Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN VIẾT CHIẾN SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA CỦA CHẤT BỊ HÚT BÁM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Định lý nhúng 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa 1.2.3 Toán tử quạt khơng gian L2 1.3 Phương trình tiến hóa tựa tuyến tính song tuyến tính Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha bị hút bám với điều kiện biên Neumann 2.1 Nghiệm địa phương 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 4 8 12 14 16 chất 24 25 35 35 39 41 42 Mở đầu Năm 1990, Jakubith nghiên cứu q trình oxy hóa phân tử CO bề mặt nguyên tử Pt(110) Ông khám phá bề mặt nguyên tử Pt, trình phân tử CO hấp thụ nguyên tử O để tạo phân tử khí Cacbonic diễn phức tạp Vì vậy, để hiểu chế tượng trên, Hildebrand - Kuperman - Wio - Mikhailov - Ertl [2] Hildebrand - Ipsen - Mikhailov - Ertl [1] trình bày mơ hình động lực học đơn giản phản ứng có tên gọi mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám Nội dung luận văn nghiên cứu mô hình với điều kiện biên Neumann Luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết bao gồm: Định nghĩa không gian hàm bản; Định nghĩa tốn tử quạt tính chất liên quan; Các định lý nhúng; Bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính Chương Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm tồn cục mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann, gồm hai bước: Đầu tiên, ta chứng minh tồn nghiệm địa phương cách viết lại mơ hình dạng tốn Cauchy trừu tượng Sau đó, ta xây dựng đánh giá tiên nghiệm cho nghiệm địa phương, sử dụng đánh giá chứng minh tồn nghiệm tồn cục mơ hình cho Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [3] [5] Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập tơi Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Viết Chiến Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian Hăolder, khụng gian Sobolev, toỏn t qut thng c s dụng nghiên cứu tốn phương trình vi phân đạo hàm riêng Cuối cùng, ta trình bày tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa tựa tuyến tính Chứng minh chi tiết kết xem [5] 1.1 1.1.1 Những không gian hàm Các định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X, Y không gian Banach, tập mở Ω ⊂ X Ta có định nghĩa khơng gian hàm sau Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n Rn+ = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n, xi > C([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f liên tục [a, b] C m ([a, b]; X) = f : [a, b] → X : f khả vi liên tục đến cấp m L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ f đo Ω : Lp (Ω) = Ω L∞ (Ω) = f đo Ω : ess sup|f | < +∞ , Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω Ω Lploc (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω Chương Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2 Cho X không gian Banach