Bộ đề luyện thi ĐH-CĐ môn Toán P2 - Đề 12

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Một số đề thi thử đại học giúp củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải toán

Câu I.1)m=-1:Hàmsốcódạngy=-x + 2x - 5x-12.a) Bạn đọc tự giải.b) Hai nhánh nằm về hai phía tiệm cận đứngx=1nêncóthểcoiM1thuộc nhánh trái có x1=1- và M2thuộcnhánh phải có x2=1+ ( và >0).Thay vào hàm số đỷợcy1= +4và y2=- -4. Gọi d là khoảng cách giữa M1và M2thì d2=MM =(x -x) +(y -y)122212212. Sau khirút gọn đỷợcd2=( + )2[1+(1+4)2].Vì , >0 nên + 2 ; dấu bằng xảy ra khi = (1) ; suy rad288+4+122hay d288++4.Vì > 0 nên theo bất đẳng thức Côsi:8+42 . Dấu bằng xảy ra khi =8(2). Thay vào đỷợcd 42+22(3). d nhỏ nhất khi trong (3) xảy ra dấu bằng. Mặt khác để trong (3) có dấu bằng có (1) và (2) = =48.VậyM(1- 8,48+242)14vàM(1+48,-48-242)2.2) y =mx + 2m x - 3m(x + m)22 32. Hàm số có hai điểm cực trị nêny=0cóhainghiệm phân biệt x1< x2. Góc (II) và (IV) nằm về hai phía trục Oy nên x1< 0 < x2. Gọi g(x) = mx2+2m2x-3m3thì mg(0) < 0 -3m4< 0, "m ạ 0 (4). Góc (II) và (IV) nằm về hai phía Ox, mặt khác đối với hàm phânthức bậc hai trên bậc nhất thì yCT> yCDnên điểm cực tiểu thuộc góc (II) và điểm cực đại thuộc góc (IV). Từ đó suywww.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________XX1-m x2y - 0 + + 0 -Y CĐCTChứng tỏ g(x) đổi dấu từ âm sang dỷơng khi qua x1và từ dỷơng sang âm khi qua x2ị hệ số bậc hai của g(x) làm < 0 (6). Từ (4), (5) và (6) suy ra m <-55.Câu II.1)Khiy=2hệcódạng||||xxx2111+xxxxxx22111111++1- 52x0.2)yx xyx+ +|| ()|||| ()210721108Từ (7) y 1+|x2-x|ị y 1 (9). Từ (8) |y-2|Ê 1-|x+1|Ê 1 ị |y-2|Ê 1. (10)Ghép (9) và (10) ta đ ợc hệ:yy121||yyy12121 1 Ê y Ê 3.Trong khoảng này có các số nguyên y1=1;y2=2;y3= 3. Với y1= 1 thay vào hệ ban đầu đỷợc||||xxx2010+xxx2010=+=vô nghiệm. www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ở phần 1) giải đ ợc1- 52x0.Trong khoảng này có duy nhất 1 số nguyênx=0;vậyxy==02là một cặp nghiệm nguyên.Với y3= 3 thay vào hệ ban đầu đ ợc||||xxx2210+ x = -1;vậyxy==13là một cặp nghiệm nguyên.Đáp số : Có 2 nghiệm nguyên :xy==02vàxy==13Câu III.1)Vớim=12ph ơng trình có dạngsinx + 3cosx =1cosx. Với điều kiện cosx ạ 0 chia hai vế cho cosx và đặt tgx = t (với "t) ta đ ợc:t2-t-2=0 t1=-1và t2=2Với t1=-1 tgx=-1 x=-4+k (k ẻ Z).Với t2=2=tg x= +k (k ẻ Z).2) msinx + (m + 1)cosx =mcosx(11). Với điều kiện cosx ạ 0, chia hai vế của (11) cho cosx và đặt tgx = t, ta đỷợc:mt2-mt-1=0(12). www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________Khi cosx ạ 0 thì tgx luôn có nghĩa nên phỷơng trình (12) không có điều kiện của ẩn t(-Ơ < t < +Ơ).Vớim=0:(12) vô nghiệm.Với m ạ 0 : (12) có nghiệm =m2+4m 0 m 0 hoặc m Ê -4.Kết hợp với điều kiện m ạ 0tađợcđápsốm > 0 hoặc m Ê -4.3) Với điều kiện cosx ạ 0, (11) mtg2x-mtgx-1=0(13).cos(2x1+2x2)=1- tg (x + x )1+ tg (x + x )212212.