aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaav
¿ Å Ä Ä Ị Ù ù ÷Ù Ú Ị Ị ú À Ỉ Áº È Ị ÐĨ Ơ Đẵ ỉ ì ỉể ề ỉ éự ề Ị ØỊ Ị ơỊ Ơ Ĩ Đ Ư ịỊ Ị ỉệứề ể ẹ ệ ũề Đắ ẵắ ỉể ề ݺ à Ị ÷Đ Úó ØƯ Ị º Ị Ðù ể é ễì Đ ễ Đ ề ẵ ú ề ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Úó Ị º Ú § º Ë ựề ựề ễ ỉ ề Đắ Đ ề Đ º § º º ÙÝ Ị Ơ Ị ØỊ Ð Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ị Đ Ø ÷Đ Ú Ĩ ễ ửẹ ữề ắ ệ ừề ệ ề Ø Ị ØĨ Ị Ị ¿¼ Ị ØỊ Ä ƠÐ Ø ØĨ Ị Ị ÐĨ Đ Ư óÙ ÷Đ Ơ Á ØùỊ ÌùỊ ưĐ Ú Ơ Ð ịỊ Ø À Ỉ ÁÁº È À Đ Đ Ø Ð Ơ ØƯĨỊ ỉ ễ ỉ ỉ ụề ì ể ẻự Đẵ ỉ ẹ ữẹ ì ũề ể é ỉ ØƯĨỊ Ðù Úó × Ị Ø Ơ óÙ Ø Ù Đ øỊ Ð ịỊ Ø Ĩ Ùº Ị ¼ Ø ẩể ììểề ẵ Đ ểệ Đ ỉể ề ệ Ð Ø ØƯĨỊ Ị ÷Đ øỊ ØƯ Ịº È Ị Ơ Ơ Ư º Ë Ø Ị Ø ØĨ Ị Ư Ð Ø ØƯĨỊ Đ óỊ Ị ½ Ø Ơ ề ặ ẩ Đẵ ỉể ề Đắ ề ễ ề Đ ỉ ề ỉệíúề ì ề ịỊ Ù º § º ÌùỊ § º Ë Ơ Ø Ù ÷Ị Ị Ù º Ë Ø Ị Ø ØĨ Ị Ị Ị ÙÝ Ị Ø Ú Ø Ị Đẵ ề Đắ Đ è ỉ ề ữẹ ỉể Ị Ĩ Ị Ơ Ơ Ị Ị ½ Ý Ú ØĨ Ị ØỊ ØĨ Ị Ð ịỊ Ø Ù ÷Đ ữẹ í ỉệíúề ì ề ề ẵẳ ễ ữẹ ể ẵẳẵ ẵẳ ú ẵẳ ề ữẹ ỉể ề Ị Ơº È Ị Ơ Ơ ½½½ Ị ÁÁÁ ½½ ặ ẻ ẩ Đ í ề ệ ỉ ễ ề éự ữẹ ỉệứề ặ ểệ í ể ề Đ § Ị ØỊ ØỨÝóỊ × Ị Ø Ư õỊ Ị ề ề ỉệứề ỉệíúề ề ữỉ ề ặ ữẹ ề ữẹ ề ẵắ ỉ ụ èựề ữẹ ụỉ é ễ ặ íũề éự ẵắ ỉể Ị ØƯ ØƯĨỊ ịỊ Ú Đ óỊ ØĨ Ị Ù ề í ẵắ ề ề ẵẳ Đ é ØĨ Ị § º غ È Ù ịỊ Ị Ị Ø Ị Ø Ø Ơ ÈÀ Ä È Ị Ị ề éể ữẹ ỉể ề ỉể ề ậ Đẵ Ø ịỊ Ị ịỊ Ú Ị § Ị Ơ Ơ ề ữẹ í ẵ ỉ ểệ ữẹ ề ỉ ỉệểề ứề ệ ẵ ỉể ề í ẵ ẻ ễ ẵ ắ ề ỉệứề ữ ễ ề ỉệứề ẹ ệ ũề Đắ Đ Đ ề ẵ ỉể ề ặ í ữẹ ìí ệ ề ề ẹ ề ề ữ ỉể ề éự ể é ễì ÷Đ Ø Ơ Ơ Ĩ Ü Ị Ù ½ Ý ú ì ẵ ắ ỉ ề ỉ ẵ é Ị Ị ØƠ Ì Ð ÷Ù Ø Đ Ĩ Å é ỉệ ẵ ắ ẵ ẳẳ ẳẵ ặỵ ể ỉệứề ệ ũề ụỉ ệ ũề ỉệ Ðù Ø ÙÝ Ú ØƯĨỊ Ị Ë Ý Đ Ị èể ềạè ề ễ é ề ề ữề ề í Ý Ú Ị ó ØỊ ØỨÝóỊ Ị Ơ Ị Ị Ơ Ư ØỊ Ị Ơ ØỊ Ĩ Ị ÐĨ Ĩ Ơ Ĩ Đ Ư ịỊ ÝƠ Ư ĨÐ Ü Ị Đ Ị ĨÐ × ÙÝ Ị Ø Ị Ø Ø ề ề ữẹ ề ề ẹ ệ ũề Đ ØỊ Ị Ị Ị Ơ Ð Đ Ư ịỊ º Ì ơƠ Ø Ĩ ØƯĨỊ Ị Đ Ị Ú Ị ÷Ị Ị ÝƠ Ư ĨÐ Ơ Ị Ø Ơ Ú ịỊ Ð Ơ Ị Ø Ðù Ø ÙÝ Ơ Ù Ù Ý Ị Ðù ÃĨÚ Ð Ơ× ØƯĨỊ ịỊ ẻ ỉệứề ể ì ề ỉể ề ề ề ỉệíúề × Ị Ĩ Ú Ý¸ Ú Ĩ Ú Øù ÁÁÁ Ú ØỊ Ú Ị º ÁÁ¸ ØƯĨỊ Ú óÙ Ơ ÌƯ Ĩ ØỊ Ơ Ä ƠÐ óÙ Ị Ị Ơ Ĩ Ị ÷Đ ØỊ Đ ơỊ Ơ Ơ Đ Ø ÷Đ Ị Ị Ịº Ð ØỊ ÷Ị Ị Ị ÌĨ Ị¹Ì Ị Ị ØỊ Ĩ Ð Đ Ú Ĩ Đ óỊ º Ị ØĨ Ị Ú Ø Ðù Ú Ø ỉệứề èể ề ạè ềá ỉ ễ ề é ũề ÕÙ Ị Ị Đ Ĩ Ị Đ Ø Đ Ư ũề ẩ ữỉá ể ễ éé ễỉ é Ø ØƯĨỊ Ĩ Ĩ ØỊ Ĩ × Ù Ðù Ø Ùݺ È Ø Ð ×ÙỊ Ư Ð Ơ Ơ Đ Ø ØùỊ ØỊ Ý Ø Ơ Ị ÐĨ Ị Ĩ Đ Ư ịỊ Ị ØỊ ØỊ Úó Ơ Ð í ẹ ỉ ì ỉể ề ề ặ ề Ù Ĩ Ú Ị ¸ Ị ØỊ Ơ Đ À Ú Ơ Ị Đ ØƯ Ị ØỊ Á ØỊ Ĩ Ơ Ø È Ị ØỊ Ú Ơ Ị Ĩ Đ Ị Đ Ơ ÌƯ Ị Ơ È Ø Ơ ØƯịỊ Ø Ị Í Ị Ú Ð Ị Đ Ị ÷ Áº ØùỊ Ù × Ð Ơ Ơ × Ị Ị Ị Ú ịỊ Ø Ĩ ØỊ ØƯ Ị Ð ÷Ù Ø Ị ¸ Ú Ị ØỊ Ị Ị Ị È ¸ Đ À Ĩ Ị ÷ Ì Ị Ý Ĩ × Ị º ÌÙÝ Ị ịỊ¸ Ú ịỊ ØƯ Ĩ ể ỉệứề ề ẹ èể ềạè ềá ề í ề èể ềá èể ềạè ề ữề ỉ ỳ ỉ Ù Ø Ị Ĩ Ù Ị ĐøỊ º Ú ịỊ Ị Ø Ị¸ Ãú Ø Ù Ø ØƯĨỊ Ơ ù Ị Ø Ơ Ĩ × Ị ú Ø Ù Ø ặ ể ẹ ề ỉứẹ ệ ữề ể Úó Đ Ị Ĩ Đ Ư ịỊ º Ü ề ỉể ề èể ềạè ềá ỉệ ữề ễ Ỉ Ĩ Ị ¸ Ø Ĩ Ị Ø ơỊ Ị Ị ØỊ Ị Ú Đ Ø Ù Øù Ơ Ị ú Ị Ị Đ Ơ Ë Ø Ð ĐØ Ø Ơ ưĐ ØƯ Ị Ị Ị Ị Ø ề ì ẹ ữỉ é ỉ ề ậ ề Ì Ĩ Ị Ị ĐĨỊ Ị Ị Ơ ơỊ Ú ịỊ Đ À Ø ơƠ Ø Đ Ị Ỉ Ị º Ì Ị Á Ị Ù Ị × Ơ ề ẹ ẻ è ì ể ù Rn ù ÷Ù Ú ÷Ù Ð Ị Ị Ð Ü Ø Øù Ú ÀÍỈ ú Ị n Ù Ð Ø Ơ × x = (x1 , , xn ) ưĐ Ị Ị ݸ Ø Ị Ị x = (x1 , , xn ), xj R R ỹặ ặ ợ ỉ ự ÷Ù ¹ ØƯĨỊ Ù Ị óÙ Ú ưĐ n j=1 xj |x| = µ y = (y1 , , yn ) Ú Ò Ò n (x, y) = xj yj j=1 Ú Ĩ Ị Ị n |x − y| = Å Ø Ø Ơ Đ óỊ Ú ưĐ Ị Ĩ Ω Ð Rn ù x∈Ω × º Ωº Ú Ơ Đ Ỉ Ø Đ Ω ÷Ù Ð óÙ Ø y, Ị Đ óỊ D α u = Dxα u = ùỊ Ị ÷Ị Ω r ωn M, ù ÷Ù Ð ÷Ù Br (y) Ø Øù øỊ Ãù Ð |x| Ị Rn Ð Đ óỊ Ð óÙ ∂Ω = Ω\Ω Ị ØƯĨỊ Ω Å óỊ Đ Ị ịỊ Ú Ý Ð ịỊ Ø j=1 (xj − yj )2 M ∂Ω¸ Ð Ị Ị Đ Ị øỊ Ù Ð Đ Ø Ĩ Ị Ị Ù Đ ØƯĨỊ Ị Ú ØƯĨỊ ∂ |α| u , α = (α1 , , αn ), |α| = ∂xα1 ∂xαnn n αj , j=1 Rn ề ẹ j ự ữ é ì Aé ì ỉ ẹ ự ụề ỉ ỉ ữỉ ửẹ Ø Ù n+1 A ⊂ Rx,t Ì Ð Đ ù Ị Đ Ð ịỊ Ø Ð Ơ Ak , k ≥ 1, Ø Ø Ơ A ØĨ Ị Ú n, ∂Ω ∩ U(x0 , ρ) ¸ Ø ø Ú Ò x Ó f (x) ∈ C (A) Ò Ơ n+1 Ù Ð Ị óÙ¸ (x, t) = (x1 , , xn , t) k¸ Ơ Ĩ A Đ Ø Ú ơỊ Ú Ø Ơ Ị ,1 Ị ÙÝịỊ Ĩ Ư Ẳ × f (x, t) ∈ C k,m (A)¸ k ≥ 1, m ≥ 1, Ị f (x, t) Đ Ð ịỊ Ø ưĐ ØƯĨỊ Ĩ f (x) ∈ C m (A), ∀m ≥ ữ é ề Aá k ặụ f (x) ØĨ Ị Ơ Ð ù Ü ưĐ ØƯĨỊ Ø Ơ n+1 Rx,t f (x) Đ Ø Ø Đ ÷Ù Ø C k (A) Ị f (x) Ð Ơ Ư Ð Ơ Ị Ĩ Ø ưĐ ơỊ¸ Ø Đ Ø k Ơ Ø Ù ØƯ ưỊ Ð ịỊ Ø C ∞ (A) ÷Ù Rn Å Ờ Ù Ð Ð ịỊ Ø Ø Đº Đ ØØ Ơ ĐỊ Ý Ø Ð ịỊ Ø Ị x∈A ưĐ Đ Ư ịỊ Ĩ Ị ÙÝịỊ Å óỊ ưĐ Đ Ø Ð Ị Ø Ĩ t ơỊ Đ Ị Ý ø m Ø Ø Ω ⊂ Rn Ø Ơ ØƯ ưỊ Ð x0 ∈ ∂Ω Ø Ị Ø Ø Ù Đ Ø × U(x0 , ρ), ρ = const > Ò Ø × Ĩ Ị Đ ØƯịỊ × ịÙ Đ Ø x = f (x1 , , x −1 , x +1 , , xn ), f ∈ C k (G ), Ø ịĐ Ú Ĩ Đ f Ω Ã Å óỊ G Ω ÙỊ Ð Đ óỊ ØƯ Ịº Ì Ð Đ óỊ Ð Đ óỊ Ú ØƯ Ị Ø Ị Ú Ĩ Ị Ị ú ùÒ B k , k ≥ 1, Ωm Ωm ∈ Ak , Ωm ⊂ Ω, Ωm ⊂ Ωm+1 , × Ĩ Ĩ Ω\Ωm dx → 0, Ø Ü Ơ Üû Ị ÷Đ Ị ݺ Ì Ị Ø Ị Ø ∂Ωm \∂Ω × ịỊ ØƯ Ịº Ü Ω Ð Ơ ịỊ Ị Ị Ư Ị ¸ Đ óỊ Ø Ù ơỊ Ø Ú ds → Đ Ø Ý ề ẹ úề ề ẹ ẵẳ m , é Ơ ds Ð Ak , k ≥ 1¸ Ị Ø ễ ề ềỉ ề ììạầìỉệể ệ n j=1 ỉ Ò Ú Ò Ó Ò ÝØ Ú Ò Ò Ò Ø Ω Ò Ø Ø ui = Ãù i=j Ú ÷Ù Ị ∆ Ð Ú Ú Ú uj νj ds, Ơ Ị Ø Ơ v Ω Ø Đ Ø ẹ ữề ỉự ềỉ ề ễ è ề ặụ Ð Ị Ơ Ơ Ø u(x) ∈ C (Ω) u dx + xj ề ỉ uvj ds ììạầìỉệể Ư × Ý uj = uv Ị Ý Ø Ơ Ø ∂Ω j=1 ¸ Ø Ð n ∂2u ∂x2i i=1 Ù Ý B k , k ≥ 1, Ð Ô Ω ∈ B k , ν = (ν1 , , νn ) ØĨ Ị Ø Ä ƠÐ Ĩ ØỊ Đ óỊ n ∆u = ÌƯĨỊ Ú Ø ø ∂v dx = − ∂xj Ò Ý Ò Đ óỊ Ĩ Øù v(x) ∈ C (Ω), Ω ∈ B k , u Ú ∂uj dx = ∂xj ∂Ω, ds Ð Ø Đ Ø × Ý uj ∈ C (Ω), Ω ∈ Ak Ú ∂Ωm ÷Ị Øù ù ÷Ù Ị ịỊ Ị ØỊ ØĨ Ị ịỊ Ú Ĩ Đ Ư ịỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ù Ị × Ù ∆u = − È ∂2u = ∆u − È ∂t2 ∂u = ∆u − È ∂t Ị ØỊ Ä ƠÐ ; Ị ØỊ ØỨÝóỊ × Ị Ị ØỊ ØỨÝóỊ Ị ÷غ ØĨ Ị Ơ Ị Đ ù ÷Ù Å Ø Ø Ị ơỊ Ú Å Ø Ơ Ú ØỊ Ị Ị Ơ ÷ Đ Ị Ð Ơ Ị Đ ÷ Ú Ø Ø ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Ĩ Ý Ú Ĩ ơỊ × Ơ Đ Ị ØỊ u1 , , uN , Ị ØỊ ỉệứề ề ề ềá ễ ề é ễ ặ ể ỉệứề ữẹ é ẹ ệ ũề ỉíụề ỉựề Ị Ị ÷ Ơ Ð Ị Ð ØÙÝơỊ Ịº Đ Ø Ị Ị Đ × Ĩ Ị Ị Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Đ ơỊ Ø Ð Ơ Ị Ị º È Ø Ị Ý Ơ ¸ Ị Ị Đ Đ Ư ịỊ Đ ÷º Ø ØÙÝơỊ ØùỊ Ĩ Ị Ĩ m ØƯĨỊ Ĩ Đ ØỊ Ø Đ Ø Ĩ Ð Ð ể ặ ữẹ ề ể ẹ ệ ũề ẹ ỉ Ø Ị Ơ ùØ Ị Ơ Ơ Ơ ØùỊ Ĩ Ð ịỊ Đ Ư ịỊ Ĩ ØỊ Ø Ĩ Ị Ị Ø ØỊ Đ Ư ịỊ ØỊ Ø ØƯĨỊ Ú Ị º Ơ Đº È Õ٠ظ Ơ Ĩ Ĩ Đ Ư ịỊ m ½½ ú Ị Ø Ø Ø Ị Ĩ Ø º Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ Ỉ ÛØĨỊ Ĩ Ị ØƯ Ø Ị Ý × Ị ỉ ẹỉ ẹ ể ề ửẹ ữề ề ắ ẩ ẵ ú ề ỉ ề é Ò Ò Ò i=1 Ò ØÖøÒ f (x) ≡ È Ị Ị ØỊ º Ä Ư Ị Ø ØƯĨỊ Ị Ơ ØỊ Ị Ý ¸ Ị Ị Ð Ị Ị ØĨ Ị ØøĐ Ơ Ị ÷Ø Ị ØĨ Ị × ÙÝ Ị ¿º È Ĩ ØƯịỊ ĺ Ø Ị ệ ữẹ ỉệũềá ềụ ề ể ỉ ỉ ẹ ề ữỉ ỉ ềá ỉ ứ ẹ ề ễ Ị u(x) Đ ØỊ (1.9) ˺ ÈĨ ××ĨỊ Ị ØỊ Ù Ø ịỊ Ị Ị ịỊ Ⱥ Ä ƠÐ Ị ề ũề é ỉá ẵ ỉ (1.8 ) í ỉệểề ỉệứề ề ẵ àá ệ ể ề ỉệứề ẩể ììểề èệểề ỉệ ề é ễ ề ỉệứề Ä ƠÐ ´½º Ø ØỊ ØỊ Ị Ù Ø ịỊ Ơ Ð Ị øº Ì ∂2u = f (x) ∂x2i ẵ é ề ề ẹ ẵ ẵ ễ Ø Ị = ψ Úù Ú Ü ưĐ Ị ịỊ ỉ ữỉ ẩ ễ ì[0,T ] ễ ũề ữề ẵ ẹ ỉ ỉ ề ỉệứề ƠÐ º ÌƯĨỊ Ị Ĩ Ơ Ø u(x, t) ÷Đ ∂u ∂ν Ø Ơ ØÙÝơỊ ịỊ Ú ØĨ Ị ØøĐ Ị óÙ Ơ Ĩ Đ Ư ịỊ ØĨ Ị ịỊ Ị Ù Ø Ư Ð Ị ØỊ Ị Ð ề ũề ỉệểề ữ ắ ề ẹ ề ỉể Ị Ị ݺ Ị ØỊ ØỨÝóỊ × Ị º Ị óÙ ÕÙ ØỊ ½ Ú Ø Ø Ø ØĨ Ị Ư Ð Ø Ø Ù Ø ịỊ Ĩ º ÙÐ Ư Ú Ù Đ Ø Ú Ĩ Ị Đ ½ ÷Ø Ð Äº Ơ Ị º Ĩ Ĩ ØịỊ Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ½ Đ Ø Ơ Ò n ∂2u ∂2u = , a = const > ∂x2i ∂t2 i=1 