ( 1; − 2; ) , AD = ( 0; − 1;3) � � � �= ( −4; − 3; − 1) Đường thẳng đi qua C và vng góc với mặt phẳng ( ABD ) có phương trình là Đáp án C x = −2 + 4t y = −4 + 3t z = 2+t ( ) Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z + i − ( − i ) z = + 10i Mô đun của z bằng B. A. Gọi z = x + yi ( x, y ﾡ ( ) ) C. Lời giải D. Đáp án C � z = x − yi Ta có z + i − ( − i ) z = + 10i � ( x − yi ) − ( − i ) ( x + yi ) = + 7i � x − y + ( x − y ) i = + 7i x− y =3 x =2 x − y = y = −1 Suy ra z = − i Vậy z = Câu 35: Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x ) như sau: x − −3 −1 − − f ( x) + 0 + + Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 4; + ) B. ( −2;1) C. ( 2; ) D. ( 1; ) Lời giải Đáp án B −3 < − x < −1 � Ta có y = −2 f ( − x ) < � f ( − x ) > �� � − 2x > � 3> x>2 � � x f ( ) − ( 0; ) khi và chỉ khi D. m > f ( ) Lời giải Ta có f ( x ) < x + m, ∀x �� ( 0; ) m > f ( x ) − x, ∀x �( 0; ) ( *) ( x ) ta có với x ( 0; ) thì f ( x ) < Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x trên khoảng ( 0; ) g ( x ) = f ( x ) − < 0, ∀x ( 0; ) Suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; ) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f Đáp án B Do đó ( *) ۳ m g ( 0) = f ( 0) Câu 37: Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng 13 12 313 A. B. C. D. 25 25 625 Lời giải Đáp án C n ( Ω ) = C25 = 300 Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn Gọi A là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn Vậy p ( A ) = n ( A ) 144 12 = = n ( Ω ) 300 25 2 n ( A ) = C13 + C12 = 144 Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 10 3π B. 39π C. 20 3π D. 10 39π Lời giải Đáp án C Goi hình trụ có hai đáy là O, O và bán kính R Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật ABCD 30 =2 với AB là chiều cao khi đó AB = CD = suy ra AD = BC = ( Gọi H là trung điểm của AD ta có OH = suy ra R = OH + AD = + 4 Vậy diện tích xung quanh hình trụ là S xq = 2π Rh = 2π 2.5 = 20 3π ) =2 Câu 39: Cho phương trình log x − log ( x − 1) = − log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm A. B. C. D. Vô số Lời giải Đáp án A Điều kiện: x > Phương trình tương đương với: 3x − 3x − log x − log ( x − 1) = − log m � log = log m � m = = f ( x) x x 3x − 1 �1 � �1 � ; x �� ; +��; f ( x ) = > 0; ∀x �� ; +�� Xét f ( x ) = x x �3 � �3 � Bảng biến thiên Để phương trình có nghiệm thì m ( 0;3) , suy ra có 2 giá trị ngun thỏa mãn Câu 40: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) bằng A. 21a 14 B. 21a C. 2a Lời giải D. 21a 28 Đáp án B Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) d ( H , ( SBD ) ) Ta có d ( A, ( SBD ) ) = BH = � d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) BA Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA (với O là tâm của đáy hình vng) BD ⊥ HI a � BD ⊥ ( SHI ) Suy ra HI = OA = Lại có BD ⊥ SH 1 a 21 Vẽ HK ⊥ SI � HK ⊥ ( SBD ) Ta có = + � HK = 2 HK SH HI 14 a 21 Suy ra d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) = HK = Câu 41: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ﾡ Biết f ( ) = xf ( x ) dx = , đó ( x ) dx bằng x2 f A. 31 B. −16 C. Lời giải Đặt t = x � dt = 4dx 4 t f ( t ) xf ( x ) dx = � dt = � xf ( x ) dx = 16 Khi đó: � 16 0 Xét: x f ( x ) dx Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta có: D. 14 Đáp án B x2 f � 4 0 x f ( x ) dx = 16 f ( ) − 2� x f ( x ) dx = 16 − 2.16 = −16 ( x ) dx = x f ( x ) − � Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P ( −3;0; −3 ) B. M ( 0; −3; −5 ) C. N ( 0;3; −5 ) D. Q ( 0;5; −3) Lời giải Đáp án C Ta có mơ hình minh họa cho bài tốn sau: Ta có d ( A; d ) = d ( A; Oz ) − d ( d ; Oz ) = uur r Khi đường thẳng d qua điểm cố định ( 0;3;0 ) d / / Oz � ud = k = ( 0;0;1) làm vectơ chỉ x=0 phương của d � d y = Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp ánC. N ( 0;3; −5 ) z =t Câu 43: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên ( ) Số nghiệm thực của phương trình f x − 3x = A. là B. C. Lời giải ( 1) 3 Đặt t = x − x , ta có: t = 3x − ; t = � x = �1 ( ) Xét phương trình: f x − 3x = Bảng biến thiên: D. Đáp án B / Phương trình ( 1) trở thành f ( t ) = với t ﾡ Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( t ) như sau: / có các nghiệm t1 < −2 < t < t3 < < t4 Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: Suy ra phương trình f ( t ) = +) x3 − 3x = t1 có 1 nghiệm x1 +) x3 − x = t4 có 1 nghiệm x2 +) x3 − x = t2 có 3 nghiệm x3 , x3 , x5 +) x − x = t3 có 3 nghiệm x6 , x7 , x8 ( ) Vậy phương trình f x − 3x = có 8 nghiệm Câu 44: Xét các số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w = A. 34 + iz là một đường trịn có bán kính bằng 1+ z B. 26 C. 34 Lời giải D. 26 + iz � w(1 + z ) = + iz � z ( w − i ) = − w � w − i = − w 1+ z Đặt w = x + yi ( x, y ﾡ ) Đáp án A Ta có w = ( x − ) + y � ( x + y − y + 1) = x 2 � x + y + x − y − 14 = � ( x + ) + ( y − ) = 34 Ta có x + ( y − 1) = 2 2 − x + 16 + y Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường trịn có bán kính bằng 34 x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 và S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S thì a thuộc khoảng nào sau đây? Câu 45: Cho đường thẳng y = x và Parabol y = / �3 � A. � ; � �7 � � 1� 0; � B. � � 3� �1 � C. � ; � �3 � �2 � D. � ; � �5 � Lời giải Đáp án C Xét phương trình tương giao: x + a = x x1 = − − 2a , với điều kiện a < � x − x + 2a = x1 = + − 2a 1− t2 2 Xét g ( x ) = x − x + a và g ( x ) dx = G ( x ) + C Đặt t = − 2a , ( t 0) � a = x1 Theo giả thiết ta có S1 = g ( x ) dx = G ( x1 ) − G ( ) x2 S = − g ( x ) dx = G ( x1 ) − G ( x2 ) x1 1 Do S1 = S � G ( x2 ) = G ( ) � x23 − x22 + ax2 = � 1− t2 � 2 � x2 − 3x2 + 6a = � ( + t ) − ( + t ) + � �= �2 � � −2t − t + = � t = và t = −1 (loại) Khi t = � a = Câu 46: Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x − x ) là A. Cách 1 B. ( x ) như sau / C. Lời giải D. Đáp án C x = a, a �( −�; −1) Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ( x ) = có các nghiệm tương ứng là x = b, b �( −1;0 ) ( 0;1) x = d , d �( 1; +�) x = c, c / Xét hàm số y = f ( x − x ) � y = ( x − 1) f ( x − x ) 2 x =1 Giải phương trình y = � ( x − 1) f (x x − x = a ( 1) x −1 = − x ) = �� f ( x2 − x ) = x − x = b ( ) x − x = c ( 3) x − x = d ( ) Xét hàm số h ( x ) = x − x ta có h ( x ) = x − x = −1 + ( x − 1) −1, ∀x ﾡ do đó Phương trình x − x = a, ( a < −1) vô nghiệm 2 Phương trình x − x = b, ( −1 < b < ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khơng trùng với nghiệm của phương trình ( 1) Phương trình x − x = c, ( < c < 1) có hai nghiệm phân biệt x3 ; x4 không trùng với nghiệm của phương trình ( 1) và phương trình ( ) Phương trình x − x = d , ( d > 1) có hai nghiệm phân biệt x5 ; x6 khơng trùng với nghiệm của phương trình ( 1) và phương trình ( ) và phương trình ( 3) Vậy phương trình y = có nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − x ) có điểm cực trị Cách 2 x = a, a �( −�; −1) Từ bảng biến thiên ta có phương trình f ( x ) = có các nghiệm tương ứng là Xét hàm số y = f ( x − x ) � y = ( x − 1) f (x − 2x ) x =1 y = � ( x − 1) f (x x −1 = − x ) = �� f ( x2 − x ) = x − x = a ( 1) x − x = b ( ) x − x = c ( 3) x − x = d ( ) Vẽ đồ thị hàm số h ( x ) = x − x x = b, b �( −1;0 ) ( 0;1) x = d , d �( 1; +�) x = c, c / Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình ( 1) vơ nghiệm. Các phương trình ( ) ; ( ) ; ( ) mỗi phương trình có 2 nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau Vậy phương trình y = có nghiệm phân biệt nên hàm số y = f ( x − x ) có điểm cực trị Câu 47: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng: A. 27 B. 21 C. 30 Lời giải D. 36 Đáp án A / Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh AA ', BB ', CC ' Khối lăng trụ ABC A1 B1C1 có chiều cao là là tam giác đều cạnh Ba khối chóp A A1MN , BB1MP , CC1 NP đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh Ta có: ( ) VABC MNP = VABC A1B1C1 − VA A1MN + VB.B1MP + VC C1NP = � − �� = 27 4 ( Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + ) = Có tất cả bao nhiêu điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c là các số ngun) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của ( S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau? A. 12 B. C. 16 D. Lời giải Đáp án A Do A ( a;b;c ) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) nên A ( a;b; 0) Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vng góc đến mặt cầu khi và chỉ khi R �� IA ﾡ ++R� ﾡ+ � a b2 a b2 Tập các điểm thỏa đề là các điểm ngun nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng ( Oxy ) , tạo bởi 2 đường trịn đồng tâm O ( 0; 0; 0) bán kính lần lượt là và / Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn u cầu bài tốn. x − x − x −1 x + + + Câu 49: Cho hai hàm số y = và y = x + − x + m ( m là tham số thực) có đồ thị x − x −1 x x +1 lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại điểm phân biệt là A. ( − ; 2] B. [ 2; + ) C. ( − ; ) D. ( 2; + ) Lời giải Đáp án B Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) : x − x − x −1 x + + + = x+2 −x+m x − x −1 x x +1 x − x − x −1 x � + + + − x + + x − m = (1) x − x −1 x x +1 x − x − x −1 x + + + − x+ + x−m Đặt f ( x ) = x − x −1 x x +1 Tập xác định D = ﾡ \ { −1;0;1; 2} 1 1 x+2 f ( x) = + + 2+ − +1 2 ( x − ) ( x − 1) x ( x + 1) x + = + + x + − ( x + 2) 1 + + x+2 x ( x + 1) ( x − ) ( x − 1) �>∀ f (ι−x ) 0, x D, x Bảng biến thiên u cầu bài tốn (1) có 4 nghiệm phân biệt �−2�۳m / m Câu 50: Cho phương trình ( log 22 x + log x − ) x − m = ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt A. 49 B. 47 C. Vơ số D. 48 Lời giải Đáp án B Điều kiện: x>0 x log m Với m = , phương trình trở thành ( log 22 x + log x − ) x − = � log x + log x − = 2 −1 = x log x = (loai) � log x = − x=0 Phương trình này có hai nghiệm (thỏa) Với m , điều kiện phương trình là x log m Pt � log x + log x − = 2 7x − m = Do x = m m