ham so sieu hay

Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số 1. Mẫu: Có 4 hàm cơ bản : B3; B4 ; 1 2 1 1 ; B B B B ( B 4 là hàm trùng phơng) *. TXĐ : D=R- { } *.Sự biến thiên: -Chiều biến thiên. + Tính y= + Giải y =0, x=? +Xét dấu y +y<0 ; hsnb : x + y>0 ; hsđb : x -Cực trị: +CĐ tại x= +CT tại x= -Giới hạn: + lim x y = tiệm cận ngang: y= + lim ; x a y = tiêm cận đứng: x= + ( ) ( ) lim 0 ; x y ax b + = tiệm cận xiên : y=ax+b. - Tính lồi lõm ; điểm uốn. +y= + y=0 , x= +Bảng xét dấu y: -Bảng biến thiên: *Đồ thi: -Giao điểm với trục tung x=0; y= -Giao điểm với trục hoành y=0 ; x= -Đồ thị qua A(?) ; B(?) -Vẽ đồ thị : _Nhận xét tâm ; trục đối xứng. 2. Biến đổi đồ thị: Cho ( C ) : y = f(x) ; suy ra đồ thị các hàm số: a. (C 1 ): y = - f(x); (C 1 ) đối xứng với (C) qua Ox. b. ( C 2 ): y = f( -x); ( C 2 ) đối xứng với (C) qua Oy c. (C 3 ): y = f(x) +a ; ( C 3 ) tịnh tiến (C) theo trục Oy đến đơn vị chiều âm d. ( C 4 ): y =f( x+a); (C 4 ) tịnh tiến (C) theo trục Ox đến đơn vị chiều âm + + _ + e. (C 5 ): y = f(x) giữ nguyên phần của (C) với x 0 và phần đối xứng với phần này qua Oy g. (C 6 ) : y = | f(x) | giữ nguyên phần f(x) 0 của (C) và lấy đối xứng phần f(x) < 0 của (C) qua Ox h. (C 7 ): Đối xứng với (C) qua x =a; (C 7 ) có pt: y = - f(x) +2a i. (C 8 ): Đối xứng với (C) qua y = b; (C 8 ) có pt: y = f(2b-x) k. (C 9 ) có pt: | y| = f(x) :bỏ phần đồ thị phía dới 0x, giữ nguyên phần f(x) > 0 của ( C) và phần lấy đối xứng phần trên qua Ox. 2. Ví dụ: 2.1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số : 2 5 3 2 2 4 += x x y * TXĐ : R * Chiều biến thiên: + y = 2x 3 - 6x y = 0 = = 3 0 x x Dấu của y : x 3 0 3 + y - 0 + 0 - 0 + Hàm số đồng biến trong );3()0;3( + Nghịch biến trong )3;0()3;( Hàm số đạt cực tiểu tại 3=x và y ct = y( 2)3 = Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y cđ = y(0) = 5/2 + y = 6x 2 6 y = 0 1= x Dấu của y: x -1 1 + y + 0 - 0 + (du) (du) lõm (-1;0) lồi (1;0) lõm + Nhánh vô cực : +=+= + limlim ; xx * Bảng biến thiên: x 3 0 3 + y - 0 + 0 - 0 + + y cđ=5/2 + y y ct = -2 y ct = -2 * Vẽ đồ thị : + giao của đồ thị với Oy: x = 0 2 5 = y + giao của đồ thị với Ox : y = 0 5&1 == xx Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Vi dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y = 2 3 4 1 x x x + + + suy ra đồ thị các hàm số : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 , , , , 1 1 1 1 1 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 , , , , 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x y y y y y x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y x x x x x + + + + + + + + + = = = = = + + + + + + + + + + + + + + = = = = = + + + + giải: Ta có : y = 2 3 4 1 x x x + + + = x+2+ 1 2 +x * TXĐ : R \ { } 1 * Chiều biến thiên: 210'; )1( 2 1' 2 == + = xy x y Dấu của y x -1- 2 -1 -1+ 2 + y + 0 - - 0 + Hàm số đồng biến ( ,-1- 2 ) và ( -1+ 2 , + ) Hàm số nghịch biến trong(-1- 2 , -1) và (-1 , -1+ 2 ) Hàm số đạt cực đại tại x = -1- 2 ; y cđ = y(-1- 2 ) = 