Hệ mật trên đường cong elliptic (62 trang)

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT Chương I : GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Lịch sử phát triển 1.1.2 Các tính Maple 1.1.3 Cấu trúc giao diện 10 1.2 Lập trình tính toán với Maple 10 1.3 Lưu giữ trích xuất liệu 11 1.4 Các môi trường làm việc Maple 11 1.5 Lệnh Maple 11 1.6 Các dấu phép toán, hàm số 12 Chương II : HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 20 2.1 Đường cong Elliptic 20 2.1.1 Mở đầu đặt toán 20 2.1.2 Định nghĩa 20 2.1.3 Tính chất đường cong elliptic 21 2.1.4 Đường cong elliptic trường hữu hạn 22 2.1.5 Các phép toán đường cong Elliptic 22 2.1.5.1 Phép cộng 23 2.1.5.2 Phép nhân 25 2.1.6 Đếm số điểm đường cong elliptic trường Fq 25 2.1.7 Trường K 26 2.1.8 Dạng đường cong elliptic 26 2.1.9 Phương pháp lựa chọn 27 2.1.10 Các đường cong elliptic 28 2.2 Hệ mật đường cong elliptic 32 2.2.1 Mở đầu đặt toán 32 2.2.2 Nhúng rõ lên đường cong 33 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -1- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic 2.2.3 Logarit rời rạc đường cong Elliptic( Discrete logarithm on Elliptic) 35 2.2.4 Vấn đề trao đổi khoá Diffie- Hellman(D- H) Elliptic 35 2.2.5 Hệ mật Elgamal đường cong Elliptic 36 2.2.6 Hệ mật mã dựa đường cong elliptic 37 2.2.7 Giao thức SSL (Secure Sockets Layer) 37 2.2.7.1 Quá trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hoá RSA 38 2.2.7.2 Quá trình bắt tay đầy đủ dựa vào mã hoá ECC 39 2.2.7.3 Mã hóa cơng khai SSL hai chế độ 40 2.2.7.4 So sánh 40 Chương III MỘT VÀI ỨNG DỤNG HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 42 3.1 Lược đồ chữ ký số đường cong elliptic (Elliptic Curve Signature Algorithm ) - ECDSA 42 3.1.1 Lược đồ ký ECDSA 42 3.1.2 Độ an toàn sơ đồ chữ ký ECDSA 43 3.2 Một số chuẩn sử dụng hệ mật ECC 44 Chương IV : DEMO TRÊN MAPLE 47 4.1 Ví dụ 1: Mã hóa giải mã Elgamal Elliptic 47 4.1.1 Mô tả 47 4.1.2 Mã hóa giải mã 47 4.1.2.1 Mã hóa thơng tin 47 4.1.2.2 Giải mã 51 4.2 Ví dụ ký kiểm tra chữ ký Elgamal 53 4.2.1 Ký lên thông báo 53 4.2.2 Kiểm tra chữ ký 57 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -2- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG Hình 1.1: Giới thiệu phần mềm Maple Hình 1.2: Giao diện maple 10 Hình 1.3: Vẽ đồ thị phần mềm Maple 19 Hình 2.1: phép cộng đường cong Elliptic 24 Hình 2.2: Đường cong Elliptic 28 Hình 2.3:Đồ thị phương trình y2 = x3 – 6x 29 Hình 2.4:phần tử nghịch đảo P 30 Hình 2.5: PQ cắt đồ thị điểm R 30 Hình 2.6: Trường hợp PQ tiếp tuyến đồ thị P 32 Hình 2.7:Đồ thị minh họa P+P=-R 31 Hình 2.8: Đồ thị minh họa P+P=-P 32 Hình 2.9 : Quá trình bắt tay dựa vào RSA 38 Hình 2.10: Quá trình bắt tay dựa vào EEC 39 Bảng 1: So sánh sử dụng RSA ECC trình bắt tay SSL 41 Hình 4.1: đồ thị y2 = x3 + x + 47 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -3- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic DANH SÁCH CÁC TỪ VIẾT TẮT TT TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH THUẬT NGỮ MẬT MÃ DHP Diffie-Helman Problem Bài toán Diffie-Hellman DLP Discrete Logarithm Problem Bài toán logarithm rời rạc trường hữu hạn EC Elliptic Curve Đường cong elliptic ECC Elliptic Curve Cryptosystem Hệ mật Elliptic ECDLP Elliptic Curver Discrete Logarithm Problem Bài toán logarithm rời rạc đường cong elliptic MOV Menezes-OkamotoVanstone attack Tấn công MOV SSL SSLHP SSL Handshake protocol Giao thức bắt tay SSLRP SSL Record Layer protocol HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -4- Giao