Phát triển một số năng lực tư duy Toán học cho học sinh lớp 7 trong dạy học chủ đề "các đường đồng quy trong tam giác"

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN TUYẾT NGÂN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƢ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC” LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI – 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC TRẦN TUYẾT NGÂN PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TƢ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC” LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Chu Cẩm Thơ HÀ NỘI – 2019 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc, chân thành đến PGS.TS Chu Cẩm Thơ, ngƣời dành nhiều thời gian, công sức, quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình hƣớng dẫn, bảo tơi hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô khoa Sƣ phạm, đặc biệt thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy truyền thụ cho nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu suốt hai năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo quý thầy cô trƣờng THCS Văn Quán – Hà Đông tạo điều kiện cho tiến hành khảo sát thực nghiệm sƣ phạm Sau cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tơi ln ủng hộ, động viên giúp đỡ mặt suốt trình học tập Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn bạn Hà Tú Anh quan tâm góp ý cho tơi mặt lí luận để tơi hồn thành Luận văn Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót cần đƣợc góp ý, sửa chữa Kính mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp để Luận văn đƣợc hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nôi, tháng 06 năm 2019 Tác giả Trần Tuyết Ngân i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT STT Ký hiệu, chữ viết tắt Viết đầy đủ BĐT Bất đẳng thức C.C.C Cạnh cạnh cạnh C.G.C Cạnh góc cạnh CH - CGV Cạnh huyền – cạnh góc vng CH – GN Cạnh huyền – góc nhọn CM Chứng minh CMT Chứng minh CMTT Chứng minh tƣơng tự C.VE Cách vẽ DHNB Dấu hiệu nhận biết 10 ĐPCM Điều phải chứng minh 11 ĐN Định nghĩa 12 ĐĐ Đối đỉnh 13 ĐT Đƣờng thẳng 14 GT Giả thiết 15 GV Giáo viên 16 G.C.G Góc cạnh góc 17 HS Học sinh 18 KL Kết luận 19 PG, P.GIÁC Phân giác 20 SBT Sách tập 21 SGK Sách giáo khoa 22 SLT So le 23 T/C Tính chất ii 24 TR Trang 25 TĐ Trung điểm 26 THCS Trung học sở 27 T.TRỰC Trung trực iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU STT Ký hiệu, chữ viết tắt Viết đầy đủ = Bằng o Độ  Giao Góc ≠ Khác  Lớn  Nhỏ // Song song  Suy  Tam giác 10  Thuộc 11  Tƣơng đƣơng 12  Vng góc iv DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Mục tiêu dạy học chủ đề “Các đƣờng đồng quy tam giác” 16 Bảng 1.2 Đội ngũ giáo viên toán trƣờng THCS Văn Quán 18 Bảng 1.3 Đánh giá chủ đề “Các đƣờng đồng quy tam giác” 19 Bảng 1.4 Thống kê kết học tập mơn Tốn học kì I năm học 2018 – 2019 19 Bảng 1.5 Đánh giá mơn Tốn chủ đề “Các đƣờng đồng quy tam giác” 20 Bảng 3.1 Xếp loại học lực thang điểm 10 80 Bảng 3.2 Xếp loại chất lƣợng đầu vào 81 Bảng 3.3 So sánh chất lƣợng đầu vào 82 Bảng 3.4 Xếp loại chất lƣợng đầu 83 Bảng 3.5 So sánh chất lƣợng đầu 83 v DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Xếp loại chất lƣợng đầu vào 81 Biểu đồ 3.2 Xếp loại chất lƣợng đầu 83 vi MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU iv DANH MỤC CÁC BẢNG v DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ vi MỤC LỤC vii MỞ ĐẦU CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Năng lực 1.1.2 Tƣ 1.1.3 Năng lực tƣ 13 1.1.4 Năng lực tƣ toán học 14 1.2 Cơ sở thực tiễn 15 1.2.1 Mục tiêu dạy học chủ đề “Các đƣờng đồng tam giác” chƣơng trình Tốn 15 1.2.2 Thực tiễn dạy học chủ đề “Các đƣờng đồng quy tam giác” trƣờng THCS Văn Quán 18 Kết luận chƣơng 21 CHƢƠNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN TRONG CHỦ ĐỀ “CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC” CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH 22 2.1 Lựa chọn tập toán nhằm rèn luyện số thao tác hoạt động trí tuệ 22 2.1.1 Phân tích tổng hợp 22 vii 2.1.2 Đặc biệt hóa 31 2.1.3 Tổng quát hóa 43 2.1.4 Lật ngƣợc vấn đề 49 2.2 Lựa chọn toán nhằm phát triển số loại hình tƣ tốn học đặc thù 57 2.2.1 Tƣ hàm 57 2.2.2 Tƣ thuật toán 58 2.2.3 Tƣ sáng tạo 65 2.3 Lựa chọn số toán tổng hợp phối hợp thao tác trí tuệ nhằm phát triển loại hình tƣ 74 Kết luận chƣơng 78 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 79 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 79 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 79 3.3 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 79 3.3.1 Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm 79 3.3.2 Thời gian thực nghiệm sƣ phạm 79 3.3.3 Tiến trình thực nghiệm sƣ phạm 79 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm sƣ phạm 80 3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm 80 3.4.2 Phân tích kết thực nghiệm sƣ phạm 80 Kết luận chƣơng 85 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 PHỤ LỤC viii E AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh rằng: a) Đường trung trực EF A qua đỉnh A tam giác ABC b) Khi H di động đoạn thẳng IC F đường trung trực đoạn thẳng EF cố định.” B C I + GV gọi HS lên bảng vẽ hình H ABC viết GT – KL, lớp làm vào + Các HS khác nhận xét BAI = IAC = GT + GV chốt BAC (I  BC) HE // AI (H  IC, E  AB) HE  AC = {F} a) Trung trực EF KL qua A b) H di động IC trung trực EF ln cố định - GV chạy Sketchpad để HS quan sát Chứng minh hƣớng dẫn HS chứng minh ? Làm để chứng minh a) Trung trực EF qua A đường trung trực EF ln Vì HE // AI (gt) qua điểm A HS: Chứng minh A thuộc đƣờng trung trực EF  AE = AF  E = A1  F1 = A (hai góc đồng vị) (hai góc so le trong) Mà A1 = A2 (gt)  E = F1  AEF cân A (dhnb  cân)  AE = AF (đn  cân) AEF cân A  A  đƣờng trung trực EF  Vậy đƣờng trung trực EF qua đỉnh A ABC E = F1  E = A1 F1 = A A1 = A2    HE // AI (gt) HE // AI (gt) gt ? Chứng minh H di động b) Khi H di động đoạn thẳng IC đoạn thẳng IC đường trung trực trung trực EF cố định đoạn thẳng EF cố định  Đƣờng trung trực EF  AI  