Phép chập liên kết với biến đổi chính tắc tuyến tính bù và biến đổi dạng Hartley chính tắc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN −−− −−− LẠI TIẾN MINH PHÉP CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC TUYẾN TÍNH BÙ VÀ BIẾN ĐỔI DẠNG HARTLEY CHÍNH TẮC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN PGS TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn PGS TS Nguyễn Hữu Điển Các kết luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà nội, tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Lại Tiến Minh LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin tỏ lịng tri ân sâu sắc thầy PGS TS Nguyễn Minh Tuấn PGS TS Nguyễn Hữu Điển Các thầy tận tình dạy bảo, dẫn tơi học tốn, nghiên cứu tốn suốt năm làm nghiên cứu sinh Tôi gửi lời tri ân đặc biệt tới thầy PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, người yêu thương, quan tâm đến tôi, cho hội, dạy học nghiên cứu sống Chính thầy cho tơi niềm tin động lực vượt qua trở ngại, lúc khủng hoảng tưởng chừng vượt qua Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Nguyễn Văn Mậu thầy quan tâm, động viên, cho gợi ý, dìu dắt tơi q trình nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô anh chị đồng nghiệp Seminar mơn tốn học tính tốn; Seminar Giải tích - Đại số , Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội Tại nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu Những nhận xét, góp ý thầy anh chị đồng nghiệp giúp tơi có ý tưởng để hoàn thiện báo luận án Đặc biệt, tơi xin cảm ơn ý kiến đóng góp giá trị PGS TS Hà Tiến Ngoạn, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, TS Nguyễn Văn Ngọc, TS Nguyễn Trung Hiếu, TS Vũ Nhật Huy giúp tơi hồn thành luận án cách thuận lợi Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Bộ mơn Tốn, Viện Đào tạo Mở, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian làm nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn TS Nguyễn Hữu Thọ, TS Bùi Thị Giang, TS Nguyễn Thanh Hồng, ThS Quản Thái Hà, ThS Vũ Văn Quân Các anh chị em cho lời khun hữu ích, động viên giúp tơi vượt qua giai đoạn khó khăn q trình nghiên cứu Tôi xin cảm ơn anh chị em học tập nghiên cứu khoa Toán - Cơ - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc Gia Hà Nội trao đổi, hỗ trợ nghiên cứu Cuối cùng, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người bố khuất, mẹ, anh chị em gia đình; đặc biệt mẹ tơi - người động viên, cảm thơng chia sẻ khó khăn suốt năm tháng vừa qua để hồn thành luận án NCS Lại Tiến Minh BẢNG KÍ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỷ R Tập hợp số thực z Liên hợp số phức z i Đơn vị ảo X×Y Tích đề hai tập hợp X Y d n Đạo hàm cấp n (n ∈ N∗ ), Dn = dt Không gian Schwartz hàm khả vi vô hạn R thỏa mãn Dn S supt∈R (1 + t2 )m | Dn f (t)| < ∞ L p (R) f p f, g C0 (R) ∞ l (R) (m = 0, 1, 2, ) Không gian hàm khả tích Lebesgue cấp p ≥ R Chuẩn L p (R), Tích vơ hướng f p = L2 (R), R | f (t)| p dt f, g = R p f (t) g(t)dt Không gian hàm liên tục R triệt tiêu vô Chuẩn C0 (R), f ∞ = sup | f (t)| t ∈R ∞ Không gian dãy số {un } thỏa mãn ∑+ n=−∞ | un | < + ∞ E A (t) fˆ(t) ∞ Tích vô hướng l (R), un , = ∑+ −∞ un n 2d e− t Đa thức Hermite Hn (t) = (−1)n et dt n t2 d n Hàm Hermite ψn (t) = (−1) e e− t dt Hàm Hartley cas(t) = cos t + sin t − t2 Hàm Gauss G(t) = √ e 2b2 b 2π u a Hàm chirp E A (t) = ei( 2b t + b t) fˆ(t) = f (t)E A (t) rin (t) Tín hiệu vào rout (t) Tín hiệu un , Hn (t) ψn (t) cas(t) G(t) BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT OLCT Biến đổi tắc tuyến tính bù LCT Biến đổi tắc tuyến tính FrFT Biến đổi Fourier phân thứ FT Biến đổi Fourier IFT