Nguyên hàm các hàm số siêu việt

Trần Só Tùng Tích phân Trang 81 Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. Ví dụ 1: Tính các tích phân bất đònh sau: a/ xx dx I ee - = - ò b/ xx xx 2.e Jdx 169 = - Giải: a/ Ta có: xx 2xx d(e)1e1 IlnC 2e1e1 - ==+ -+ ò b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4 x , ta được: x xx 2x2xx 4 44 d 1 111 3 33 Jdxdx.lnC 44 2 444 lnln 111 33 333 éù ỉư ỉưỉư - êú ç÷ ç÷ç÷ èø èøëûèø ===+ ỉưỉưỉư --+ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø òò xx xx 143 .lnC. 2(ln4ln3)43 - =+ - + 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh : x dx I. 1e = - ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 82 Giải: Sử dụng đồng nhất thức: xx 11e)e=-+ Ta được: xxx xxx 1(1e)ee 1. 1e1e1e -+ ==+ --- Suy ra: xx x xx ed(1e) I1dxdxxln1eC. 1e1e ỉư - =+=-=--+ ç÷ -- èø òòò 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các chú ý trong vấn đề 4. Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh : 2x dx I. 1e = + ò Giải: · Cách 1: Đặt 2x22x t1et1e=+Û=+ Suy ra: 2x 222 2x tdtdxtdtdt 2tdt2edxdx& t1t(t1)t1 1e =Û=== --- + Khi đó: 2x 2 2x dt1t111e IlnClnC 2t12 t1 1e1 -+ ==+=+ + - ++ ò · Cách 2: Đặt: t = e x Suy ra: x x dx dtedxdt, e - =-Û-= 2x2x2xx2x2 dxdxdxdt . 1ee(e1)ee1t1 -- - === ++++ Khi đó: 2xx 2x2 dxdt lntt1Clnee1C. 1et1 -- =-=-+++=-+++ ++ òò Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh : xx/2 dx I ee = - ò Giải: Đặt x/2 te - = . Suy ra: x/2 x/2 1dx dtedx2dt, 2 e - =Û-= x/2 xx/2xx/2x/2x/2 dxdxedx2tdt1 21dt 1tt1eee(1e)e(1e) - -- - ỉư ====+ ç÷ ----- èø Khi đó: x/2x/2 1 I21dt2(elne1C. t1 -- ỉư =+=+++ ç÷ - èø ò 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng phần Trần Só Tùng Tích phân Trang 83 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bài toán 1: Tính: axax ecos(bx)(hoặcesin(bx)vớia,b0¹ òò Khi đó ta đặt: axax ucos(bx)usin(bx) hoặc dvedxdvedx == ìì íí == ỵỵ Bài toán 2: Tính: x* P(x)edxvớiR a ò Khi đó ta đặt: x uP(x) dvedx a = ì í = ỵ Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2x f(x)(tgxtgx1)e.=++ Giải: Ta có: 2x2xx F(x)(tgxtgx1)e(tgx1)eetgxdx.=++=++ òòò (1) Xét tích phân x Jetgxdx.= Đặt: 2 2 x x dx utgx du(1tgx)dx cosx dvedx ve ì = ==+ ì ï Û íí = ỵ ï = ỵ Khi đó: x2x Jetgx(tgx1)e.=-+ ò Thay (2) vào (1) ta được x F(x)etgxC.=+ (2) 5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 2x dx I 1e = + ò Giải: Ta có: xx 2xx2x2x2x dxdxedxd(e) 1eee1e1e1 -- --- ===- ++++ (1) Khi đó: x x2x x d(e) Iln(ee1)C e1 - -- - ==-+++ + ò Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, bằng cách: Đặt t = e x . Suy ra: x 2x2 dtdt dtedx& 1et1t == ++ Khi đó: 2 2 2 22 1 d dtdt11 t Iln1C tt 11 t1t t11 tt ỉư ç÷ èø ===-=-+++ + ++ òòò x2x ln(ee1)C. -- =-+++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 84 Đương nhiên cũng có thể đặt t = e –x ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghó ra cách đặt ẩn phụ như vậy?” Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: Đặt t = e x Suy ra: xx2xx22 dtedx&ee2e2dxt2t2dt(t1)1dt=-+=-+=-+ Khi đó: 2 I(t1)1dt.=-+ ò – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: Đặt u = t – 1 Suy ra: 22 dudt&(t1)1dtu1du=-+=+ Khi đó: 222 u1 Iu1duu1lnuu1C 22 =+=+++++ ò 22 x 2xxx2xx t11 (t1)1lnt1(t1)1C 22 e11 e2e2lne1ee2C 22 - =-++-+-++ - =-++-+-++ Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số : x xx e f(x) ee - = + Giải: Chọn hàm số phụ: x xx e g(x) ee - - = + Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: xx xx ee f(x)g(x) ee - - - -= + xxxx xx 1 xxxx eed(ee) F(x)G(x)dxlneeC eeee -- - -- -+ Þ-===++ ++ òò xx 2 xx ee f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC. ee - - + +==Þ+==+ + ò Ta được: xx xx 1 2 F(x)G(x)lneeC 1 F(x)(lneex)C. 2 F(x)G(x)xC - - ì +=++ ï Þ=+++ í -=+ ï ỵ BÀI TẬP Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ xx 2.e; b/ x 1 ; 1e+ c/ x 1x ; x(1x.e) + + d/ lnx ; x e/ xx e.sin(e); f/ 2x 2x e ; e2+ g/ 1 ; xlnx h/ 2 x x.e. Trần Só Tùng Tích phân Trang 85 ĐS: a/ xx 2.e C; 1ln2 + + b/ x x e lnC; 1e + + c/ x x xe lnC; 1xe + + d/ 2 lnx.lnxC; 3 + e/ x cos(e)C;-+ f/ 2x 1 lne1C; 2 ++ g/ lnlnxC;+ h/ 2 x 1 eC. 2 + Bài 36. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x x e1 ; e - b/ 3x23x (1e).e;+ c/ 2x 4x e ; e1+ d/ x 1 ; 1e+ e/ 2x 4x e e1+ f/ x 1 .e; x g/ cosx sinx ; e h/ xx 1 . e(3e) - + ĐS: a/ xx eeC; - ++ b/ 3x3 1 (1e)C; 9 ++ c/ x7x3 44 44 (e1)(e1)C; 73 +-++ d/ x t1 lnC,vớite1; t1 - +=+ + e/ t1 2tlnC,vớit1lnx; t1 - ++=+ + f/ x 2eC;+ g/ x eC; - + h/ x x 3e lnC. 3e1 + + Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 23x xe; b/ 2x e.cos3x; c/ x e.sinx; d/ 3 lnx ; x ỉư ç÷ èø e/ n x.lnx,n1.¹- ĐS: a/ 3x2 1 e(9x6x2)C; 27 -++ b/ 2x 1 e(2cos3x3sin3x)C; 13 ++ c/ x 1 e(sinxcosx)C; 2 -+ d/ 32 2 1333 lnxlnxlnxC; 2242x ỉư -++++ ç÷ èø e/ n1n1 2 xx lnxC; n1 (n1) ++ -+ + + Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: a/ 2x 2 xe ; (x2)+ b/ x (1sinx)e 1cosx + + c/ xx ee2; - ++ d/ 2 11x ln; 1x1x + -- e/ 2 ln(xx1);+- f/ lnx ; x1lnx+ g/ 2 2 xln(xx1) . x1 ++ + ĐS: a/ x x2 .eC; x2 - -+ + b/ x esinx C; 1cosx + + c/ x3x2x e(ee)C;++ d/ 2 11x lnC; 41x + ỉư + ç÷ - èø e/ 22 xln(xx1)x1C;+---+ f/ 2 (1lnx)1lnx21lnxC; 3 ++-++ g/ 22 x1.nxx1xC.+++-+ Tích phân Trần Só Tùng Trang 86 1. Đònh nghóa tích phân: Ta có công thức Niutơn – Laipnit: b b a a f(x)dxF(x)F(b)F(a).==- ò Chú ý: Tích phân b a f(x)dx ò chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết: bbb aaa F(b)F(a)f(x)dxf(t)dtf(u)du .-==== òòò 2. Ý nghóa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân b a f(x)dx ò là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của hàm số yf(x,trụcOx)= và hai đường thẳng x = a và x = b. 3. Các tính chất của tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào đònh nghóa tích phân ta có các tính chất sau: Tính chất 1. Ta có a a f(x)dx0= ò Tính chất 2. Ta có ba ab f(x)dxf(x)dx.=- òò Tính chất 3. Ta có bb aa kf(x)dxkf(x)dx,vớikR.=Ỵ òò Tính chất 4. Ta có bbb aaa [f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.±=± òòò Tính chất 5. Ta có cbc aaa f(x)dxf(x)dxf(x)dx.=+ òòò Tính chất 6. Nếu b a f(x)0,x[a;b]thìf(x)dx0³"Ỵ³ ò Tính chất 7. Nếu bb aa f(x)g(x),x[a;b]thìf(x)dxg(x)dx.³"Ỵ³ òò §Bài 2: TÍCH PHÂN Trần Só Tùng Tích phân Trang 87 Tính chất 8. Nếu b a mf(x)M,x[a;b]thìm(ba)f(x)dxM(ba).££"Ỵ-££- ò Tính chất 9. Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = t a f(x)dx ò là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: a/ 2 2 3 1 x2x Idx; x - = ò b/ x 4 4 0 J(3xe)dx.=- ò Giải: a/ Ta có: 2 2 2 1 1 122 Idxln|x|(ln21)(ln12)ln21. xxx ỉưỉư =-=+=+-+=- ç÷ç÷ èøèø ò b/ Ta có: 4 x 2 4 0 3 Jx4e(244e)(04)284e. 2 ỉư =-=---=- ç÷ èø Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng đònh nghóa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trò tuyệt đối. Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 x 1 Je1dx. - =- ò Giải: Xét dấu của hàm số y = e x – 1 Ta có: y = 0 x e10x0Û-=Û= Nhận xét rằng: x x0e1y0>Þ>Þ> x x0e1y0<Þ<Þ< Ta có bảng xét dấu: x –¥ –1 0 1 +¥ y’ – 0 + Do đó: 01 1 0 xxx 10 10 1 J(1e)dx(e1)dx(xe)(ex)e2. 2 - - =-+-=-+-=+- òò Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, 8 ta sẽ đi chứng minh được các bất đẳng thức tích phân. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 3/4 2 /4 dx . 42 32sinx p p pp ££ - ò Giải: Tích phân Trần Só Tùng Trang 88 Trên đoạn 3 ; 44 pp éù êú ëû ta có: 22 2 2111 sinx1sinx1132sinx21. 22232sinx ££Þ££Û£-£Û£-£ - Do đó: 3/43/43/4 2 /4/4/4 1dx dxdx. 2 32sinx ppp ppp ££ - òòò (1) trong đó: 3/4 3/4 3/43/4 /4 /4/4 /4 11 dxx&dxx2. 224 p p pp p pp p p ==== òò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 3/4 2 /4 dx 42 32sinx p p pp ££ - ò (đpcm). Ví dụ 4: Cho hàm số: 2 xakhix0 f(x) x1khix0 +< ì = í +³ ỵ a/ Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x 0 = 0. b/ Với a để hàm số liên tục tại x = 0, hãy xác đònh 1 1 f(x).dx. - ò Giải: a/ Hàm số xác đònh với mọi xR.Ỵ Ta có: 2 x0x0x0x0 limf(x)lim(x1)1vàlimf(x)lim(xa)a. ++-- ®®®® =+==+= f(0)1.= Vậy: · Nếu a = 1 thì x0x0 limf(x)limf(x)f(0)1 +- ®® ===Û hàm số liên tục tại x 0 = 0 · Nếu a1¹ thì x0x0 limf(x)limf(x) +- ®® ¹Û hàm số gián đoạn tại x 0 = 0 b/ Ta có: 10001 2 11110 11 f(x)dxf(x)dxf(x)dx(x1)dx(x1)dx. 6 ---- =+=+++= òòòòò Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân, duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo hàm của hàm số xác đònh bởi tích phân”. Ta có các dạng sau: Dạng 1: Với x a F(x)f(t)dtF'(x)f(x).=Þ= ò Với ax xa F(x)f(t)dtthìviếtlạiF(x)f(t)dtF'(x)f(x).