Đƣờng trung trực EF qua A vng góc với AI cố định  T.trực EF qua A  câu a) Vì EF // AI (gt) Mà đƣờng trung trực EF qua A (câu a) Vậy đƣờng trung trực EF T.trực EF qua A vng góc với AI cố định  AI  EF // AI (gt) Củng cố (2 phút) HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS - GV tổng hợp lại hai dạng tập chữa Hướng dẫn nhà (1 phút) - Học kĩ lý thuyết tính chất đƣờng trung trực - Ôn lại dạng tập chữa NỘI DUNG GHI BẢNG - Làm Bài tập thêm: Cho tam giác ABC cân A (Â < 90º) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh rằng: a) ADC cân b) DAC = ABC c) AD = CE d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE - Giờ sau: “Tính chất ba đƣờng cao tam giác” Giáo án Tiết 66 ÔN TẬP CHƢƠNG III (tiết 2) I Mục tiêu Kiến thức - HS hệ thống hóa kiến thức bốn đƣờng đồng quy (đƣờng trung tuyến, đƣờng phân giác, đƣờng trung trực, đƣờng cao) tam giác Kỹ - HS xác định đƣợc đƣờng đồng quy tam giác vận dụng linh hoạt tính chất đƣờng đồng quy để giải tốn hình học Thái độ - Rèn thái độ cẩn thận, xác, trình bày khoa học - Nghiêm túc học tập Phát triển lực - Góp phần rèn luyện số lực tƣ cho HS: lực phát giải vấn đề, lực tƣ logic, tƣ sáng tạo II Chuẩn bị Chuẩn bị giáo viên - Giáo án, máy chiếu, thƣớc thẳng, êke, compa, bảng phụ Chuẩn bị học sinh - Đồ dùng học tập - Ôn tập lý thuyết học câu hỏi ôn tập chƣơng III (SGK/86, 87) III Tiến trình dạy Ổn định tổ chức (1 phút) - GV kiểm tra sĩ số lớp Kiểm tra cũ (8 phút) HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG GHI BẢNG Hoạt động 1: Ôn lại lý thuyết - GV yêu cầu HS thảo luận nhóm A Kiến thức cần nhớ ngƣời để hoàn thành Bảng tổng kết Bảng tổng kết kiến thức phút + GV treo bảng phụ nhóm làm nhanh lên bảng, nhóm khác nhận xét + GV chốt + Các nhóm cịn lại chấm chéo BẢNG TỔNG KẾT KIẾN THỨC “CÁC ĐƢỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC” (Đáp án) Trong tam giác ABC, ba đƣờng trung A tuyến AD, BE, CF đồng quy điểm G E F GA GB GC = = = DA EB FC G B C Điểm G trọng tâm tam giác D ABC Trong tam giác ABC, ba đƣờng phân A giác đồng quy điểm I điểm I cách L M ba cạnh: IK = IL = IM I Điểm I tâm đƣờng tròn nội tiếp B C K tam giác ABC Trong tam giác ABC, ba đƣờng trung A trực đồng quy điểm O điểm O cách ba đỉnh: OA = OB = OC O Điểm O tâm đƣờng tròn ngoại tiếp B C tam giác ABC A Trong tam giác ABC, ba đƣờng cao AI, K L BK, CL đồng quy điểm H H Điểm H trực tâm tam giác ABC B C I * Tam giác ABC cân A  Hai A bốn đƣờng sau trùng nhau: đƣờng trung trực cạnh BC, đƣờng trung tuyến, đƣờng cao đƣờng phân giác A xuất phát từ đỉnh A B C H * Nếu tam giác ABC trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh O điểm (nằm tam giác) cách B C ba cạnh bốn điểm trùng - GV yêu cầu HS đứng chỗ trả lời Câu hỏi ôn tập Câu hỏi ôn tập 4, 5, 6, 7, (SGK/ 86, 87) + GV chốt Dạy (33 phút) HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG GHI BẢNG Hoạt động 2: Luyện tập - GV đƣa đề Bài tập lên máy chiếu B Luyện tập yêu cầu HS đọc kĩ đề Bài tập B D “Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH (H thuộc