1-2 2 Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1+ 2 ; y ct = y( -1+ 2 ) = 1+2 2 * Nhánh vô cực : == yy x x limlim 1 +== + + yy x x limlim 1 | * Tiệm cận: Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 vì = y x lim 1 Đồ thị có tiệm cận xiên y = x+2 vì 0 1 2 ))2(( limlim = + =+ x xy xx * Bảng biến thiên: x -1- 2 -1 -1+ 2 + y + 0 - - 0 + y cđ = 1-2 2 + + y y ct = 1+2 2 * Đồ thị: các bài toán liên quan đến đồ thị 1. Sự tơng giao của 2 đồ thị:y=f(x) và y=g(x). *Chúng cắt nhau tại k điểm nếu phơng trình hoành độ giao điểm: f(x)=g(x). có k nghiệm phân biệt. *Tiếp xúc nhau nếu hệ : ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x = = có nghiệm . vd1:Tìm m để các đồ thị sau tiếp xúc nhau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 : 1 1 1 : 2 x x y va y x m x y x x va y x m + = = + = + = + Vd2)Cho y=x 3 +3x 2 +mx+1 a)CMR đồ thị luôn cắt y=x 3 +2x 2 +7 tại 2 điểm phân biệt với mọi m. b)Tìm m để đồ thị cắt y=1 tại 3 điểm C(0;1) và D ,E mà tiếp tuyến tại D, E vuông góc. Ví dụ3 : Tìm m để ĐT : y =x 4 2(m+1)x 2 + 2m+1 (1) cắt Ox tại 4 điểm cách đều nhau ( Hoành độ là cấp số cộng ) Giải: t = x 2 0 t (1) trở thành: y = t 2 2( m+1) t + 2m+1 (2) Nhận xét : Với 1 giá trị của t: t > 0 cho ta 2 giá trị x = t Với t = 0 cho ta giá trị x = 0. Vậy ycbt (2) có 2 nghiệm phân biệt dơng << 2112 2121 ;,; 0:, tttt tttt là cấp số cộng vì 1212211112 93)()( tttttttttt ==== = = === === >+= >+= = = >+= >+=+ 9 4 4 9 4 ;1; 9 1 4;9;1 0129 0)12(10 9 9 012. 0)1(2 21 21 2 1 1 12 12 21 21 m m mtt mtt mt mt tt tt mtt mtt Kết luận : m =4 & m = -4/9 Ví dụ 4: Tìm m để ĐT : y = x 3 3x 2 9x + m cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau ( hoành độ lập thành cấp số cộng) + ĐK cần: ĐT Ox tại 3 điểm ( x 1 ,y 1 ); ( x 2 ,y 2 ); ( x 3 , y 3 ) cách đều nhau: x 1 < x 2 < x 3 và x 2 = x 1 +d; x 3 = x 2 +d; y 1 +y 3 = 2y 2 3221 yyyy = [ ] [ ] 1033 03)(( 33 9)(39)(3 9)(3)( 9)(3)( 32 23131 332 2 3121 2 1 3232 2 3 2 22121 2 2 2 1 3232 2 3 2 232 2121 2 2 2 121 == =++ +=+ +++=+++ +++= +++ xx xxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx x 3 = 1 suy ra điểm uốn thuộc Ox 119310 =+= mm + ĐK đủ : m = 11 1193 23 += xxxy y=0 += = = 121 1 )/(121 3 2 1 x x mtx Kết luận : m =11 * Bài tập: 1) Tìm m để đt : y = x 4 + 2x 2 + m cắt Ox theo 4 điểm cách đều nhau 2) Tìm a,b để đt : y = x 3 3x 2 - 9x + 1 cắt đt : y = ax + b tại 3 điểm cách đều nhau ( HD: Đa về đt: y = x 3 3x 2 (9+a) x b +1 cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau. Vd4)Cho : 2 2 2 1 x x y x + = a)Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B đối xứng qua y=x+3 b) Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B thuộc 2 nhánh . c)Tìm k để trên đồ thị có 2 điểm P , Q mà: P P Q Q x y k x y k + = + = CMR khi đó P , Q thuộc cùng 1 nhánh. Vd5)y=x 3 -3x 2 -9x+1 tìm điều kiện của a, b để y=ax+b cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C Mà B là trung điểm. Vd6: Tìm m để y=x 3 -3(m-1)x 2 +(2m 2 -3m+2)x-m(m-1) a) Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt. b)Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng. c)Tiếp xúc Ox. Vd7) Tìm m để y=2x 3 -3(m+3)x 2 +18mx-8 a)Tiếp xúc Ox. b)Trên đồ thị có cặp điểm đối xứng qua O. c) Cmr trên đồ thị có 2 điểm mà y=x 2 không thể đi qua mọi m. vd8) y=x 3 -(m-1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x+2m(2m-1) tiếp xúc y=-49x+98 vd9)Tìm m để y=1 tiếp xúc với : ( ) ( ) 2 1 2 4m x x m y mx m + + = + vd10)Tìm m để y=m(x 2 -1) cắt y=-2x 3 +x+1 tại 3 điểm. Vd11) Tìm m để y= 2 x x m x m + + + cắt y=x-1 tại 2 điểm phân biệt A; B . Tìm hệ thức liên hệ của : y A và y B không phụ thuộc m. Vd112)Cho 1 2 1 y x x = + + Tìm trên đồ thị các điểm cách đều 2 trục tọa độ.Tìm m để trên đồ thị có 2 điểm M(x 1 ;y 1 ) và N(x 2 ;y 2 ) mà x 1 +y 1 =x 2 +y 2 =m, cmr khi đố M,N thuộc cùng 1 nhánh. Vd 13)Tìm m để 2 1 mx x m y x + + = cắt 0x tại 2 điểm A, B a) mà AB=4 b) có hoành độ dơng. Vd 14)Tìm m để y=mx+2-2m cắt đồ thị 2 2 4 2 x x y x + = tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh. *Bài tập: 1. Tìm a để (C): f(x) = 1 1 2 + x xx (C): g(x) = x 2 + a tiếp xúc nhau 2. Tìm b, c để (C): f(x) = x 2 + bx + c tiếp xúc nhau (1,1) (C): g(x) = x 3. Chứng minh rằng: (C): f(x) = x 2 2x +3 (C): g(x) = ( x 2 - 2x + 3) Sinax Tiếp xúc nhau 4. Tìm đờng thẳng cố định và tiếp xúc: (Cm): f(x) = x 2 +(2m+1)x + m 2 -1 , Rm Giải: Đờng thẳng y = ax + b tiếp xúc (Cm) , Rm (*) <-> Hệ x 2 + (2m +1)x + m 2 1 = ax + b có nghiệm 2x + (2m+1) = a m <-> x 2 + ( 2m +1 )x + m 2 -1 = (2x+ ( 2m+1))x + b Có nghiệm m <-> x 2 + (b m 2 +1) = 0 có nghiệm m <-> b m 2 + 1 0 , m <-> b m 2 -1 , m <-> b -1 Khi đó:a = (2m + 1) 2 )1( 2 bmm , m vì x= )1( 2 bmm <-> ( ) [ ] ( ) [ ] 1412 2 2 +=+ bmma , m <-> 4(1-a)m + ( ) ( ) [ ] 0112 2 =+++ baa , m <-> 1 a = 0 <-> a = 1 (a - 1) 2 + (b + 1) = 0 b = -1 5)Cmr các đồ thị của họ sau tiép xúc nhau: a) y=x 3 +mx 2 -(2m+1)x+m-1 b) y=mx 3 +2(3m+1)x 2 +(12m-1)x+8m+5 6)Cmr y=x 3 -2x 2 +mx+(1-m 2 )/4 tiếp xúc đờng cong cố định. 7)Cmr y=x 3 +4x 2 +mx+m 2 /2 tiếp xúc h/s cố định.(Đạo hàm F(m)=0,m=g(x) thay) . 2. Biện luận số nghiệm của phơng trình: * Cách làm: Biện luận số nghiệm của pt: f(x) = g(m) Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phơng trình: mx x =+ 2 5 3 2 2 4 4 2 5 3 2 2 x x m + = Căn cứ vào đồ thị ta có : + m > 5 2 phơng trình có 2 nghiệm đơn + m = 2 5 phơng trình có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép + -2< m < 2 5 phơng trình có 4 nghiệm đơn + m=-2 phơng trình có 2 nghiệm kép + m< - 2 phơng trình vô nghiệm 2) Biện luận số nghiệm của phơng trình : )1( 1 43 1 43 22 + ++ = + ++ k k kk x xx đặt m = 1 43 2 + ++ k kk phơng trình trở thành : m x xx = + ++ 1 43 2 xem (C) : y = 1 43 2 + ++ x xx + < +> 221 221 m m phơng trình có 2 nghiệm đơn + = += 221 221 m m phơng trình có 1 nghiệm kép + 1-2 2212 +<< m phơng trình vô nghiệm Nhng m = 1 43 2 + ++ k kk nên ta lại sử dụng đồ thị để tìm k theo m + < +> 221 221 m m +++ )1;21()21;( );21()21;1( k k 