Ị Ơ ØỊ n=1 Ø Ĩ Ị Ú Ĩ ØƯĨỊ Ú Ø Ø Ị Đ Ø Ø ÙÝưỊ Ø (x, u) Ị Ị º Ỉ Ú Ý u Ý Ø Ù Ò Ò Ý Ò ÒÒ Ò Ò Ù Ò Ò Ó Ð u(x, t) Ø Đ Ị Ơ Ị Ị Ý ØƯ Ị Ý Ø ịĐ Ư Ị Ị Ị Đ Ø Đ Ø Ơ Ị Ĩ × ưĐ Ø Ø Ù Ị (1.10) ề ỉệứề ỉệíúề ì ề ẵẵẳà ẹ ề ẹ Ø Ø Ị Ý ØỊ Đ Ơ Ð Ị ØƯĨỊ Ị Ø Ú Ị Ý Ơ Ĩ Đ Ư ịỊ ØỊ a2 È Ị ØỊ Ị Ị Ĩ Ø Ú ØƯ Ox Ú Ị Ị Ĩ º Ị Ú u Ý Ị Ð Ị × Ù Ị Ú Ú ể í ề a é ề ặụ ỉ ì Ø ơỊ x Ị Ù¸ Ø Đ Ø Ø Ø Ù Ị Ị ØỊ Ú Ĩ Ý ØƯ Ị Ù ẹ ỉ ỉ ứ ữ ửẹ ẵẵẵà ỉ ỉ × Ù Ø óÙ ø Đ Ị ÷Ị Ị tº Ị ưĐ º Ã Đ Ị ơỊ óÙ (1.11) ØùỊ Ú Ü Ø Ú Ø Ðù Ĩ Ị [0, ] Ị øỊ ØĨ Ị ØøĐ Ị ÷Ị ịỊ u(0, t) = 0, u( , t) = 0, Ú Ú ØỊ Ơ Ị Ị Ð÷ ∂2u ∂2u = , ∂x2 a2 ∂t2 Ý Ị Ox ØƯ Ĩ Đ Ø Ú Ị Ị ݺ ÌÙỊ Ð º ÌƯ Ù u|t=0 = u0 (x), ∂u |t=0 = u1 (x) ∂t ݺ Ox Ú ØƯ Ị ÷Đ Ý Ơ Ị Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ È Ị Ư ịỊ ØỊ Ị ØỊ ẵẵẵà é ỉ ũề ề ẹ ỉ ỉệểề ũề Ù ÕÙÝ ÐÙ Ø Ú Ø Ðù Ú Ø Ú ễ ỉ ề ề ắ ẵ ề ỉể ề ỉể ề ì Rn ẹ é ể ỉ ề Đ óỊ Ị Ĩ Ĩ Ω aij , , a, f Ơ Ị ØỊ Ð Ú Ĩ n (x) i=1 Đ Ị a11 = Ị ØĨ Ị ØøĐ Ị Ơ Ị ÌƯĨỊ Ị Ị ØỊ ØỊ óÙ Ø Ị Ĩ Ị Ị n = 3º ØƯ Ị º Ù Ú Ơ Ư Ị Ơ Rn Đ Ư ịỊ Ø ØƯ Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ị ØƯ Ơ Ú Ơ Ị ØỊ Ị Ø Ú Ơ ∂u + a(x)u = f (x), ∂xi (1.12) ØƯ Ịº Ị t = x1 (1.13) ẵẵà ỉ u(t0 ) = u0 , u (t0 ) = u1 , Ð Ñ Ị ØĨ Ị Ù Ý ØƯĨỊ Ị º Ị Ị ỉ ứ ẵẵắà ụỉ é ữẹ éự ỉ ÙÝ Ơ Ị Ị ÕÙÝ ÐÙ Ø Ị u + b(t)u + c(t)u = f (t), ÷Ị Đ Đ Ị ẵẵẳà ỉệểề 2u aij (x) + xi xj i,j=1 ú ễ ề ể ẻ ặ í ề ÷Đ Úó Ị Ðù ÃĨÚ Ð Ơ× n n=1 ØỊ í ề éự ể é ễì ỉ ỉệểề ặụ ề ụề n = 2á ẵẵẳà ẵ ỉ ụỉ Ú Ĩ Ø Ị ÕÙÝ ÐÙ Ø ØỊ ù éự ỉ Đ ễ ề ẵẵẵà ừề ể ẹ ệ ũề ỉệứề ỉệứề ẵẵà ễ ề ỉ ề ề ¸ ÷Đ Ị Øù Ðù Ù Ý ÙÝ Ị Ø ề ẩ ề éể ễ ắẳ ỉệểề ẹ ỉ é ề ềụ ề ề ể ữì ỉự ØƯĨỊ Ư Ị ØỊ Ĩ Ì Ù Đ Ø t = xn Ø (x1 , , xn−1 ) t = t0 Ú óÙ Ị Ý Ø ÷Ị Ĩ Ơ Ị Ị ÌƯĨỊ t Ú Ø Ðù¸ ØĨ Ị ØøĐ Ị x = Ú Ý Ð Ú Ù Ø Ú Ý¸ ØỊ Ị Ĩ Đ Ơ Ị Ị xn Ị Ị¸ x = Ị ØƯịỊ Đ Ø Ô x0 = (x01 , , x0n−1 ) Ị Ĩ Ù = u1 (x ) t=t0 ỉệứề í ỉệểề (1.14) ẵẵắà ỉệểề ú ữề ẹ ỉ é ề ề ề ẵẵ í í ề ỉự éự ề í ẵẵắàá ẵẵ é ễ ề ỉể ề ậ ẻ ể é Ơ× Ðù Ø Ị Ø Đ ∂u ∂t Ơ ề ể ỉ ứ ẻ ể ề ẹ ẵ ề ữẹ ỉể ề ỉể ề ệ ũềá ữ ì Ò Ø × (x01 , , x0n−1 , t0 ) Ú ØĨ Ị Ð Ỉ Ị Đ Ù u|t=t0 = u0 (x ), Ị Ĩ ØƯ Ịº ưĐ Ị (x1 , , xn ), ề ề ề íé ỉ ề ỉ ữề ì Ùº Ị Đ Ø Ð Ị óÙ ØỊ Ø Ú Ơ ơỊ ØĨ Ị Ị Ị ơỊ ØƯĨỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Đ Ị Ơ ØỊ Ø ơỊ Ð ØƯĨỊ Ø Ø (a, b), t0 ∈ (a, b) Å Ñ Ư ịỊ Ø Ú × Ĩ Ị ØĨ Ị t0 , ưĐ Ị ØỊ Ị Ý Đ Ư ịỊ º ỉ ề ỉệứề ẵ ễ ềỉ ìí ệ ề ẳạẵ ẵà ỉể ề ỉũề é ậ ẻ ể Ð Ơ× Ị Ø ịỊ ó Ø Ị Ù Ị Ư Ị ÷Đº Đ Ị Ý ØƯĨỊ Ðù ÃĨÚ Ð ễì ẹ ề ề ẻ ề í ẵẵắàá ẵẵ ữẹ ẹ ề ì é ễ ặ ểễ ề Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ × Ơ Ị Ị ỉệứề ỉệứề ể ẹ ệ ũề ẵẵắà ụỉ ề n−1 ∂2u ∂2u = b (x) + ij ∂t2 ∂xi ∂xj i,j=1 n + bi (x) i=1 Ị Ðù ÃĨÚ é ễì ỉự ỉệểề ỉự ỉệểề ẵẵ é Ị Ị Đ ØÐ Ị Đ ØÐ Ị Ị ÷Đ ÷Đ ÙÝ Ị Đ Ị º ÌƯ Ị Ư Ị Ñ Ò Ø Ø Ò Ò Ù bin (x) i=1 ∂2u + ∂xi ∂t × (1.15) Đ Ị ưĐ x0, Ị uj , j = 0, Ð Đ ØĨ ề í ẵẵ àá ề ửẹ x0 Øù ØƯĨỊ Đ Ø Ð Ị Ị Ị Ĩ ưĐ x0 Ø ØƯĨỊ Ð Ơ Đ Øù º bij , bin , bi , b, h Ø ịỊ Ø Ị ÷Đ Øù ¸ Ø ø Ü ÐÙ n−1 ∂u + b(x)u + h(x) xi ềụ ề ẵẵ àáẵẵ ỉ ề ỉ ắẵ ữ ì ề ỉ í ề Ø Đ Ị ØùỊ ÙÝ Ị u(x) ØƯĨỊ غ Ð ØĨ Ị ØƯ ưỊ Ø Ị u(x) × Øº Ì ì í é ỉệ ửề ỉíữỉ u(x) = u(x , t) = α ,αn Cα ,αn (x − x0 )α (t − t0 )αn , α = (α1 , , αn−1 ), (x − x0 )α = (x1 − x01 )α1 (xn−1 − x0n−1 )αn−1 , Ỉ Ð Ý Cα ,αn = D α D αn u(x0 , t0 ) α1 !α2 ! αn ! x t Ĩ Ị Đ Ø ẵẵ ỉ ể x ỉ ề Dx Dtj u(x0 , t0 ) = Dxα uj (x0 ), j = 0, 1, Ị (1.16) Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ắắ ỉ ứ è ẵẵ ỉ Ø Dxβ Dt2 u(x0 , t0 ) ≡ Dxβ n−1 Dxβ [bij (x) =( i,j=1 Ị ØỊ Ĩ Đ Ư òÒ β = (β1 , , βn−1 ) : ø ∂2u (x , t0 ) ∂t2 ∂2u ])|x=x0 ∂xi ∂xj n n Dxβ [bin (x) +( i=1 ∂u ∂2u Dxβ [bi (x) ])|x=x0 + ( ])|x=x0 ∂xi ∂t ∂x i i=1 +(Dxβ [b(x)u])|x=x0 + Dxβ h(x0 ) ẻụ ễ ề ể ỉ ì ửẹ ỉ (x0 , t0 ) k Đ Ø × Ĩ Đ ẵẵ ể ề ỉể ề ể ề ể k ≥ 2, Ú Ø Ø Ĩ t Ị Ø ửẹ ứ ỷ ì è j ẵẵ ĩ ĩ ỉ ỉ ẵẵ ề ễ (1.18) ễ é Ý Ĩ Đ Ø Ĩ x Ø Dtk+1 u(x0 , t0 ) n−1 Dxβ Dtk−1[bij (x) =( ∂2u ])|x=x0 + ∂xi ∂xj n Dxβ Dtk−1 [bin (x) i=1 ∂2u ∂u Dxβ Dtk−1 [bi (x) ])|x=x0 ])|x=x0 + ( ∂xi ∂t ∂t i=1 +(Dxβ Dtk−1 [b(x)u])|x=x0 + Dxβ Dtk−1h(x0 ) Ì Ò º Ò k, i,j=1 +( Ò Dt2 u x0 n−1 Dxβ Ị Ị Dxβ Dtj u, Ú Đ Ü Dx (1.17) ẵẵ àá ẵẵ ỉ ụỉ ếí ề ễ ẵẵ ệ ỉ ệ (1.19) ữ ì k−1 Cα ,k+1 = cβ ,k Cβ ,k + |β | |α |+1 cβ ,j Cβ ,j +hα ,k+1 (1.20) j=0 |β | |α |+2 Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ Ü Ị ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ Ị ÙÝ Ị Ú ĩ ề í ề ễ ề ễ ắ ì ØĨ Ị × ØƯĨỊ Ø Đ ưĐ Ú Đ Ø ậá ẹ ẵà ẹ úề ẹ ỉ ụề ỉ Ð Ị ĨỊ Ị Ị Ơ Ị ÷Đ Ø ØĨ Ị Ðù ØỊ § Ý (n − 1) ĨỊ Ị ú ỉệ ề ậ ề ể ẵà ỉệứề ỉệ ề ề ỉ ụễ ĩ ẵẵắà ỉệểề ẹ ỉ Ð Ò Ò u|S = u0 (x), (1.21) ∂u |S = u1 (x), ∂ (1.22) Ĩ ØƯịỊ Đ Ø Ë¸ ễ íá ể ữ ỉ ề ễ ữ ì C ề ữẹ ú ỉệ Ị ØƯịỊ Đ Ø Ë Ð Đ × Ị ØỊ Ù Ð Ý Ð Ơ Ơ ØÙÝơỊ S ĐØ ÕÙ Ø Úó Ø Đ Ø × ØƯịỊ Đ Ø Đ Ð Ý Ø Ị Ø Ø Đ Øº ỉể ề é ẵẵắà S ề ẹ ỉ ỉể ề ề ỉ ẹ ữ ì ề ể ẹ ỉ ẹ Ø ÷Đ ØøĐ Ð º Đ ØƯ ÙÝ Ị cβ ,j í íá ữẹ ể ẹ ỉ ũề Ý Ø Ị ÕÙ Ø Ð ÷Ị Ì Ị Ù Ị × Đ Ø Ë × Ĩ u0 , u1 Ỉ Ù Ý Ø Ị Õ٠غ à ØĨ Ị ØøĐ Ị Ị Ĩ u1 (x0 ), Đ Ị º Ø Ị Ø Ð ¾¿ Ĩ غ ÌùỊ Ị Đ ề ẹ x0 ửẹ ẵẵ àá ẵẵ ề ề ẵẵ ỉ ể ẹ ệ ũề u0 (x0 ) ỉ ế ữ ì ỉệứề ứ ề ỉệứề u0 , u1 ٠ݺ ØĨ Ị Ú Ĩ Đ Ø Ø Ù S Ý Ú Đ × Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ¾ ξ1 , , ξn−1 × Ĩ Ị Đ 1, , n − 1) ØƯ Ị Đ Ĩ Đ (n 1) ề ẵắà é ễ ỉ (i = 1, , n), (1.23) ∂xi /∂ξk , (i = 1, , n; k = Đ ưĐ ØƯ Ịº Ỉ Ĩ Ị ØỊ Ø Ð ỉ ỉ ẹ ì ửẹ ẹ ì ể ẵắ Ð Ì Đ Ø ξn = Ø Ø Ị ùØ Ị Ị × Úơ Ơ Ị ĨỊ Ị ĨỊ ĨỊ Ú Ĩ Đ Đ Ø Ú (1.24) ξ1 , , ξn−1 S¸ Ị Úơ Ơ Ú Ø Ø Đ Ø Ĩ ưĐ Ú ∂Xi /∂ξn = Ú ØƯ Sº Đ ∂X1 ∂Xn ∂ξ1 ∂ξ1 º º ºº D(ξ1 , , ξn ) = ºº ∂X1 ∂Xn ∂ξn ∂ξn ÌƯịỊ Đ Ø Ð ØƯ Ịº Ị Ị Ư ¸ Ú (i = 1, , n), Ý ØƯịỊ ưĐ S Đ Ø Đ × xi = Xi (ξ1, , ξn−1 , ξn ), ξn Ĩ Đ Ư ịỊ Ĩ xi = xi (ξ1 , , ξn−1), Ý Ị ØỊ S (n = 0) ễ ề ỉệứề ẵắ ỉệ ề (1.25) Ú Ơ Ị Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ỉệứề ẵắà ề ỉệứề ể íá ỉ ẵắ Ø Ĩ Đ Ư ịỊ Ị ¾ Ị ∂x1 ∂ξ1 ∂x1 D(ξ1, , ξn−1 , 0) = ∂ξ2 ∂xn ∂ξ1 ∂xn ∂ξ2 º ºº (1.26) º ºº ∂X1 ∂Xn ∂ξn ∂ξn Úø (n − 1)¸ ỊịỊ (n − 1) ØùỊ º Å Ø Ð Ò ∂xi /∂ξk (i = 1, , n; k = 1, , n − 1) Ị Ị ¸ Ù Ị Ị Ị Ð ịỊ Ø Ị D(ξ1 , , ξn ) = Đ Ø S Ì × Ĩ Ò Ð (x1 , , xn ) ỉ ụễ ĩ ẵắ ể n , |n | < ε Ð Ò Ò Ò Ý Ðù ÐÙ ề ỉệũề ìí ệ ửẹ ẵắ ề ỉệểề Đ Ø Ø Ð Ú Ị Ø Ị Ị Ĩ Ý ÷Ù Ị ξi = ci , i = 1, , n − Ø ơỊ Đ ØỊ ξn = 0, Ơ ξ1 , , ξn Ú Ĩ Ơ p Đ Ð (1.27) Ò Ò ∂v ∂ξp , i = 1, , n, ∂ξp ∂xi Ị Ị º Ð Đ ØĨ ØỊ v(ξ) = u(x(ξ)), ξ = (ξ1 , , ξn ), x = (x1 , , xn ), Ø ∂u = ∂xi ö Đ Ø Ð Ị Đ Ø Ë¸ Ø Ị Ĩ ẵắ , , n Đ Ø Ë ØĨ Ị Ø Ơ Ị ξi = ξi (x1 , , xn ), i = 1, , n à S¸ Đ ỉ ỉ ẹ ỉ ì ể íá ỉ ề Ø Ø Ð Ý Đ Ø Ð Ị Ð Ơ ØÙÝơỊ D(ξ1 , , ξn−1, 0) = ẵắ àá ềũề ỉ ề ỉ ẹ Ĩ ØƯĨỊ Ø Ị Ø Ø Ú Ị ĨỊ Ị ỉíụề ỉựề ỉựề ề ỉệ ề ẵẵắà ự ề Ị Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ¾ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ịỊ Ú n n ∂2u ∂ v ∂ξp ∂ξq = + ∂xi ∂xj ∂ξ ∂ξ ∂x ∂x p q i j p,q=1 Ĩ Ú Ý¸ Ơ Ò