thức lớp ghi Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic LỜI NÓI ĐẦU Ngày với phát triển mạnh mẽ công nghệ thơng tin, truyền thơng nói chung Internet nói riêng giúp cho việc trao đổi thơng tin nhanh chóng, dễ dàng, E-mail cho phép người ta nhận hay gửi thư máy tính mình, E-business cho phép thực giao dịch mạng Do vấn đề phát sinh thơng tin bị trộm cắp, bị sai lệch, bị giả mạo Điều ảnh hưởng tới tổ chức, công ty hay an ninh quốc gia Những bí mật kinh doanh, tài mục tiêu đối thủ cạnh tranh Những tin tức an ninh quốc gia mục tiêu tổ chức tình báo ngồi nước Để giải tình hình an tồn thơng tin đặt cấp thiết kỹ thuật mật mã giải pháp an tồn truyền thơng Kỹ thuật có từ ngàn xưa đơn giản, ngày có mạng máy tính người ta dùng mật mã đại Các nhà khoa học phát minh hệ mật mã hệ mật: RSA, Elgamal…, nhằm che dấu thông tin làm rõ chúng để tránh nhòm ngó kẻ cố tình phá hoại Mặc dù an tồn có độ dài khố lớn nên số lĩnh vực khơng thể ứng dụng Chính người ta phát minh hệ mật hệ mật đường cong elliptic, hệ mật đánh giá hệ mật có độ bảo mật an toàn cao hiệu nhiều so với hệ mật cơng khai khác, ứng dụng nhiều lĩnh vực sử dụng nhiều nơi giới nhiên mẻ Việt Nam Trong tương lai gần Hệ mật đường cong Elliptic sử dụng cách phổ biến thay hệ mật trước Vì lý đó, em chọn đề tài “Tìm hiểu Hệ mật đường cong elliptic khả ứng dụng” để nghiên cứu Đồ án em gồm chương: Chương I: Giới thiệu Maple Chương giới thiệu tổng quan phần mềm Maple, lịch sử phát triển, tính bản, giao diện Maple…,môi trường làm việc,các hàm số, số câu lệnh Maple HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -5- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II: Hệ mật đường cong Elliptic Trong chương trình bày cách tổng quan đường cong Elliptic hệ mật đường cong Elliptic Chương III: Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Trong chương nêu vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic lược đồ chữ ký số đường cong Elliptic số chuẩn sử dụng hệ mật ECC Chương IV: Demo Maple Chương cuối trình bày số ví dụ hệ mật đường cong Elliptic phần mềm Maple Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ thầy khoa An tồn thơng tin đặc biệt Cô giáo Trần Thị Lượng – Giảng viên Khoa An tồn thơng tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã, cuối em hoàn thành đồ án Em xin chân thành cảm ơn thầy cô ! Hà Nội, ngày 08 tháng 06 năm 2011 Sinh viên Phạm Thị Yên HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -6- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương I : GIỚI THIỆU VỀ MAPLE 1.1 Giới thiệu chung Hình 1.1: Giới thiệu phần mềm Maple Maple hệ thống tính tốn biểu thức đại số minh họa tốn học mạnh mẽ cơng ty Warterloo Maple, đời khoảng năm 1991, đến phát triển đến phiên 14 Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy tất hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để sử dụng tối ưu cấu hình máy đặc biệt có trình trợ giúp (Help) dễ sử dụng Từ phiên 7, Maple cung cấp ngày nhiều công cụ trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với tốn phổ thơng đại học Ưu điểm làm cho nhiều nước giới lựa chọn sử dụng Maple phần mềm toán học khác dạy học tốn trước đòi hỏi thực tiễn phát triển ngành giáo dục 1.1.1 Lịch sử phát triển Maple gói phần mềm tốn học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích Tên “Maple” đơn giản để hình tượng “Lá Phong “ (trong tiếng anh gọi Maple) quốc kì Canada Tháng 11/1980, khái niệm Maple xuất phát từ họp Đại học Waterloo Những nhà nghiên cứu đại học muốn mua máy tính HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -7- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic đủ mạnh để chạy Macsyma chi phí tốn Thay vào đó, người ta định họ phát triển hệ thống đại số máy tính riêng để chạy máy tính có giá thành hợp lý Do đó, dự án bắt đầu với mục tiêu tạo hệ thống đại số hình thức mà nhà nghiên cứu sinh viên truy cập Những nhà nghiên cứu thử nghiệm loại bỏ nhiều ý tưởng khác để tạo hệ thống liên tục cải tiến Maple trình diễn hội nghị bắt đầu vào năm 1982 Đến cuối năm 1983, 50 trường đại học cài Maple máy họ Do số lượng hỗ trợ yêu cầu giấy phép lớn, vào năm 1984, nhóm nghiên cứu xếp với WATCOM Products Inc để cấp phép phân phối Maple Vào năm 1988, số lượng hỗ trợ ngày tăng, Waterloo Maple Inc thành lập Mục tiêu công ty quản lý phân phối phần mềm Cuối cùng, công ty phải mở phòng R&D nhiều phát triển cho Maple thực đến ngày Sự phát triển đáng kể Maple tiếp tục diễn phòng thí nghiệm trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính tốn hình thức Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính tốn hình thức Ontario Đại học Tây Ontario; phòng thí nghiệm khắp nơi giới Vào năm 1989, giao diện đồ họa người dùng Maple phát triển bao gồm 4.3 dành cho Macintosh Những phiên trước Maple gồm giao diện dòng lệnh với ngõ hai chiều Bản X11 Windows với giao diện tiếp bước vào năm 1980 với Maple Vào năm 1999, với việc phát hành Maple 6, Maple đưa vào số Thư viện Số học NAG, mở rộng độ xác ngẫu nhiên Vào năm 2003, giao diện "chuẩn" giới thiệu Maple Giao diện viết chủ yếu Java (mặc dù có nhiều phần, luật cho việc gõ cơng thức tốn học, viết ngôn ngữ Maple) Giao diện Java bị phê phán chậm; phát triển thực sau, tài liệu Maple 11 documentation khuyến cáo giao diện (“cổ điển”) trước HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -8- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic dành cho người với nhớ vật lý 500 MB Giao diện cổ điển khơng bảo trì Giữa 1995 2005 Maple nhiều thị phần vào tay đối thủ có giao diện người dùng yếu Nhưng vào năm 2005, Maple 10 giới thiệu “chế độ văn bản” mới, phần giao diện chuẩn Tính chế độ phép toán đưa vào ngõ nhập hai chiều, xuất tương tự công thức sách Vào năm 2008, Maple 12 thêm tính giao diện người dùng giống Mathematica, gồm có kiểu trình bày theo mục đích đặc biệt, quản lý phần đầu cuối trang, số trùng mở đóng ngoặc, vùng thực tự động, mẫu hoàn thành lệnh, kiểm tra cú pháp vùng tự động khởi tạo Những tính khác thêm để làm cho Maple dễ dùng hộp công cụ Maple Phiên Maple 14 phát hành năm 2010 Đối thủ cạnh tranh Mathematica Maple 14 phần mềm tính tốn kỹ thuật cần thiết cho kỹ sư nhà khoa học ngày Khi cần thực tính tốn thật nhanh,trình bày bảng tính cho kết có tính chun mơn với độ xác cao Maple 14 có đầy đủ công cụ cần thiết để thực điều giúp giảm bớt lỗi sai cho người khơng chun tính tốn thơng qua mẫu cấu trúc Maple thiết kế sẵn 1.1.2 Các tính Maple Có thể nêu vắn tắt chức Maple sau: Là hệ thống tính tốn biểu thức đại số:  Có thể thực hiệc hầu hết phép tốn chương trình tốn đại học phổ thông  Cung cấp công cụ minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh động đường mặt cho hàm tùy ý nhiều hệ tọa độ khác  Là ngơn ngữ lập trình đơn giản mạnh mẽ có khả tương tác với ngơn ngữ lập trình khác HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ -9- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic  Cho phép trích xuất định dạng khác LaTex,Word, HTML,  Một công cụ biên soạn giáo án giảng điện tử, thích hợp với lớp học tương tác trực tiếp 1.1.3 Cấu trúc giao diện  Khi khởi động Maple, chương trình tự động kích hoạt nhân Maple bao gồm phép toán chức Phần nhân chiếm khoảng 10% dung lượng tồn chương trình  Các liệu chương trình lại Maple lưu giữ thư viện Maple chia nhóm: nhóm lệnh nhóm gói lệnh Hình 1.2: Giao diện maple 1.2 Lập trình tính tốn với Maple Maple ngơn ngữ lập trình hướng chu trình (procedure) Chúng ta làm việc với Maple hai chế độ khác nhau: Chế độ tương tác trực tiếp thông qua việc nhập lệnh đơn lẻ dấu nhắc lệnh Maple nhận kết lệnh Chế độ chu trình thực cách đóng gói dãy lệnh xử lý cơng việc vào chu trình HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 10 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic cho thương mại điện tử Internet Những lợi ích mà ECC mang lại cho ứng dụng quan trọng đạng đánh giá kĩ lưỡng WAP Wireless Application Protocol, cung cấp chế truy cập Internet an tồn cho thiết bị khơng dây điện thoại, thiết bị không dây đầu cuối Các đặc tả giới thiệu kiến trúc mạng cho phép ứng dụng sử dụng lựa chọn giao thức truyền khác thiết bị khác ECC hỗ trợ tầng bảo mật WAP WTLS(Wireless Transport Layer Security) HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 46 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương IV : DEMO TRÊN MAPLE 4.1 Ví dụ 1: Mã hóa giải mã Elgamal Elliptic 4.1.1 Mô tả Cho đường cong Elliptic E: y2  x3 +ax + b mod p với a=1, b=6, p=11 phần tử sinh α =(2,7) Khóa bí mật Allice ka=5, khóa cơng khai Alice β = α =5(2,7)=(3, 6) Alice muốn gửi thông báo x=(10,9) đến Bob Alice phải mã hóa thơng báo tiến hành gửi cho Bob Khi Bob nhận thông báo Alice, Bob muốn đọc thông báo Bob phải tiến hành giải mã Ta thực bước mà Alice Bob phải làm phần mềm Maple Vẽ đồ thị y2 = x3 + x + mod 11 phần mềm Maple Hình 4.1: đồ thị y2 = x3 + x + 4.1.2 Mã hóa giải mã 4.1.2.1 Mã hóa thơng tin Alice thực mã hóa thơng tin Phương trình đường cong Elliptic > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 47 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Gán giá trị a=1, b=6, p=11 > > > Phương trình Elliptic sau gán giá trị > Gán phần tử sinh α = (2,7), khóa bí mật Ka = > > Bây ta kiểm tra xem phương trình Eliptic có suy biến khơng > 4a3 + 27b2 mod 11= ≠ > phương trình Eliptic khơng suy biến Alice chọn r = Thuận toán mã hóa : Ek(x,r) = (y1, y2) Với Y1= rα = 3α, Y2= x + r β =(10,9) + 3(3,6) * Tính Y1 Tính 2α = α + α = (2,7) + (2,7) > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 48 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > > Ta có :2α = α + α = (2,7) + (2,7) = (5,2) Và 3α = 2α + α = (5,2) + (2,7) >> > > > Y1 = 3α = (8,3) * Tính Y2 Trước tiên ta tính 3β = 3(3,6) 2β = β + β = (3,6) + (3,6) > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 49 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > 2β = (3,6) + (3,6) = (8,8) 3β = 2β + β = (8,8)+ (3,6) > > > > 3β = 2β + β = (8,8) + (3,6) = (5,2) Y2 = x + r β = (10,9) + 3(3,6) = (10,9) + (5,2) > > > > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 50 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > Y2 = x + r β = (10,9) + 3(3,6) = (10,9) + (5,2) = (5,9) ->Bản mã mà Alice muốn gửi cho Bob :X = (Y1,Y2) = ((8,3),(5,9)) 4.1.2.2 Giải mã Bob nhận mã Alice gửi, Bob tiến hành giải mã sau X=Y2-Ka*Y1=(5,9)-5(8,3) Ta tính 5γ=5(8,3) 2γ=(8,3)+(8,3) > > > > > 2γ = (8,3) + (8,3) = (7,9) 3γ = 2γ + γ = (7,9) + (8,3) > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 51 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > 3γ = 2γ + γ = (7,9) + (8,3) = (10,9) 4γ = 3γ + γ = (10,9) + (8,3) > > > 4γ = 3γ + γ = (10,9) + (8,3) = (2,4) 5γ = 4γ + γ = (2,4) + (8,3) > > > >5γ = 4γ + γ = (2,4) + (8,3) = (5,2) X = Y2 – Ka * Y1 = (5,9) - 5(8,3) = (5,9) - (5,2) Vì : -(x,y) = (x,-y) > -(5,2) = (5,-2) = (5,9) X = Y2 – Ka * Y1= (5,9) - 5(8,3) = (5,9) - (5,2) = (5,9) + (5,9) > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 52 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > > ->X = (10,9) Như phép giải mã cho rõ 4.2 Ví dụ ký kiểm tra chữ ký Elgamal Tiếp tục ví dụ : Cho đường cong Elliptic E: y2  x3 +ax + b mod p với a=1, b=6, p=11 phần tử sinh α =(2,7) Khóa bí mật Allice ka=5, khóa cơng khai Alice β = α =5(2,7)=(3, 6) Bây Alice muốn ký lên thông báo m=9 gửi cho Bob Khi Bob nhận thông báo ký Alice, Bob tiến hành kiểm tra chữ ký Ta thực bước mà Alice Bob phải làm phần mềm Maple 4.2.1 Ký lên thông báo Ta tiến hành gán giá trị a=1, b=6, p=11, α=(2,7), ka=5 > > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 53 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > > > Bây ta kiểm tra xem phương trình Eliptic có suy biến khơng? > 4a3 + 27b2 mod 11 = ≠ > phương trình Eliptic khơng suy biến Tiếp theo, ta lưu vế phải phương trình vào eqn: > Bây sinh phần tử E cặp (x, y)  Zp  Zp thỏa mãn phương trình (1) Để sinh cặp (x, y) thỏa mãn phương trình đó, ta phải cung cấp cho người sử dụng thủ tục epoints Nếu thủ tục lưu file text epoints thư mục ta chạy Maple, ta chạy thủ tục cách gõ câu lệnh: >read epoints; HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 54 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Tuy nhiên, ta thể thủ tục epoints: * Giải thích thủ tục sinh đường cong elliptic: Hàm Sub(x =a, bieu_thuc): thay x= a vào bieu_thuc pct: biến đếm số phần tử E Đầu tiên, với giá trị k thuộc Zp, k = 0,1,2, ,18 ta tính z = x3+ax+b Ta thay k vào z để tính z tương ứng Kiểm tra:  Nếu z =0, tìm nghiệm pt: x3+ax+b = 0, E:=E  (xi, 0), với xi nghiệm phương trình Mỗi lần tìm thấy nghiệm xi tăng biến đếm pct  Nếu z thặng dư bình phương (z(p-1)/2 mod p =0) E:= E  (k, z(p+1)/4mod p) & (k, -z(p+1)/4 mod p), sau tăng pct lên đơn vị HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 55 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Hàm seq(f(i), i = n), hàm xây dựng chuỗi số f(1), f(2), f(n), hiển thị chúng Như seq(ecurve[i], i = pct), tạo chuỗi phần tử [a1,b1], [a2, b2] [an, bn], điểm thuộc vào E Các điểm đường cong Elliptic có phương trình y2 = x3 + x + là: > Chú ý cặp (x, y) thoả mãn (1) tất phần tử E trừ điểm vô cực O Bằng cách gõ câu lệnh sau, ta biểu diễn số cho điểm vô cực, tập điểm ecurve nằm E > Đếm số phần tử E > Alice chọn k=2 tính r=kα=2(2,7) > > > > HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 56 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic > r=kα=2(2,7)=(5,2) Alice muốn ký lên thông báo m=9, ta gán m=9 > Tính f(r): theo f(x,y)=x >f(r)=f(5,2)=5= δ > s:=k-1(m-a* δ) mod N > >Bản mã ký mà Alice gửi cho Bob là:M(m,r,s)=(9,(5,2),5) 4.2.2 Kiểm tra chữ ký Khi Bob nhận mã cua Alice gửi Bob tiến hành kiểm tra chữ ký V1=(f(r)* β +s*r)mod N = (δ* β +s*r)mod 13 V2=mα > > V1= V2 ->M mã mà Alice muốn gửi cho Bob HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 57 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic KẾT LUẬN Công nghệ thông tin lĩnh vực đem lại nhiều lợi ích cho xã hội, thiếu kinh tế hội nhập tồn cầu hố An tồn bảo mật thông tin yếu tố quan trọng có nhiều ứng dụng thực tiễn Trong quát trình nghiên cứu giải pháp bảo mật người ta phát minh hệ mã hố cơng khai đường cong elliptic Cho đến hệ mã hóa đường cong elliptic xem hệ mã hố an tồn hiệu So với hệ mã hố cơng khai khác, ECC xem ưu việt độ bảo mật độ dài khoá ECC nhỏ nhiều so với hệ mã hoá khác Điều dẫn tới hệ mã hố ECC có khả thực thi nhanh hơn, hiệu hệ mã hóa cơng khai khác Theo yêu cầu đặt đề tài “Tìm hiểu hệ mật đường cong Elliptic khả ứng dụng” thời điểm tại, đồ án đạt nội dung sau : Giới thiệu phần mềm toán học Maple Hiểu đường cong Elliptic phép toán đường cong Elliptic Hiểu hệ mật đường cong Elliptic Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Demo số ví dụ hệ mật đường cong Elliptic sử dụng phần mềm Maple Trong phạm vi đồ án tốt nghiệp, đồ án đạt yêu cầu đặt ban đầu Hạn chế: Tuy nhiên, kết đồ án em khiêm tốn hạn chế tài liệu, thời gian kiến thức kinh nghiệm thực tế Đồ án chưa sâu nghiên cứu kỹ hệ mật cụ thể Hướng phát triển: Hy vọng tương lai, có điều kiện em sâu nghiên cứu vấn đề để áp dụng vào thực tế giúp ích cho người sử dụng công ty, tổ chức Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, khoa An tồn thơng tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã tận tình giảng dạy cung cấp HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 58 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic kiến thức quý báu cho em suốt năm năm học qua Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Cô giáo Trần Thị Lượng – Giảng viên khoa An toàn thông tin – Học viện Kỹ thuật Mật Mã giành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt đồ án Do hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên đồ án nhiều thiếu sót, em mong nhận xét, đánh giá góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 59 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1] TS Trần Văn Trường ThS Trần Quang Kỳ, Giáo trình : Mật mã học nâng cao Học viện Kỹ Thuật Mật Mã [2] Nguyễn Hữu Điển, Giáo trình Maple –Trung tâm khoa học tự nhiên công nghệ quốc gia [3] GS TS Nguyễn Bình TS Trần Đức Sự Giáo trình: Cơ sở lý thuyết mật mã Học Viện Kỹ Thuật Mật Mã [4] Trần Quốc Chiến, Giáo trình phần mềm tốn học, Đại học Đà nẵng (năm 2008) [5] Phạm Huy Điển, Hà Duy Khối (2003), Mã hố thơng tin: Cơ sở toán học ứng dụng NXB Đại Học Quốc Gia Tài liệu tiếng anh [1] Neal Kobliz: A Corse in Number Theory and Cryptography SprirgerVerlag: Network, Berlin Heidelberg London, Paris, Tokyo 1987 [2] Stphen B Wicker: Error Control Systems for Digital communication and storage Shool of electrical computer- Engineering Georgra institute of Technology, Prentice Hall – NewJersey- 2003 [3] A.j Menzes: Elliptic curse public key crypto system, Klwer Academic publishers, Massachusetts, USA -1993 HỌC VIỆN KỸ THUẬT MẬT MÃ - 60 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ... THUẬT MẬT MÃ -5- Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II: Hệ mật đường cong Elliptic Trong chương trình bày cách tổng quan đường cong Elliptic hệ mật đường cong. .. THUẬT MẬT MÃ - 19 - Phạm Thị Yên – Lớp AT3C ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP Hệ mật đường cong Elliptic Chương II : HỆ MẬT TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC 2.1 Đường cong Elliptic 2.1.1 Mở đầu đặt toán Lý thuyết đường cong. .. cong Elliptic Chương III: Một vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic Trong chương nêu vài ứng dụng hệ mật đường cong Elliptic lược đồ chữ ký số đường cong Elliptic số chuẩn sử dụng hệ mật ECC