21221 21221 ==+ +=+=+ km km +<< 2121 m không có giá trị nào của k Kết luận : Với { } 21;21;1\ + Rk phơng trình có nghiệm đơn Với 21=k phơng trình có 1 nghiệm kép. * Bài tập: 1) Biện luận số nghiệm của pt: x 3 + 3x 2 +4 = 2k 2 -1 2) Biện luận số nghiệm của pt: 1 1 1 2 += + m x xx HD: vẽ đồ thị : 1 1 : 1 1 2 2 + = + = x xx yDT x xx y 3) Biện luận số nghiệm pt: e 2t + ( 3-m).e t + 2 ( 3-m) =0 theo m HD: vẽ (C) : 2 63 2 + ++ = x xx y đặt x = e t > 0 4) Biện luận số nghiệm : k x xx = + ++ )1(3 43 2 theo k 5)Khảo sát y= 2 4 3 4 x x .Tìm m để pt: 6 6 sin cos sin 2x x m x+ = có nghiệm. 6) Từ đồ thị y=2x 3 -9x 2 +12x-4 biện luận số nghiệm pt: a)2x 3 -9x 2 +12x+m=0 b)2x 3 -9x 2 +n=0 c)2x 3 -9x 2 +(12-k)x=0 7) Dùng đồ thị 1 1 x y x + = biện luận số nghiệm : 2x 2 -(m+1)x+m+1=0 và viết pttt song song 2x+y-1=0. 8) Dùng đồ thị 2 2 5 4 1 x x y x + = biện luận số nghiệm: 2x 4 (5+m)x 2 +4+m=0 ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 2 5 4 0 : 2sin 5 6 0 ; 0;2x m x m va x m cosx m x + + + = + + + = 9)Dùng đồ thị 2 2 1 x x y x + = biện luận số nghiệm: ( ) ( ) [ ] 2 cos 1 2 0 ; 0;x m cosx m x + + + = 10)Dùng đồ thị 2 1 x y x = biện luận số nghiệm: x 4 -mx 3 +(m+2)x 2 -mx+1=0. biện luận số nghiệm: 1 1 1 ( ) 1 2 sinx cosx tanx cotx m sinx cosx + + + + + = 11)Từ y=x 3 -3x biện luận số nghiệm: x 3 -(m+3)x+m-2=0. 12)Từ : 3 2 1 x y x + = biện luận số nghiệm ; 2x 2 -2(k+1)x+k+3=0. 13) Từ : ( ) ( ) 2 0 1 : ; : 2 2 1 3 2 0 1 x x y n x cos x m cosx m x + + = + + = + 3. Biện luận theo tham số để phơng trình có n nghiệm ( n cho trớc ) * Cách làm : Dung BBT hoặc ĐT để suy ra kết quả. Ví dụ 3: Tìm a để x 3 3x 2 a = 0 có 3 nghiệm phân biệt mà có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1. Pt 23 3xxa = Vẽ đồ thị (C): y =x 3 3x 2 + Đờng thẳng x =1 cắt (C) tại (1; -2) Suy ra -4 < m < -2: Phơng trình có 3 nghiệm phân biệt và đúng 2 nghiệm lớn hơn 1 Ví dụ 4: Tìm m để : mxx 4 24 log12 = có 6 nghiệm phân biệt HD: Tự vẽ :(C) y = x 4 2x 2 -1 suy ra (C): y = 12 24 xx căn cứ vào (C) ta có : Phơng trình có 6 nghiệm phân biệt 1642log1 4 <<<< mm Vd: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 1 3 2 2 ; 1 2 1 0 ; 1 2 1 2 m x x x m m x x m m + + = + = ữ + = + * Bài tập : 1) Cho pt: cos4x + 6 sinx cosx = m. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt/ 4 ;0 đặt t = sin2x 2) Tìm m để 2cosx. cos2x. cos3x + m = 7.cosx 2x có hơn 1 nghiệm / 8 ; 8 3 đặt t = cos2x 3) Tìm m để ( cos3x cos 2x + m. cosx -1) = 0 có đúng 7 nghiệm trong 2; 2 ( đặt t = cosx ) 4)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm đa thức: y=y(mx+n)+ax+b thì đờng thẳng qua các điểm cđ-ct là y=ax+b. Ví dụ 1: y=x 3 -3mx 2 +9x+3m-5 ; y=x 3 -6x 2 +3(m+2)x-m-6 ( ) 3 2 2 3 2 3 3 1y x mx m x m m= + + + và y=x 3 -2mx 2 +mx. a)Tìm m để h/s có CĐ-CT viết phơng trình đ/t qua 2 điểm CĐ-CT. b)Tìm m để các h/s đạt CĐ tại x=2. c)tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc (0;2) d) Tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc 2 phía 0y e) Tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc 2 phía 0x g) Tìm m để h/s có CĐ-CT : 2 2 4 cd ct x x+ = h)Tìm mđể có CĐ-CT nằm trên đ/t : y=4x-2 k)Tìm m để có CĐ-CT vuông góc với y=3x-7 m)Tìm m để có CĐ-CT đối xứng qua y=x-2 [...]... các điểm đó song song b)cmr tiếp tuyến tại 1 điểm bất kỳ cắt 2 tiêm cận tại tại A và B thì I là trung điểm 2 13) Cho : y = x 2mx + m cmr nếu đồ thị cắt Ox tại điểm x=x 0 thì hệ số góc tiếp tuyến tại đó là x+m : k= 2 x0 2m x0 + m Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc 1 3 14)Tìm m để tiếp tuyên tại điểm M có hoành độ x=-1 của h/s: y = x3 m 2 1 x + 2 3 Song song với... góc 450 với : y = x x 1 y= x2 2 x + 2 x 1 qua A(2;2) 2 Vd8) Tìm m để y=-1 và y= x + x m cắt nhau tại 2 điểm A , B mà tiếp tuyến tại A và B vuông 2x + m góc Vd8)Khảo sát : y=x3-2x2+x a) Viết pttt song song y=x b) Biện luân số nghiệm và dấu các nghiệm pt: X3-2x2-m=0 Vd9)Viết pttt với y=x4-2x2+1 qua A(0;1) , từ đó biện luân số nghiêm pt: X4-2x2-ax=0 Vd10) Viết pttt với y=x4-4x3+3 vuông góc với y=1/8x+3... hệ pt tiếp xúc để tìm b Ví dụ 1: Viết pt tiếp tuyến của (C): y = x3 3x2+2 a) Tại M(-1;-2) b)Tại điểm có hoành độ x=2 c)Tại điểm uốn, tại giao điểm với trục tung, trục hoành d) Đi qua A(23/9, -2) e)Song song y=9x+3 f)Vuông góc y=1/3x+2 h) Tại giao điểm với trục tung g) Qua A(-1;-2) m)Tìm trên đ/t y=-2 các điểm kẻ đợc 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau n) Tìm trên 0x các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp... với đ/t : 5x-y=0 2 15)Viết pttt với y = x + 3x + 3 x+2 a) vuông góc với đ/t : x-3y-6=0 b)vuông góc với tiệm cận xiên ,cmr tiếp điểm là trung điểm đ/t bị chắn bởi 2 tiệm cận 16) Viết pttt với y=x4+x2-2 song song với 6x+y-1=0 2 17)tìm những điểm có hoành độ x>1 trên y = x mà tiếp tuyến tại đó tạo với 2 tiệm cận một x 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất 7)Khoảng cách: +Khoảng cách giữa 2 điểm : A(x1;y1) và B(x2;y2)... tiếp tuyến tại điểm M bất kì cắt 2 tiệm cận tại A và B.CMR: a) Mlà trung điểm AB b)Diện tích tam giác AIB khômg đổi.Suy ra IA.IB không đổi c)Diện tích hình bình hành tạo bởi 2 tiệm cận và 2 đ/t qua M song song 2 tiệm cận không đổi d)Hai điểm thuộc 2 nhánh có k/c ngắn nhất nằm trên đờng phân giác góc tạo bởi 2 tiệm cận e)Tích k/c từ M đến 2 tiệm cận không đổi 9)Cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của . c)2x 3 -9x 2 +(12-k)x=0 7) Dùng đồ thị 1 1 x y x + = biện luận số nghiệm : 2x 2 -(m+1)x+m+1=0 và viết pttt song song 2x+y-1=0. 8) Dùng đồ thị 2 2 5 4 1 x x y x + = biện luận số nghiệm: 2x 4 (5+m)x 2 +4+m=0 (. hoành độ x=2 c)Tại điểm uốn, tại giao điểm với trục tung, trục hoành. d) Đi qua A(23/9, -2) e)Song song y=9x+3 f)Vuông góc y=1/3x+2 h) Tại giao điểm với trục tung. g) Qua A(-1;-2) m)Tìm trên đ/t. điểm A , B mà tiếp tuyến tại A và B vuông góc. Vd8)Khảo sát : y=x 3 -2x 2 +x . a) Viết pttt song song y=x. b) Biện luân số nghiệm và dấu các nghiệm pt: X 3 -2x 2 -m=0 Vd9)Viết pttt với y=x 4 -2x 2 +1