Nguyên hàm các hàm lượng giác

Tích phân Trần Só Tùng Trang 50 Vấn đề 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản. 2. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản. 3. Phương pháp đổi biến. 4. Phương pháp tích phân từng phần. 1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng việc sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản. Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: dx I sin(xa)sin(xb) = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức: sin(ab)sin[(xa)(xb) 1 sin(ab)sin(ab) -+-+ == -- · Bước 2: Ta được: dx1sin[(xa)(xb)] Idxdx sin(xa)sin(xb)sin(ab)sin(xa)sin(xb) +-- == ++-++ òò 1sin(xa).cos(xb)cos(xa).sin(xb) dx sin(ab)sin(xa)sin(xb) 1cos(xb)cos(xa) dxdx sin(ab)sin(xb)sin(xa) 1 [ln|sin(xb)}ln|sin(xa)|]C sin(ab) 1sin(xb) lnC. sin(ab)sin(xa) ++-++ = -++ ++éù =- êú -++ ëû =+-++ - + =+ -+ ò òò Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: 1. dx I cos(xa)cos(xb) = ++ ò , sử dụng đồng nhất thức sin(ab) 1. sin(ab) - = - 2. dx I sin(xa)cos(xb) = ++ ò , sử dụng đồng nhất thức cos(ab) 1. cos(ab) - = - Trần Só Tùng Tích phân Trang 51 Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f(x) sinx.cosx 4 = p ỉư + ç÷ èø . Giải: · Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản Sử dụng đồng nhất thức: cosxx cos 4 4 12cosxx. 4 2 cos 4 2 éùp ỉư p +- ç÷ êú éùp ỉư èø ëû ===+- ç÷ êú p èø ëû Ta được: cosxx cosxcosxsinxsinx 4 44 F(x)2dx2 sinx.cosxsinx.cosx 44 éù p ỉư pp ỉưỉư +- +++ ç÷ ç÷ç÷ êú èø ëûèøèø == pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø òò sinx cosx 4 2dxdx sinx cosx 4 sinx 2ln|sinx|lncosxC2lnC 4 cosx 4 éùp ỉư + ç÷ êú èø êú =+ p ỉư êú + ç÷ êú èø ëû éù p ỉư =-++=+ êú ç÷ p ỉư èø ëû + ç÷ èø òò · Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm f(x) Ta có: 2 dxdx F(x)22 sinx.(cosxsinx) sinx(cotgx1) == - - òò d(cotgx)d(cotgx1) 222lncotgx1C. cotgx1cotgx1 - =-=-=--+ -- òò Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: dx I sinxsin = +a ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi I về dạng: dx1dx I(1) xx sinxsin2 sin.cos 22 == +a-a +a òò · Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1). Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: 1. dx I,với|m|1 sinxm =£ + ò 2. dxdx IvàI,với|m|1 cosxcoscosxm ==£ +a+ òò . Tích phân Trần Só Tùng Trang 52 Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1 f(x) 2sinx1 = + . Giải: Biến đổi f(x) về dạng: 11111 f(x) (1) 6x6x 1 24 sinxsinsin.cos 2sinx 61212 2 === p+p-p ỉư + + ç÷ èø Sử dụng đồng nhất thức: 6x6x cos cos 26x6x 1212 6 1cos 1212 33 cos 6 2 +p-p p ỉư - ç÷ +p-p ỉư èø ===- ç÷ p èø Ta được: 3x6x cos 1 1212 F(x) 66x 23 sin.cos 1212 +p-p ỉư - ç÷ èø = +p-p ò 6x6x6x6x cos.cossin.sin 1 12121212 6x6x 23 sin.cos 1212 6x6x cossin 1 1212 dxdx 6x6x 23 sincos 1212 6x sin 16x6x1 12 lnsinlncosClnC. 6x 1212 233 cos 12 +p-p+p-p + = +p-p +p-p éù êú =+ êú +p-p êú ëû +p éù+p+p =-+=+ êú -p ëû ò òò Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: Itgx.tg(x)dx.