phương trình đạo hàm riêng

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG Phan Xuân Thành Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng Hà Nội - 2011 Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội Mục lục Đại cương phương trình vật lý tốn 1.1 Đại cương phương trình vật lý tốn 4 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng 1.1.3 Thiết lập số phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.2.1 Trường hợp hai biến số 1.2.2 Dạng tắc 10 1.2.3 Đưa phương trình dạng tắc 10 1.2.4 Phân loại phương trình 12 1.3 Trường hợp nhiều biến số 16 1.3.1 Nhắc lại kết đại số 16 1.3.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp 17 1.4 Khái niệm mặt đặc trưng 18 1.4.1 Khái niệm mặt đặc trưng 18 1.4.2 Bài toán Cauchy toán Cauchy với kiện cho mặt đặc trưng 20 1.5 Ba loại phương trình vật lý tốn Bài tốn đặt chỉnh 21 1.5.1 Ba loại phương trình 21 1.5.2 Các dạng tốn có điều kiện biên, điều kiện ban đầu 23 1.5.3 Bài toán đặt chỉnh 24 Phương trình truyền sóng 26 2.1 Phương trình dao động dây, màng 26 2.2 Bài toán biên ban đầu (Bài toán hỗn hợp) 28 2.2.1 Định luật bảo toàn lượng 29 Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 2.2.2 Tính nghiệm 31 2.2.3 Đánh giá tiên nghiệm Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu 31 2.3 Bài toán Cauchy Công thức Kirchoff 32 2.4 Công thức Poisson, công thức Dalembert 35 2.4.1 Công thức Poisson 35 2.4.2 Công thức Dalembert 35 2.5 Phương pháp tách biến (Fourier) 40 2.5.1 Dao động tự dây 40 2.5.2 Phương trình khơng 43 Phương trình truyền nhiệt 46 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 46 3.2 Bài toán biên ban đầu (Bài toán hỗn hợp) 48 3.2.1 Nguyên lý cực đại 49 3.2.2 Tính nghiệm 52 3.2.3 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện biên ban đầu 53 3.2.4 Phương pháp tách biến 53 3.3 Sự truyền nhiệt vơ hạn Bài tốn Cauchy 59 3.3.1 Nguyên lý cực đại Tính nghiệm 59 3.3.2 Giải toán Cauchy 60 3.3.3 Sự truyền nhiệt nửa vô hạn 61 3.3.4 Bài tốn Cauchy khơng gian hai chiều ba chiều Phương trình Laplace phương trình Poisson 4.1 Phương trình Laplace Nghiệm 63 65 65 4.2 Các toán biên: Bài toán biên Dirichlet, toán biên Neumann 69 4.2.1 Bài toán biên Dirichlet 69 4.2.2 Bài toán biên Neumann 69 4.2.3 Bài toán biên Robin 70 4.2.4 Bài toán Cauchy 70 4.3 Phương pháp hàm Green để giải tốn Dirichlet Cơng thức Poisson 70 Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 4.3.1 Hàm Green hình cầu cơng thức Poisson 72 4.4 Giải tốn Dirichlet mặt trịn 74 4.5 Các tính chất hàm điều hòa 77 4.6 Nghiệm yếu Phương pháp biến phân 78 4.6.1 Bài toán biên Dirichlet 78 4.6.2 Không gian Sobolev H01 (Ω) 79 4.6.3 Toán tử Elliptic 80 4.6.4 Bài toán yếu 81 Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội Chương Đại cương phương trình vật lý tốn 1.1 1.1.1 Đại cương phương trình vật lý tốn Các định nghĩa Định nghĩa Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ), biến độc lập x1 , x2 , , xn đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt phương trình đạo hàm riêng) Nó có dạng F (x1 , x2 , , xn , u, ∂u ∂u ∂k u ) = 0, , , , , k1 ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xknn (1.1) F hàm Cấp cao đạo hàm riêng u, có mặt phương trình gọi cấp phương trình Chẳng hạn, phương trình cấp hàm hai biến có dạng: F (x, y, u, ∂u ∂u , ) = ∂x ∂y Ví dụ: Phương trình chuyển dịch tuyến tính: ut + Burger (sửa đổi): ut + u.ux = (1.2) n i i=1 b uxi = 0, phương trình Phương trình cấp hai hàm hai biến số có dạng F (x, y, u, ∂u ∂u ∂ u ∂ u ∂ u , , , , ) = ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y (1.3) Ví dụ: ∆u = (phương trình Laplace, Laplace nghiên cứu vào khoảng năm 1780) Hệ phương trình đạo hàm riêng hệ gồm phương trình đạo hàm riêng hay nhiều ẩn hàm đạo hàm chúng Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính, tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm với hệ số phụ thuộc vào biến độc lập x1 , x2 , Trong trường hợp tổng quát ta viết dạng α aα (x)D u = f (x), |α|≤m ∂ |α| u , D u = α1 ∂x1 ∂xαnn n α i=1 αi = |α| (1.4) Ví dụ: ∆u = f phương trình Poisson, ut − ∆u = f phương trình truyền nhiệt, utt − ∆u = f phương trình truyền sóng, h2 ihψt = − ∆ψ + V ψ phương trình Schrodinger, 2m ∞ dn u = g(x) n n! dx n=0 Phương trình đạo hàm riêng cấp m gọi nửa tuyến tính (semi-linear) tuyến tính với đạo hàm cấp m với hệ số phụ thuộc vào x1 , x2 , , gọi tựa tuyến tính tuyến tính với đạo hàm cấp m với hệ số phụ thuộc vào x1 , x2 , đạo hàm cấp bé m Phương trình đạo hàm riêng khơng phải phương trình tuyến tính gọi phương trình phi tuyến Ví dụ: |Du| = phương trình Eikonal, ut + cuux + uxxx = phương trình Korteweg-de Vries, det(D u) = f phương trình Monge-Ampere, đưa từ năm 1775 Nghiệm phương trình đạo hàm riêng hệ hàm cho thay vào phương trình (1.1) trở thành đồng thức miền Ω biến số độc lập Để đơn giản, ta giả sử x1 , x2 , thực đạo hàm u phương trình (1.1) liên tục theo biến x1 , x2 , miền Ω Chú ý Số chiều không gian biến độc lập x1 , x2 , vơ hạn Ngồi ra, cấp đạo hàm phương trình (1.1) vơ hạn Khi đó, ta có phương trình đạo hàm riêng cấp vơ hạn 1.1.2 Một số ví dụ giải phương trình đạo hàm riêng Ví dụ 1: Giải phương trình uxy = 0, x, y biến số độc lập x Ta có ux = c(x) =⇒ u = a c(ξ) dξ + g(y) c(x), g(y) hàm tùy ý Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội Ví dụ 2: Phương trình uxx (x, y)+u(x, y) = có nghiệm u(x, y) = f (y) cos x+ g(y) sin x, f g hàm Ví dụ 3: Giải phương trình uxx − uyy = Đổi biến số, đặt ξ = x + y, y = x − y, ta có ξ 4uξη = ⇒ u = x+y c(t) dt+g(η) = c(t) dt+g(x−y) = h(x+y)+g(x−y) Ví dụ 4: Phương trình tuyến tính cấp hệ số Xét phương trình aux + buy = 0, (1.5) a, b số không đồng thời khơng Phương pháp hình học: Biểu thức aux + buy đạo hàm theo hướng hàm u → − → − → − theo véctơ V = (a, b) = a i + b j Do đó, từ phương trình (1.5), hàm u(x, y) → − → − số theo hướng V Đường thẳng song song với véctơ V có phương trình bx − ay = c dọc theo đường thẳng này, hàm u số Như vậy, u(x, y) = f (c) = f (bx − ay) với c Vậy nghiệm u(x, y) = f (bx − ay) với x, y Phương pháp đổi biến: Đổi biến số x′ = ax + by, Ta có ux = y ′ = bx − ay ∂u ∂x′ ∂u ∂y ′ ∂u = ′ + ′ = aux′ + buy′ ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂u ∂x′ ∂u ∂y ′ uy = = ′ + ′ = bux′ − auy′ ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y Do aux + buy = a(aux′ + buy′ ) + b(bux′ − auy′ ) = (a2 + b2 )ux′ Do a2 + b2 = nên ux′ = Vậy u = f (y ′) = f (bx − ay) Các tập Bài 1: Giải thích đẳng thức vi phân sau có phương trình đạo hàm riêng không? cos(ux + uy ) − cos ux cos uy + sin ux sin uy = u2xx + u2yy − (uxx − uyy )2 = sin2 (uxx + uyy ) + cos2 (uxx + uyy ) − u = Bài 2: Xác định cấp phương trình sau Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội log |uxx uyy | − log |uxx | − log |uyy | + ux + uy = ux u2xy + (u2xx − 2u2xy + uy )2 − 2xy = ut − ∆u = f utt − ∆u = f 1.1.3 Thiết lập số phương trình đạo hàm riêng Phương trình vận tải đơn giản Xét luồng chất lỏng, chẳng hạn nước, chảy với tốc độ c-hằng số, dọc theo ống nằm ngang theo hướng dương x Một lượng chất bẩn nước Gọi u(x, t) mật độ (g/cm) thời điểm t Ta biết rằng, lượng chất b bẩn khoảng [0, b] thời điểm t M = u(x, t) dx (g) Ở thời điểm t + h, lượng chất di chuyển sang phải đoạn c.h (cm) Do đó, b M= b+ch u(x, t) dx = u(x, t + h) dx ch Lấy đạo hàm theo b, ta u(b, t) = u(b + ch, t + h) Lấy đạo hàm theo h, cho h = 0, ta = cux (b, t) + ut (b, t) Do b bất kỳ, nên phương trình mơ tả tốn vận chuyển đơn giản có dạng (1.6) ut + cux = Phương trình dao động Phương trình khuếch tán (truyền nhiệt) Bây ta thiết lập phương trình truyền nhiệt hay phương trình khuếch tán Xét vật rắn truyền nhiệt đẳng hướng Ký hiệu u(x, y, z, t) nhiệt độ vật rắn điểm (x, y, z) thời điểm t Chúng ta biết nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp Sự truyền nhiệt tuân theo định luật sau: nhiệt lượng ∆Q qua mảnh mặt bé ∆S chứa điểm (x, y, z) thời gian ∆t tỷ lệ với ∆S, ∆t đạo hàm theo pháp tuyến ∂u , ∂n tức ∆Q = −k(x, y, z)∆t.∆S ∂u , ∂n (1.7) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội k(x, y, z) > hệ số truyền nhiệt (k không phụ thuộc vào → hướng pháp tuyến với ∆S truyền nhiệt đẳng hướng), − n vectơ pháp tuyến ∆S hướng theo chiều giảm nhiệt độ Gọi q dòng nhiệt, tức nhiệt lượng qua đơn vị diện tích đơn vị thời gian Từ (1.7) ta suy q = −k ∂u ∂n Xét thể tích tùy ý V vật rắn giới hạn mặt kín, trơn S xét biến thiên nhiệt lượng thể tích khoảng thời gian từ t1 đến t2 Từ (1.7) ta suy nhiệt lượng qua mặt S vào trong, từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 t2 Q1 = − dt t1 k(x, y, z) ∂u dS, ∂n S − → n vectơ pháp tuyến hướng vào mặt S Áp dụng cơng thức Ostrogradsky, chuyển tích phân mặt sang tích phân ba lớp, ta t2 div(k.gradu) dx dy dz dt Q1 = t1 V Giả sử vật có nguồn nhiệt Gọi F (x, y, z, t) mật độ nguồn nhiệt, tức nhiệt lượng sinh hay đơn vị thể tích vật thể đơn vị thời gian Nhiệt lượng sinh hay thể tích V từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 t2 dt Q2 = t1 F (x, y, z, t) dx dy dz V Mặt khác, nhiệt lượng cần cho thể tích V vật thể thay đổi nhiệt độ từ u(x, y, z, t1 ) đến u(x, y, z, t2) Q3 = [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1)]c(x, y, z)ρ(x, y, z) dx dy dz, V c(x, y, z) nhiệt dung, ρ(x, y, z) mật độ vật Ta có t2 u(x, y, z, t2) − u(x, y, z, t1 ) = t1 ∂u dt, ∂t Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội nên viết t2 dt Q2 = t1 cρ ∂u dx dy dz ∂t V Dĩ nhiên Q3 = Q1 + Q2 hay Q3 − Q1 − Q2 = 0, nên t2 dt t1 cρ ∂u − div(k.gradu) − F (x, y, z, t) ∂t dx dy dz = V Vì khoảng thời gian (t1 , t2 ) thể tích V chọn tùy ý, nên biểu thức dấu tích phân không, cρ ∂u = div(k.gradu) + F (x, y, z, t) ∂t hay cρ ∂ ∂u = ∂t ∂x k ∂u ∂x + ∂ ∂y k ∂u ∂y + ∂ ∂z k ∂u ∂z + F (x, y, z, t) Phương trình gọi phương trình truyền nhiệt vật đẳng hướng không đồng chất Nếu vật đồng chất c, ρ, k số phương trình có dạng ∂u = a2 ∂t a2 = 1.2 1.2.1 ∂2u ∂2u ∂2u + + ∂x2 ∂y ∂z + f (x, y, z, t), k F (x, y, z, t) hệ số truyền nhiệt độ, f (x, y, z, t) = cρ cρ Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai Trường hợp hai biến số Định nghĩa Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy ) = (1.8) Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.8) điểm (x0 , y0 ) gọi là: a) thuộc loại elip điểm b2 − ac < 0, b) thuộc loại hypecbôn điểm b2 − ac > 0, c) thuộc loại parabơn điểm b2 − ac = Nếu phương trình (1.8) điểm miền Ω thuộc loại (elip, hypecbôn, parabơn) ta nói thuộc loại (elip, hypecbơn, parabơn) miền Phan Xn Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 70 tức f (x) dx = Ω (4.16) gN (x) ds Γ Như vậy, toán Neumann, hàm f (x) g(x) phải thỏa mãn điều kiện tương thích (4.16) 4.2.3 Bài toán biên Robin Bài toán biên Robin phương trình Poisson tốn tìm hàm số u(x) thỏa mãn phương trình Poisson (4.2) điều kiện biên Robin ∂u + σ(x)u(x) = gR (x) với x ∈ Γ, ∂n (4.17) gR (x) σ(x) hàm số cho trước, σ(x) ≥ σ0 > 4.2.4 Bài tốn Cauchy Tìm hàm u ∈ C (Rn ) thỏa mãn phương trình Poisson −∆u(x) = f (x) Rn Định lý 16 Nghiệm toán Cauchy (4.18) cho    log(|x − y|)f (y) dy − 2π Rn ∗ u(x) = U (x, y)f (y) dy = f (y)   dy  Rn n(n − 2)α(n) Rn |x − y|n−2 (4.18) (n = 2), (n = 3) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh u ∈ C (Rn ) , xem [2, 7] 4.3 Phương pháp hàm Green để giải tốn Dirichlet Cơng thức Poisson Cho Ω ⊂ Rn miền giới nội với biên đủ trơn Γ = ∂Ω Xét toán biên Dirichlet tìm hàm số u(x) ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) thỏa mãn phương trình Laplace ∆u(x) = Ω điều kiện biên u|Γ = g(x) với x ∈ Γ, (4.19) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 71 g(x) hàm cho trước biên Γ Áp dụng công thức biểu diễn nghiệm (4.13) ta có U ∗ (x, y) u(x) = ∂u (y) dsy − ∂n Γ Γ ∂U ∗ (x, y)u(y) dsy ∂ny (4.20) Ý tưởng xây dựng hàm Green xuất phát từ việc xét nghiệm Φ(x, y) toán sau ∆y Φ(x, y) = Ω Φ|Γ = U ∗ (x, y) Áp dụng công thức Green thứ hai (4.7) hàm u(y) hàm Φ(x, y), ta 0= Φ(x, y) Γ ∂u ∂Φ (y) − u(y) (x, y) dsy ∂n ∂ny U ∗ (x, y) = Γ ∂u ∂Φ (x, y) dsy (y) − u(y) ∂n ∂ny Như vậy, công thức biểu diễn nghiệm (4.20) trở thành u(x) = u(y) Γ ∂Φ (x, y) dsy − ∂ny Γ ∂U ∗ (x, y)u(y) dsy ∂ny ∂Φ ∂U ∗ (x, y) − (x, y) u(y) dsy ∂ny ∂ny = Γ Định nghĩa Ta gọi hàm số sau hàm Green miền Ω G(x, y) := U ∗ (x, y) − Φ(x, y), x, y ∈ Ω, x = y (4.21) Định lý 17 (Công thức biểu diễn nghiệm sử dụng hàm Green) Nếu u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) nghiệm toán biên Dirichlet ∆u(x) = f (x), miền Ω, u|Γ = g(x) biên Γ ta có biểu diễn u(x) = − Γ ∂G (x, y)g(y) dsy − ∂ny G(x, y)f (y) dy Ω Đặc biệt, với hàm điều hòa u(x) miền Ω, ta có u(x) = − Γ ∂G (x, y)g(y) dsy ∂ny với x ∈ Ω Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 72 Như vậy, xây dựng hàm Green ta có cơng thức nghiệm cho tốn biên Dirichlet Tuy nhiên, việc làm khó, ta thành công việc xây dựng hàm Green cho miền Ω có cấu trúc hình học đơn giản Trước hết, ta xét số tính chất đơn giản hàm Green: i) Hàm Green có giá trị ln dương: G(x, y) > với x = y ii) Hàm Green có tính đối xứng: G(x, y) = G(y, x) với x = y 4.3.1 Hàm Green hình cầu cơng thức Poisson Ta xây dựng hàm Green cho hình cầu đơn vị B(0, 1) Tức là, ta tìm nghiệm tốn ∆y Φ(x, y) = B(0, 1) Φ = U ∗ (x, y) biên ∂B(0, 1) Hàm Green cho G(x, y) := U ∗ (x, y) − Φ(x, y) Định lý 18 Hàm Green hình cầu đơn vị xác định sau G(x, y) = U ∗ (x, y) − U ∗ (|y|x, y x ) = U ∗ (x, y) − U ∗ (|x|y, ) |y| |x| Công thức với n = Giả sử u(x) nghiệm toán biên ∆u(x) = 0, B(0, 1), u(x) = g(x) biên ∂B(0, 1) Công thức biểu diễn nghiệm ∂G (x, y)g(y) dsy ∂ny u(x) = − với x ∈ B(0, 1) ∂B(0,1) Ta có ∂G (x, y) = ∂ny n ny,i i=1 ∂G (x, y) = ∂yi n yi i=1 ∂G (x, y) ∂yi Theo công thức (4.22) ∂U ∗ ∂U ∗ x ∂G (x, y) = (x, y) − (|x|y, ) ∂yi ∂yi ∂yi |x| Mặt khác, ta có ∂U ∗ xi − yi (x, y) = , ∂yi nα(n) |x − y|n (4.22) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 73 x −1 ∂U ∗ yi |x|2 − xi yi |x|2 − xi (|x|y, ) = = − ∂yi |x| nα(n) (| |x|y − x |)n nα(n) |y − x|n |x| y ∈ ∂B(0, 1) Suy ∂G (x, y) = ∂ny n yi i=1 ∂G (x, y) ∂yi −1 = nα(n)|x − y|n n i=1 yi ((yi − xi ) − yi |x|2 + xi ) = −1 − |x| nα(n) |x − y|n Do đó, ta có công thức biểu diễn nghiệm u(x) = − |x|2 nα(n) ∂B(0,1) g(y) dsy |x − y|n với x ∈ B(0, 1) Bây ta xét toán miền hình cầu tâm O bán kính R: ∆u(x) = 0, B(0, R), u(x) = g(x) biên ∂B(0, R) với R > cho trước Khi hàm số u˜(x) = u(Rx) nghiệm toán biên Dirichlet miền hình cầu đơn vị với giá trị biên g˜(x) = g(Rx) Dùng phép đổi biến số ta nhận công thức Poisson u(x) = R2 − |x|2 nα(n)R ∂B(0,R) g(y) dsy |x − y|n với x ∈ B(0, R) (4.23) Hàm số K(x, y) := R2 − |x|2 nα(n)R |x − y|n với x ∈ B(0, R), y ∈ ∂B(0, R) gọi nhân Poisson cho hình cầu B(0, R) Định lý 19 Cho hàm số g ∈ C(∂B(0, R)) hàm số u cho cơng thức (4.23) Khi i) u ∈ C ∞ (B(0, R)), ii) ∆u = B(0, R), iii) lim B(0,R)∋x→x0 u(x) = g(x0 ) với điểm x0 ∈ ∂B(0, R) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 74 Dùng phương pháp đổi biến số hệ tọa độ cực, ta thu công thức nghiệm π u(r, ϕ) = 2π = 2π −π π −π 4.4 R2 − r g(R, θ) dθ, r − 2Rr cos(ϕ − θ) + R2 R2 − r gˆ(θ) dθ r − 2Rr cos(ϕ − θ) + R2 Giải toán Dirichlet mặt trịn Xét tốn biên Dirichlet miền Ω := {(x, y) : x2 + y ≤ a2 } ∆u = uxx + uyy = 0, u|Γ = g(x, y), biên Γ = {(x, y) : x2 + y = a2 }, (4.24) (4.25) a > 0, g hàm cho trước Ngồi việc áp dụng cơng thức Poisson, ta xác định nghiệm toán phương pháp tách biến Trong hệ tọa độ cực, phương trình Laplace có dạng ∂ r ∂r r ∂u ∂r + ∂2u = r ∂ϕ2 (4.26) Ta tìm nghiệm phương trình dạng tách biến u(r, ϕ) = R(r)Θ(ϕ) Thay vào phương trình (4.26) ta d dr r r d R dr r Θ dR dr + RΘ′′ = r dR dr =− Suy Θ′′ = λ, Θ λ số Từ đó, ta có r d dr Θ′′ + λΘ = 0, dR r − λR = dr (4.27) (4.28) Hàm u(r, ϕ) hàm điều hòa theo ϕ với chu kỳ 2π nên hàm Θ(ϕ) hàm điều hòa theo ϕ: Θ(ϕ) = Θ(ϕ + 2π) Nếu λ < 0, nghiệm phương trình vi phân (4.27) có dạng √ √ Θ(ϕ) = Ae −λϕ + Be− −λϕ Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 75 khơng phải hàm tuần hồn Với λ ≥ 0, nghiệm phương trình vi phân (4.27) có dạng √ √ Θ(ϕ) = A cos λϕ + B sin λϕ √ Do hàm Θ tuần hoàn với chu kỳ 2π theo ϕ nên λ = n, n số tự nhiên Θn (ϕ) = A cos(nϕ) + B sin(nϕ) Với λ = n2 , phương trình vi phân (4.28) có dạng r R′′ + rR′ − n2 R = (4.29) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (4.29) R0 (r) = C1 + C2 ln r với n = 0, Rn (r) = C3 r n + C4 r −n với n = 1, 2, Vậy nghiệm riêng phương trình (4.26) có dạng un (r, ϕ) = Rn (r)Θ(ϕ) = C1 + C2 ln r, với n = 0, n −n (C3 r + C4 r )(A cos(nϕ) + B sin(nϕ)) với n > (4.30) Vì u hàm điều hịa mặt trịn nên liên tục r = Do biểu thức nghiệm (4.30), hệ số ln r r −n triệt tiêu Vậy ta thu nghiệm riêng có dạng un (r, ϕ) = r n (An cos(nϕ) + Bn sin(nϕ)) Xét chuỗi ∞ r n (An cos(nϕ) + Bn sin(nϕ)) (4.31) n=0 Ta cần xác định An , Bn cho chuỗi hội tụ tổng hàm điều hịa thỏa mãn điều kiện biên (4.25) Với r → a, ta có ∞ n=0 an (An cos(nϕ) + Bn sin(nϕ)) = g(r, ϕ)|r=a = gˆ(ϕ) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 76 Do đó, ta tìm hệ số chuỗi Fourier π A0 = 2π gˆ(ϕ) dϕ = −π An = n πa Bn = πan α0 , (4.32) π gˆ(ϕ) cos(nϕ) dϕ = αn , an (4.33) gˆ(ϕ) sin(nϕ) dϕ = βn , an (4.34) −π π −π đó, với hệ số αn , βn ta có đánh giá |αn | = | π π gˆ(ϕ) cos(nϕ) dϕ| ≤ M, π |βn | = | π −π gˆ(ϕ) sin(nϕ) dϕ| ≤ M −π Suy ra, ta có đánh giá |r n (An cos(nϕ) + Bn sin(nϕ))| ≤ 2M Chuỗi ∞ rn r = 2M n a a α0 r + 2M a n=1 n ∀n ≥ n hội tụ với r ≤ r0 < a Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi (4.31) hội tụ theo (r, ϕ) với r ≤ r0 < a Tổng chuỗi N r n (An cos(nϕ) + Bn sin(nϕ)) u(r, ϕ) = lim N →+∞ (4.35) n=0 Như vậy, u(r, ϕ) giới hạn dãy hàm điều hòa hội tụ mặt tròn r < a Theo định lý Harnack hàm u hàm điều hòa mặt tròn r < a Người ta u hàm điều hòa r ≤ a với giả thiết gˆ(ϕ) hàm khả vi liên tục theo ϕ Vậy ∞ α0 r u(r, ϕ) = + a n=1 n (αn cos(nϕ) + βn sin(nϕ)) (4.36) αn = π π gˆ(ϕ) cos(nϕ) dϕ, βn = π −π π gˆ(ϕ) sin(nϕ) dϕ −π Bài tập Tìm hàm điều hịa u(x, y) hình trịn B1 (0) := {x2 + y < 1} thỏa mãn: u(x, y) = + 7x − 8y + 6xy biên x2 + y = Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 77 4.5 Các tính chất hàm điều hịa Trước hết, ta nhắc lại khái niệm hàm điều hòa miền Ω Hàm số u(x) ∈ C (Ω) gọi hàm điều hòa miền Ω ∆u = Định lý 20 (Nguyên lý cực đại) Giả sử Ω miền bị chặn liên thông Rn Giả sử u hàm số điều hòa liên tục Ω Khi đó, hàm u đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biên Γ = ∂Ω Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp chiều Xét hàm số v(x, y) = u(x, y) + ε(x2 + y ), ε > Ta có ∆v = ∆u + ε∆(x2 + y ) = 4ε > Do đó, hàm v không đạt giá trị cực đại bên miền Ω Vì ngược lại ta có vxx ≤ 0, vyy ≤ ∆v = vxx + vyy ≤ Mặt khác, hàm v hàm số liên tục miền đóng Ω nên đạt giá trị lớn miền Do hàm v không đạt cực đại điểm bên miền Ω nên đạt giá trị lớn điểm (x0 , y0 ) ∈ ∂Ω Do đó, với (x, y) ∈ Ω, ta có u(x, y) ≤ v(x, y) ≤ v(x0 , y0 ) = u(x0 , y0 ) + ε(x20 + y02) ≤ max u + ε(x20 + y02) ∂Ω Lấy giới hạn ε → với ý x20 + y02 bị chặn, ta thu bất đẳng thức sau: u(x, y) ≤ max u ∂Ω Như hàm số u đạt cực đại biên ∂Ω Một cách tương tự, ta chứng minh cho trường hợp cực tiểu Hệ suy ta trực tiếp từ nguyên lý cực đại là: Nếu u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) hàm điều hịa Ω u có giá trị biên u ≡ Ω Tức toán biên Dirichlet ∆u(x) = Ω u|Γ = có nghiệm nghiệm u ≡ Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 78 Mệnh đề Giả sử u hàm số điều hòa miền Ω ⊂ R2 liên tục Ω Giả sử M0 điểm thuộc Ω, ký hiệu Bε hình cầu tâm M0 bán kính ε nằm hồn tồn Ω Khi u(M0 ) = 2πε u(x, y) ds ∂Bε Mệnh đề Cho u ∈ C (Ω) hàm điều hòa miền Ω Khi u ∈ C ∞ (Ω) Định lý 21 (Liouville) Giả sử u : Rn → R hàm điều hịa giới nội Khi u số Định lý 22 (Bất đẳng thức Harnack) Với tập mở liên thông U Ω, tồn số dương C, phụ thuộc vào U, thỏa mãn sup u ≤ C inf u U U với hàm u điều hịa khơng âm Ω 4.6 Nghiệm yếu Phương pháp biến phân 4.6.1 Bài toán biên Dirichlet Cho miền Ω ⊂ Rn giới nội liên thông với biên đủ trơn Γ = ∂Ω Gọi n(x) vectơ pháp tuyến x, xác định hầu khắp nơi Γ Với x ∈ Ω, ta xét phương trình loại elliptic sau: n −∆u(x) + c(x)u(x) = − i=1 ∂ u(x) + c(x)u(x) = f (x), ∂x2i (4.37) c(x) ∈ C(Ω), c(x) ≥ ∀x ∈ Ω, f (x) ∈ L2 (Ω) Đạo hàm theo pháp tuyến ∂u(x) = n(x).∇u(x), ∂n với x ∈ Γ Công thức Green thứ Ω ∇u(x)∇v(x) dx = v(x)[−∆u(x)] dx + Ω Γ ∂u(x) v(x) dsx , ∂n (4.38) công thức Green thứ hai v(x)∆u(x) dx − Ω ∂u(x) v(x) dsx − ∂n u(x)∆v(x) dx = Ω Γ ∂v(x) u(x) dsx ∂n Γ (4.39) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 79 Xét tốn biên Dirichlet tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với x ∈ Ω, −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x), (4.40) với điều kiện biên Dirichlet u(x) = 0, với x ∈ Γ (4.41) Ta nghiên cứu tính tồn nghiệm tốn khơng gian thích hợp 4.6.2 Không gian Sobolev H01 (Ω) Xét không gian hàm bình phương khả tích L2 (Ω) miền Ω, với chuẩn  ||u||L2(Ω) :=  Ta định nghĩa không gian 1/2 Ω u2 (x) dx < +∞ H (Ω) := {u : u(x) ∈ L2 (Ω), uxi (x) ∈ L2 (Ω)} H01 (Ω) := {u : u(x) ∈ L2 (Ω), uxi (x) ∈ L2 (Ω), u|Γ = 0} ⊂ H (Ω) với chuẩn 1/2 n ||u||H 1(Ω) := ||u||2L2(Ω) + i=1 ||uxi ||2L2 (Ω) 1/2 n |u|H (Ω) := i=1 ||uxi ||2L2 (Ω) Một cách xác khơng gian H01 (Ω) bao đóng khơng gian C0∞ (Ω) với chuẩn || · ||H 1(Ω) Tức là, với u ∈ H01 (Ω), tồn dãy {un } ⊂ C0∞ (Ω) cho lim ||un − u||H (Ω) = n→∞ Không gian H (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng n u, v := (u, v)L2 (Ω) + (uxi , vxi )L2 (Ω) i=1 Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 80 4.6.3 Tốn tử Elliptic Cho X khơng gian Hilbert X ′ không gian đối ngẫu X Định nghĩa Toán tử A : X → X ′ gọi X-elliptic Av, v ≥ cA ||v||X với v ∈ X, (4.42) cA số dương Với tốn tử tuyến tính elliptic A ta có định lý tồn nghiệm sau Định lý 23 (Lax-Migram) Giả sử A : X → X ′ toán tử bị chặn X- elliptic Khi đó, với f ∈ X ′ , tồn nghiệm phương trình Au = f thỏa mãn đánh giá ||u||X ≤ ||f ||X ′ cA (4.43) Chứng minh Xem [6] Định lý Lax-Migram có dạng khác sau Định lý 24 (Lax-Migram) Cho X không gian Hilbert V ⊂ X không gian trù mật X Giả sử a : X × V → R song tuyến tính thỏa mãn i) Với v ∈ V , dạng tuyến tính u → a(u, v) liên tục X ii) Tồn cA > cho a(v, v) ≥ cA ||v||V với v ∈ V Khi với f ∈ X ′ , tồn u ∈ X thỏa mãn ||u||X ≤ ||f ||X ′ cA a(u, v) = f, v với v ∈ V Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 81 4.6.4 Bài toán yếu Xét toán biên Dirichlet −∆u(x) + c(x)u(x) = f (x) với x ∈ Ω, u(x) = với x ∈ Γ (4.44) Công thức Green thứ ∂u(x) v(x) dsx − ∂n a(u, v) = v(x)∆u(x) dx + Ω Γ c(x)u(x)v(x) dx Ω với u ∈ H (Ω), hàm thử v ∈ H (Ω), tức ta có a(u, v) = f, v Ω + ∂u ,v ∂n (4.45) Γ a(·, ·) dạng song tuyến tính đối xứng n a(u, v) = i=1 Ω ∂u(x) ∂v(x) dx + ∂xi ∂xi c(x)u(x)v(x) dx (4.46) Ω Ngoài ra, u, v Ω := u(x)v(x) dx, ϕ, ψ Γ := Ω ϕ(x)ψ(x) dsx Γ Với hàm thử v ∈ H01 (Ω), ta có a(u, v) = f, v Ω Định nghĩa Giả sử f ∈ L2 (Ω) Người ta gọi nghiệm (yếu) toán (4.44) hàm u ∈ H01 (Ω) thỏa mãn a(u, v) = f, v Ω với v ∈ H01 (Ω) (4.47) Bổ đề Dạng song tuyến tính