Hệ mật trên đường cong elliptic (62 trang)

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT Chương I : GIỚI THIỆU VỀ MAPLE Giới thiệu chung 1.1 Giới thiệu chung Hình 1.1: Giới thiệu phần mềm Maple 1.1.1 Lịch sử phát triển 1.1.2 Các tính Maple 10 1.1.3 Cấu trúc giao diện .11 Hình 1.2: Giao diện maple 11 1.2 Lập trình tính tốn với Maple 11 1.3 Lưu giữ trích xuất liệu 12 1.4 Các môi trường làm việc Maple .12 1.5 Lệnh Maple 12 1.6 Các dấu phép toán, hàm số .13 Hình 1.3: Vẽ đồ thị phần mềm Maple 21 Chương II : HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 22 2.1 Đường cong Elliptic 22 2.1.1 Mở đầu đặt toán 22 2.1.2 Định nghĩa .22 2.1.3 Tính chất đường cong elliptic 23 2.1.4 Đường cong elliptic trường hữu hạn 24 2.1.5 Các phép toán đường cong Elliptic 25 2.1.5.1 Phép cộng 25 Hình 2.1: phép cộng đường cong Elliptic 26 2.1.5.2 Phép nhân 27 2.1.6 Đếm số điểm đường cong elliptic trường Fq 27 2.1.7 Trường K .28 2.1.8 Dạng đường cong elliptic .28 2.1.9 Phương pháp lựa chọn 29 Hình 2.2: Đường cong Elliptic 30 2.1.10 Các đường cong elliptic 31 Hình 2.3:Đồ thị phương trình y2 = x3 – 6x 32 Hình 2.4:phần tử nghịch đảo P 32 Hình 2.5: PQ cắt đồ thị điểm R 33 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -1- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Hình 2.6: Trường hợp PQ tiếp tuyến đồ thị P 33 Hình 2.7:Đồ thị minh họa P+P=-R 34 Hình 2.8: Đồ thị minh họa P+P=-P 34 2.2 Hệ mật đường cong elliptic .34 2.2.1 Mở đầu đặt toán 35 2.2.2 Nhúng rõ lên đường cong .36 2.2.3 Logarit rời rạc đường cong Elliptic( Discrete logarithm on Elliptic) 37 2.2.4 Vấn đề trao đổi khoá Diffie- Hellman(D- H) Elliptic 37 2.2.5 Hệ mật Elgamal đường cong Elliptic .38 2.2.6 Hệ mật mã dựa đường cong elliptic .39 2.2.7 Giao thức SSL (Secure Sockets Layer) 40 2.2.7.1 Q trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hố RSA 40 Hình 2.9 : Quá trình bắt tay dựa vào RSA 41 2.2.7.2 Q trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hố ECC 42 Hình 2.10: Quá trình bắt tay dựa vào EEC .42 2.2.7.3 Mã hóa cơng khai SSL hai chế độ 42 2.2.7.4 So sánh .43 Bảng 1: So sánh sử dụng RSA ECC trình bắt tay SSL 43 Chương III MỘT VÀI ỨNG DỤNG HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 45 3.1 Lược đồ chữ ký số đường cong elliptic (Elliptic Curve Signature Algorithm ) ECDSA 45 3.1.1 Lược đồ ký ECDSA 45 3.1.2 Độ an toàn sơ đồ chữ ký ECDSA 46 3.2 Một số chuẩn sử dụng hệ mật ECC 47 Chương IV : DEMO TRÊN MAPLE 50 4.1 Ví dụ 1: Mã hóa giải mã Elgamal Elliptic 50 4.1.1 Mô tả .50 Hình4.1: đồ thị y2 = x3 + x + .50 4.1.2 Mã hóa giải mã 50 4.1.2.1 Mã hóa thơng tin 50 4.1.2.2 Giải mã .54 4.2 Ví dụ ký kiểm tra chữ ký Elgamal 56 4.2.1 Ký lên thông báo 56 Hình4.1: đồ thị y2 = x3 + x + .59 4.2.2 Kiểm tra chữ ký .60 KẾT LUẬN .61 TÀI LIỆU THAM KHẢO .64 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -2- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT Chương I : GIỚI THIỆU VỀ MAPLE Giới thiệu chung 1.1 Giới thiệu chung Hình 1.1: Giới thiệu phần mềm Maple 1.1.1 Lịch sử phát triển 1.1.2 Các tính Maple 10 1.1.3 Cấu trúc giao diện .11 Hình 1.2: Giao diện maple 11 1.2 Lập trình tính tốn với Maple 11 1.3 Lưu giữ trích