=+a ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi I về dạng: sinx.sin(x) Itgx.tg(x)dxdx cosx.cos(x) cosx.cos(x)sinx.sin(x) 1dx cosx.cos(x) cosdxdx dxcosx(1) cosx.cos(x)cosx.cos(x) +a =+a= +a +a++a ỉư =- ç÷ +a èø a =-=a- +a+a òò ò òòò · Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1). Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau: Trần Só Tùng Tích phân Trang 53 1. Itg(x).cotg(x)dx.=+a+b ò 2. Icotg(x).cotg(x)dx.=+a+b ò Ví dụ 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)tgx.tgx 4 p ỉư =+ ç÷ èø . Giải: Biến đổi f(x) về dạng: sinx.sinxcosx.cosxsinx.sinx 444 f(x)1 cosx.cosxcosx.cosx 44 ppp ỉưỉưỉư ++++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø ==- pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø cos 21 4 1.1. 2 cosx.cosxcosx.cosx 44 p =-=- pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø Khi đó: 2dx2dx F(x)dxx(1) 22 cosx.cosxcosx.cosx 44 =-=-+ pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø òòò Để đi xác đònh : dx J cosx.cosx 4 = p ỉư + ç÷ èø ò ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản. Sử dụng đồng nhất thức: sinxx sin 4 4 12sinxx 4 2 sin 4 2 éù p ỉư p +- ç÷ êú éùp ỉư èø ëû ===+- ç÷ êú p èø ëû Ta được: sinxx sinxcosxcosxsinx 4 44 J2dx2dx cosx.cosxcosx.cosx 44 sinx sinx 4 2dxdx2lncosxxlncosxC cosx4 cosx 4 cosx 2ln éùp ỉư pp ỉưỉư +- +-+ ç÷ ç÷ç÷ êú èø ëûèøèø == pp ỉưỉư ++ ç÷ç÷ èøèø éùp ỉư + ç÷ êú éù p ỉư èø =-=-+++ êú ç÷ êú p èøỉư ëû êú + ç÷ êú èø ëû = òò òò C2ln1tgxC. cosx 4 +=--+ p ỉư + ç÷ èø · Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm dưới dấu tích phân Ta có: 2 dxdx J22 cosx.(cosxsinx) cosx(1tgx) == -- òò Tích phân Trần Só Tùng Trang 54 d(tgx)d(1tgx) 222ln1tgxC 1tgx1tgx - ==-=--+ -- òò Vậy ta được: F(x)xln1tgxC.=---+ Dạng 4: Tính tích phân bất đònh: dx I asinxbcosx = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta có thể lựa chọn hai cách biến đổi: · Cách 1: Ta có: 2222 2222 2 22 1dx1dx I xx sin(x) abab 2sincos 22 x dtg 1dx1 2 xxx abab 2tgcostg 222 1x lntgC. 2 ab == +a+a +a ++ +a ỉư ç÷ èø == +a+a+a ++ +a =+ + òò òò · Cách 2: Ta có: 2 2222 2 2222 1dx1sin(x)dx I sin(x) sin(x) abab 1d[cos(x)]1cos(x)1 lnC. cos(x)1cos(x)1 ab2ab +a == +a +a ++ +a+a- =-=-+ +a++a- ++ òò ò Chú ý: Chúng ta cũng có thể thực hiện bằng phương pháp đại số hoá với việc đổi biến: x ttg. 2 = Ví dụ 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 f(x) 3sinxcosx = + . Giải: Ta có: 2dxdxdx F(x) xx 3sinxcosx sinx2sincos 6212212 === ppp ỉưỉưỉư + +++ ç÷ç÷ ç÷ èøèø èø òòò 2 x dtg dxx 212 lntgC. xxx 212 2tgcostg 212212212 éù p ỉư + ç÷ êú p èø ëû ===++ ppp ỉưỉưỉư +++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø òò Dạng 5: Tính tích phân bất đònh: 11 22 asinxbcosx Idx. asinxbcosx + = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: Trần Só Tùng Tích phân Trang 55 · Bước 1: Biến đổi : 112222 asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)+=++- · Bước 2: Khi đó: 2222 22 A(asinxbcosx)B(acosxbsinx) Idx asinxbcosx ++- = + ò 22 22 22 acosxbsinx AdxBdxAxBlnasinxbcosxC asinxbcosx - =+=+++ + òò Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 4sinx3cosx f(x) sinx2cosx + = + . Giải: Biến đổi: 4sinx3cosxa(sinx2cosx)b(cosx2sinx)+=++- (a2b)sinx(2ab)cosx=-++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: a2b4a2 2ab3b1 -== ìì Û íí +==- ỵỵ Khi đó: 2(sinx2cosx)(cosx2sinx)cosx2sinx f(x)2. sinx2cosxsinx2cosx +--- ==- ++ Do đó: cosx2sinxd(sinx2cosx) F(x)2dx2dx sinx2cosxsinx2cosx -+ ỉư =-=- ç÷ ++ èø òò 2xlnsinx2cosxC=-++ Dạng 6: Tính tích phân bất đònh: 11 2 22 asinxbcosx Idx (asinxbcosx) + = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi : 112222 asinxbcosxA(asinxbcosx)B(acosxbsinx)+=++- · Bước 2: Khi đó: 2222 2 22 A(asinxbcosx)B(acosxbsinx) Idx (asinxbcosx) ++- = + ò 22 2 22 22 dxacosxbsinx ABdx asinxbcosx(asinxbcosx) - =+ + + òò 22 22 22 22 22 22 AdxB sin(x)asinxbcosx ab AxB ln|tg|C 2asinxbcosx ab =- +a+ + +a =-+ + + ò Trong đó 22 2222 2222 ba sinvàcos abab a=a= ++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 56 Ví dụ 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 8cosx f(x) 23sin2xcos2x = +- . Giải: Biến đổi: 222 8cosx8cosx f(x) 3sinx23sinxcosxcosx(3sinxcosx) == +++ Giả sử: 8cosxa(3sinxcosx)b(3cosxsinx)(a3b)sinx(a b3)cosx=++-=-++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: a2 a3b0 b23 ab3 ì = ì -= ïï Û íí = ï += ï ỵ ỵ Khi đó: 223(3cosxsinx) f(x) 3sinxcsx(3sinxcosx) - =- ++ Do đó: 2 2dxd(3sinxcosx) F(x)23 3sinxcosx(3sinxcosx) + =- ++ òò 1x23 lntgC. 2212 3sinxcosx p ỉư =+-+ ç÷ èø + Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: 2dx1x lntgC 2212 3sinxcosx p ỉư =++ ç÷ èø + ò Dạng 7: Tính tích phân bất đònh: dx I asinxbcosxc = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét 3 khả năng sau: 1. Nếu 22 cab=+ Ta thực hiện phép biến đổi: 2 1111 . x asinxbcosxcc[1cos(x)]2c cos 2 == -a +++-a trong đó 2222 ab sinvàcos abab a=a= ++ Khi đó: 22 x d 1dx11x 2 ItgC. xx 2cc22 coscos 22 -a ỉư ç÷ -a èø ===+ -a-a òò 2. Nếu 22 cab=-+ Ta thực hiện phép biến đổi: Trần Só Tùng Tích phân Trang 57 2 1111 . x asinxbcosxcc[1cos(x)]2c sin 2 == -a ++--a trong đó 2222 ab sinvàcos abab a=a= ++ Khi đó: 22 x d 1dx11x 2 IcotgC. xx 2ccc2 sinsin 22 -a ỉư ç÷ -a èø ===+ -a-a òò 3. Nếu 222 cab¹+ Ta thực hiện phép đổi biến x ttg. 2 = Khi đó: 2 222 2dt2t1t dx,sinx&cosx. 1t1t1t - === +++ Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh 2dx I 2sinxcosx1 = -+ ò . Giải: Đặt: x ttg, 2 = ta được: 22 2 2 111x12dt dt.dx1tgdx(1t)dxdx x 2222 1t cos 2 ỉư ==+=+Þ= ç÷ èø + Khi đó: 2 222 22 4dt x tg1 2dtd(t1)t1 1t2 I2lnClnC x t1 4t1tt2t(t1)1 tg1 1 2 1t1t - +- + ====+=+ + -++- + -+ ++ òòò x lntgC. 24 p ỉư =-+ ç÷ èø Dạng 8: Tính tích phân bất đònh: 111 122 asinxbcosxc Idx. asinxbcosxc ++ = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi: 11122222 asinxbcosxcA(asinxbcosxc)B(acosxbsinx)C++=+++-+ · Bước 2: Khi đó: 22222 222 22 222222 A(asinxbcosxc)B(acosxbsinx)C I asinxbcosxc acosxbsinx dx AdxBdxC asinxbcosxcasinxbcosxc +++-+ = ++ - =++ ++++ ò òòò Tích phân Trần Só Tùng Trang 58 222 222 dx AxBlnasinxbcosxcC asinxbcosxc =++++ ++ ò trong đó 222 dx asinxbcosxc++ ò được xác đònh nhờ dạng 4. Ví dụ 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 5sinx f(x). 2sinxcosx1 = -+ . Giải: Giả sử: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c = (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c. Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2ab5a2 2ba0b1 ac0c2 +== ìì ïï -=Û= íí ïï +==- ỵỵ Khi đó: 2(2sinxcosx1)(2cosxsinx)2 f(x) 2sinxcosx1 -+++- = -+ 2cosxsinx2 2 2sinxcosx12sinxcosx1 + =+- -+-+ Do đó: 2cosxsinx2 F(x)2dxdxdx 2sinxcosx12sinxcosx1 + =+- -+-+ òòò d(2sinxcosx1)2dx 2dx 2sinxcosx12sinxcosx1 x 2xln|2sinxcosx1|lntgC. 22 -+ =+- -+-+ p ỉư =+-+--+ ç÷ èø òò Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 7 là: 2dxx lntgC. 2sinxcosx124 p ỉư =-+ ç÷ -+ èø ò Dạng 9: Tính tích phân bất đònh: 22 111 22 asinxbsinxcosxccosx Idx. asinxbcosx ++ = + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi: 22 111 asinxbsinx.cosxccosx++ 22 22 (AsinxBcosx)(asinxbcosx)C(sinxcosx)=++++ · Bước 2: Khi đó: 22 22 22 (AsinxBcosx)(asinxbcosx)C Idx asinxbcosx dx (AsinxBcosx)dxC asinxbcosx +++ = + =++ + ò òò Trần Só Tùng Tích phân Trang 59 22 22 22 22 Cdx AcosxBsinx sin(x) ab Cx AcosxBsinxln|tg|C 1 ab =-++ +a + +a =-+++ + ò trong đó 22 2222 2222 ba sinvàcos abab a=a= ++ . Ví dụ 9: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 4sinx1 f(x) 3sinxcosx + = + . Giải: Giả sử: 22222 4sinx15sinxcosx(asinxbcosx)(3sinxcosx)c(sinxcosx)+=+=++++ 22 (a3c)sinx(ab3)sinx.cosx(bc)cosx.=+++++ Đồng nhất đẳng thức, ta được: a3c5 a3 ab30b1 bc1c2 ì += ì = ï ï í +=Û=- í ï ï +== ỵỵ Do đó: 2dx F(x)(3sinxcosx)dx 3sinxcosx =-- + òò 1x 3cosxsinxlntgC. 2212 p ỉư =---++ ç÷ èø Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tận dụng kết quả trong ví dụ 4 là: 2dx1x lntgC. 2212 3sinxcosx p ỉư =++ ç÷ èø + ò Dạng 10: Tính tích phân bất đònh: 22 dx I. asinxbsinxcosxccosx = ++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: · Bước 1: Biến đổi I về dạng: 22 dx I (atgxbtgxc)cosx = ++ ò · Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: t = tgx Suy ra: 2222 1dxdt dtdx& cosx(atgxbtgxc)cosxatbtc == ++++ Khi đó: 2 dt I. atbtc = ++ ò Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: 22 dx I 3sinx2sinxcosxcosx = -- ò [...]... 2 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác sử dụng các phép biến đổi lượng giác PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng quen thuộc Các phép biến đổi thường dùng bao gồm: · Phép biến đổi tích thành tổng (chúng ta đã thấy trong phương pháp phân tích) · Hạ bậc · Các kỹ thuật... 3x.cos x) = sin 4x 4 4 Khi đó: F(x) = 3 3 ò sin 4xdx = - 16 cos 4x + C 4 2.3 Sử dụng các phép biến đổi lượng giác khác nhau Ở đây ngoài việc vận dụng một cách linh hoạt các công thức biến đổi lượng giác các em học sinh còn cần thiết biết các đònh hướng trong phép biến đổi Ví dụ 14: (ĐHNT TP.HCM_99): Tìm họ nguyên hàm của hàm số : a/ f(x) = sin x - cos x ; sin x + cos x b/ f(x) = cos2x sin x + cos x Giải:... - t2 1 +C= ln t 2 2 + 1 + sin 2 x + C cos x 4 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Chúng ta đã được biết trong vấn đề: Xác đònh nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần, đối với các dạng nguyên hàm: Dạng 1: Tính: ò P(x)sin axdx hoặc ò P(x) cos axdx với P là một đa thức thuộc R[x] và a Ỵ R* ì... cos 9x) + C 4 3 5 9 Tổng quát: Cách tính phân dạng: ò sin m x.cos n xdx với m, n là những số nguyên được tính nhờ các phép biến đổi hoặc dùng công tức hạ bậc 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tính tích phân bất đònh sau: I = ò R(sin x, cos x)dx trong đó R là hàm hữu tỉ Ta lựa chọn một trong các hướng sau: – Hướng 1: Nếu R(-... 