==-Þ=- òò Trần Só Tùng Tích phân Trang 89 Dạng 2: Với u(x) a F(x)f(t)dtF(x)u'(x)f[u(x)]. ¢ =Þ= ò Dạng 3: Với u(x) v(x) F(x)f(t)dt= ò thì viết lại: u(x)v(x) aa F(x)f(t)dtf(t)dtF'(x)u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)]=-Þ=- òò minh hoạ bằng ví dụ sau: Ví dụ 5: Tính đạo hàm của các hàm số: a/ x t2 a F(x)(ecost)dt;=+ ò b/ 2 a 2 x G(x)(t21)dt;=++ ò c/ 2 x 3 2x H(x)(tsint)dt.=+ ò Giải: a/ Ta có: x t2x2 a F(x)[(ecost)dt]'ecosx.=+=+ ò b/ Ta có: 2 2 ax 222222 a x G(x)[(tt1)dt]'[(tt1)dt]'(u)'.(uu1)=++=-++=++ òò trong đó: u = x 2 , do đó: 24444 G'(x)(x)'.(xx1)2x(xx1).=++=++ c/ Ta có: 22 xx2x 333 2xaa H'(x)[(tsint)dt]'[(tsint)dt(tsint)dt]'=+=+-+ òòò 33 (u)'.(usinu)(v)'.(vsinv),=+++ trong đó: 2 uxvàv2x,== do đó: 262623 H'(x)(x)'.(xsin)(2x)'.(8xsin2x)2x(xsinx) 2(8xsin2x)=+++=+++ TỔNG KẾT CHUNG: Để tính tích phân xác đònh ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác đònh nguyên hàm, cụ thể có: 1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 5. Sử dụng các phép biến đổi. còn có thêm một vài phương pháp khác ví dụ như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt. Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác đònh được giá trò của tích phân. Tích phân Trần Só Tùng Trang 90 Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân: 1 5 2 0 x Idx. x1 = + ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 5533322 xxxxxxx(x1)x(x1)x.=+--+=+-++ Ta được: 1 1 3422 2 0 0 x11111 Ixxdxxxln(x1)]ln2. 42224 x1 ỉưéù =-+=-++=- ç÷ êú ëû+èø ò Ví dụ 2: (Đề 91) Cho sinx f(x) cosxsinx = + a/ Tìm hai số A, B sao cho cosxsinx f(x)AB cosxsinx - ỉư =+ ç÷ + èø b/ Tính /2 0 f(x)dx. p ò Giải: a/ Ta có: sinxcosxsinx(AB)cosx(AB)sinx AB cosxsinxcosxsinxcosxsinx -++- ỉư =+= ç÷ +++ èø Đồng nhất đẳng thức, ta được: AB0 1 AB. AB1 2 += ì Û==- í -= ỵ b/ Với kết quả ở câu a/ ta được: /2 /2/2 0 00 1cosxsinx1 f(x)dxdxxln(cosxsinx). 22(cosxsinx24 p pp -p éùéù =--=--+=- êúêú + ëû ëû òò BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân: a/ 4 0 dx ; x ò b/ 1 0 x1xdx;- ò c/ 1 2 0 x2x3 dx; 2x -- - ò d/ 2 1 dx x1x1++- ò ĐS: a/ 4 b/ 4 5 c/ 1 ln2 2 - d/ 1 (33221) 3 -- Bài 2. Tính các tích phân: a/ 3 2 0 4sinx ; 1cosx p + ò b/ 8 22 0 tg2x(1tg2x)dx; p + ò c/ x x2 0 e dx; (e1)+ ò d/ 3 e 1 dx x1lnx+ ò ĐS: a/ 2 b/ 1 6 c/ 1 6 d/ 2 Bài 3. Tìm các giá trò của a để có đẳng thức: 2 23 1 [a(44a)x4x]dx12.+-+= ò [...]...Trần Só Tùng Tích phân ĐS: a = 3 Bài 4 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx a/ Tìm các số A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) b/ Tính p 4 0 ò g(x) dx f(x) 2 1 ĐS: a/ A = ; B = - ; 5 5 p 1 7 - ln 10 5 4 2 b/ Bài 5 Tìm các hằng số A, B để hàm số f(x) = Asinpx + B thoả mãn đồng thời các điều kiện: f '(1) = 2 và 2 ò0 f(x)dx = 4 2 ĐS: A = - ; B = 2 p Trang . Trang 81 Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác đònh nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ. Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu