Tập ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THỊ THÚY QUỲNH TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TRẦN THỊ THÚY QUỲNH TẬP NGẪU NHIÊN VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS: NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn i LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình TS Nguyễn Thịnh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi tới thầy Khoa Tốn- Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Xin chân thành cảm ơn bạn động viên, cổ vũ, đóng góp ý kiến, trao đổi giúp đỡ tơi hồn thành luận văn thời hạn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên gia đình tạo điều kiện tốt mặt cổ vũ, động viên suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, 26 tháng 07 năm 2014 Trần Thị Thúy Quỳnh Danh mục kí hiệu ii Danh mục kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian thực n - chiều C Không gian phức n - chiều a∈A a thuộc A ∀a ∈ A Với a thuộc A A⊂B A tập B (A bị chứa B) n {x ∈ X : x ∈ P } Tập phần tử x ∈ X, có tính chất P f (A) Ảnh A qua f f −1 (B) Nghịch ảnh B qua f (xn ) = {xn } ∑ i ∏ i Dãy ( số dãy phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối x ∥x∥ Chuẩn x f := g Định nghĩa f g f :X→Y Ánh xạ f từ X vào Y xn → x Dãy xn hội tụ đến x (Ω, F, P ) Không gian xác suất P (A) Xác suất A P (A | F) Xác suất có điều kiện A F EX Kỳ vọng X E(X | F) Kỳ vọng có điều kiện X F Tổng số Tích số Kết thúc chứng minh Mục lục Danh mục kí hiệu ii LỜI NÓI ĐẦU v Tập đóng ngẫu nhiên hàm cơng suất 1.1 Định lý Choquet 1.3 1.1.1 Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập 1.1.2 Hàm công suất capacity 1.1.3 1.2 Tập compact ngẫu nhiên Tính đo lựa chọn 1.2.1 Hàm đa trị không gian metric 1.2.2 Sự lựa chọn tập đóng ngẫu nhiên 12 Hàm cơng suất tính chất tập đóng ngẫu nhiên 15 1.3.1 Tính bất biến tính dừng 15 1.3.2 Tập ngẫu nhiên tách 16 1.4 Phép tính với hàm cơng suất 19 1.5 1.4.1 Tích phân Choquet 19 1.4.2 Định lý Radon- Nikodym hàm công suất 22 Sự hội tụ 24 1.5.1 Sự hội tụ yếu 24 1.5.2 Sự hội tụ h.c.c hội tụ theo xác suất 26 Kỳ vọng lựa chọn 29 2.1 Lựa chọn khả tích iii 29 2.2 Kỳ vọng lựa chọn 34 2.2.1 Tập ngẫu nhiên khả tích 34 2.2.2 Tính chất lựa chọn 36 2.3 Sự hội tụ kỳ vọng lựa chọn 38 2.3.1 Bổ đề Fatous cho tập bị chặn Rd 38 2.3.2 Bổ đề Fatous tập ngẫu nhiên không bị chặn 39 2.3.3 Sự hội tụ đơn điệu hội tụ yếu 40 2.4 Kỳ vọng có điều kiện 42 2.4.1 Sự tồn 42 2.4.2 Tính chất kỳ vọng có điều kiện 43 Luật mạnh số lớn tập ngẫu nhiên 46 3.1 Luật mạnh số lớn biến ngẫu nhiên 46 3.2 Định lý Shapley - Folkman-Starr 47 3.3 Luật mạnh số lớn trường hợp không gian Euclide 49 3.4 Luật mạnh số lớn không gian Banach 52 Định lý giới hạn trung tâm cho trung bình Minkowski 53 4.1 Định lý giới hạn trung tâm biến ngẫu nhiên 53 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 54 4.3 58 Định lý giới hạn trung tâm không gian Banach Một số kết xa liên quan tới tổng Minkowski 60 5.1 Luật loga lặp 60 5.2 Định lý ba chuỗi 61 5.3 Định lý ergodic 63 KẾT LUẬN 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời nói đầu v LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết tập ngẫu nhiên liên quan đến phát triển cấu trúc toán học để nghiên cứu chủ đề ngẫu nhiên mà phép thể chúng tập Các chủ đề xuất cách khoảng thời gian dài thống kê toán kinh tế hình thức khoảng tin cậy mà miêu tả tập ngẫu nhiên Ý tưởng tập ngẫu nhiên hình thức khoảng phụ thuộc vào xuất tình cờ Kolmogorov (1950) mà công bố năm 1933 Với mong muốn tìm hiểu lý thuyết tập ngẫu nhiên, luận văn nghiên cứu đề tài " Tập ngẫu nhiên vấn đề liên quan" Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn đề cập đến phần xung quanh vấn đề tập ngẫu nhiên Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Tập ngẫu nhiên hàm cơng suất Chương trình bày khái niệm tập ngẫu nhiên, hàm công suất ( định nghĩa, định lý), lựa chọn tập đóng ngẫu nhiên, dạng hội tụ Chương 2: Kỳ vọng lựa chọn Mục đích chương đưa định nghĩa, tính chất kỳ vọng lựa chọn, hội tụ kỳ vọng lựa chọn kỳ vọng có điều kiện Chương 3: Luật mạnh số lớn tập ngẫu nhiên Chương đưa luật mạnh số lớn trường hợp không gian Euclidean không gian Banach Chương 4: Định lý giới hạn trung tâm tập ngẫu nhiên Mục đích chương trình bày định lý giới hạn trung tâm trường hợp không gian Euclidean không gian Banach Lời nói đầu vi Chương 5: Một số kết xa liên quan tới tông Minkowski Chương giới thiệu số kết như: Luật loga lặp, định lý ba chuỗi, định lý ergodic Mặc dù cố gắng trình độ thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi cịn thiếu sót, mong nhận góp ý thầy cô bạn bè để luận văn hồn thiện Chương Tập đóng ngẫu nhiên hàm công suất 1.1 1.1.1 Định lý Choquet Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập Vì họ tất tập rộng nên thường xét tập đóng ngẫu nhiên yếu tố ngẫu nhiên khơng gian tập đóng khơng gian topo E Họ tập đóng khơng gian E kí hiệu F, K G kí hiệu tương ứng họ tất tập compact tập mở E Thường giả sử E không gian topo compact Hausdoff địa phương đếm thứ hai ( không gian LCHS) ( locally compact Hausdoff second countable topologial space) Khơng gian Euclidean Rd ví dụ chung không gian E Cố định không gian xác suất (Ω, F, P ) mà sử dụng để xác định yếu tố ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 ( Tập đóng ngẫu nhiên) Một ánh xạ X : Ω → F gọi tập đóng ngẫu nhiên với tập compact K E ta có {w : X ∩ K ̸= ∅} ∈ F (1.1) 1.1 Định lý Choquet Điều kiện (1.1) nói ánh xạ X : Ω → F đo ánh xạ không gian xác suất không gian F trang bị σ− đại số B(F) sinh {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} với K thuộc họ K tập compact E Chú ý B(F) gọi σ− đại số Effros Chúng ta viết FK = {F ∈ F : F ∩ K ̸= ∅} σ− đại số sinh FK với K ∈ K bao gồm F K = {F ∈ F : F ∩ K = ∅} Hơn nữa, với G thuộc họ G tập mở ta có FG = {F ∈ F : F ∩ G ̸= ∅} = ∩n FKn {Kn , n ≥ 1} dãy tập compact cho Kn ↑ G ( tính compact địa phương E cần thiết) Do đó, FG ∈ B(F) với G ∈ G Chú ý topo Fell Fđược sinh tập mở FG với G ∈ G F K với K ∈ K Khi đó, σ− đại số sinh FK với K ∈ K trùng với σ− đại số Borel sinh không gian Fell F Có thể đưa định nghĩa tương tự với định nghĩa 1.1.1 sau Định nghĩa 1.1.1’ Ánh xạ X : Ω → F gọi tập đóng ngẫu nhiên X đo σ− đại số Borel F theo topo Fell, tức X −1 (χ) = {w : X(w) ∈ χ} ∈ F với χ ∈ B(F) Khi (1.1) viết lại sau X −1 (FK ) = {w : X(w) ∈ FK } ∈ F (1.2) Vì σ− đại số B(F) σ− đại số Borel topo F nên ta có f (X) tập đóng ngẫu nhiên X tập đóng ngẫu nhiên ánh xạ f : F → F liên tục nửa liên tục 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 55 tức ΓX (., ) covariance hàm bổ trợ h(X, ) xét yếu tố ngẫu nhiên C(B1 ) Chú ý ΓX = Γco(X) Định lý 4.2.1 ( CLT cho tập ngẫu nhiên Rd ) Cho X, X1 , X2 , · · · tập ngẫu nhiên bình phương khả tích độc lập có phân phối Khi √ nρH (n−1 (X1 + · · · + Xn ), EX) → sup ||ζ(u)||, (4.2) u∈B1 {ζ(u), u ∈ B1 } hàm ngẫu nhiên có tâm Gaussian C(B1 ) với covariance E[ζ(u)ζ(v)] = ΓX (u, v) Chứng minh Trước hết, ý co(X), co(X1 ), co(X2 ), · · · dãy tập compact lồi ngẫu nhiên độc lập có phân phối E||co(X)||2 = E||X||2 < ∞ Như E||h(co(X), )||2∞ < ∞, ||f ||∞ = sup{f (u) : u ∈ B1 } chuẩn f ∈ C(B1 ) Khi √ nρH (n−1 (co(X)1 + · · · +co(X)n ), EX1 ) n √ 1∑ = n|| h(co(Xi ), ) − Eh(co(X), )||∞ n i=1 (4.3) Chúng ta kiểm tra điều kiện entrôpi ∫1 H 1/2 (α)dα < ∞, (4.4) H(α) = logN (α) metric entrơpi N (α) hình cầu đơn vị, tức số lượng nhỏ hình cầu bán kính α phủ B1 Bằng phép B1 với lũy thừa bậc ba kết luận N (α) ≤ cd α−d chiều - phụ thuộc vào số cd , tích phân (4.4) 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 56 hữu hạn Ta có hàm bổ trợ có tâm Lipschitz, tức |h(co(X), u) − h(EX, u) − h(co(X), v) + h(EX, v)| ≤ |h(co(X), u) − h(co(X), v)| + |h(EX, u) − h(EX, v)| ≤ (||h(co(X), )||∞ + ||h(EX, )||∞ )||u − v|| Theo định lý giới hạn trung tâm C(B1 ) ta có −1/2 n n ∑ (h(co(Xi ), ) − h(EX, )) i=1 hội tụ yếu không gian C(B1 ) tới hàm ngẫu nhiên Gaussian ζ với covariance ΓX Sự hội tụ yếu kéo theo hội tụ theo phân phối maximum hàm ngẫu nhiên tương ứng (4.3) kéo theo (4.2) Ta kết thúc chứng minh cho tập lồi ngẫu nhiên Có thể thay Xn , n ≥ vỏ lồi mà không cần thay phân phối giới hạn.Chú ý co(X n ) = n−1 (co(X1 ) + · · · + co(Xn )) Áp dụng bất đẳng thức tam giác định lý 3.2.1 ta có √ √ √ | nρH (X n , EX1 ) − nρH (co(X n ), EX1 )| ≤ nρH (X n , co(X n )) = n−1/2 ρH (X1 + · · · + Xn , co(X1 ) + · · · + co(Xn )) ≤ cn−1/2 max ||Xi || 1≤i≤n với số c Vì ||X1 ||, ||X2 ||, · · · biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với moment thứ hai hữu hạn nên vế phải hội tụ theo phân phối tới n → ∞.Thật vậy, Mn = n−1/2 max(||X1 , · · · , ||Xn ||) P {Mn < x} = P {||X|| < n1/2 x}n Từ E||X||2 < ∞ nên ta có P {||X|| > n1/2 x} ≤ n−1 x−2 E[1||X||>n1/2 x ||X||2 ] → n → ∞ 4.2 Định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp Euclide 57 Do lim sup P {Mn < x} = Vì ρH (K, L) = sup |h(K, u) − h(L, u)| = sup |h(K, u) − h(L, u)| u∈B1 u∈Sd−1 với K, L ∈ K Dễ dàng thấy cận ζ hình cầu đơn vị B1 mặt cầu đơn vị Sd−1 h.c.c Do đó, hàm ngẫu nhiên Gaussian ζ định nghĩa hình cầu đơn vị Xét trường hợp số hạng khơng bình phương khả tích Định lý sau đưa điều kiện đủ cho định lý giới hạn trung tâm mà khơng giả thiết X bình phương khả tích Định lý 4.2.2 Cho tập compact ngẫu nhiên X Rd thỏa mãn điều kiện sau: (i) E[||X||2 1||X||≤t ] hàm biến thiên chậm; (ii) ΓX (u, v) = lim E[(h(X, u))2 1|h(X,u)|≤t ]/E[||X||2 1||X||≤t ] Khi t→∞ −1 nan ρH (X n , EX) hội tụ theo phân phối tới ||ζ||∞ , an = sup{t : t−2 E(||X||2 1||X||≤t ) ≥ n−1 } ζ yếu tố Gaussian có tâm C(B1 ) với covariance (4.1) Định lý 4.2.3 ( Sự hội tụ tới luật dừng) Cho X tập compact lồi ngẫu nhiên Rd với p ∈ (1, 2) ta có (i) Hàm P {||X|| > t} biến thiên chậm; (ii) Tồn độ đo hữu hạn µ K1 = {K ∈ coK : ||K|| = 1} cho P {X/||X|| ∈ D, ||X|| ≥ t} µ(D) = t→∞ P {||X|| ≥ t} µ(K∞ ) lim với µ− tập liên tục D ⊂ K1 Nếu an = sup{t : nP {||X|| > t} ≥ µ(K1 )/p}, n ≥ na−1 n ρH (X n , EX) hội tụ theo phân phối tới maximum p- hàm ngẫu 4.3 Định lý giới hạn trung tâm không gian Banach 58 nhiên ổn định B1 4.3 Định lý giới hạn trung tâm không gian Banach Tương tự với trường hợp hữu hạn chiều, tập compact lồi không gian Banach E tương ứng với hàm hỗ trợ hàm liên tục hình cầu đơn vị B1∗ khơng gian đối ngẫu E∗ Mặc dù hình cầu đơn vị B1∗ không compact không tách topo mạnh E∗ hình cầu đơn vị compact topo yếu không gian E∗ , tức không gian (B1∗ , w∗ ) compact Không gian topo metric hóa ρ∗ (u, v) = ∑ 2−n | < xn , u > − < xn , v > |, u, v ∈ B1∗ n≥1 {xn , n ≥ 1} tập đếm trù mật hình cầu đơn vị B1 E Vì hàm hỗ trợ tập hữu hạn liên tục yếu nên tính liên tục trường hợp tổng quát suy phép xấp xỉ Như vậy, h(X, u) thuộc không gian C(B1∗ ) hàm liên tục yếu B1∗ Với K ∈ K định nghĩa biến thức hàm hỗ trợ h(K, u) = sup | < x, u > | = max(h(K, u), h(K, −u)) x∈K Xét hàm g : R+ → R+ mà tuyến tính liên tục không giảm ( tức là, g(r + s) ≤ g(r) + g(s)) thỏa mãn g(0) = Cho L tập đối xứng có tâm lồi compact cố định E Nửa metric B1∗ định nghĩa ρg,L (u, v) = g(h(L, u − v)) 4.3 Định lý giới hạn trung tâm không gian Banach 59 Với K ∈ coK, cho ||K||g,L nhỏ t ≥ cho với u, v ∈ B1∗ ta có h(K, u − v) ≤ tρg.L (u, v) Hơn nữa, H(B1∗ , ρg.L , ε) kí hiệu entrơpi metric ρg.L (u, v) B1∗ , tức loga số lượng tối thiểu hình cầu bán kính ε metric ρg.L mà phủ B1∗ Định lý 4.3.1 Cho {Xn , n ≥ 1} dãy tập compact lồi ngẫu nhiên độc lập có phân phối không gian Banach tách E cho E||X||2g.L < ∞ ∫1 H 1/2 (B1∗ , ρg,L , ε)dε < ∞ (4.5) Khi √ nρH (X n , EX1 ) hội tụ theo phân phối tới ||ζ||∞ , ζ yếu tố ngẫu nhiên Gaussian có tâm C(B1∗ ) với covariance cho (4.1) với u, v ∈ B1∗ Chứng minh Với K ∈ coK mà ||K||g,L < ∞ u, v ∈ B1∗ |h(K, u) − h(K, v)| ≤ h(K, u − v) ≤ ||K||g.L ρg.L (u, v) Như |h(X1 , u) − h(X1 , v)| ≤ ||X1 ||g.L ρg.L (u, v) Điều kiện với điều kiện entrôpi metric ( tương đương với (4.5)) kéo theo định lý giới hạn trung tâm không gian Banach hàm liên tục yếu B1∗ Vì phép đẳng cự khơng gian Banach họ tập compact lồi nên ta hoàn thành chứng minh Chứng minh định lý giới hạn trung tâm cho tập ngẫu nhiên không lồi không gian Banach phức tạp tập ngẫu nhiên khơng gian Rd Điều giải thích việc khơng có mơ hình định lý Shapley- Folkman- Starr không gian vô hạn chiều Chương Một số kết xa liên quan tới tổng Minkowski 5.1 Luật loga lặp Luật loga lặp cho tập compact ngẫu nhiên bình phương khả tích X Rd phát biểu sau √ √ n lim sup √ ρH (X n , Eco(X)) ≤ E||X||2 , n→∞ 2loglogn (5.1) đó, X n kí hiệu trung bình Minkowski tập ngẫu nhiên độc lập X1 , · · · , Xn mà có phân phối với X Chứng minh dựa vào lý luận convexification đưa hàm hỗ trợ √ Kí hiệu an = 2nloglogn Theo định lý 3.1.1 ta có n n ∑ ∑ √ −1 −1 ρH (an Xi , an co(Xi )) ≤ (2nloglogn)−1/2 d max ||Xi || i=1 1≤i≤n i=1 hội tụ h.c.c tới Vì vậy, giả sử (5.1) X1 , · · · , Xn lồi h.c.c đưa hàm hỗ trợ chúng Vì hàm hỗ trợ thỏa mãn định lý giới hạn trung tâm có chuẩn khả tích nên chúng thỏa mãn luật compact loga lặp Biên vế phải (5.1) tương ứng với tập tích ∑ lũy cluster (h(Xi , ) − Eh(Xi , ))/an tập bị chặn mà chứa √ hình cầu {u : B1∗ : ||u|| ≤ E||X||2 } 60 5.2 Định lý ba chuỗi 5.2 61 Định lý ba chuỗi Định lý ba chuỗi cổ điển Kolmogorov tổng quát hóa cho tập compact ngẫu nhiên Ở xét trường hợp tập compact ngẫu nhiên không gian Euclidean Đối với tập compact ngẫu nhiên X ta định nghĩa V arA X = E(ρH (X, EX))2 Chú ý giá trị nhỏ E(ρH (X, K)2 ) K ∈ K gọi variance Frecher X Do đó, V arA X không nhỏ variance Frecher X Sau thảo luận hội tụ h.c.c chuỗi ∞ ∑ Xn = X1 + X2 + · · · (5.2) n=1 tập compact ngẫu nhiên độc lập X1 , X2 , · · · mà có phân phối với X Nếu ∈ X h.c.c ( 5.2) hội tụ tổng ∑ chuẩn ||Xn || hội tụ Với c > , định nghĩa variant truncated X sau  X, X(c) = {0}, ||X|| ≤ c, ||X|| > c Định lý 5.2.1 ( Định lý ba chuỗi) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy ∑ tập ngẫu nhiên compact độc lập Khi đó, Xn hội tụ h.c.c ba chuỗi sau ∑ P {||Xn || > c}, ∑ ∑ hội tụ với c > EXn (c), V arA Xn (c), (5.3) (5.4) (5.5) 5.2 Định lý ba chuỗi 62 Chứng minh Trước hết, giả sử ∈ Xn h.c.c với n ≥ Kí hiệu ξn = ||Xn || ξn (c) = ||Xn (c)|| Để chứng minh điều kiện đủ cần ý ∑ P {||ξn || > c} hội tụ Sự hội tụ (5.4) kéo theo hội tụ ∑ ∑ ∑ E||Xn (c)|| Eξn (c) (Eξn (c))2 Vì ||Xn (c)||2 ≤ 2ρH (Xn (c), EXn (c))2 + 2ρH (EXn (c), {0})2 nên hội tụ (5.5) kéo theo ∑ Eξn (c)2 hội tụ Do đó, điều kiện định lý ba chuỗi Kolmogorov thỏa mãn dãy {ξn , n ≥ 1}, ∑ ∑ tức ξn hội tụ mà kéo theo hội tụ Xn Điều kiện cần chứng minh tương tự Bây ta chứng minh điều kiện đủ cho trường hợp tổng quát Cho Xn = Yn + ηn , Yn chứa gốc tọa độ h.c.c ηn vector ngẫu nhiên Sự chọn lựa riêng phân tích khơng quan trọng ∑ ∑ Khi đó, (5.3) kéo theo P {||Yn || > c} P {||ηn || > c} hội tụ với c > Tập ηn (c) = ηn ||ηn || ≤ c ηn (c) = ∑ trường hợp lại Sự hội tụ (5.4) kéo theo Eηn (c) hội tụ, ∑ ∑ ∑ tức EYn (c) hội tụ, ||EYn (c)|| ||EYn (c)||2 ∑ hội tụ Từ (5.5) suy E(||Yn (c)||2 ) hội tụ, ∑ ∑ V arA {ηn (c)} V arA Yn (c) hội tụ Như vậy, hội tụ (5.2) suy từ phần chứng minh ( Yn ) định lý ba chuỗi Kolmogorov vector ngẫu nhiên ηn , n ≥ Điều kiện cần trường hợp tổng quát chứng minh ∑ ∑ việc thảo luận hội tụ (5.2) kéo theo Yn ηn hội tụ với ứng dụng sau định lý ba chuỗi ý V arA (Xn ) ≤ 2(V arA (Yn ) + V arA ({ηn })) Từ đó, ta có điều phải chứng minh Bằng việc sử dụng cách chứng minh tương tự, đưa định lý " hai chuỗi" lý thuyết xác suất cổ điển sau 5.3 Định lý ergodic 63 Mệnh đề 5.2.2 Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy tập compact ngẫu ∑ ∑ ∑ nhiên độc lập cho EXn V arA Xn hội tụ Xn hội tụ h.c.c 5.3 Định lý ergodic Định lý ergodic theo điểm họ tập ngẫu nhiên quay định lý ergodic cộng tính Kingman Vì định lý ergodic theo điểm tổng quát không xảy không gian Banach hàm liên tục nên điều xảy tổng quát hóa đặc biệt định lý ergodic cho tập đóng ngẫu nhiên Xét dãy tam giác X = {Xm,n , m, n = 0, 1, 2, · · · , m < n} tập compact lồi ngẫu nhiên không gian Banach E Một dãy {Xn , n ≥ 1} tập compact ngẫu nhiên gọi dừng superstationary Ef (X1 , X2 , · · · ) ≥ Ef (X2 , X3 , · · · ) cho tất hàm f tăng tọa độ điểm bị chặn Borel Định nghĩa 5.3.1 ( Dãy dừng