xuất liệu 12 1.4 Các môi trường làm việc Maple .12 1.5 Lệnh Maple 12 1.6 Các dấu phép toán, hàm số .13 Hình 1.3: Vẽ đồ thị phần mềm Maple 21 Chương II : HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 22 2.1 Đường cong Elliptic 22 2.1.1 Mở đầu đặt toán 22 2.1.2 Định nghĩa .22 2.1.3 Tính chất đường cong elliptic 23 2.1.4 Đường cong elliptic trường hữu hạn 24 2.1.5 Các phép toán đường cong Elliptic 25 2.1.5.1 Phép cộng 25 Hình 2.1: phép cộng đường cong Elliptic 26 2.1.5.2 Phép nhân 27 2.1.6 Đếm số điểm đường cong elliptic trường Fq 27 2.1.7 Trường K .28 2.1.8 Dạng đường cong elliptic .28 2.1.9 Phương pháp lựa chọn 29 Hình 2.2: Đường cong Elliptic 30 2.1.10 Các đường cong elliptic 31 Hình 2.3:Đồ thị phương trình y2 = x3 – 6x 32 Hình 2.4:phần tử nghịch đảo P 32 Hình 2.5: PQ cắt đồ thị điểm R 33 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -3- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Hình 2.6: Trường hợp PQ tiếp tuyến đồ thị P 33 Hình 2.7:Đồ thị minh họa P+P=-R 34 Hình 2.8: Đồ thị minh họa P+P=-P 34 2.2 Hệ mật đường cong elliptic .34 2.2.1 Mở đầu đặt toán 35 2.2.2 Nhúng rõ lên đường cong .36 2.2.3 Logarit rời rạc đường cong Elliptic( Discrete logarithm on Elliptic) 37 2.2.4 Vấn đề trao đổi khoá Diffie- Hellman(D- H) Elliptic 37 2.2.5 Hệ mật Elgamal đường cong Elliptic .38 2.2.6 Hệ mật mã dựa đường cong elliptic .39 2.2.7 Giao thức SSL (Secure Sockets Layer) 40 2.2.7.1 Quá trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hoá RSA 40 Hình 2.9 : Quá trình bắt tay dựa vào RSA 41 2.2.7.2 Quá trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hoá ECC 42 Hình 2.10: Quá trình bắt tay dựa vào EEC .42 2.2.7.3 Mã hóa cơng khai SSL hai chế độ 42 2.2.7.4 So sánh .43 Bảng 1: So sánh sử dụng RSA ECC trình bắt tay SSL 43 Chương III MỘT VÀI ỨNG DỤNG HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 45 3.1 Lược đồ chữ ký số đường cong elliptic (Elliptic Curve Signature Algorithm ) ECDSA 45 3.1.1 Lược đồ ký ECDSA 45 3.1.2 Độ an toàn sơ đồ chữ ký ECDSA 46 3.2 Một số chuẩn sử dụng hệ mật ECC 47 Chương IV : DEMO TRÊN MAPLE 50 4.1 Ví dụ 1: Mã hóa giải mã Elgamal Elliptic 50 4.1.1 Mô tả .50 Hình4.1: đồ thị y2 = x3 + x + .50 4.1.2 Mã hóa giải mã 50 4.1.2.1 Mã hóa thơng tin 50 4.1.2.2 Giải mã .54 4.2 Ví dụ ký kiểm tra chữ ký Elgamal 56 4.2.1 Ký lên thông báo 56 Hình4.1: đồ thị y2 = x3 + x + .59 4.2.2 Kiểm tra chữ ký .60 KẾT LUẬN .61 TÀI LIỆU THAM KHẢO .64 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -4- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT TT TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH THUẬT NGỮ MẬT MÃ DHP Diffie-Helman Problem Bài toán Diffie-Hellman DLP Discrete Logarithm Problem Bài toán logarithm rời rạc trường hữu hạn EC Elliptic Curve Đường cong elliptic ECC Elliptic Curve Cryptosystem Hệ mật Elliptic ECDLP Elliptic Curver Discrete Logarithm Problem Bài toán logarithm rời rạc đường cong elliptic MOV Menezes-OkamotoVanstone attack Tấn công MOV SSL SSLHP SSL Handshake protocol Giao thức bắt tay SSLRP SSL Record Layer protocol HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -5- Giao thức lớp ghi Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic LỜI NÓI ĐẦU Ngày với phát triển mạnh mẽ cơng nghệ thơng tin, truyền thơng nói chung Internet nói riêng giúp cho việc trao đổi thơng tin nhanh chóng, dễ dàng, E-mail cho phép người ta nhận hay gửi thư máy tính mình, E-business cho phép thực giao dịch mạng Do vấn đề phát sinh thơng tin bị trộm cắp, bị sai lệch, bị giả mạo Điều ảnh hưởng tới tổ chức, công ty hay an ninh quốc gia Những bí mật kinh doanh, tài mục tiêu đối thủ cạnh tranh Những tin tức an ninh quốc gia mục tiêu tổ chức tình báo ngồi nước Để giải tình hình an tồn thơng tin đặt cấp thiết kỹ thuật mật mã giải pháp an tồn truyền thơng Kỹ thuật có từ ngàn xưa đơn giản, ngày có mạng máy tính người ta dùng mật mã đại Các nhà khoa học phát minh hệ mật mã hệ mật: RSA, Elgamal…, nhằm che dấu thông tin làm rõ chúng để tránh nhịm ngó kẻ cố tình phá hoại Mặc dù an tồn có độ dài khố lớn nên số lĩnh vực ứng dụng Chính người ta phát minh hệ mật hệ mật đường cong elliptic, hệ mật đánh giá hệ mật có độ bảo mật an tồn cao hiệu nhiều so với hệ mật cơng khai khác, ứng dụng nhiều lĩnh vực sử dụng nhiều nơi giới nhiên mẻ Việt Nam Trong tương lai gần Hệ mật đường cong Elliptic sử dụng cách phổ biến thay hệ mật trước Vì lý đó, em chọn đề tài “Tìm hiểu Hệ mật đường cong elliptic khả ứng dụng” để nghiên cứu Đồ án em gồm chương: Chương I: Giới thiệu Maple Chương giới thiệu tổng quan phần mềm Maple, lịch sử phát triển, tính bản, giao diện Maple…,môi trường làm việc,các hàm số, số câu lệnh Maple HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -6- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II: Hệ mật đường cong Elliptic Trong chương trình bày cách tổng quan đường cong Elliptic hệ mật đường cong Elliptic Chương III: Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Trong chương nêu vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic lược đồ chữ ký số đường cong Elliptic số chuẩn sử dụng hệ mật ECC Chương IV: Demo Maple Chương cuối trình bày số ví dụ hệ mật đường cong Elliptic phần mềm Maple Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ thầy cô khoa An tồn thơng tin đặc biệt Cơ giáo Trần Thị Lượng – Giảng viên Khoa An tồn thơng tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã, cuối em hồn thành đồ án Em xin chân thành cảm ơn thầy cô ! Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Yên HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -7- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương I : GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 1.1 Giới thiệu chung Hình 1.1: Giới thiệu phần mềm Maple Maple hệ thống tính tốn biểu thức đại số minh họa toán học mạnh mẽ công ty Warterloo Maple, đời khoảng năm 1991, đến phát triển đến phiên 14 Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy tất hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình máy đặc biệt có trình trợ giúp (Help) dễ sử dụng Từ phiên 7, Maple cung cấp ngày nhiều cơng cụ trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Ưu điểm làm cho nhiều nước giới lựa chọn sử dụng Maple phần mềm toán học khác dạy học tốn trước địi hỏi thực tiễn phát triển ngành giáo dục HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -8- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic 1.1.1 Lịch sử phát triển Maple gói phần mềm tốn học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích Tên “Maple” đơn giản để hình tượng “Lá Phong “ (trong tiếng anh gọi Maple) quốc kì Canada Tháng 11/1980, khái niệm Maple xuất phát từ họp Đại học Waterloo Những nhà nghiên cứu đại học muốn mua máy tính đủ mạnh để chạy Macsyma chi phí tốn Thay vào đó, người ta định họ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để chạy máy tính có giá thành hợp lý Do đó, dự án bắt đầu với mục tiêu tạo hệ thống đại số hình thức mà nhà nghiên cứu sinh viên truy cập Những nhà nghiên cứu thử nghiệm loại bỏ nhiều ý tưởng khác để tạo hệ thống liên tục cải tiến Maple trình diễn hội nghị bắt đầu vào năm 1982 Đến cuối năm 1983, 50 trường đại học cài Maple máy họ Do số lượng hỗ trợ yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép phân phối Maple Vào năm 1988, số lượng hỗ trợ ngày tăng, Waterloo Maple Inc thành lập Mục tiêu công ty quản lý phân phối phần mềm Cuối cùng, cơng ty phải mở phịng R&D nhiều phát triển cho Maple thực đến ngày Sự phát triển đáng kể Maple tiếp tục diễn phịng thí nghiệm trường đại học, bao gồm: Phịng thí nghiệm Tính tốn hình thức Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính tốn hình thức Ontario Đại học Tây Ontario; phịng thí nghiệm khắp nơi giới Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng Maple phát triển bao gồm 4.3 dành cho Macintosh Những phiên trước Maple gồm giao diện dòng lệnh với ngõ hai chiều Bản X11 Windows với giao diện tiếp bước vào năm 1980 với Maple Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đưa vào số Thư viện Số học NAG, mở rộng độ xác ngẫu nhiên HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -9- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" giới thiệu Maple Giao diện viết chủ yếu Java (mặc dù có nhiều phần, luật cho việc gõ cơng thức tốn học, viết ngơn ngữ Maple) Giao diện Java bị phê phán chậm; phát triển thực sau, tài liệu Maple 11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước dành cho người với nhớ vật lý 500 MB Giao diện cổ điển khơng cịn bảo trì Giữa 1995 2005 Maple nhiều thị phần vào tay đối thủ có giao diện người dùng yếu Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu “chế độ văn bản” mới, phần giao diện chuẩn Tính chế độ phép toán đưa vào ngõ nhập hai chiều, xuất tương tự cơng thức sách Vào năm 2008, Maple 12 thêm tính giao diện người dùng giống Mathematica, gồm có kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu cuối trang, số trùng mở đóng ngoặc, vùng thực tự động, mẫu hồn thành lệnh, kiểm tra cú pháp vùng tự động khởi tạo Những tính khác thêm để làm cho Maple dễ dùng hộp công cụ Maple Phiên Maple 14 phát hành năm 2010 Đối thủ cạnh tranh Mathematica Maple 14 phần mềm tính tốn kỹ thuật cần thiết cho kỹ sư nhà khoa học ngày Khi cần thực tính tốn thật nhanh,trình bày bảng tính cho kết có tính chun mơn với độ xác cao Maple 14 có đầy đủ cơng cụ cần thiết để thực điều giúp giảm bớt lỗi sai cho người không chuyên tính tốn thơng qua mẫu cấu trúc Maple thiết kế sẵn 1.1.2 Các tính Maple Có thể nêu vắn tắt chức Maple sau: Là hệ thống tính tốn biểu thức đại số:  Có thể thực hiệc hầu hết phép toán chương trình tốn đại học phổ thơng HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 10 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương IV : DEMO TRÊN MAPLE 4.1 Ví dụ 1: Mã hóa giải mã Elgamal Elliptic 4.1.1 Mô tả Cho đường cong Elliptic E: y2 ≡ x3 +ax + b mod p với a=1, b=6, p=11 phần tử sinh α =(2,7) Khóa bí mật Allice ka=5, khóa cơng khai Alice β = α =5(2,7)=(3, 6) Alice muốn gửi thông báo x=(10,9) đến Bob Alice phải mã hóa thơng báo tiến hành gửi cho Bob Khi Bob nhận thông báo Alice, Bob muốn đọc thông báo Bob phải tiến hành giải mã Ta thực bước mà Alice Bob phải làm phần mềm Maple Vẽ đồ thị y2 = x3 + x + mod 11 phần mềm Maple Hình 4.1: đồ thị y2 = x3 + x + 4.1.2 Mã hóa giải mã 4.1.2.1 Mã hóa thơng tin Alice thực mã hóa thơng tin Phương trình đường cong Elliptic > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 50 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Gán giá trị a=1, b=6, p=11 > > > Phương trình Elliptic sau gán giá trị > Gán phần tử sinh α = (2,7), khóa bí mật Ka = > > Bây ta kiểm tra xem phương trình Eliptic có suy biến không > 4a3 + 27b2 mod 11= ≠ > phương trình Eliptic khơng suy biến Alice chọn r = Thuận tốn mã hóa : Ek(x,r) = (y1, y2) Với Y1= rα = 3α, Y2= x + r β =(10,9) + 3(3,6) * Tính Y1 Tính 2α = α + α = (2,7) + (2,7) HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 51 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > > > Ta có :2α = α + α = (2,7) + (2,7) = (5,2) Và 3α = 2α + α = (5,2) + (2,7) >> > > > Y1 = 3α = (8,3) * Tính Y2 Trước tiên ta tính 3β = 3(3,6) 2β = β + β = (3,6) + (3,6) > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 52 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > 2β = (3,6) + (3,6) = (8,8) 3β = 2β + β = (8,8)+ (3,6) > > > > 3β = 2β + β = (8,8) + (3,6) = (5,2) Y2 = x + r β = (10,9) + 3(3,6) = (10,9) + (5,2) > > > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 53 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > > Y2 = x + r β = (10,9) + 3(3,6) = (10,9) + (5,2) = (5,9) ->Bản mã mà Alice muốn gửi cho Bob :X = (Y1,Y2) = ((8,3),(5,9)) 4.1.2.2 Giải mã Bob nhận mã Alice gửi, Bob tiến hành giải mã sau X=Y2-Ka*Y1=(5,9)-5(8,3) Ta tính 5γ=5(8,3) 2γ=(8,3)+(8,3) > > > > > 2γ = (8,3) + (8,3) = (7,9) HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 54 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic 3γ = 2γ + γ = (7,9) + (8,3) > > > 3γ = 2γ + γ = (7,9) + (8,3) = (10,9) 4γ = 3γ + γ = (10,9) + (8,3) > > > 4γ = 3γ + γ = (10,9) + (8,3) = (2,4) 5γ = 4γ + γ = (2,4) + (8,3) > > > >5γ = 4γ + γ = (2,4) + (8,3) = (5,2) HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 55 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic X = Y2 – Ka * Y1 = (5,9) - 5(8,3) = (5,9) - (5,2) Vì : -(x,y) = (x,-y) > -(5,2) = (5,-2) = (5,9) X = Y2 – Ka * Y1= (5,9) - 5(8,3) = (5,9) - (5,2) = (5,9) + (5,9) > > > > > ->X = (10,9) Như phép giải mã cho rõ 4.2 Ví dụ ký kiểm tra chữ ký Elgamal Tiếp tục ví dụ : Cho đường cong Elliptic E: y2 ≡ x3 +ax + b mod p với a=1, b=6, p=11 phần tử sinh α =(2,7) Khóa bí mật Allice ka=5, khóa cơng khai Alice β = α =5(2,7)=(3, 6) Bây Alice muốn ký lên thông báo m=9 gửi cho Bob Khi Bob nhận thông báo ký Alice, Bob tiến hành kiểm tra chữ ký Ta thực bước mà Alice Bob phải làm phần mềm Maple 4.2.1 Ký lên thông báo Ta tiến hành gán giá trị a=1, b=6, p=11, α=(2,7), ka=5 > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 56 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > > > Bây ta kiểm tra xem phương trình Eliptic có suy biến khơng? > 4a3 + 27b2 mod 11 = ≠ > phương trình Eliptic khơng suy biến Tiếp theo, ta lưu vế phải phương trình vào eqn: > Bây sinh phần tử E cặp (x, y) ∈ Zp × Zp thỏa mãn phương trình (1) Để sinh cặp (x, y) thỏa mãn phương trình đó, ta phải cung cấp cho người sử dụng thủ tục epoints Nếu thủ tục lưu file text epoints thư mục ta chạy Maple, ta chạy thủ tục cách gõ câu lệnh: >read epoints; HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 57 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Tuy nhiên, ta thể thủ tục epoints: * Giải thích thủ tục sinh đường cong elliptic: Hàm Sub(x =a, bieu_thuc): thay x= a vào bieu_thuc pct: biến đếm số phần tử E Đầu tiên, với giá trị k thuộc Zp, k = 0,1,2, ,18 ta tính z = x3+ax+b Ta thay k vào z để tính z tương ứng Kiểm tra: HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 58 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic  Nếu z =0, tìm nghiệm pt: x3+ax+b = 0, E:=E ∪ (xi, 0), với xi nghiệm phương trình Mỗi lần tìm thấy nghiệm xi tăng biến đếm pct  Nếu z thặng dư bình phương (z(p-1)/2 mod p =0) E:= E ∪ (k, z(p+1)/4mod p) & (k, -z(p+1)/4 mod p), sau tăng pct lên đơn vị Hàm seq(f(i), i = n), hàm xây dựng chuỗi số f(1), f(2), f(n), hiển thị chúng Như seq(ecurve[i], i = pct), tạo chuỗi phần tử [a1,b1], [a2, b2] [an, bn], điểm thuộc vào E Các điểm đường cong Elliptic có phương trình y2 = x3 + x + là: > Chú ý cặp (x, y) thoả mãn (1) tất phần tử E trừ điểm vô cực O Bằng cách gõ câu lệnh sau, ta biểu diễn số cho điểm vô cực, tập điểm ecurve nằm E > Đếm số phần tử E > Alice chọn k=2 tính r=kα=2(2,7) > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 59 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > r=kα=2(2,7)=(5,2) Alice muốn ký lên thơng báo m=9, ta gán m=9 > Tính f(r): theo f(x,y)=x >f(r)=f(5,2)=5= δ > s:=k-1(m-a* δ) mod N > >Bản mã ký mà Alice gửi cho Bob là:M(m,r,s)=(9,(5,2),5) 4.2.2 Kiểm tra chữ ký Khi Bob nhận mã cua Alice gửi Bob tiến hành kiểm tra chữ ký V1=(f(r)* β +s*r)mod N = (δ* β +s*r)mod 13 V2=mα > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 60 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > V1= V2 ->M mã mà Alice muốn gửi cho Bob KẾT LUẬN Công nghệ thông tin lĩnh vực đem lại nhiều lợi ích cho xã hội, thiếu kinh tế hội nhập tồn cầu hố An tồn bảo mật thơng tin yếu tố quan trọng có nhiều ứng dụng thực tiễn Trong quát trình nghiên cứu giải pháp bảo mật người ta phát minh hệ mã hố cơng khai đường cong elliptic Cho đến hệ mã hóa đường cong elliptic xem hệ mã hố an tồn hiệu So với hệ mã hố cơng khai khác, ECC xem ưu việt độ bảo mật độ dài khố ECC nhỏ nhiều so với hệ mã hoá khác Điều dẫn tới hệ mã hoá ECC có khả thực thi nhanh hơn, hiệu hệ mã hóa cơng khai khác Theo u cầu đặt đề tài “Tìm hiểu hệ mật đường cong Elliptic khả ứng dụng” thời điểm tại, đồ án đạt nội dung sau : Giới thiệu phần mềm toán học Maple Hiểu đường cong Elliptic phép toán đường cong Elliptic Hiểu hệ mật đường cong Elliptic Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Demo số ví dụ hệ mật đường cong Elliptic sử dụng phần mềm Maple Trong phạm vi đồ án tốt nghiệp, đồ án đạt yêu cầu đặt ban đầu HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 61 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Hạn chế: Tuy nhiên, kết đồ án em khiêm tốn hạn chế tài liệu, thời gian kiến thức kinh nghiệm thực tế Đồ án chưa sâu nghiên cứu kỹ hệ mật cụ thể Hướng phát triển: Hy vọng tương lai, có điều kiện em sâu nghiên cứu vấn đề để áp dụng vào thực tế giúp ích cho người sử dụng công ty, tổ chức Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, khoa An tồn thơng tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã tận tình giảng dạy cung cấp kiến thức quý báu cho em suốt năm năm học qua Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Cô giáo Trần Thị Lượng – Giảng viên khoa An tồn thơng tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã giành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt đồ án Do cịn hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên đồ án nhiều thiếu sót, em mong nhận xét, đánh giá góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 62 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ Hệ mật đường cong Elliptic - 63 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1] TS Trần Văn Trường ThS Trần Quang Kỳ, Giáo trình : Mật mã học nâng cao Học viện Kỹ Thuật Mật Mã [2] Nguyễn Hữu Điển, Giáo trình Maple –Trung tâm khoa học tự nhiên công nghệ quốc gia [3] GS TS Nguyễn Bình TS Trần Đức Sự Giáo trình: Cơ sở lý thuyết mật mã Học Viện Kỹ Thuật Mật Mã [4] Trần Quốc Chiến, Giáo trình phần mềm toán học, Đại học Đà nẵng (năm 2008) [5] Phạm Huy Điển, Hà Duy Khối (2003), Mã hố thơng tin: Cơ sở toán học ứng dụng NXB Đại Học Quốc Gia Tài liệu tiếng anh [1] Neal Kobliz: A Corse in Number Theory and Cryptography Sprirger- Verlag: Network, Berlin Heidelberg London, Paris, Tokyo 1987 [2] Stphen B Wicker: Error Control Systems for Digital communication and storage Shool of electrical computer- Engineering Georgra institute of Technology, Prentice Hall – NewJersey- 2003 [3] A.j Menzes: Elliptic curse public key crypto system, Klwer Academic publishers, Massachusetts, USA -1993 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 64 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ... THUẬT MẬT MÃ -6- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II: Hệ mật đường cong Elliptic Trong chương trình bày cách tổng quan đường cong Elliptic hệ mật đường cong. .. THUẬT MẬT MÃ - 21 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II : HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 2.1 Đường cong Elliptic 2.1.1 Mở đầu đặt toán Lý thuyết đường cong. .. cong Elliptic Chương III: Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Trong chương nêu vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic lược đồ chữ ký số đường cong Elliptic số chuẩn sử dụng hệ mật ECC