a) Kí hiệu B ([a, b] ; X) = u : [a, b] → X : u bị chặn [a, b] Khi B ([a, b] ; X) không gian Banach với chuẩn u = sup B ∀u ∈ B ([a, b] ; X) u(t) , a≤t≤b −η b) Cho η > 0, không gian B{a} ((a, b] ; X) = u : (a, b] → X : (t − a)η u ∈ B ((a, b] ; X) Không gian trang bị chuẩn u = sup (t − a)η u(t) = −η B{a} (t − a)η u a cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω; < γ ≤ Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz ¯ = u : Ω → R : u bị chặn liên tục Ω với chuẩn b) Không gian C Ω u C(Ω) := sup |u(x)| x∈Ω c) Cho m = 0, 1, 2, số mũ σ thỏa < σ < 1, không gian C m,σ ([a, b] , X) = u ∈ C m ([a, b] , X) : u(m) (t) liờn tc Hă older bc Khụng gian trang bị chuẩn u C m,σ = u Cm + sup u(m) (t) − u(m) (s) a≤s Do vậy, ta thu d dt |∇u|2 dx + a Ω |∆u|2 dx + 2g Ω |∇u|2 dx ≤ p( ρ0 H ) (2.28) Ω Mặt khác từ (1.30) áp dụng cơng thức Green ta có d dt |∇∆ρ|2 dx = −2 Ω ( ∂ ∆ρ)∆2 ρ dx ∂t Ω Ta tác động ∆ vào phương trình thứ hai (2.1) nhân phương trình thu với ∆2 ρ Sau đó, lấy tích phân kết Ω, ta thu |∇∆ρ|2 dx + b d dt Ω Ω Ω ∆Q(u, ρ)∆2 ρdx ≤ = − |∇∆ρ|2 dx ∆2 ρ dx + v b Ω Ω |∆Q(u, ρ)|2 dx ∆2 ρ dx + C Ω Thơng qua tính tốn trực tiếp, ta thấy ∆Q(u, ρ) = 2Quρ ∇u.∇ρ + Qρρ |∇ρ|2 + Qu ∇u + Qρ ∇ρ Do đó, ta có |∆Q(u, ρ)|2 ≤ C(|∇u|2 + |∇ρ|2 + |∇u|2 |∇ρ|2 + |∇ρ|4 ) Sau ta sử dụng ước lượng (2.26) (2.27) để đến đánh giá d dt |∇∆ρ|2 dx + b Ω |∇∆ρ|2 dx ≤ ζ ∆u ∆2 ρ dx + 2v Ω L2 + Cζ p( ρ0 H ), Ω với ζ > Đặt ζ = a4 , ta cộng bất phương trình tích phân với (2.28) có |∇u|2 + |∇∆ρ|2 dx + d dt a |∆u| dx Ω Ω 2 2g|∇u| + 2v|∇∆ρ| dx ≤ p ( ρ0 + + b ∆2 ρ H2 ) Ω Áp dụng (2.22) giải bất phương trình ta thu u(t) H1 + ρ(t) H3 ≤ Ce−δt u0 H1 + ρ0 H3 + (p ρ0 với δ > Từ ta suy điều phải chứng minh 38 H ), ≤ t ≤ TU , (2.29) Chương Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 2.3 Với U0 ∈ K, toán (2.1) có nghiệm tồn cục khơng gian   u ∈ C (0, ∞); H (Ω) ∩ C [0, ∞); H (Ω) ∩ C ((0, ∞); L2 (Ω)) N  ρ ∈ C (0, ∞); H4 (Ω) ∩ C [0, ∞); H3 (Ω) ∩ C (0, ∞); H (Ω) , N N N2 (2.30) cho ≤ u(t) ≤ 1, ≤ ρ(t) ≤ , ∀ ≤ t < ∞ (2.31) Hơn nữa, nghiệm U (t; U0 ) thỏa mãn ước lượng U (t; U0 ) D2 ≤ p e−δt p U0 + , ≤ t < ∞, U0 ∈ K, D2 (2.32) với δ > hàm p(.) liên tục tăng phụ thuộc hệ số ban đầu tốn miền Ω, khơng phụ thuộc vào U0 Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tồn nghiệm tồn cục tốn Giả sử U nghiệm địa phương toán (2.1) [0, T ] Lấy T1 thỏa < T1 < T Khi nhờ đánh giá tiên nghiệm ta suy U (T1 ) ≤ C0 , với C0 phụ thuộc vào U0 Do vậy, ta xét toán Cauchy sau   dV + AV (V ) = F (V ) , < t < ∞, dt  V = U (T ) (2.33) Theo Định lý 1.7 tồn số τ > cho tốn có nghiệm địa phương V (t) [0, τ ] hay tốn cho có nghiệm [T1 , T1 + τ ] Ta thấy τ phụ thuộc vào V0 = U (T1 ) nên suy τ phụ thuộc vào U0 Từ đó, ta chọn giá trị T1 = T − τ2 đặt   U (t) , ∀ t ∈ [0, T1 ] , U˜ (t) =  V (t) , ∀t ∈ [T , T + τ ] 1 Do tính nghiệm địa phương, ta suy U˜ (t) = U (t) [0, T ] Như vậy, nghiệm