Biến đổi Fourier ngược WDF Hàm phân phối Wigner CHTT Biến đổi dạng Hartley tắc MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí lựa chọn đề tài Rất nhiều tốn xử lý tín hiệu giải nhờ lọc, lấy mẫu khôi phục tín hiệu Lọc sử dụng rộng rãi điện tử viễn thơng, phát thanh, truyền hình, ghi âm, radar, hệ thống điều khiển, xử lý hình ảnh đồ họa máy tính Trong xử lý tín hiệu, lọc thiết bị trình loại bỏ số thành phần tính khơng mong muốn khỏi tín hiệu Thơng thường, điều có nghĩa loại bỏ số tần số băng tần không mong muốn Lọc phân loại dựa dạng băng tần khác mô tả dải tần mà lọc thông qua (dải thông) dải tần mà lọc từ chối (dải dừng) Lọc thông thường thu từ biến đổi Fourier Ψ FT biến đổi Fourier ngược Ψ− FT Tín hiệu rout ( t ) biểu diễn qua tín hiệu vào rin (t) sau rout (t) = Ψ− FT Ψ FT {rin ( t )}( u ) ( t ) Với phát triển khoa học máy tính, có nhiều thuật tốn đưa để tính tốn biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược tín hiệu, tiêu biểu thuật tốn biến đổi Fourier nhanh (FFT) Ngồi ra, có cách khác thiết kế lọc dựa phép chập thông thường Tuy nhiên, lọc thông thường hiệu xử lý tín hiệu mà có phân phối lượng khơng chồng lấp mặt phẳng pha Lọc thông thường không hiệu với tín hiệu mà nhiễu có dạng chirp tổng qt Nhiễu thường gặp hệ quang học, hệ vi sóng, hệ đa hệ âm Điều địi hỏi phải có lọc mà xử lý tín hiệu dạng Ngày nay, với phát triển nhanh chóng khoa học cơng nghệ, việc nghiên cứu phát triển lọc đóng vai trị quan trọng xử lý tín hiệu Với phát triển mạnh mẽ lý thuyết biến đổi tích phân lý thuyết chập, đặc biệt ứng dụng phong phú phép chập thực tiễn (xem [17, 28, 34, 51, 61, 63, 66]) có nhiều cách thiết kế lọc đưa để xử lý nhiễu dạng TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, (2016), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Nguyễn Viết Triều Tiên, Hồng Quốc Tồn, (2005), Bài tập Giải tích tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Ngọc, (2016), Hàm suy rộng, biến đổi Fourier ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Đặng Anh Tuấn, (2016), Giáo trình lý thuyết Hàm suy rộng không gian Sobolev, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [5] Anh P K., Tuan N M., Tuan P D., (2013), “The Finite Hartley new convolution and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 397(2), pp 537– 549 [6] Anh P K., Castro L P., Thao P T., Tuan N M., (2017), “Inequalities and consequences of new convolutions for the fractional Fourier transform with Hermite weights", American Institute of Physics, AIP Proceedings, 1798(1), 020006, NY [7] Adams R A., Fournier J J F., (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press [8] Abe S., Sheridan J T., (1994), “Optical operations on wave functions as the Abelian subgroups of the special affine Fourier transformation", Opt Lett., 19(22), pp.1801–1803 121 [9] Abe S., Sheridan J T., (1994), “Generalization of the fractional Fourier transformation to an arbitrary linear lossless transformation: an operator approach", J Phys A, 27, pp.4179–4187 [10] Bhandari A., Marziliano P., (2010), “Sampling of sparse signals in Fractional Fourier Domain", IEEE Signal Processing Letters, 17(3), pp.221–224 [11] Beckner W., (1975), “Inequalities in Fourier analysis", Annals of Math, 102(2), pp.159–182 [12] Bracewell R N., (1986), The Fourier Transform and its Applications, McGraw-Hill Press, New York [13] Bracewell R N., (1986), The Hartley transform, Oxford University Press, Inc [14] Bing B., Ran T., Yue W., (2006), “Convolution theorems for the linear canonical transform and their applications", Science in China Series F: Information Sciences, 