Kỹ thuật biến phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ TRẦN HỮU HIẾU KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Huế, Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN HỮU HIẾU KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Huế, Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Tơi hồn tồn chịu trách nhiệm trước khoa nhà trường cam đoan Trần Hữu Hiếu i LỜI CẢM ƠN Luân văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Huỳnh Thế Phùng Từ đáy lịng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết Thầy Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học trường Đồng thời xin cảm ơn tới tập thể Cao học Tốn khóa XXIII trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế động viên, giúp đỡ q trình học tập hồn thành luận văn Cuối xin cảm ơn Bố, Mẹ tồn thể gia đình tơi, người động viên nhiều động lực giúp hồn thành luận văn Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô bạn đọc quan tâm vấn đề Trần Hữu Hiếu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Bảng ký hiệu v Mở đầu vi Các nguyên lý biến phân 1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 1.1.1 Dạng tổng quát không gian metric đủ 1.1.2 Các dạng khác 1.2 Dạng hình học nguyên lý biến phân 1.2.1 Định lý Bishop -Phelps 1.2.2 Định lý Flower-Petal 1.3 Ứng dụng cho định lý điểm bất động 1.3.1 Định lý điểm bất động Banach 1.3.2 Định lý điểm bất động Caristi-Kirk 1.4 Các nguyên lý biến phân hữu hạn chiều 1.4.1 Nguyên lý biến phân trơn không gian hữu hạn chiều 1.4.2 Định lý thay phiên Gordan 1.4.3 Trội hoá 1.5 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss 1 5 7 10 11 12 13 17 17 17 18 19 19 20 22 23 23 25 26 26 28 Kỹ thuật biến phân lý thuyết vi phân 2.1 Dưới vi phân Fréchet nón pháp 2.1.1 Dưới vi phân Fréchet 2.1.2 Nón pháp Fréchet 2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương nghiệm Viscosity 2.2.1 Tách cận 2.2.2 Quy tắc tổng xấp xỉ không địa phương 2.2.3 Tính nghiệm Viscosity 2.3 Quy tắc tổng xấp xỉ địa phương 2.3.1 Quy tắc tổng xấp xỉ mạnh 2.3.2 Quy tắc tổng xấp xỉ yếu 2.4 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ 2.4.1 Các định lý giá trị trung bình 2.4.2 Các định lý giá trị trung bình xấp xỉ iii 2.5 2.4.3 Tiêu chuẩn Lipschitz 2.4.4 Tính đơn điệu nón 2.4.5 Tính tựa lồi Quy tắc dây chuyền Kỹ thuật biến phân giải tích lồi 3.1 Dưới vi phân hàm lồi 3.1.1 Dưới vi phân nón pháp 3.1.2 Đạo hàm theo hướng hàm lồi 3.2 Định lý Sandwich 3.2.1 Bổ đề tách 3.2.2 Định lý Sandwich 3.2.3 Phép tính vi phân 3.2.4 Các điều kiện Pshenichnii-Rockafellar 3.3 Liên hợp Fenchel 3.3.1 Liên hợp Fenchel 3.3.2 Bất đẳng thức Fenchel-Young 3.3.3 Đối ngẫu yếu 3.3.4 Đối ngẫu mạnh 3.4 Bất đẳng thức đối ngẫu cho hàm Sandwich Kỹ thuật biến phân giải tích hàm phi 4.1 Dưới vi phân không gian Asplund 4.2 Các định lý tách không lồi 4.2.1 Định lý tách không lồi 4.3 Các nguyên tắc biến phân Stegall 4.3.1 Tính chất Radon-Nikodym 4.3.2 Nguyên lý biến phân Stegall 4.3.3 Định lý Pitt 4.4 Định lý Mountain Pass 4.4.1 Định lý Mountain Pass 4.4.2 Điều kiện Palais-Smale 4.5 Các nguyên lý biến phân có nhiễu tuyến 29 30 30 31 33 33 33 33 35 35 36 37 37 38 38 38 39 39 39 43 43 51 51 53 53 54 58 58 59 61 62 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 iv BẢNG CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Rn Ý nghĩa ký hiệu Không gian vector thực n-chiều C (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục Ω Br (x) B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r [x, y] Đoạn thẳng nối hai điểm x y với x, y ∈ Rn diamS Đường kính tập S convS Bao tuyến tính tập S La f Tập mức f NF (S; x) Nón pháp Frechet S x ∂F f (x) Dưới vi phân f (x) linf Khơng gian tuyến tính hàm tuyến tính f ∗ S(x , A, α) Phiến A Γ(a, b) Tập đèo từ a đến b ↓ x Vectơ có gốc x cách xếp lại thành phần theo thứ tự không tăng v MỞ ĐẦU “Kỹ thuật biến phân” thuật ngữ tốn học nhằm nói đến phương pháp chứng minh có sử dụng hàm phụ thích hợp mà đạt giá trị cực tiểu Đây xem mơ hình toán học nguyên tắc tác động tối thiểu vật lý Bởi nhiều kết quan trọng tốn học, mà đặc biệt giải tích, có xuất xứ từ vật lý học, nên việc chúng có nhiều liên quan đến kỹ thuật biến phân điều hoàn toàn tự nhiên Việc sử dụng lập luận biến phân chứng minh toán học có lịch sử lâu dài Điều truy ngược trở lại từ toán Johann Bernoulli đường đoản thời lời giải phải