địa phương U (2.1) mở rộng từ [0, T ] thành 0, T + τ2 Mỗi 39 Chương Sự tồn nghiệm mô hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann lần nghiệm địa phương xác định khoảng mở rộng thêm đoạn cố định τ phụ thuộc vào U0 Tiếp tục trình ta thu nghiệm tồn cục tốn Cuối cùng, ta chứng minh nghiệm toàn cục U (t; U0 ) thỏa mãn ước lượng D2 U (t; U0 ) ≤ p e−δt p U0 + , ≤ t < ∞, U0 ∈ K, D2 (2.34) với δ > p(.) liên tục tăng Để chứng minh đánh giá trên, ta tách t 2t 3, [0, t] thành ba đoạn 0, 3t , 2t ,t (2.21) H1 u(t) + ρ(t) H2 2t Thứ nhất, ta áp dụng (2.29) thu đánh giá H3 ≤ Ce−δt u 2t H1 ≤ Ce−δt u0 H1 + ρ0 Thứ hai, áp dụng (2.25) ρ 2t ,t , t 2t 3, ≤ C e−δt ρ H3 2t + ρ H3 +p ρ ρ +p 2t 2t H2 H2 ta có H2 t ≤ C e−δt e−δ t ρ0 ≤ C e−(δ+δ )t ρ0 + ρ H2 H2 t + ρ0 H1 H1 + e−δt ρ0 +1 +1 + ρ H2 + ρ t H1 t H1 +1 +1 Thứ ba, áp dụng (2.23) với U (t; U0 ) 0, 3t ta ρ t H1 ≤ C e−2vt ρ0 H1 +1 Từ đánh giá thứ hai thứ ba, ta suy p ρ 2t H2 ≤ Cp e−(δ+δ )t ρ0 H2 + e−δt ρ0 ≤ Cp e−δt [ ρ0 H2 + ρ0 H1 ] + ≤ Cp e−δt [ u0 H1 + ρ0 H3 ] + ≤ Cp e−δt U0 D2 H2 + e−2vt ρ0 H1 +1 1/2 +1 Vì kết hợp với đánh giá thứ nhất, ta có đánh giá chuẩn nghiệm tồn cục Từ ta có điều phải chứng minh 40 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Các kiến thức chuẩn bị bao gồm không gian hàm bản, toán tử quạt toán Cauchy trừu tượng - Chứng minh tồn nghiệm mơ hình tốn hiệu ứng biến pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Mặc dù cố gắng hết mình, khả thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lỗi tả soạn thảo LaTex Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 41 Tài liệu tham khảo [1] M Hildebrand, M Ipsen, A S Mikhailov, G Ertl, Localized nonequilibrium nano-structures in surface chemical reactions, New J Phys 5, 61.1-61.28 (2003) [2] M Hildebrand, M Kuperman, H Wio, A S Mikhailov, G Ertl, Selforganized chemical nanoscale microreactors, Phys Rev Lett 83, 1475-1478 (1999) [3] Y Takei, M Efendiev, T Tsujikawa, A Yagi, Exponential attractor for an adsorbate-induced phase transition model in non smooth domains, Osaka J Math 43, 215- 237 (2006) [4] T Tsujikawa, A Yagi, Exponetial attractor for an adsorbate-induced phase transition model, Kyushu J Math 56, 313-336 (2002) [5] A Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications, Springer, Berlin (2010) 42 ... Chương Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chát bị hút bám với điều kiện biên Neumann Nội dung chương chứng minh tồn nghiệm tồn cục mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện. .. H3 + (p ρ0 với δ > Từ ta suy điều phải chứng minh 38 H ), ≤ t ≤ TU , (2.29) Chương Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn... Chương Sự tồn nghiệm mơ hình hiệu ứng biến đổi pha chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann Chứng minh tương tự với ω0 ≥ 0, ξ0 ≥ ta suy ω(t) ≥ 0, ξ(t) ≥ với < t ≤ TU0 Do ta có điều phải chứng