Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 được biên soạn bởi Bộ Giáo dục và Đào tạo với mã đề 102 là tư liệu tham khảo cho học sinh, hỗ trợ các em trong việc ôn luyện, luyện thi môn Toán, vượt qua kì thi THPT Quốc gia với thành tích cao.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TỐN HỌC ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề Mã đề 102 Câu 1. Họ tất cả các ngun hàm của hàm số f ( x ) = x + là A. x + x + C B. 2x + C C. x + x + C D. x + C Câu 2. Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) r r r r A. n1 = ( 2; −1; −3) B. n4 = ( 2;1;3) C. n2 = ( 2; −1;3) D. n3 = ( 2;3;1) Câu 3. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là A. π r h B. 2π r h C. π r h D. π r h 3 Câu 4. Số phức liên hợp của số phức − 3i là A. −5 + 3i B. −3 + 5i C. −5 − 3i D. + 3i Câu 5. Với a là số thực dương tùy ý, log a bằng 1 A. log a B. + log a C. + log a D. 3log a 3 Câu 6. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 3;0;0 ) B. ( 3; −1;0 ) Câu 7. Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. 52 B. 25 1 0 C. ( 0;0;1) D. ( 0; −1;0 ) C. C52 D. A52 Câu 8. Biết f ( x ) dx = và g ( x ) dx = −4 khi đó � �f ( x ) + g ( x ) � �dx bằng A. −7 B. C. −1 D. x −1 y − z + = = Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : Vectơ nào dưới đây là một −5 vectơ chỉ phương của d ? r r r r A. u1 = ( 2;5;3) B. u4 = ( 2; − 5;3) C. u2 = ( 1;3; ) D. u3 = ( 1;3; − ) Câu 10. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình A. y = − x + x + B. y = − x + x + C. y = x3 − x + D. y = x − x + Câu 11. Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = và u2 = Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. B. −6 C. 10 D. Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là A. 3Bh B. Bh C. Bh D. Bh 3 x+1 Câu 13. Nghiệm của phương trình = 27 là A. x = B. x = C. x = D. x = Câu 14. Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 0; + ) B. ( 0; ) C. ( −2; ) Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = B. x = −2 C. x = Câu 16. Nghiệm của phương trình log ( x + 1) = + log ( x − 1) là: D. ( − ; −2 ) D. x = A. x = B. x = −2 C. x = D. x = Câu 17. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x − 3x + trên đoạn [ −3;3] bằng A. 20 B. C. D. −16 Câu 18. Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1 m và 1, 4 m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kể quả nào dưới đây? A. 1, 7 m B. 1,5 m C. 1,9 m D. 2, 4 m Câu 19. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = x ( x − 2) , ∀x ﾡ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là A. B. C. D. Câu 20. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z − z + 14 = Giá trị của z12 + z22 bằng A. 36 B. C. 28 D. 18 Câu 21. Cho khối chóp đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a (minh hoạ như hình vẽ bên) A/ C/ A A C B Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng a3 3a C. 3a D. Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − = Bán kính của mặt A. 3a B. cầu đã cho bằng A. B. C. 15 Câu 23. Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: D. Số nghiệm thực của phương trình f ( x) − = là: A. 2 B. 3 C. 4 y = f ( x ) Câu 24. Cho hàm số có bảng biến thiên sau: D. 0 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 25. Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn a b = 32 Giá trị của 3log a + log b bằng A. B. C. 32 D. x −3 x Câu 26. Hàm số y = có đạo hàm là A. ( x − 3) 3x −3 x B. 3x ln −3 x C. ( x − 3x ) 3x −3 x −1 D. ( x − 3) 3x −3 x ln Câu 27. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;0 ) và B ( 3;0; ) Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình là? A. x + y + z − = B. x − y + z − = C. x + y + z − = D. x − y + z + = Câu 28. Cho hai số phức z1 = −2 + i và z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là A. ( 3; − 3) B. ( 2; − 3) C. ( −3;3 ) D. ( −3; ) Câu 29. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = , x = −1 và x = (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = f ( x ) dx �f ( x ) dx + � −1 1 −1 f ( x ) dx + � f ( x ) dx C. S = − � B. S = f ( x ) dx �f ( x ) dx − � −1 1 −1 f ( x ) dx − � f ( x ) dx D. S = − � Câu 30. Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông B , AB = a BC = 3a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 90o B. 30o C. 60o D. 45o Câu 31. Cho số phức z thỏa mãn ( z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i Môđun của z bằng A. B. C. D. Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1;0; ) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2;0 ) và D ( 1;1;3) Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình là x = 1− t A. y = 4t z = + 2t x = 1+ t B. y = z = + 2t x = 2+t C. y = + 4t z = + 2t Câu 33. Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = và f '( x ) = cos x + 3, ∀x x = 1− t D. y = − 4t z = − 2t π ﾡ , khi đó f ( x)dx bằng π +2 π + 8π + π + 8π + π + 6π + D. 8 3x − Câu 34. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) = trên khoảng (1; + ) là ( x − 1) 2 1 + C B. 3ln( x − 1) + + C C. 3ln( x − 1) − + C D. 3ln( x − 1) + +C A. 3ln( x − 1) − x −1 x −1 x −1 x −1 Câu 35. Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x ) như sau: A. B. C. Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2;3) B. ( 0; ) C. ( 3;5 ) D. ( 5; + ) Câu 36. Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24 2π B. 2π C. 12 2π D. 16 2π Câu 37. Cho phương trình log x − log ( x − 1) = − log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. B. C. Vô số D. Câu 38. Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f ( x ) > x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ( 0; ) khi và chỉ khi y y= f ( x) x O A. m f ( ) − B. m < f ( ) − C. m f ( ) D. m < f ( ) Câu 39. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến ( SBD ) bằng? (minh họa như hình vẽ sau) S D A B C 21a 21a 2a 21a B. C. D. 28 14 Câu 40. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là 13 14 365 A. B. C. D. 27 27 729 Câu 41. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x − x ) = là A. A. B. 10 C. 12 D. Câu 42. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ﾡ Biết f ( ) = xf ( x ) dx = , đó x2 f ( x ) dx bằng A. 15 B. 23 C. 123 D. −25 x và parbol y = x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 , S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Câu 43. Cho đường thẳng y = Khi S1 = S thì a thuộc khoảng nào dưới đây? �1 � �3 � A. � ; � B. � ; � 16 32 � �4 32 � � � 3� �7 � 0; � C. � D. � ; � � 16 � �32 � Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = + iz là một đường trịn có bán kính bằng 1+ z B. 12 C. 20 A. D. Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0; 4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P ( −3;0; −3) B. M ( 0;11; − 3) C. N ( 0;3; −5 ) D. Q ( 0; − 3; − ) ( Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − ) = Có tất cả bao nhiêu điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c là các số ngun) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của ( S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau? A. 12 B. C. D. 16 ( ) Câu 47. Cho phương trình log 22 x − 3log x − 3x − m = ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 79 B. 80 C. Vô số D. 81 Câu 48. Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ( x ) như sau: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + x ) là A. B. C. D. Câu 49. Cho khối lăng trụ ABC A B C có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABA B , ACC A và BCC B Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng A. 12 Câu 50. Cho hai hàm số y = B. 16 C. 28 D. 40 x x +1 x + x + + + + và y = x + − x + m ( m là tham số thực) có đồ thị x +1 x + x + x + Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) điểm phân biệt là A. ( 3; + ) B. ( − ;3] C. ( − ;3) D. [ 3; + ) HẾT ĐÁP ÁN 1.A 11.D 21.D 31.A 41.B 2.C 12.B 22.A 32.C 42.D 3.C 13.B 23.C 33.C 43.B 4.D 14.C 24.C 34.A 44.D 5.D 15.C 25.A 35.B 45.D 6.C 16.C 26.D 36.D 46.A 7.C 17.D 27.B 37.B 47.A 8.C 18.A 28.C 38.A 48.D 9.B 19.B 29.B 39.D 49.A 10.B 20.B 30.D 40.A 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI TIẾT Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + là A. x + x + C B. 2x + C C. x + x + C Lời giải D. x + C Đáp án A f ( x ) = x + có họ tất cả các nguyên hàm là F ( x ) = x + x + C Câu 2: Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ? r r A. n1 = ( 2; −1; −3) B. n4 = ( 2;1;3) r C. n2 = ( 2; −1;3) Lời giải r D. n3 = ( 2;3;1) Đáp án C r ( P ) : x − y + 3z + = có một vtpt là n2 = ( 2; −1;3) Câu 3: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r là A. π r h B. 2π r h C. π r h Lời giải Câu 4: Số phức liên hợp của số phức − 3i là A. −5 + 3i B. −3 + 5i D. π r h Đáp án C C. −5 − 3i Lời giải D. + 3i Đáp án D Câu 5: Với a là số thực dương tùy ý, log a bằng 1 A. log a B. + log a C. + log a 3 Lời giải D. 3log a Đáp án D Ta có log a = 3log a Câu 6: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là A. ( 3;0;0 ) B. ( 3; −1;0 ) C. ( 0;0;1) Lời giải D. ( 0; −1;0 ) Hình chiếu vng góc của điểm M ( 3; −1;1) trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;1) Câu 7: Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là A. 52 B. 25 C. C52 D. A52 Lời giải Số cách chọn 2 học sinh từ 5 học sinh là C Đáp án C Đáp án C 1 0 Câu 8: Biết f ( x ) dx = và g ( x ) dx = −4 khi đó � �f ( x ) + g ( x ) � �dx bằng A. −7 B. C. −1 Lời giải 1 0 D. Đáp án C f ( x ) dx + � g ( x ) dx = − = −1 � Ta có � �f ( x ) + g ( x ) � �dx = � Câu 9: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : vectơ chỉ phương của d ? r r A. u1 = ( 2;5;3) B. u4 = ( 2; − 5;3) x −1 y − z + = = Vectơ nào dưới đây là một −5 r C. u2 = ( 1;3; ) Lời giải r D. u3 = ( 1;3; − ) Đáp án B Câu 10: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình A. y = − x + x + B. y = − x + x + C. y = x3 − x + Lời giải D. y = x − x + Đáp án B Dựa vào đồ thị trên là của hàm số bậc ba ( loại A và D) Nhánh cuối cùng đi xuống nên a < , nên Đáp án B Câu 11: Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = và u2 = Công sai của cấp số cộng đã cho bằng A. B. −6 C. 10 D. Lời giải Đáp án D Công sai của cấp số cộng này là: d = u2 − u1 = Câu 12: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là A. 3Bh B. Bh C. Bh D. Bh 3 Lời giải Đáp án B x+1 Câu 13: Nghiệm của phương trình = 27 là A. x = B. x = C. x = D. x = Lời giải Đáp án B x+1 x +1 Ta xét phương trình = 27 � = � 2x +1 = � x = Câu 14: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 0; + ) B. ( 0; ) C. ( −2; ) D. ( − ; −2 ) Lời giải Đáp án C Quan sát bảng biến thiên ta thấy trên khoảng ( −2;0 ) thì f ' ( x ) > nên hàm số đồng biến trên ( −2;0 ) Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đạt cực đại tại A. x = B. x = −2 C. x = Lời giải Câu 16: Nghiệm của phương trình log ( x + 1) = + log ( x − 1) là: A. x = B. x = −2 C. x = Lời giải D. x = Đáp án C D. x = Đáp án C x >1 log ( x + 1) = + log ( x − 1) � log ( x + 1) = log � ( x − 1) � � ���x + = x − x = Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x3 − x + trên đoạn [ −3;3] bằng A. 20 B. C. D. −16 Lời giải f ( x ) = 3x − Đáp án D f ( x ) = � 3x2 − = � x = �[ −3;3] x = −1�[ −3;3] f ( −3) = −16 ; f ( 3) = 20 ; f ( −1) = ; f ( 1) = f ( x ) = −16 Vậy [ −3;3] Câu 18: Một cơ sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1 m và 1, 4 m Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự định làm gần nhất với kể quả nào dưới đây? A. 1, 7 m B. 1,5 m C. 1,9 m D. 2, 4 m Lời giải Đáp án A Gọi R1 = 1 m , R2 = 1, 4 m , R3 lần lượt là bán kính của các bể nước hình trụ thứ nhất, thứ hai và bể nước mới Ta có V1 + V2 = V3 � πR12 h + πR22 h = πR32 h � R3 = + 1, 42 = 1, Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f A. Ta có f ( x ) = x ( x − 2) B. ( x ) = x ( x − 2) � f , ∀x ﾡ Số điểm cực trị của hàm số đã cho là C. Lời giải ( x) = � D. Đáp án B x=0 , trong đó x = là nghiệm đơn; x = là nghiệm bội x=2 chẵn Vậy hàm số có một cực trị là x = Câu 20: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z − z + 14 = Giá trị của z12 + z22 bằng A. 36 B. C. 28 D. 18 Lời giải Đáp án B Cách 1: Ta có: z − z + 14 = có 2 nghiệm z1,2 = ( Do đó z12 + z22 = − 5i ) + ( + 5i ) 2 5i =8 Cách 2: Áp dụng định lý Vi ét ta có z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = 62 − 2.14 = Câu 21: Cho khối chóp đứng ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a và AA = 2a (minh hoạ như hình vẽ bên) A/ C/ A A C B Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A. 3a B. a3 C. 3a D. Lời giải 3a Đáp án D Vậy VABC A B C = AA S ABC = 2a cầu đã cho bằng A. B. Ta có ( S ) : x + y + z − x + y − = 2 a 3 3a 4 Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − = Bán kính của mặt Ta có S ABC = a = C. 15 Lời giải D. ( x − 1) + ( y + 1) + z = Vậy bán kính mặt cầu là R = Câu 23: Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên như sau: 2 Đáp án A Số nghiệm thực của phương trình f ( x) − = là: A. 2 B. 3 C. 4 Lời giải D. 0 Đáp án C ( *) Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ( *) có bốn nghiệm Câu 24: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Ta có f ( x ) − = � f ( x ) = Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1 C. 2 Lời giải D. 4 Đáp án C Dựa vào bảng biến thiên ta có: lim− y = − x = là tiệm cận đứng x lim y = x − y = là tiệm cận ngang Tổng số tiệm cận là 2 Câu 25: Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn a 3b = 32 Giá trị của 3log a + log b bằng A. B. C. 32 D. Lời giải Đáp án A Ta có 3log a + log b = log ( a b ) = log 32 = Câu 26: Hàm số y = 3x A. ( x − ) 3x −3 x −3 x có đạo hàm là B. 3x ln −3 x C. ( x − x ) 3x −3 x −1 Lời giải Áp dụng công thức ( a u ) = u a u ln a ta được y = ( x − 3) 3x D. ( x − 3) 3x −3 x ln Đáp án D −3 x ln Câu 27: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −1; 2;0 ) B ( 3;0; ) Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có phương trình là? A. x + y + z − = B. x − y + z − = C. x + y + z − = D. x − y + z + = Lời giải Đáp án B uuur Gọi I ( 1;1;1) là trung điểm của AB Do đó: AB = ( 4; − 2; ) uuur Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm I và nhận véc tơ AB = ( 4; − 2; ) làm một véc tơ pháp tuyến có phương trình là: ( x − 1) − ( y − 1) + ( z − 1) = 2x − y + z − = Câu 28: Cho hai số phức z1 = −2 + i và z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là A. ( 3; − 3) B. ( 2; − 3) C. ( −3;3 ) Lời giải D. ( −3; ) Đáp án C z1 + z2 = ( −2 + i ) + + i = −3 + 3i Vậy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ là ( −3;3) Câu 29: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = , x = −1 và x = (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. S = −1 f ( x ) dx �f ( x ) dx + � −1 B. S = f ( x ) dx �f ( x ) dx − � −1 f ( x ) dx + � f ( x ) dx C. S = − � 1 −1 f ( x ) dx − � f ( x ) dx D. S = − � Lời giải Đáp án B Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta có bảng xét dấu Do đó, S = −1 f ( x ) dx = 5 −1 −1 f ( x ) dx �f ( x ) dx + �f ( x ) dx � S = �f ( x ) dx − � Câu 30: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC vuông tại B , AB = a và BC = 3a (minh họa như hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng A. 90o B. 30o C. 60o Lời giải D. 45o Đáp án D SA ⊥ ( ABC ) ﾡ SA ⊥ AC � SCA < 90o Hình chiếu của đường thẳng SC lên mặt phẳng ( ABC ) là đường thẳng AC ( ) ﾡ , AC = SCA ﾡ Suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là SC Tam giác ABC vuông tại B � AC = AB + BC = a + ( 3a ) = 4a � AC = 2a = SA ﾡ Như vậy, tam giác