(14)Với giả thiết x1+x2ạ2+k thì (14) có nghĩa.Mặt khác, tg(x1+x2)=tgx + tgx1- tgx tgx1212(15). Với giả thiết cosx ạ 0 thì tgx1và tgx2có nghĩa ; mặt khác, với giả thiết x1+x2ạ/2+k thì 1 - tgx1tgx2ạ 0 nên (15) có nghĩa. áp dụng định lý Viet đối với phỷơng trình (13) khi m > 0 hoặc m Ê -4tađợctgx1+ + tgx2=1vàtgx1tgx2= -1/m. Thay vào công thức (15) ta đỷợctg(x1+x2)=11-(-1m)=mm+1.Thay vào (14) ta đỷợccos(2x1+2x2)=1-(mm+1)1+(mm+1)=2m + 12m + 2m + 1222.Phần đã giải là xét trỷỳõng hợp x1,x2đỷợc sinh ra do ta giải hai phỷơng trìnhKhi cosx ạ 0 thì tgx luôn có nghĩa nên phỷơng trình (12) không có điều kiện của ẩn t (-Ơ < t < +Ơ).Vớim=0:(12) vô nghiệm.Với m ạ 0 : (12) có nghiệm =m2+4m 0 m 0 hoặc m Ê -4. www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________3) Với điều kiện cosx ạ 0, (11) mtg2x-mtgx-1=0(13).cos(2x1+2x2)=1- tg (x + x )1+ tg (x + x )212212. (14)Với giả thiết x1+x2ạ2+k thì (14) có nghĩa.Mặt khác, tg(x1+x2)=tgx + tgx1- tgx tgx1212(15). Với giả thiết cosx ạ 0 thì tgx1và tgx2có nghĩa ; mặt khác, với giả thiếtx1+x2ạ /2+k thì 1 - tgx1tgx2ạ 0 nên (15) có nghĩa. áp dụng định lý Viet đối với phỷơng trình (13) khi m > 0hoặc m Ê -4 ta đ ợc tgx1+ + tgx2=1vàtgx1tgx2= -1/m. Thay vào công thức (15) ta đỷợctg(x1+x2)=11-(-1m)=mm+1.Thay vào (14) ta đỷợccos(2x1+2x2)=1-(mm+1)1+(mm+1)=2m + 12m + 2m + 1222.Phần đã giải là xét trỷỳõng hợp x1,x2đỷợc sinh ra do ta giải hai phỷơng trình www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ Câu IVa. 1) Tính 1o0I1xdx= Đặt u1x= x = 1 2u dx = 2udu Khi x = 0 thì u = 1 và khi x = 1 thì u = 0 : 1o0I1xdx==0212u du101230222udu u33=== Ta có 1nn0Ix1xdx=. Đặt u = nx du = nn1xdx, dv = 1xdx 2v(1x)1x3= (0 x 1) 10nn2Ix(1x)1x3= + 1n102nx(1x)1xdx3 nn1n2n 2nII I33= nn12nII2n 3=+. Đây là công thức truy hồi cho nI. 2) Khai triển nI ta có : =++ n2n 2(n 1) 2(n 2) 2(n 3)I .2n 3 2n 1 2n 1 2n 386422 . . . . .11 9 7 5 3 Với mọi n N ta có bất đẳng thức sau : 2n(2n 2)+ 2n + 1 112n 12n(2n 2)++ Vì vậy ta suy ra : n2n 2(n 1)I.(2n 4)(2n 2) 2n(2n 2)ì++ + 2(n 2) 2(n 3).2n(2n 2) (2n 2)(2n 4)ìì 86422 . . . . .12.10 10.8 8.6 6.4 4.2ì= 311(n 1) n 2(n 1)=<+++. Câu Va. 1) Gọi oo oM(x,y) là điểm thuộc elip. Phơng trình tiếp tuyến () tại oM là : oo22xx yy1ab+ =.