cộng tính dưới) Một dãy tam giác X gọi (i) cộng tính X0,n ⊂ X0,m + Xm,n h.c.c tất < m < n; (ii) dừng {X(m−1)k,mk , m ≥ 1} dãy dừng với k ≥ với m ≥ phân phối chung {Xm,m+n , n ≥ 1} trội phân phối chung {Xm+1,m+n+1 , n ≥ 1} , tức Ef (Xm,m+1 , Xm,m+2 , · · · ) ≥ Ef (Xm+1,m+2 , Xm+1,m+3 , · · · ) cho tất hàm f bị chặn Borel tăng tọa độ Định lý 5.3.2 ( Định lý ergodic) Cho X họ cộng tính dưới, dừng tập compact lồi ngẫu nhiên cho E||X0,1 || < ∞ Khi tồn tập compact lồi ngẫu nhiên X∞ cho ρH (n−1 X0,n , X∞ ) → 5.3 Định lý ergodic 64 n → ∞ Chứng minh Vì X0,n ⊂ ∑n i=1 Xi−1,i {Xn−1,n , n ≥ 1} dãy dừng −1 nên bổ đề 5.3.3 áp dụng Do cl(∪∞ n=1 n X0,n ) compact Theo mệnh đề 1.5.7 đủ để chi dH (n−1 X0,n , K) hội tụ với K ∈ coK.Vì dH (., K) hàm tăng nên biến ngẫu nhiên {ρH (Xm,n , (n− m)K)} có dạng họ cộng tính dừng Thật vậy, với < m < n x ∈ X0,n tồn x1 ∈ X0,m x2 ∈ Xm,n cho x = x1 + x2 Với y1 , y2 ∈ K đó, y = n−1 (my1 + (n − m)y2 ) ∈ K theo tính lồi ||x − ny|| ≤ ||x1 − my1 || + ||x2 − (n − m)y2 ||, dH (X0,n , K) ≤ dH (X0,m , mK) + dH (Xm,n , (n − m)K) Hơn nữa, dH (X0,n , nK) ≤ ||X0,n ||+||nK|| ||X0,n || ≤ n ∑ ||Xi−1,i || h.c.c i=1 Do EdH (X0,n , nK) ≤ n(E||X0,1 || + ||K||) < ∞ Theo định lý ergodic cộng tính biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên dH (n−1 X0,n , K) hội tụ h.c.c Từ đó, ta có điều phải chứng minh Bổ đề 5.3.3 Cho {Xn , n ≥ 1} dãy dừng tập comn ∑ ∞ −1 pact ngẫu nhiên cho X1 khả tích bị chặn Khi cl(∪n=1 n Xi ) i=1 compact h.c.c Chứng minh Cho Q = {xk , k ≥ 0} tập trù mật đếm E với x0 = Định nghĩa Vk = co{x0 , · · · , xk } dk (K) = dH (K, Vk ) với k ≥ V ∈ K Với k {dk (Xn , n ≥ 1)} dãy dừng biến ngẫu nhiên dk (X1 ) ≤ ||X1 || Vì X1 compact h.c.c nên dk (X1 ) → h.c.c k → ∞, Edk (X1 ) → k → ∞ Cho ε > chọn k cho Edk (X1 ) ≤ ε2 /4 Theo định lý ergodic dừng 5.3 Định lý ergodic 65 tồn biến ngẫu nhiên ξ cho n−1 n ∑ dk (Xi ) → ξ h.c.c n → ∞ i=1 P {ξ > ε/2} ≤ ε/2 Theo định lý Egoroff sử dụng hội tụ tập độ đo nhỏ − ε/2 ta đạt −1 P {sup n n ∑ n≥N dk (Xi ) > ε} ≤ ε i=1 với số N Vì Vk lồi nên P {sup dk (n n≥N −1 n ∑ dk (Xi )) > ε} ≤ ε i=1 Với ε ≥ ta định nghĩa Aε = −1 ∪k.N {∪∞ n=N n n ∑ Xi ⊂ Vkε } i=1 Khi P (Aε ) ≥ − ε P (∩ε>0 Aε ) = Cho trước ε > 0, chọn k N cho −1 ∪∞ n=N (n n ∑ Xi ) ⊂ Vkε i=1 h.c.c Chú ý Vkε chứa số hữu hạn hình cầu có n ∑ −1 −1 bán kính ε Vì ∪N n Xi chứa số hữu hạn hình n=1 i=1 ∑n −1 cầu có bán kính ε nên tập ∪∞ n n=1 i=1 Xi bị chặn hồn tồn Do ta có điều phải chứng minh Dễ dàng thấy giới hạn định lý 5.3.2 tất định dãy {dH (Xmn,(m+1)n , nK), m ≥ 1} ergodic với n ≥ K ∈ coK Một ví dụ quan trọng họ cộng tính X = {Xm,n } xuất Xm,n = Yn−m , {Yk , k ≥ 1} dãy cộng tính tập compact lồi ngẫu nhiên, tức Ym+n ⊂ Ym + Yn (5.7) 5.3 Định lý ergodic 66 với m, n ≥ Rõ ràng, tổng riêng Yn = X1 + · · · + Xn dãy {Xn , n ≥ 1} tập compact ngẫu nhiên độc lập có phân phối thỏa mãn (5.7) Định lý 5.3.2 kéo theo kết sau Hệ 5.3.4 Nếu {Yn , n ≥ 1} họ cộng tính tập compact lồi ngẫu nhiên khả tích bị chặn n−1 Yn hội tụ metric Hausdoff Định lý 5.3.5 ( Định lý ergodic trung bình) Cho X X∞ định lý 5.3.2 Nếu E||X0,1 ||p < ∞ với p ≥ EρH (n−1 X0,n , X∞ )p → n → ∞ Kết luận 67 KẾT LUẬN Các kết khóa luận trình bày với chứng minh chi tiết tài liệu tham khảo [9] Luận văn " Tập ngẫu nhiên vấn đề liên quan " tập trung nghiên cứu vấn đề sau: - Trình bày cách hệ thống kiến thức ban đầu tập ngẫu nhiên, hàm công suất, kỳ vọng lựa chọn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian, trình độ kinh nghiệm khoa học nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tài liệu tham khảo [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên(2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [3] Adler, R.J (1981) The Geometry of Random Fields, Wiley, New York [4] Aubin, J.P and Frankowska (1990) Set- valued Analysis, Birkhauset, Boston [5] Billingsley, P (1968) Convergence of Probability Measures, Wiley, New York [6] Cramer,H and Leadbetter, M R.(1967) Stationary and Related Stochastic Processes, Wiley, New York.bibitemDL [7] Cross,R (1998) Multivalued Linear Operators, Marcel Dekker, New York [8] Jaffray,J,Y (1997) Applications and Theory of Random Sets, Berlin, Springer [9] J Gani,C.C.Heyde, P Jagers,T.G.Kutz Theory of random sets, Published in association with the Applied Probability Trust [10] Kallenberg,O (1983) Random Measures, Berlin, Springer Tài liệu tham khảo 69 [11] Kuratowski, K and Ryll- Nardzewski, C (1965) A general theorem on selectors, Berlin, Springer [12] Taylor,R L (1978) Stochastic Convergence of Weighted Sum of Random Elements in Linear Spaces , Berlin, Springer [13] Xuerong Mao (1997) Stochastic Differential Equations and their Applications, Horwood Publishing Chichester ... nghiên cứu đề tài " Tập ngẫu nhiên vấn đề liên quan" Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn đề cập đến phần xung quanh vấn đề tập ngẫu nhiên Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Tập ngẫu nhiên hàm công... thiện Chương Tập đóng ngẫu nhiên hàm cơng suất 1.1 1.1.1 Định lý Choquet Yếu tố ngẫu nhiên giá trị tập Vì họ tất tập rộng nên thường xét tập đóng ngẫu nhiên yếu tố ngẫu nhiên không gian tập đóng... có f (X) tập đóng ngẫu nhiên X tập đóng ngẫu nhiên ánh xạ f : F → F liên tục nửa liên tục 1.1 Định lý Choquet Ví dụ 1.1.2 ( Ví dụ đơn giản tập đóng ngẫu nhiên) (i) Nếu ξ yếu tố ngẫu nhiên E (đo