a(·, ·) : H (Ω) × H (Ω) → R bị chặn, thỏa mãn |a(u, v)| ≤ cA ||u||H (Ω) ||v||H (Ω) với u, v ∈ H (Ω), cA số dương Bổ đề Với dạng song tuyến tính a(·, ·), ta có a(v, v) ≥ λ0 |v|2H (Ω) λ0 số dương với v ∈ H (Ω), (4.48) Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 82 Định lý 25 Dạng song tuyến tính (4.46) H01 (Ω)−elliptic, nghĩa a(v, v) ≥ cA ||v||H (Ω) với v ∈ H01 (Ω) (4.49) Sử dụng định lý Lax-Migram, ta thiết lập tính tồn nghiệm toán biên Dirichlet sau Định lý 26 Với f ∈ L2 (Ω), tồn nghiệm (yếu) u ∈ H01 (Ω) toán biên Dirichlet (4.44), thỏa mãn ||u||H 1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) , cA (4.50) cA số dương Chứng minh Theo định nghĩa, nghiệm yếu toán biên Dirichlet (4.44) hàm u ∈ H01 (Ω) cho a(u, v) = f, v Ω với v ∈ H01 (Ω) (4.51) Dạng song tuyến tính a(·, ·) : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R bị chặn (Bổ đề 3) H01(Ω)−elliptic (Định lý 25) Theo định lý Lax-Migram, tồn nghiệm yếu u ∈ H01 (Ω) thỏa mãn (4.51) Mặt khác, từ tính chất H01 (Ω)-elliptic dạng song tuyến tính a(·, ·), ta có cA ||u||H (Ω) ≤ a(u, u) = f, u Ω ≤ ||f ||L2(Ω) ||u||L2(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) ||u||H 1(Ω) Suy ||u||H 1(Ω) ≤ ||f ||L2(Ω) cA Bài tập Bài Chứng minh bổ đề Bài Kiểm tra điều kiện tương thích tốn biên Neumann sau ∆u = Ω, ∂u = 2x2 + 2xy + 4y + x biên Γ, ∂n Ω mặt trịn đơn vị Ω := {(x, y) : x2 + y < 1}, Γ := ∂Ω Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội 83 Bài Chứng minh hàm u(x, y, z) khả vi liên tục hai lần miền Ω ∂u ds = ∂n S mặt S kín nằm Ω hàm u(x, y, z) hàm điều hịa Ω Bài Cho phương trình ∆u + a ∂u ∂u ∂u +b +c + du = ∂x ∂y ∂z a, b, c, d số Hãy tìm phép hàm v(x, y, z) = ϕ(x, y, z)u(x, y, z) để đưa phương trình ∆v + λv = với λ số Bài Cho phương trình Helmholz không gian chiều −∆u − k u = a) Tìm nghiệm phương trình phụ thuộc r, không phụ thuộc ϕ, θ b) Tìm biểu diễn tích phân nghiệm phương trình nói qua giá ∂u trị u mặt S ∂n Bài Tìm nghiệm tốn biên Dirichlet sau: ∆u = Ω, u|Γ = − 4y − 4xy , Ω mặt tròn x2 + y < 4, Γ := ∂Ω Bài Tìm nghiệm tốn biên Dirichlet sau: ∆u = 2x Ω, u|Γ = x − x3 − 2xy , Ω mặt tròn đơn vị x2 + y < 1, Γ := ∂Ω Bài Dùng công thức Poisson để tính trực tiếp nghiệm tốn biên Dirichlet ∆u = Ω, u|Γ = cos θ, Ω mặt tròn x2 + y < R2 , Γ := ∂Ω Bài Cho u(r, ϕ) hàm điều hòa mặt phẳng Chứng minh hàm ∂u v(r, ϕ) = r hàm điều hòa mặt phẳng Từ dựa cơng ∂r thức Poisson, tìm cơng thức nghiệm tốn Neumann mặt tròn Phan Xuân Thành - Đại học Bách Khoa Hà Nội Tài liệu tham khảo [1] Đinh Nho Hào Introduction to partial differential equations Lecture Notes, 1996 [2] Lawrence C Evans Partial Differential Equations Graduate Studies in Mathematics Volume 19, American Mathematical Society, 1997 [3] Nguyễn Mạnh Hùng Phương trình đạo hàm riêng NXB Đại học sư phạm, 2008 [4] Nguyễn Thừa Hợp Giáo trình phương trình đạo hàm riêng NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2002 [5] Nguyễn Đình Trí, Nguyễn Trọng Thái Phương trình vật lý toán NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1971 [6] Olaf Steinbach Numerical approximation methods for elliptic boundary value problems Finite and boundary elements Springer, New York, 2008 [7] Trần Đức Vân Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 84