BC) Vẽ điểm D M H cho AB đường trung trực DH, I 2 vẽ điểm E cho AC đường trung trực EH DH cắt AB M Đoạn thẳng DE cắt AB, AC theo thứ tự I A C K K Chứng minh rằng: a) IMD = IMH E b) HA tia phân giác góc IHK ABC nhọn: AH  BC c) DAE = 2IHB AB – trung trực DH d) AH, BK, CI đồng quy e) Đường trung trực DE GT AC – trung trực EH AB  DH = {M} qua điểm cố định DE  AB, AC = {I, K} f) Tam giác ABC cần có điều kiện a) IMD = IMH để A trung điểm DE?” b) HA – phân giác IHK c) DAE = 2IHB + GV gọi HS lên bảng vẽ hình viết GT – KL, lớp làm vào KL d) AH, BK, CI đồng quy e) Trung trực DE + Các HS khác nhận xét qua điểm cố định + GV chốt f) ABC? để A trung điểm DE - GV hƣớng dẫn HS chứng minh Chứng minh toán ? IMD = IMH theo trường hợp a) IMD = IMH Xét IMD IMH có: HS: IMD = IMH (c.g.c) MD = MH  gt   MD=MH AMD = AMH AMchung    o gt (= 90 )   AMD = AMH  = 90    AM chung   IMD = IMH (c.g.c) gt ? Hướng chứng minh HA phân b) HA – phân giác IHK Vì AB trung trực DH, I  AB giác IHK   ID = IH AD = AH Xét IAD IAH có: H1 = H2  D1 = H1 D1 = E1 E1 = H    KAE = KAH  IAD = IAH (c.c.c) IAD = IAH ADE cân  (c.c.c) ID = IH  cmt    AD = AH  cmt    AI chung   AD = AE  (= AH)  D1 = H1 (hai góc tƣơng ứng) (1)  (c.c.c) CM tƣơng tự  E1 = H (2) Xét ADE có: AD = AE (= AH)  ADE cân A (dhnb  cân)  D1 = E1 (t/c  cân) (3) Từ (1), (2) (3)  H1 = H2 Vậy HA tia phân giác IHK c) DAE = 2IHB ? Tại DAE = 2IHB  Từ (1) (2)  D1 + E1 = H1 + H = IHK bù IHK * Chứng minh IHK + DAE = 180   2D1 = IHK Xét ADE cân A có: 2D1 = IHK 2D1 + DAE = 180   ADE cân A D1 = H1 , E1 = H * Chứng minh IHK + 2IHB = 180  IHK+IHB+KHC=180 IHB=KHC  phụ H1 , H2 H1 = H2 2D1 + DAE = 180 (t/c  cân) Mà 2D1 = IHK  IHK + DAE = 180 (4)  H1 + IHB = 90 Vì AH  BC    H + KHC = 90 Mà H1 = H2 (cmt)  IHB = KHC Ta lại có IHK + IHB + KHC = 180  IHK + 2IHB = 180 (5) Từ (4) (5)  DAE = 2IHB ? Cách chứng minh ba đường AH, d) AH, BK, CI đồng quy BK, CI đồng quy Vì IMD = IMH (câu a) HS: Chứng minh AH, BK, CI  I1 = I2 (hai góc tƣơng ứng) đƣờng cao ABC  IM phân giác DIH   IM phân giác đỉnh I AH  BC BK  AC CI  AB CMtt  KC phân giác HKE  Xét IHK có: gt HA phân giác DIH (câu b) * Chứng minh BK  AC Mà HA  HC (gt)  HC phân giác đỉnh H  Mà IB phân giác đỉnh I BKC = 90   KB phân giác IKH Có KC phân giác HKE (cmt) KB–p.g IKH KC–p.g HKE   BKC = 90 hay BK  AC  BK đƣờng cao ABC HC,IB – p.g IHK CMtt  CI đƣờng cao ABC * Chứng minh CI  AB tƣơng tự Xét ABC có: GV chiếu lại Tính chất sau: Hai AH đƣờng cao (gt) đường phân giác hai góc ngồi BK, CI đƣờng cao (cmt) tam giác phân giác  AH, BK, CI đồng quy lại qua điểm ? Điểm cố định mà trung trực e) Trung trực DE qua DE qua điểm nào? điểm cố định (GV chạy Sketchpad để HS quan sát Ta có: AD = AE (= AH) dễ hơn)  A  trung trực DE HS: Vì AD = AE (= AH) Vậy đƣờng trung trực DE  Điểm A  trung trực DE qua điểm A cố định ? Để A trung điểm DE f) ABC? A trung điểm DE ABC cần điều kiện (GV chạy Sketchpad để HS quan sát dễ hơn) HS: A trung điểm DE  AD = AE DAE = 180   cmt BAC = 90 B D M H  ABC vuông A I AK C E A trung điểm DE  AD = AE DAE = 180 Ta có: DAE = DAH + HAE = 2A1 + 2A   = A1 + A = 2BAC Mà DAE = 180  BAC = 90 Vậy ABC vng A A trung điểm DE Củng cố (2 phút) HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG GHI BẢNG - GV tổng hợp lại hƣớng chứng minh tập chữa - GV đƣa Bài tập tƣơng tự “Cho góc xƠy = ao, A điểm di động góc Vẽ điểm M, N cho đường thẳng Ox đường trung trực AM, đường thẳng Oy đường trung trực AN Bài tập a) Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định b) Tính giá trị a để O trung điểm MN.” Hướng dẫn nhà (1 phút) - Hệ thống hóa lý thuyết Chƣơng III sơ đồ tƣ - Ôn lại dạng tập chữa Làm Bài tập - Giờ sau: “Kiểm tra chƣơng III” (45 phút) Phụ lục Bài kiểm tra đánh giá thực nghiệm sƣ phạm ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2 ĐIỂM) Câu (1.0 điểm) Các mệnh đề sau hay sai? Đánh dấu “x” vào ô em chọn Mệnh đề Đúng Sai 1) Trong tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác 2) Trong tam giác vng, trung điểm cạnh huyền tâm đƣờng tròn nội tiếp tam giác 3) Trong tam giác vng, đỉnh góc vuông trọng tâm tam giác 4) Trong tam giác vng, đỉnh góc vng trực tâm tam giác Câu (1.0 điểm) Khoanh tròn vào chữ đứng trƣớc câu trả lời 5) Cho góc xOy có số đo 60o Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng 2cm Khi đoạn thẳng OM bằng: A cm B cm C cm D cm 6) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A D cho AG = Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB F Khẳng định sau AD sai? A BG =2 EG B E trung điểm cạnh AC C FG = CG D F trung điểm cạnh AB PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Câu (8.0 điểm) Cho tam giác ABC vng B có BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE b) Vẽ trung tuyến CM tam giác ACE (M thuộc AE), CM cắt AB H Vẽ EH cắt AC N Chứng minh AMN cân MN song song với EC c) Tính độ dài HB, biết AC = 13cm EC = 10cm d) Tìm điều kiện ABC để CMN cân N BIỂU ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN Đáp án Biểu điểm 2.0 điểm PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1) Đ 2) S 3) S 4) Đ 1.0 điểm (Mỗi ý 0,25 điểm) Câu 5) C 6) C 1.0 điểm (Mỗi ý 0,5 điểm) PHẦN II TỰ LUẬN Câu Vẽ hình, viết GT – KL 8.0 điểm 0,5 điểm A M N H E C B a) Chứng minh ABE = ABC (c.g.c) 1.0 điểm  A1 = A2 (hai góc tƣơng ứng) Vậy AB tia phân giác góc CAE 0.5 điểm b) Chứng minh AEC có H trọng tâm tam giác  EN đƣờng trung tuyến  N trung điểm AC 0.5 điểm Chứng minh AEC có AB vừa đƣờng cao, vừa đƣờng trung tuyến (gt)  AEC cân A Có M, N lần lƣợt trung điểm AB, AC  AM = AN  AMN cân A 0.5 điểm 1.0 điểm Mà AB phân giác CAE (câu a)  AB  MN Vậy MN // EC (cùng vng góc với AB) 1.0 điểm c) Vì EC = 10cm  BC = 5cm 0.5 điểm Áp dụng định lí Pytago ABC  AB = 12cm 0.5 điểm Xét AEC có: AB trung tuyến, H trọng tâm  HB = 1 AB = 12 = 4cm 3 d) CMN cân N  M1 = C1 (t/c  cân) 1.0 điểm Mà MN // EC (câu b)  M1 = C2 (so le trong) Suy C1 = C2 Chứng minh AEC có CM vừa đƣờng phân giác, 0.5 điểm vừa đƣờng trung tuyến  AEC cân C, lại có AEC cân A (câu b)  AEC  ACB = 60 Vậy ABC cần thêm điều kiện ACB = 60 CMN cân N 0.5 điểm