SAC vuông cân tại A � SCA = 45o Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45o Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn ( z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i Môđun của z bằng A. Gọi z = x + yi ( x, y B. C. Lời giải D. Đáp án A ﾡ ) � z = x − yi Ta có ( z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i � ( x − yi − i ) − ( + 3i ) ( x + yi ) = − 16i �x + y = �x = � x − yi − 3i − x − yi − xi + y = − 16i � � �� −5 y − − x = −16 � �y = Vậy z = + 2i � z = Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A ( 1;0; ) , B ( 1; 2;1) , C ( 3; 2;0 ) D ( 1;1;3) Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) có phương trình là x = 1− t A. y = 4t z = + 2t x = 1+ t B. y = z = + 2t x = 2+t x = 1− t C. y = + 4t z = + 2t D. y = − 4t z = − 2t Lời giải Đáp án C uuur uuur BC = ( 2;0; −1) , BD = ( −2; −1;3 ) r uuur uuur BC , BD � Mặt phẳng ( BCD ) có một véctơ pháp tuyến là n = � � �= ( −1; −4; −2 ) r Đường thẳng đi qua A và vng góc với mặt phẳng ( BCD ) nên có véctơ chỉ phương u cùng r phương với n Do đó loại đáp án A, B Thay tọa độ của điểm A ( 1;0; ) vào phương trình ở đáp án C và D thì thấy đáp án C thỏa mãn Câu 33: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = và f '( x ) = cos x + 3, ∀x π ﾡ , khi đó f ( x)dx bằng A. π +2 B. π + 8π + π + 8π + Lời giải C. D. π + 6π + Đáp án C Ta có f '( x ) = cos x + = + cos2x � f ( x) = x + sin x + C f = � C = Do ( ) π π π � � � �4 π + 8π + f ( x )d x = x + sin x + d x = x − cos2x+4 x = � � � � � � � � �0 0� 3x − Câu 34: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng (1; + ) là ( x − 1) 2 1 + C B. 3ln( x − 1) + + C C. 3ln( x − 1) − + C D. 3ln( x − 1) + +C A. 3ln( x − 1) − x −1 x −1 x −1 x −1 Lời giải Đáp án A Đặt t = x − 3(t + 1) − 3t + 2 f ( x)dx = � dt = � dt = �dt + � dt = 3ln( x − 1) − +C � t x −1 t t t Câu 35: Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ( x ) như sau: Hàm số y = f ( − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2;3) B. ( 0; ) C. ( 3;5 ) Lời giải ) Đáp án B Ta có y = f ( − x ) � y = −2 f ( − x ) y�� −� f ( x ) Hàm số nghịch biến �−− D. ( 5; + f ( 2x) − 2x � Dựa vào bảng biến thiên, ta được f ( − x ) ��� � −3 − x −1 � Vậy hàm số y = f ( − x ) nghịch biến trên các khoảng ( 3; ) , ( − ; ) x � � x � Câu 36: Cho hình trụ có chiều cao bằng Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng , thiết diện thu được có diện tích bằng 16 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 24 2π B. 2π C. 12 2π D. 16 2π Lời giải Đáp án D Cách 1: 16 = 2 , OH = nên r = OA = OB = Do đó diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng S xq = 2π rl = 2π 2.4 = 16 2π Ta có AB = Cách 2: a a h Ta có thiết diện và đáy của hình trụ như hình vẽ trên Theo đề ta có a.h = 16 � a.4 = 16 � a = 2 ( ) ( ) �a � + � �= + = � R = �2 � Vậy ta tính được diện tích xung quanh của hình trụ S = 2π Rh = 2.π 2.4 = 16 2π Câu 37: Cho phương trình log x − log ( x − 1) = − log m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm? A. B. C. Vô số D. Lời giải Đáp án B x> ĐK: m>0 Mà R = 2 log x − log3 ( x − 1) = − log m log x − log ( x − 1) = − log m log m = log m= ( x − 1) x 6x −1 (1) x 6x −1 (*) x 6x −1 �1 � Xét hàm f ( x ) = trên khoảng � ; + � x �6 � Ta có f ( x ) = > x Ta có bảng biến thiên: Với điều kiện trên (1) trở thành: m = Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nghiệm khi < m < Vậy có giá trị ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm là m = { 1; 2;3; 4;5} Câu 38: Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình f ( x ) > x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ( 0; ) khi và chỉ khi y ( x) y= f x O A. m f ( 2) − B. m < f ( ) − Ta có f ( x ) > x + m, ∀x �� ( 0; ) f ( 0) C. m Lời giải D. m < f ( ) Đáp án A m < f ( x ) − x, ∀x �( 0; ) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x trên ( 0; ) Ta có g ( x ) = f Dựa vào đồ thị ta có f ( x ) < 1, ∀x ( 0; ) ( x ) − y y = f ( x) y =1 x O Suy ra g ( x ) < 0, ∀x Bảng biến thiên: ( 0; ) Do đó g ( x ) nghịch biến trên ( 0; ) g (� x )−, x ( 0; ) m f ( ) Dựa vào bảng biến thiên suy ra m < ∀ Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến ( SBD ) bằng? (minh họa như hình vẽ sau) S D A B A. 21a 28 B. 21a 14 C C. Lời giải 2a D. 21a Đáp án D S' S D A N O B C Khơng mất tính tổng qt, cho a = Gọi N là trung điểm của đoạn AB Dựng S sao cho SS AN là hình chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ: A là gốc tọa độ, tia AB ứng với tia Ox , tia AD ứng với tia Oy , tia AS ứng với tia Oz �1 3� ;0; A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , S � � �2 � � � Phương trình mặt phẳng ( SBD ) là: 3x + y + z − = Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có O là trung điểm của AC Ta có d ( C ; ( SBD ) ) = d ( A; ( SBD ) ) = 21 Vậy chọn đáp án D Câu 40: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 27 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là 13 14 365 A. B. C. D. 27 27 729 Lời giải Đáp án A Số phần tử không gian mẫu là n ( Ω ) = C 27 = 351 Gọi A là biến cố: “Chọn được hai số có tổng là một số chẵn” Trong 27 số nguyên dương đầu tiên có 14 số lẽ và 13 số chẵn Tổng hai số là một số chẵn thì hai số đó hoặc cùng lẽ, hoặc cùng chẵn n ( A) = C 14 + C 13 = 169 p ( A) = n ( A ) 169 13 = = n ( Ω ) 351 27 Câu 41: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình f ( x − x ) = là A. Chon ̣ B B. 10 C. 12 Lời giải: D. Xét đồ thị của hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị ( C ) như hình vẽ đã cho Gọi ( C1 ) là phần đồ thị phía trên trục hồnh, ( C2 ) phần đồ thị phía dưới trục hồnh. Gọi ( C ') là phần đồ thị đối xứng của ( C2 ) qua trục hoành Đồ thị của hàm số y = f ( x ) chính là phần ( C1 ) và ( C ') Xét f ( x − x ) = f ( x − 3x ) = 2 Xét g ( x ) = x − x , g ' ( x ) = 3x − = � x = �1 f ( x − 3x ) = − Quan sát đồ thị: + Xét f ( x3 − 3x ) = x3 − 3x = > � x − 3x = b �( 0; ) ( có lần lượt 1, 3, 3 nên có tất cả 7 nghiệm) x − 3x = c �( −2;0 ) + Xét f ( x − 3x ) = − x3 − 3x = c > � x3 − x = d > ( có 3 nghiệm) x3 − x = c �< −2 Vậy có tất cả 10 nghiệm Câu 42: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ﾡ Biết f ( ) = xf ( x ) dx = , khi đó x2 f ( x ) dx bằng A. 15 B. 23 123 Lời giải C. D. −25 Đáp án D Cách 1: x2 f � 5 0 xf ( x ) dx = 25.1 − 2� 5tf ( 5t ) d ( 5t ) = 25 − 50.1 = −25 ( x ) dx = x f ( x ) − � Cách 2: Ta có: = xf ( x ) dx Đặt t = x � dt = 5dx � dt = dx 51 5 1 � = � t f ( t ) dt � = t f ( t ) dt � � t f ( t ) dt = 25 � � x f ( x ) dx = 25 � 0 25 Đặt I = x f ( x ) dx u = x2 � Đặt: � dv = f du = xdx � � v = f ( x) ( x ) dx � I = x2 f ( x ) −2 xf ( x ) dx = 25 f ( ) − 2.25 = −25 x và parbol y = x + a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 , S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Câu 43: Cho đường thẳng y = Khi S1 = S thì a thuộc khoảng nào dưới đây? �1 � �3 � A. � ; � B. � ; � 16 32 � �4 32 � � � 3� 0; � C. � � 16 � Lời giải �7 � D. � ; � �32 � Đáp án B Phương trình hồnh độ giao điểm: x = x + a � x − x + 4a = ( *) Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điềm dương phân biệt. Do đó phương trình ( *) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ = − 32a > �0 32 P = 2a > − − 32a + − 32a x < x , x2 = , ( 2) 4 x1 x2 � �1 �3 � dx = � dx S1 = S � � � x + a − x� � x − x −a� � � 0� x1 � Khi đó (*) có hai nghiệm dương phân biệt x1 = x1 x2 �x3 � 3x � �3 x x � � + ax − � = � − − ax � �0 �8 �6 �x1 � �3x x � x13 3x 3x x + ax1 − = − − ax2 − � − − ax1 � 8 6 �8 � x2 x23 − − ax2 = � −4 x2 + x2 − 24a = � �3 + − 32a � + − 32a � −4 � − 24a = � � �+ 4 � � � − 32a = 64a − 9 64 64a − > a 27 � � �� � �a = � a = 64 � � 128 ( − 32a ) = ( 64a − ) �4096a − 864a = � 27 a= 128 a Câu 44: Xét các số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức w = A. + iz là một đường trịn có bán kính bằng 1+ z B. 12 C. 20 Lời giải D. Đáp án D + iz w −3 � w ( + z ) = + iz � w − = ( i − w ) z � z = (do w = i không thỏa mãn) 1+ z i−w w −3 Thay z = vào z = ta được: i−w w −3 = � w − = i − w ( *) Đặt w = x + yi , ta được: i−w Ta có w = + y2 = � x + − y ) �� x + y + 6x − y − = Đây là đường trịn có Tâm là I ( −3; ) � ( � , bán kính R = 20 = ( *) � ( x − ) Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 0;4; −3) Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P ( −3;0; −3) B. M ( 0;11; − 3) C. N ( 0;3; −5 ) D. Q ( 0; − 3; − ) Lời giải Đáp án D Cách 1: Vì d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng nên d là đường sinh của mặt trụ trịn xoay có trục là Oz và bán kính bằng Dễ thấy: d ( A; Oz ) = nên max d ( A; d ) = d ( A; Oz ) + d ( d ; Oz ) = Mặt khác, điểm A ( Oyz ) nên d ( Oyz ) để khoảng cách từ A đến d lớn nhất thì điểm A ( 0; 4; −3) và d nằm khác phía với trục Oz do d ( d ; Oz ) = nên d đi qua điểm K ( 0; − 3;0 ) khác phía với điểm A ( 0; 4; −3) x=0 Vì d // Oz � d : y = −3 z =t Kiểm tra 4 phương án ta thấy Q ( 0; − 3; − ) thỏa mãn Cách 2: Gọi X ( a; b; c ) là hình chiếu của A lên d và d ( A, Oz ) = Nhận xét: Họ các đường thẳng d tạo thành một khối trụ với trục là Oz và bán kính R = Để khoảng cách từ A đến d là lớn nhất ( Oyz ) ( 1) max d ( A, d ) = d ( A, Oz ) + R = ( ) d ( 1) � a = b=3 b = −3 Ta có: d ( d , Oz ) = ( ) � b = −3 x=0 Khi đó: d : y = −3 , ( t z = c+t ﾡ ) ( Câu 46: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − ) = Có tất cả bao nhiêu điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của ( S ) đi qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau? A. 12 B. C. D. 16 Lời giải Đáp án A Do A ( a; b; c ) ( Oxy ) nên suy ra A ( a; b;0 ) ( ) Mặt cầu ( S ) có tâm I 0;0; và bán kính R = A M N I Ta thấy mặt cầu ( S ) cắt mặt phẳng ( Oxy ) nên từ một điểm A bất kì thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và nằm ngồi ( S ) kẻ tiếp tuyến đến ( S ) thì các tiếp tuyến đó nằm trên một hình nón đỉnh A , các tiếp điểm nằm trên một đường trịn được xác định. Cịn nếu A ( S ) thì ta kẻ các tiếp tuyến đó sẽ thuộc một mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại điểm A Để có ít nhất hai tiếp tuyến qua A thỏa mãn bài tốn khi và chỉ khi TH1. Hoặc A �( S ) � IA = R TH2. Hoặc các tiếp tuyến tạo thành mặt nón và góc ở đỉnh của mặt nón là: IM ﾡ ﾡ ﾡ �۳۳ IA MAN ��۳� 90 MAI 45 suy ra sin MAI IA IA Vậy điều kiện bài toán là ��� IA IA2 Ta có IA2 = a + b + Do đó, �� IA2+ +6�+3� a b 2 a b (*) Do a, b ﾡ nên ta có 12 điểm thỏa mãn (*) là: A ( 0;1;0 ) , A ( 0; −1;0 ) , A ( 0; 2; ) , A ( 0; −2; ) A ( 1; 0; ) , A ( −1;0;0 ) , A ( 2; 0;0 ) , A ( −2; 0; ) A ( 1;1;0 ) , A ( 1; −1; ) , A ( −1;1; ) , A ( −1; −1; ) ( ) Câu 47: Cho phương trình log 22 x − 3log x − 3x − m = ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 79 B. 80 C. Vơ số D. 81 Lời giải Đáp án A Cách 1: �x > �x > Điều kiện: �x �x −m m � � * Với m = thì phương trình trở thành: ( log 2 x − 3log x − ) 3x − = Khi đó x > � 3x > Do đó ta có log x − 3log x − = 2 log x = x=4 (thỏa mãn) − x = 2 + Xét m > , khi đó điều kiện của phương trình là x log m Ta có log x − 3log x − = 2 Vì log x = − log x = log x = − x=4 x=2 − 1 nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt > log m 2− 4>2 − − 2 m < 81 Trường hợp này m { 3; 4;5; ;80} , có 78 giá trị nguyên dương của m Tóm lại có 79 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn Chọn phương án B Cách 2: Điều kiện: x>0 3x m log x = − ( 2log 2 x − 3log x − ) 3x − m = � log x = 3x = m 2 � x=4 x= x = log m Với m = thì x = log m = ( l ) khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt Với m > : m ngun dương nên phương trình ln nhận x = log m là một nghiệm < nên để phương trình có đúng hai nghiệm thì phải có m < 34 Mà m ngun dương nên m < 81 Vậy có 79 giá trị m nguyên dương Câu 48: Cho hàm số f ( x ) , bảng biến thiên của hàm số f ( x ) như sau: Do Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + x ) là A. B. C. Lời giải D. Đáp án D (x Ta có y = ( x + ) f + 2x) x = −1 Cho y = 2x + = f (x x + x = a �( −�; − 1) + 2x ) = � x + x = b �( −1;0 ) ( 0;1) x + x = d �( 1; + �) * x + x − a = có ∆ = + a < ∀a �( −�; − 1) nên phương trình vơ nghiệm * x + x − b = có ∆ = + b > ∀b �( −1;0 ) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt * x + x − c = có ∆ = + c > ∀c ( 0;1) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt * x + x − d = có ∆ = + d > ∀d �( 1; + �) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x + 2x = c 2 Nhận xét: 7 nghiệm trên khác nhau đơi một nên phương trình y = có 7 nghiệm phân biệt Vậy hàm số y = f ( x + x ) có 7 cực trị Câu 49: Cho khối lăng trụ ABC A B C có chiều cao bằng và đáy là tam giác đều cạnh bằng Gọi M , N và P lần lượt là tâm của các mặt bên ABA B , ACC A và BCC B Thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng A. 12 28 Lời giải B. 16 C. D. 40 Đáp án A Cách 1: C' A' B' N P M A C B Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là V = = 32 VABCMNP = VAMNCB + VBMNP + VBNPC 1 Ta có VA ABC = V và VAMNCB = VA ABC − VA AMN = VA ABC − VA ABC = VA ABC nên VAMNCB = V 4 1 Lại có VBA B C = V và VBMNP = VBA B C nên VBMNP = V 24 1 VA BCB = VCA B C = V và VBNPC = VBA B C nên VBNPC = V 12 Vậy V1 = VAMNCB + VBMNP + VBNPC = V = 12 Cách 2: C' A' B' N I M P C A B Ta có: S = S ABC = 42 = và chiều cao h = E Gọi I là trung điểm AA Ta có: ( MNP ) // ( ABC ) Gọi E là giao điểm của A P và ( ABC ) , suy ra BE = ( A BC ) ( ABC ) A C // AC nên BE // AC và BE = MP = AC , hay E là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABEC Ta có: V = VA ABEC − VP BEC − VA IMPN − VA.IMN Với VA ABEC = S ABEC h = S h 3 1 VP.BEC = S BEC d ( P, ( ABC ) ) = S h 1 1 VA IMPN = S IMPN d ( A , ( IMPN ) ) = S ABC h = Sh 3 12 1 1 VA IMN = S IMN d ( A, ( IMN ) ) = S h = Sh 3 24 �2 1 � Sh = Sh = 12 Vậy V = � − − − � �3 12 24 � x x +1 x + x + + + + Câu 50: Cho hai hàm số y = và y = x + − x + m ( m là tham số thực) có đồ x +1 x + x + x + thị lần lượt là ( C1 ) và ( C2 ) Tập hợp tất cả các giá trị của m để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là A. ( 3; + ) B. ( − ;3] C. ( − ;3) D. [ 3; + ) Lời giải x x +1 x + x + + + + = x +1 − x + m x +1 x + x + x + x x +1 x + x + � + + + − x + + x = m (1) x +1 x + x + x + Đáp án D Xét phương trình x + x x +1 x + x + x +1 p x = + + + − x + + x = Hàm số ( ) x x +1 x + x + x + + x +1 Ta có p ( x ) = ( x + 1) + + ( x + 2) + + ( x + 3) + + ( x + 4) ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) nên hàm số y = p ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng ( − p ( x ) = và lim p ( x ) = − Mặt khác ta có xlim + x − Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) : 2 2 x +1 + x+2 x +1 + x+2 x+2 + x+3 x+2 + x+3 x+3 −1 x −1 x+4 x+3 + x + x < −1 x+4 > 0, ∀x > −1 + > 0, ∀x < −1 ; −4 ) , ( −4; −3) , ( −3; −2 ) , ( −2; −1) , ( −1; + ) Do đó để ( C1 ) và ( C2 ) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = p ( x ) tại 4 điểm phân biệt ۳ m ... Câu 7: Số cách chọn 2? ?học? ?sinh từ 5? ?học? ?sinh là A. 52 B. 25 C. C52 D. A52 Lời giải Số cách chọn 2? ?học? ?sinh từ 5? ?học? ?sinh là C Đáp án C Đáp án C 1 0 Câu 8: Biết f ( x ) dx = ? ?và? ? g ( x ) dx... ) có bảng biến? ?thi? ?n sau: Ta có f ( x ) − = � f ( x ) = Tổng số tiệm cận đứng? ?và? ?tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: A. 3 B. 1 C. 2 Lời giải D. 4 Đáp án C Dựa vào bảng biến? ?thi? ?n ta có: lim−... g (� x )−, x ( 0; ) m f ( ) Dựa vào bảng biến? ?thi? ?n suy ra m < ∀ Câu 39: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều? ?và? ?nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