49(5), pp.592–603 [15] Cordoba A., (1989), “Dirac combs", Kluwer Academic Publishers, 17, pp.191–196 [16] Castro L P., Saitoh S., (2012), “New convolutions and norm inequalities", Math Inequal Appl, 15(3), pp.707–716 [17] Castro L P., Saitoh S., Tuan N M., (2012), “Convolutions, integral transforms and integral equations by means of the theory of reproducing kernels", Opusc Math, 32(4), pp.633–646 [18] Castro L P., Guerra R C., Tuan N M., (2017), “Heisenberg uncertainty principles for an oscillatory integral operator", AIP Conference Proceedings, 1798(020037) [19] Dirac P A M., (1926), “The physical interpretation of the quantum mechanics", Proc Roy Soc A, 113, pp.621–641 [20] Debnath L., Bhatta D., (2007), Integral transforms and their applications, second edition, Chapman and Hall, CRC, Boca Raton 122 [21] Erden M F., Ozaktas H M., (1998), “Synthesis of general linear systems with repeated filtering in consecutive fractional Fourier domain", Journal of the Optical Society of American, 15(6), pp.621–641 [22] Gabor D., (1946), “Theory of communication", J Inst Elec Engr., 93, pp 429–457 [23] Gudadhe A S., Joshi A V., (2013), “Operation Transform Formulae for the Generalized Canonical Hartley Transform", IOSR Journal of Mathematics, 8(1), pp 64–69 [24] Goodman J W., (1968), Introduction to Fourier optics, McGraw-Hill, New York [25] Hartley R V L., (1942) “A More Symmetrical Fourier Analysis Applied to Transmission Problems”, Proceedings of the IRE, 30(3), pp.144–150 [26] Hong N T., (2010), “Fourier cosine convolution inequalities and applications", Integral Transforms and Special Functions, 21(10), pp.755–763 [27] Jerri A J., (1977), “The Shannon sampling theorem - its various extension and applications: a tutorial review", Proc IEEE, 65, pp.1565–1596 [28] James D F V., Agarwal G S., (1996), “The generalized Fresnel transform and its application to optics", Optics Communications, 126(4-6), pp.207– 212 [29] Jimenez C., Torres C., Mattos L., (2011), “Fractional Hartley transform applied to optical image encryption", Journal of Physics Conference Series, 274, 012041 [30] Kakichev V A., Thao N X., Tuan V K., (2005), “On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms", East - West Jour Math., 1(3), pp 321–341 [31] Koc¸ A., Ozaktas H.M., Candan C., Kutay M A., (2008), “Digital computation of linear canonical transforms", Signal Processing, 56(6), pp.2383– 2394 123 [32] Mendlovic D., Zalevsky Z., Lohmann A W., Dorsch R G., (1996), “Signal spatial-filtering using the localized fractional Fourier transform", Optics Communications, 126, pp.14–18 [33] Moshinsky M., Quesne C., (1971), “Linear canonical transforms and their unitary representations", J Math Phys,12, pp.1772–1783 [34] Namias V., (1980), “The fractional order Fourier transform and its application in quantum mechanics", J Inst Math Appl, 25(3), pp 241–265 [35] Ozaktas H M., Zalevsky Z., Kutay M A., (2001), The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing, Wiley, New York [36] Ozaktas H M., Zalevsky Z., Kutay M A., (2001), The Fractional Fourier Transform, Wiley, Chichester [37] Pei S C., Ding J J., (2010), “Fractional Fourier Transform, Wigner Distribution, and Filter Design for Stationary and Nonstationary Random Processes", IEEE Transactions on Signal Processing, 58(8), pp.4079–4092 [38] Pei S C., Ding J J., (2001), “Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications", IEEE Transactions on Signal Processing, 49(8), pp.1638–1655 [39] Pei S C., Ding J J., (2002), “Eigenfunctions of linear canonical transform", IEEE Transaction on Signal