Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Một số đề thi thử đại học giúp củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải toán
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _________________________________________________________ Câu 1. 1) Với 7a2=, ta có hệ : ++ =+=7xyxy25xy(x y)2 Đặt x + y = S, xy = P, thì đợc S + P = 72, SP = 52, suy ra a) S = 1, P = 5/2 loại vì không thỏa mãn điều kiện 2S4P ; b) 5S2=, P = 1 thì đợc nghiệm x = 2, 1y2= ; x = 12, y = 2. 2) Trong trờng hợp tổng quát ta có SPaSP 3a 8+== Vậy S, P là nghiệm của phơng trình 2t at + (3a 8) = 0. (1) Điều kiện của phơng trình có nghiệm : = 2a 4(3a 8) = 2a 12a + 32 0 a 4 hoặc 8 a. Với điều kiện đó, phơng trình (1) có nghiệm 21a a 12a 32t2+= , 22a a 12a 32t2++= a) Nếu lấy S = 1t, P = 2t, thì phải có điều kiện 2212S4Pt4t hay 222(a a 12a 32) 8(a a 12a 32)+ ++ 2a 10a + 16 (a + 4)2a 12a 32+. (2) b) Nếu lấy S = 2t, P = 1t, thì tơng tự nh trên, phải có 221t4t hay 22a 10a 16 (a 4) a 12a 32++ +. (3) Thành thử ngoài điều kiện a 4, 8 a, để hệ có nghiệm, ta còn phải có (2) hoặc (3), tức là 22a10a16 a4a12a32++ +. (4) Vì 2a10a16+ = (a 2) (a 8), nên nếu a 2, hoặc 8 a thì (4) đợc nghiệm. Xét 2 < a 4, khi đó 2a10a16+ < 0, viết (4) dới dạng a 4 (a 4)(a 8)+ (a 2)(a 8), cả hai vế đều không âm, có thể bình phơng và đợc 2(a 4)+(a 4)(a 8) 22(a 2) (a 8) hay do a 8 < 0 : 2(a 4)+(a 4) 2(a 2)(a 8) 42a 13a 8 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 _________________________________________________________ 13 3 33 13 3 33a88+ Kết hợp các điều kiện đã đợc, ta thấy rằng hệ có nghiệm khi 13 3 33a8+ hoặc 8 a. Câu II. 1) Viết phơng trình đã cho dới dạng sin x = 2cosx 1. Phải có 2cosx 1 0 cosx 12. Bình phơng hai vế phơng trình trên thì đợc 1 2cos x = 42cos x 4cosx + 1 52cos x 4cosx = 0. Nghiệm cosx = 0 bị loại, nghiệm 4cosx5= thích hợp, suy ra x = + 2k ( k Z), với 4cosx5=. 2) Biến đổi hệ thức đã cho dới dạng (A B) (A B)a(tgB tg ) b(tg tgA)22++= sin Asin[(B A) / 2] sinB.sin[(B A)/ 2]cosB cos A= sin[(B A)/2](sin2A sin2B) = 0. Suy ra a) AB2= k A B = 2k (k Z). Vì < B A < , nên chỉ có k = 0 thích hợp A = B (ABC là tam giác cân) ; b) 0 = sin 2A sin2B = 2sin(A B)cos(A + B) = 2sin(A B)cosC, tức là hoặc A B = k (k Z) (cũng nh trên) A = B, hoặc cosC = 0 C = /2 + k (chỉ có k = 0 thích hợp) C = /2 (tam giác ABC vuông tại C). Câu III. Hàm số đợc xác định với mọi x vì 2x x + 1 > 0, x. Vì 23/23x 3y'2(x x 1)+=+ nên hàm số có bảng biến thiên nh sau : x 1 + y' + 0 y 1 2 1 Thành thử hàm số đạt cực đại khi x = 1 (maxy = 2). Câu IVa. Để tínhI=1ecos(lnx)dxđặtuxdv dxduxxdxvx====cos(ln )sin(ln ),vậy I=xcos(lnx) + J = - 1 - e + J1evới J=1esin(lnx)dx.Lại đặtuxdv dxduxxvx====sin(ln )cos(ln ),thì J=xsin(lnx) - I = - I1e.Từ đó suy ra I=-12(1 + e ).Câu Va. Bất kì mặt phẳng P nào đi qua () phải có phỷơng trìnhp(x+2y-3z+1)+q(2x-3y+z+1)=0hay(p+2q)x+(2p-3q)y+(-3p+q)z+(p+q)=0,vậy nó có vectơ pháp tuyếnrn=(p+2q ;2p-3q ;-3p+q).Đỷờng thẳng (D) có vectơ chỉ phuơngru(a ; 2 ; -3).1) Để P // (D), điều kiện cần và đủ làrnruhay0=nu.= a(p + 2q) + 2(2p - 3q) + 3(3p - q)= p(a + 13) + q(2a - 9),www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ muốn vậy tốt nhất là nên chọnp=9-2a,q=a+13.2) Để P (D), điều kiện cần và đủ làrn//ru, hayp+2qa=2p - 3q2=-3p + q-3,suy ra chẳng hạnq=0,p=1,vàphải cóa=1.Câu IVb. 1) Xét các tam giác AOB và AOC, ta có :AB2=OA2+OB2- 2OA.OBcos45o=a2;AC2=OA2+OC2- 2OA.OCcos450=a2.Vậy chúng là các tam giác cân ; hơn nữa lại có góc ở đáy bằng 450nên làvuông cân.OA ACOA ABOA().ABC2) Xét tam giác cân BOC cóBOC^= 600. Vậy BOC đều nên BC = a2. XétBAC có 2a2=BC2=AB2+AC2. Vậy BAC vuông ở A. Từ đó AB AC ; mặt khác AB OA. Vậy AB (OAC) ị AB // Ot, tức là Ox, Oy, Otcùng trong một mặt phẳng.3) Hình chóp C.OABD có đáy OABD là hình vuông và CA là đỷờng cao. Vậy VCOABD.= (1/3)AC.OA2= (1/3)a3.www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng Phiên bản 1.0________________________________________________________________________________ . ; 2 ; -3 ).1) Để P // (D), điều kiện cần và đủ làrnruhay0=nu.= a(p + 2q) + 2(2p - 3q) + 3(3p - q)= p(a + 13) + q(2a - 9),www.khoabang.com.vnLuyện thi trên. phải có phỷơng trìnhp(x+2y-3z+1)+q(2x-3y+z+1)=0hay(p+2q)x+(2p-3q)y+ (-3 p+q)z+(p+q)=0,vậy nó có vectơ pháp tuyếnrn=(p+2q ;2p-3q ;-3 p+q).Đỷờng thẳng (D) có