2 ø Chú ý: Nếu hàm f(x) là tích của nhiều hơn 2 hàm số lượng giác ta thực hiện phép biến đổi dần, cụ thể ta đi xem xét ví dụ sau: Trang 60 Trần Só Tùng Tích phân ỉp ư ỉp ư Ví dụ 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = tgxtg ç - x ÷ tg ç + x ÷ è3 ø è3 ø Giải: ỉp ư ỉp ư sin x.sin ç - x ÷ sin ç + x ÷ è3 ø è3 ø Ta có: f(x) = ỉp ư ỉp ư cos x.cos ç - x ÷ cos ç + x ÷ è3 ø è3 ø (1) Sử dụng các phép biến đổi... sẽ lần lượt xem xét các ví dụ mẫu 2.1 Sử dụng phép biến đổi tích thành tổng: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau: 1 a/ cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x - y)] c/ 2 1 b/ sinx.siny = [cos(x - y) - cos(x + y)] d/ 2 1 sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x - y)] 2 1 cosx.siny = [sin(x + y) - sin(x - y)] 2 Ví dụ 11: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.cos5x (ĐHAN–97) Giải: 1 Sử dụng các phép biến đổi tích... 12 cos3x 12 2.2 Sử dụng phép hạ bậc: Ở đây chúng ta nhớ lại các công thức sau: 1 - cos2x 3sin x - sin 3x a/ sin 2 x = c/ sin 3 x = 2 4 1 + cos x 3 cos x + cos3x b/ cos2 x = d/ cos3 x = 2 4 được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính cục bộ, còn hằng đẳng thức: sin 2 x + cos2 x = 1 được sử dụng trong các phép hạ bậc mang tính toàn cục cho các biểu thức, ví dụ như: 1 1 sin 4 x + cos4 x = (sin 2 x +... cos x) thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là t = tgx (đôi khi có thể là t = cotgx) Do đó với các tích phân dạng: 1 I = ò tg n xdx, với n Ỵ Z được xác đònh nhờ phép đổi biến t = tgx 2 I = ò cot g n xdx, với n Ỵ Z được xác đònh nhờ phép đổi biến t = cotgx – Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi x biến t = tg 2 Ví dụ 16: (ĐHNT Tp.HCM_97): Tính tích phân bất đònh:... = 1 - (1 - cos 4x) 2 4 1 3 = cos 4x + 4 4 3 sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x)3 - 3sin 2 x + cos2 x) = 1 - sin 2 2x 4 3 3 5 = 1 - (1 - cos 4x) = cos 4x + 8 8 8 Ví dụ 13: (HVQHQT_98): Tìm họ nguyên hàm của hàm số : a/ f(x) = sin3 x.si n3x b/ f(x) = sin 3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x Giải: Trang 61 Tích phân Trần Só Tùng a/ Biến đổi f(x) về dạng: f(x) = 3sin x - sin x 3 1 sin 3x = sin 3x.sin x - sin 2... đổi I về dạng: I = Khi đó: I = - ò cos x dx cos x ỉ x -ò = - 2 - ò d ç ln tg sin 2 x sin x sin x 2 è Trang 65 ư cos x x ÷ = - 2 - ln tg + C sin x 2 ø Tích phân Trần Só Tùng BÀI TẬP Bài 28 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: a/ f(x) = c/ f(x) = f/ ĐS: 1 pư ỉ cos x cos ç x + ÷ è 4ø cos2 x sin x + 3 cos x b/ f(x) = d/ f(x) = f(x) = (sin 4x + cos 4x)(sin 6x + cos6x) a/ - 2 ln 1 - tgx + C; b/ - 1 2 + sin x - cos . DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯNG GIÁC ĐƯA VỀ CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác sử dụng các phép biến đổi lượng giác PHƯƠNG. 8: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các