ØÖøÒ n bij (ξ) i,j=1 p=1 ∂v ∂ ξp , i, j = 1, , n p xi xj ẵẵắà ỉệểề 2v + i j n bi (ξ) i=1 n bij (ξ) = apq (x(ξ)) p,q=1 ữỉá ụề ẹ v + b()v = f1 (), ∂ξi bnn (ξ(x)) = aij (x) i,j=1 S aij (x) i,j=1 bnn (ξ(x)) ØƯĨỊ Ð Ị ∂ξn ∂ξn ∂xi ∂xj Ñ n Ø ø (1.12 ) ∂ξi ∂ξj , i, j = 1, , n ∂xp ∂xq n Ỉ ØƯịỊ Đ Ø Ị Ị Ị Ị Ý Ơ ØƯĨỊ Ị ∂ξn ∂ξn = 0, ∂xi ∂xj Đ Ø Ð Ị ØỊ n−1 n + ci (ξ) i=1 Ị Ị Ĩ (1.12 ) ∂2v ∂2v = cij (ξ) + ∂ξn2 i,j=1 ∂ξi∂ξj n−1 i=1 (1.28) Ñ Ø Ëº Ã Ú ôØ ∂2v cin (ξ) ∂ξi ∂ξn ∂v + c(ξ)v + h(ξ) ∂ξi Ì ∂u = ∂ n i=1 ∂u cos( , xi ) = ∂xi n n i=1 j=1 Ò ∂v ∂ξj cos( , xi ) ∂ξj ∂xi (1.29) Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ n j=1 íá ẵắẵà n v j = ề ỉệứề Ĩ Đ Ư ịỊ ∂ξj cos( , xi ) = xi i=1 ẵắắà ỉệểề ữ ỉ n j=1 ắ v ∂ξj ∂ξj ∂ Đ Ị v|ξn =0 = v0 (ξ ), ξ = (ξ1 , , ξn−1), n j=1 Úø ∂v ∂ξj |ξ =0 = v1 (ξ ), ∂ξj ∂ n Ị ĨỊ Ị Ĩ (1.21 ) ¸ Ø (1.22 ) Ú ξ = (ξ1 , , ξn−1 ) Ø ơƠ Ü ∂ξn ∂ Ø (1.21 ) S Ị Ú Đ Ø S¸ (1.22 ) ỊịỊ = (1.30) Ò ∂v |ξ =0 = v2 (ξ ), ∂ξn n v2 (ξ ) = Ỉ Ù Ú Ý¸ Ý ∂ξn ∂ ØĨ Ị n−1 (v1 (ξ ) − Ù Ý Ø Ò (1.29), (1.21 ), (1.31) í ỉ ẵắ ẻ ệ ềụ ẹ ỉ ì ôÒ Ø j=1 (1.31) ∂v0 ∂ξj ) ∂ξj ∂ ÕÙ ỉ ú ú ữề ẵắ ề ữẹ ỉ é òÒ ÕÙ Ò α = (α1 , , αn ) Ơ Ị ØĨ Ị ơỊ ÷Ịº óÙ ØỊ n aij (x)αi αj = i,j=1 Ð Ơ ề ỉệứề ỉệ ề ễ ề ỉệứề ẵẵắà ữề ề Áº È Ị ÐĨ Ơ ¾ ưĐ ưĐ x Đ Ø ØƯ Ị ω(x1 , , xn ) = ´ω Ú Ơ Ị ØỊ n aij (x) i,j=1 Ú ùØ Ị ưĐ Ị óÙ Ỉ Ð í ỉ ề ề ề ỳ S ữ ì ỉự Ú ơỊ µ Ý ưĐ Ị Ý Ü Ý Ư (1.32) ĐØ Ị ØỊ S Ị ØƯ Ị ´ Ị ẵẵắà ềụ ỉ ỉ ửẹ ửẹ ỉể ề ỉệ ề Ù (1.29), (1.21 ), (1.31) Ị ×ÙỊ Úơ Ơ Ơ Ị Ü Ø Ø Đ Ị óÙ ØỊ Ø ø Ý Đ Ø × ØƯ Ị º ØĨ Ị Đ ỉệ ữề ì ẵẵắà é ẹ x = (x1 , , xn ) Đ ØƯĨỊ × Đ Ø Úó Ù Ð ∂ω/∂xi , i = 1, , n, é ề éự ể é ễì Đ Ơ Ð ÕÙ Ø ØĨ Ị µ ØƯ Ị ữề ẵắ ử ừề ẵắ é ẹ ỉự ỉ ể ề ữề ẹ ỉự Ø Ù S µ Å Ø Đ Ú ưĐ Ú Ý Ị Đ Ø Ù Ĩ n = 2µ Đ ỉ ẵẵắà ềụ ỉ (x1 , , xn ) = Ị Ð Ĩ Đ Ư ịỊ ∂ω ∂ω =0 ∂xi ∂xj Ø Đ Ø ØƯĨỊ Ị º Å Ø ØƯ Ị Ị ØỊ Ĩ Ø Ĩ ÙÝ Ị óÙ Ị Ø ØƯĨỊ ÷Ị Đ Ơ Ĩ Ị × Ø Ø Ì Ý Ð Ĩ Đ Ðù ể é ễì ẹ ỉ é ề àá àá àá ØỊ Ị Ú Ị Ø ØĨ Ị Ị Ị Ĩ µ Ú Đ ØỊ Ý ξ = (ξ1 , , ξn ) Øù ω(x1 , , xn ) = Ñ Ø S Ñ Ù Ị ω Ý Ø Ị Ð ưĐ ØƯ ÷Ø Ø ịÙº ÕÙ Ø Đ Ø Ë Ị Ø Ị ω Ú Ị ÷Đ ÷Ị ưĐ ØƯ Ị º Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ Ị ØỊ S ØƯ Ị Ỉ Đ Ø Ị ưĐ Ơ Ĩ Đ Ì Ð Đ Ø Ị ÷ Ø Ð ịỊ Ĩ Ð ịỊ Ị ØỊ Đ Øù u1 µ Ĩ Ø Ý ÌƯ Ị ÷Đ Đ Ø Ị ØỊ à Ị Ð Ị Ị Ù v(ξ 0) ÷Đ Ị Ù Đ Ú Ị Ĩ ØƯ Ị ÷Ị Ĩ Ø Ị Đ Ơ Đ Ị Ý Ø ØƯ Ị Ị Ú Ü Ø Đ Ø × Ơ Ị ØỊ Úù Ð Đ × Ị ẵẵắà ỉệứề ễé 2u 2u + + = 0, x21 xn ễ ề ỉệứề ẵắà ề x1 ể íá ễ ẻự + + Ị ØỊ Ä ƠÐ Ị ØỊ ØỨÝóỊ Ị Ị ∂ω ∂xn = Đ Ø ¾º Ø Ơ u0 ẵ ế ỉ ẵẵắàá ự í Ị Ú ưĐ Ý Ø Ị Ø Ĩ u0 , u1 ÷ Ø S Ị (1.12 ) Ø Đ Ø ỉể ề ữẹ ỉ ẵẵắàá ẹ ệ ề ềụ ẹ ỉ ề ể ụỉ ỉ ẻự ữ ề ề ắ ỉệ ẵẵắàá ỉ ứ ỉ ễ ữ x0 ¸ Ø Ðù ÐÙ Ị ØƯịỊ Ư Ø Ư ẵắẵàá ẵắắà bnn ((x0 )) = ề Ô Ð Ø ø Ò º Ò Ú x0 , Ð ξ = ξ(x0 ) Đ ưĐ Ĩ Đ Ư ịỊ ÷Ø ∂u ∂2u ∂2u = + + ∂t ∂x1 ∂xn−1 ØƯ Ị Ø º Ø Ị Áº È Ị ÐĨ Ơ ¿¼ Ú Ơ Ị ỉệứề ề í ẵắà x1 ề ề ũềá ẹ Ø Ị ω = ϕ(t), ϕ(t) Đ Ø Ơ Ð Ø Đ ∂ω ∂xn−1 ø Ơ Đ Ø = Ị Ú Ð ịỊ Ø Ð Ĩ Đ Ư ịỊ Ị + + ÷Đ t = const Ị ØỨÝóỊ Ò Ò ØÖøÒ ØÖøÒ Ò Ý ´ϕ = 0) Ø Ý ØƯ Ị Ú Ơ Ị Ú Ý¸ Ị ỉệứề ữỉ ẻự èệểề ỉệ ề ễ ễ ề ØỊ ØỨÝóỊ × Ị ∂2u ∂2u ∂2u + + , = ∂t2 ∂x21 ∂x2n−1 Ơ Ị ØỊ ẵắà x1 ể íá ẹ ỉ ễ Ò ∂ω ∂xn−1 + + ∂ω ∂t − = Ò a1 (x1 − x01 ) + + an−1 (xn−1 − x0n−1 ) + an (t − t0 ) = Ú Đ Ø Ị Ò ØÖ Ò Ò (x1 − x01 )2 + + (xn−1 − x0n−1 )2 = (t − t0 )2 Ơ Ị ØỊ x0 = (x01 , , x0n−1 , t0 ) ØỨÝóỊ × Ị ¸ Ð Đ Ø Ý ưĐ Ø Ý Ð Đ Ø a21 + + a2n−1 = a2n , ØƯĨỊ Rn ¿º Úó Ị ùỊ Ø Ø Đ Ø ưĐ Ú Ơ Ị ÐĨ Ơ Ị ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ § Ø ØƯĨỊ Đ óỊ n aij (x) i,j=1 Ω ⊂ Rn ∂2u + ∂xi ∂xj Ơ Ị n (x) i=1 ØỊ ØÙÝơỊ ØùỊ Ơ ∂u + a(x)u = f (x), ∂xi (3.1) Ò Áº È Ò ÐĨ Ơ Ị ØỊ aij , i, j = 1, , n ữ ì aji , i, j = 1, , n Ì Ĩ Đ Ư ịỊ Ð Đ Ø º Ì u ∈ C ()á ỉ íá ềụ ẵ ỉ aij = Ó Ø ø ∂2u ∂2u = ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi Ĩ ¸ n n ∂2u ∂2u = aij ,Ú aij ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj i,j=1 i,j=1 aij = (aij + aji ), i, j = 1, , n × Ị x0 Ð Ñ Ø öÑ Ø Ý det aij (x0 ) − λ(x0 )δij ÷Đ Ø n+ (x0 ), n− = n− (x0 ), n0 = n0 (x0 ) Ø Đ¸ Ị Ò λi (x0 ), i = 1, , n ¼ Ø Ơ Ω Ø Ù Ơ ơỊ Ò λ1 (x0 ), , λn (x0 ) n i,j=1 é = ự ì ữ n+ = ØƯ Ị ¸ n+ + n− + n0 = n à Ị ØƯ ξi = ξi (x1 , , xn ), i = 1, , n, ơỊ Ð Ị Ị ưĐ U Ò Ó x0 = (x01 , , x0n ) ửẹ ắà ắà é (3.2) ỉ ề é Ò Ò ξ = (ξ10 , , ξn0 ), ξi0 = ξi(x01 , , x0n ), i = 1, , n Ãù xi = xi (ξ1 , , ξn ), i = 1, , n, ơỊ Ị Ð × ×ÙÝ Ð Ơ Ơ ơỊ ξi (x) ∈ C (U ), i = 1, , n, ơỊ¸ Ø det Ị Ú ÷Ù Ơ Ơ Ơ V Ơ ơỊ Ð ∂ξi ∂xj Úø ∂u = ∂xi n i,j=1 n p=1 = ∂v ∂ξp , ∂ξp ∂xi (3.3)