(1) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ Vì T () và có hoành độ x = a nên tung độ suy ra từ (1) : 2ooxby1ya=, tức là : 2ooxbAT 1ya= Tơng tự T' có hoành độ x = a nên có tung độ là : 2ooxbyA'T' 1ya==+ Từ đó : 24o22oxbAT.A'T' 1ya= (2) Nhng vì oM (E) nên 22oo22xy1ab+= 22oo22xy1ab= Từ (2) 2AT.A'T' b= = hằng số. 2) Với A'(a, 0) và T(a, Ty) ta có phơng trình đờng thẳng A'T là : A' A' TA' A' Tyy y yxx x x= Tyyxa 2a=+ Ty(x + a) = 2ay 22oob (a x )(a x) 2a y y+= (3) Tơng tự đờng AT' có phơng trình là : 22oob(a x)(x a) 2ayy+= (4) Tọa độ NN(x ,y ) của N là nghiệm của hệ (3) và (4). Suy ra : oNoNyxx,y2==. Khi oo oM(x,y) chạy trên (E) ta có : 22oo22xy1ab+= 2o2o22yx21ab2+= 22NN22xy1ab2+ = (5) Phơng trình (5) chứng tỏ tập hợp các điểm N là elip đồng tâm với (E) có trục lớn là 2a và trục nhỏ là b. Câu IVb. 1) Theo giả thiết SA = SB = SC, nnnASB BSC CSA=== suy ra SAB = SBC = SAC AB = AC = BC tam giác ABC đều. Gọi 1O là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC 111OA OB OC= =. Do đó 1O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì 1SO vuông góc với mặt phẳng ABC nên 1SO đi qua tâm O của mặt cầu. 1SO cắt mặt cầu tại D. Nối AD. Tam giác SAD vuông tại A vì SD là đờng kính. Đặt l = SA. Hai tam giác vuông 1AO S và DAS đồng dạng với nhau (vì có chung n1ASO). Suy ra 1SO SASA SD= 21SO2R=l(1) Gọi E là trung điểm của BC, ta có : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ BC = 2BE = 2sin2l ; 12sinBC2OA33==l, 22 2114SO SA O A 1 sin32==l (2) Từ (1) và (2) : 2241sin2R 3 2=ll 24= 2R 1 sin32l Thể tích tứ diện SABC là : 21111BC3VSO.S(ABC)SO.334== = 222341sin.4sin12 3 2 2=ll= 32 234sin 1 sin3232==l 32 2283 4Rsin (1 sin )3232= 2) Để thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất theo thì 2224sin (1 sin )23 2 phải đạt giá trị lớn nhất. Đặt 2xsin2= và 2224y sin 1 sin232=. Ta có : 0 < x < 1, 23241yx1 x (16x 24x 9x)39= = +, 21y' (16x 16x 3)3=+, y ' = 0 tại 13x4=, 21x4=. Bảng biến thiên : x 0 14 34 1 y' + 0 0 + y CĐ CT Thể tích đạt giá trị lớn nhất khi y đạt cực đại, nghĩa là khi 21xsin24= = 1sin22= = o60 SABC là tứ diện đều. Thể tích lớn nhất là : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _______________________________________________________ 23max83 1 41VR.1.3434=383R27= . Câu Vb. Trong mặt phẳng tọa độ xét các điểm : y3Ax , z22+, 33B0, y z22+, yzC,022 ta có : 22y3AB (x y22=++22xxyy=++, 22z3AC (x z22=++22xxzz=++, 22yz 3BC (y z)22 2=+ + 22yyzz=++. Ta luôn có : AB + AC BC 22xxyy++ + 22xxzz+ + 22yyzz++. . mtg2x-mtgx-1=0(13).cos(2x1+2x2)= 1- tg (x + x )1+ tg (x + x ) 2122 12. (14)Với giả thi t x1+x2ạ2+k thì (14) có nghĩa.Mặt khác, tg(x1+x2)=tgx + tgx 1- tgx tgx1 212( 15).. 0tađợcđápsốm > 0 hoặc m Ê -4 .3) Với điều kiện cosx ạ 0, (11) mtg2x-mtgx-1=0(13).cos(2x1+2x2)= 1- tg (x + x )1+ tg (x + x ) 2122 12.(14)Với giả thi t x1+x2ạ2+k thì