Processing, 50(1), pp.11–26 [40] Pei S C., Ding J J., (2003), “Eigenfunctions of the offset Fourier, fractional Fourier, and linear canonical transforms", Opt Lett , 20(3), pp.522–532 [41] Pei S C., Ding J J., (2007), “Relations between Gabor transform and fractional Fourier transform and their applications for signal processing", IEEE Transactions on Signal processing, 55(10), pp.4839–4850 [42] Prudnikov A P., Brychkov Y A., Marichev O I., (2003), Integrals and series, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, Moscow, (Second revised edition) 124 [43] Rudin W., (1991), Functional Analysis (second ed.), McGraw-Hill, New York [44] Salasnich L., (2014), Quantum physics of light and matter, Unitext for physics, Springer international publishing Switzerland [45] Saitoh S., Tuan V K., Yamamoto M., (2003), “Convolution inequalities and applications", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 4(3), pp.1–8 [46] Stein E M., Shakarchi R., (2007), Fourier analysis, An introduction, Princeton University Press [47] Stern A., (2006), “Sampling of linear canonical transformed signals", Signal Processing, 86(7), pp.1421–1425 [48] Stern A., (2007), “Sampling of compact signals in the offset linear canonical domain", Signal Image Video Process, 1(4), pp.359–367 [49] Stern A., (2008), “Uncertainty principles in linear canonical transform domains and some of their implications in optics", J Opt Soc Am A, 25(3), pp 647–652 [50] Sharma K K., Joshi S D., (2008), “Uncertainty principle for real signals in the linear canonical transform domains", Transactions on signal processing, 56(7), pp 2677–2683 [51] Singh A K., Saxena R., (2012), “On convolution and product theorems for the fractional Fourier transform", Wireless Personal Communications, 5(1), pp.189–201 [52] Shi J., Liu X., Zhang N., (2012), “Generalized convolution and product theorems associated with linear canonical transform", Signal Image Video Process, 8(5), pp 967–974 [53] Tuan N M., Tuan P D., (2012), “Operator properties and Heisenberg uncertainty principles for a un-unitary integral operator", Integral transforms and special functions, 23(1), pp.1–12 125 [54] Titchmarsh E C., (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Co., New York [55] Tao R., Deng B., Zhang W Q., Wang Y., (2008), “Sampling and sampling rate conversion of bandlimited signals in the fractional Fourier transform domain", IEEE Transactions on Signal Processing, 56(1), pp.158–171 [56] Thao N X., Tuan V K., Hong N T., (2007), “Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type", Int J Math Math Sci., 97250, pp.1–11 [57] Thao N X., Tuan V K., Hong N T., (2008), “Generalized convolution transforms and Toeplitz plus Hankel integral equation", Frac Calc App Anal., 11(2), pp 153–174 [58] Vladimirov V S., (1979), Generalized functions in Mathematical Physics, Mir Publishers Moscow, Moscow [59] Vretblad A., (2003), Fourier analysis and its applications, Springer Verlag, New York- Berlin- Heidelberg [60] Vetterli M., Marziliano P., Blu T., (2002), “Sampling signals with finite rate of innovation", Transactions on signal processing, 50(6), pp.1417–428 [61] Wei D., Ran Q., Li Y., Ma J., Tan L., (2009), “A convolution and product theorem for the linear canonical transform", Signal Processing Letters, 16(10), pp 853–856 [62] Wiener N., (1929), “Hermitian polynomials and Fourier analysis", J Math Phys, 8(1), pp.70–73 [63] Wei D., Ran Q., Li Y., (2012), “A Convolution and correlation theorem for the linear canonical transform and its application", Circuits, Systems and Signal Processing, 31(1), pp.301–312 [64] Xiang Q., Qin K., (2014), “Convolution, correlation, and sampling theorems for the offset linear canonical transform", Signal, Image and Video Processing, 8(3), pp.433–442 126 [65] Xia X G., (1996), “On bandlimited signals with fractional Fourier transform", Signal Processing Letters, 3(3), pp.72–74 [66] Zayed A I., (1998), “A convolution and product theorem for the fractional Fourier transform", Signal Processing, 5(4), pp.102–103 [67] Zayed A I., Garca A.G., (1999), “New sampling formulae for the fractional Fourier transform", Signal Processing, 77(1), pp.111–114 [68] Zhang Z, (2016), “New convolution and product theorem for the linear canonical transform and its applications", Optik - International Journal for Light and Electron Optics, 127(11), pp 4894–4902 [69] Zhi X., Wei D., Zhang W., (2016), “A generalized convolution theorem for the special affine Fourier transform and its application to filtering", Optik, 127(5), pp.2613–2616 127 PHỤ LỤC Mã lệnh Matlab cho ví dụ Luận án sử dụng phần mềm Matlab để chạy lọc ví dụ Sau đoạn mã lệnh cho ví dụ tương ứng WDF Phân phối Wigner tín hiệu function W = mywigner(Ex) if (size(Ex, 2)-1) error(’E(x) must be a column vector’); end N = length(Ex); x = ifftshift(((0:N-1)’-N/2)*2*pi/(N-1)); X = (0:N-1)-N/2; EX1 = ifft( (fft(Ex)*ones(1,N)).*exp( i*x*X/2 )); EX2 = ifft( (fft(Ex)*ones(1,N)).*exp( -i*x*X/2 )); W = real(fftshift(fft(fftshift(EX1.*conj(EX2), 2), [], 2), 2)); Ví dụ 1.4 Ví dụ phân phối Wigner tín hiệu t=-10:0.1:10; f=-6:0.1:6 x=2*exp(-0.2*t.^2); n=exp(-1i*(3*t)).*exp(-(0.1)*(t-7).^2)+(0.5)*exp(1i*(t+8.6).^2); tfr= mywigner(x.’); xin=x+n; tfr1= mywigner(n.’); tfr2= mywigner(xin.’); 128 figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(2, 2, 1); imagesc(t,f,tfr); axis xy; colormap(flipud(jet)); title(’WDF of x(t) ’); xlabel(’Time’); ylabel(’Frequency’); subplot(2, 2, 2); imagesc(t,f,tfr1); axis xy; colormap(flipud(jet)); title(’ WDF of n(t)’); xlabel(’Time’); ylabel(’Frequency’); set(gcf,’color’,’w’); subplot(2, 2, 3); imagesc(t,f,tfr2); axis xy; colormap(flipud(jet)) title(’ WDF r_{in}(t)’); xlabel(’Time’); ylabel(’Frequency’); Ví dụ 4.1 Định lý lấy mẫu Shannon function output = fInput( t ) output = 5/(3*pi).*exp(-1i*(t.^2 + t)); sum = 0; for n = -2000:2000 sum = sum + sin(pi*n).*(sin(0.6*pi*(t - (5*n)/3))./(t - (5*n)/3)); end output = output.*sum; 129 end Phần thực tín hiệu khơi phục clear all; close all; t = [-5:0.0001:5]; f = exp(-1i*(t.^2 + t)).*sin(0.6*pi*t) figure; plot( t,real(f),’k’,t,(10^13)/2*real(fInput(t)),’ r’); legend(’original’,’reconstructed signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); Phần ảo tín hiệu khôi phục clear all; close all; t = [-5:0.0001:5]; f = exp(-1i*(t.^2 + t)).*sin(0.6*pi*t) figure; plot( t,imag(f),’k’,t,(10^13)/2*imag(fInput(t)),’ r’); legend(’original’,’reconstructed signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); Ví dụ 4.2 Sử dụng chập với hàm trọng Gauss thiết kế lọc nhân clear all; close all; T = 1/20; t = [-10 : T : 10-T]; fInFunc = 2*exp(-0.2*t.^2) +exp(-1i*(3*t)).*exp(-(0.1)*(t-7).^2)+(0.5)*exp(1i*(t+8.6).^2); f = 2*exp(-0.2*t.^2) 130 chirpFunc1 =exp(-(0.3)*1i*(t.^2)); gFunc = fInFunc.*chirpFunc1; lFunc = (2/sqrt(-2*pi*1i))*sin(3.6*t)./t; convFunc = conv(gFunc, lFunc, ’same’); chirpFunc2 = sqrt((1)/(2*pi*1i))*exp((0.3)*1i*(t.^2)); f1OutFunc =10/201*convFunc.*chirpFunc2; figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(1, 2, 1); plot(t, real(fInFunc),’k’); title(’The real part of input signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(1, 2, 2); plot(t, real(f),’k’,t,real(f1OutFunc),’ r’); legend(’desired signal’,’output signal’); title(’The real parts of desired signal and output signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); Ví dụ 4.4 Sử dụng chập thiết kế lọc Gauss clear all; close all; T = 1/20; t = [-10 : T : 10-T]; fInFunc = 2*exp(-0.2*t.^2) +exp(-1i*(3*t)).*exp(-(0.1)*(t-7).^2)+(0.5)*exp(1i*(t+8.6).^2); f = 2*exp(-0.2*t.^2); chirpFunc1 =exp(-(0.3)*1i*(t.^2)); gFunc = fInFunc.*chirpFunc1; 131 GFunc = (17)/sqrt((425)*pi)*exp((-0.68)*(t.^2)); convFunc2 = conv(gFunc, GFunc, ’same’); chirpFunc2 = sqrt(sqrt(34)/(10*pi*1i))*exp((0.3)*1i*(t.^2)); f2OutFunc = 20/86*convFunc2.*chirpFunc2; figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(1, 2, 1); plot(t, real(fInFunc),’k’); title(’The real part of input signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(1, 2, 2); plot(t, real(f),’k’,t,real(f2OutFunc),’ r’); legend(’desired signal’,’output signal’); title(’The real parts of desired signal and output signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); Ví dụ 4.5 Sử dụng chập với hàm trọng Gauss thiết kế lọc kép clear all; close all; T = 1/20; t = [-10 : T : 10-T]; fInFunc = 2*exp(-0.2*t.^2) +exp(-1i*(3*t)).*exp(-(0.1)*(t-7).^2)+(0.5)*exp(1i*(t+8.6).^2); f = 2*exp(-0.2*t.^2); chirpFunc1 =exp(-(0.3)*1i*(t.^2)); gFunc = fInFunc.*chirpFunc1; lFunc = (10/sqrt((-10)*1i*pi*sqrt(34)))*sin((0.72)*sqrt(34)*t)./t; GFunc = (17)/sqrt(425*pi)*exp((-0.68)*(t.^2)); 132 convFunc = conv(gFunc, lFunc, ’same’); chirpFunc2 = sqrt((sqrt(34)*1i)/(-10*pi))*exp((0.3)*1i*(t.^2)); convFunc3 = conv(convFunc, GFunc, ’same’); f3OutFunc = 1/339*convFunc3.*chirpFunc2; figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(2, 2, 1); plot(t, real(fInFunc),’k’); title(’The real part of input signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(2, 2, 2); plot(t,real(10/275*convFunc),’k’); title(’Convolution with multiplicative function’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(2, 2, 3); plot(t, real(1/390*convFunc3),’k’); title(’Convolution with Gaussian function’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(2, 2, 4); plot(t, real(f),’k’,t,real(f3OutFunc),’ r’); legend(’desired signal’,’output signal’); title(’The real parts of desired signal and output signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); 133 Ví dụ 4.3 WDF tín hiệu t=-10:0.1:10; f=-6:0.1:6 x=exp(-t.*t).*sin(1.5*t); n=exp(i.*(t+10).*(t+10)); tfr= mywigner(x.’); xin=x+n; tfr2= mywigner(xin.’); figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(1, 2, 1); imagesc(t,f,tfr); axis xy; colormap(flipud(jet)) title(’Wigner distribution of desired signal ’) xlabel(’Time’); ylabel(’Frequency’); subplot(1, 2, 2); imagesc(t,f,tfr2); axis xy; colormap(flipud(jet)) title(’Wigner distribution of observed signal ’) Ví dụ 4.3 Sử dụng chập với trọng Hermite để thiết kế lọc nhân clear all; close all; T = 1/20; t = [-10 : T : 10-T]; fInFunc = exp(-1*t.^2).*sin(1.5*t)+exp(1i*(t+10).^2); f = exp(-1*t.^2).*sin(1.5*t); 134 chirpFunc1 =exp(-1i*(t.^2)); gFunc = fInFunc.*chirpFunc1; lFunc = (2/sqrt(-6*pi*1i))*sin(6*t)./t; convFunc = conv(gFunc, lFunc, ’same’); chirpFunc2 = sqrt((3)/(2*pi*1i))*exp(1i*(t.^2)); f1OutFunc =10/201*convFunc.*chirpFunc2; figure; set(gcf,’color’,’w’); subplot(1, 2, 1); plot(t, real(fInFunc),’k’); title(’The real part of input signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); subplot(1, 2, 2); plot(t, real(f),’k’,t,real(f1OutFunc),’ r’); legend(’desired signal’,’output signal’); title(’The real parts of desired signal and output signal’); xlabel(’Time’); ylabel (’Amplitude’); 135