sử dụng phép tính biến phân Kể từ phương pháp thường sử dụng lĩnh vực khác toán học Một minh họa đơn giản lập luận biến phân ví dụ sau: Ví dụ (Tính tràn đạo hàm): Cho f : R → R khả vi giả sử lim f (x)/|x| = +∞ |x|→∞ Khi {f (x)|x ∈ R} = R Thật vậy, cho r số thực Đặt g(x) := f (x) − rx Ta có g(x) → ∞ |x| → ∞ g đạt giá trị cực tiểu điểm x˙ thuộc R Vì = g (x) ˙ = f (x) ˙ − r Như vậy, f (x) ˙ = r Do r lấy tùy ý R ta suy tập hợp đạo hàm hàm f R Hai điều kiện cốt yếu lập luận biến phân tính compact (để bảo đảm hàm phụ đạt cực tiểu) tính khả vi hàm phụ (để có điều kiện dừng) Tuy nhiên, khám phá quan trọng toán học năm 1970 làm giảm nhẹ đáng kể hai giả thiết Những kết nguyên lý biến phân tổng qt làm giảm nhẹ tính compact, cịn kết giải tích khơng trơn lại cho phép sử dụng hàm phụ không khả vi Nhờ vậy, kỹ thuật biến phân với ứng dụng chúng phát triển vượt bậc nhiều thập kỷ qua Bên cạnh việc sử dụng nguyên lý biến phân sử dụng đạo hàm suy rộng cho hàm trơn, người ta thường cần phải kết hợp nguyên lý biến phân với công cụ thích hợp khác Một đặc điểm quan trọng kỹ thuật biến phân chúng làm việc hàm không trơn, tập hợp hàm đa trị tốt Mục đích luận văn tổng quan kĩ thuật biến phân bậc khơng gian vơ hạn chiều, trình bày ứng dụng kỹ thuật lĩnh vực khác giải tích, tối ưu hóa xấp xỉ, hệ thống động toán kinh tế Luận văn gồm chương: Chương trình bày kết cổ điển giải tích điều kiện để hàm nửa liên tục đạt cực tiểu bao gồm Nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh ngắn gọn định lý không gian metric đủ tổng quát, tương đương ngun lý với tính đủ khơng gian metric ứng dụng định lý điểm bất động, định lý Bishop - Phelps, định lý Flower - Petal; đồng thờitổng quan vi nguyên lý biến phân Borwein - Preiss Chương trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân với hàm nửa liên tục không gian Banach trơn Fréchet bao gồm quy tắc tổng xấp xỉ địa phương không địa phương, từ suy điều kiện nghiệm Viscosity phương trình Hamilton - Jacobi Chương trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân không gian đầy đủ với hàm lồi nêu định lý Sandwich vận dụng định lý suy điều kiện có nghiệm tốn lồi đơn giản trình bày số kết quan trọng liên quan tính liên hợp với Gradient Chương trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân giải tích hàm phi tuyến, tổng quan nguyên lý biến phân Stegall định lý Mountain Pass Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn quan tâm để luận văn hoàn thiện vii Chương Các nguyên lý biến phân 1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland Nếu X không compact f khơng X hàm f khơng đạt cực tiểu X Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε-xấp xỉ cực tiểu sau: Với ε > cho trước, điểm xε ∈ X gọi ε-xấp xỉ cực tiểu f (x) X inf f ≤ f (xε ) ≤ inf f + ε X X Điểm ε-xấp xỉ cực tiểu tồn f bị chặn Hơn nữa, X không gian metric đủ ngun lý Ekeland phát biểu ta làm nhiễu hàm f để thu hàm đạt cực tiểu X Sau ta xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển không gian metric đủ (X, d) 1.1.1 Dạng tổng quát không gian metric đủ Định lý 1.1.1 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Giả sử ε > z ∈ X thoả mãn f (z) < inf f + ε X Khi đó, với λ > tồn y ∈ X cho i) d(z, y) ≤ λ, ii) f (y) + λε d(z, y) ≤ f (z), iii) f (x) + λε d(x, y) > f (y), với x ∈ X\{y} Để chứng minh Định lý trên, trước hết ta định nghĩa quan hệ thứ tự "≤" tích X × R sau, với α > 0, với (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ X × R ta có (x1 , y1 ) ≤ (x2 , y2 ) ⇔ y2 − y1 + αd(x1 , x2 ) ≤ Ta chứng minh quan hệ "≤" có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Bây cho h phần tử tuỳ ý X Đặt hn = −hm = h hk = với k = m, n (4.2.7) ta có ξn − ξm , h = Do đó, thành phần g (x) giống ta viết g (x) = (−x∗ , , −x∗ ) Tiếp theo ta đặt h = N ¯n ), ∀n = 1, , N (4.2.7) ta n=1 (xn − x N N N ∗ −x , (xn − x¯n ) (xn − x¯n ) =N n=1 n=1 để p∗ = Cuối cùng, (x∗1 , , x∗N ) ∈ g (x) + NF (S1 (p1 ); x1 ) × × NF (SN (pN ); xN ) (4.2.8) Kết hợp (4.2.6) (4.2.8) ta có, với n = 1, , N , x∗ ∈ NF (Sn (pn ); xn ) + εBX ∗ Hệ 4.2.1 Cho X không gian Banach trơn Frechet Sn , n = 1, , N tập đóng X Giả sử (¯ x1 , , x¯N ) ∈ S1 × × SN thoả mãn N N x¯n ∈ bd Sn n=1 n=1 Khi với ε > 0, tồn xn ∈ Bε (¯ x) ∩ Sn , n = 1, , N x∗ ∈ X ∗ với x∗ = cho x∗ ∈ ∩N n=1 (NF (Sn ; xn ) + εBX ∗ ) Chứng minh Cho Mn = X định nghĩa Sn (pn ) = Sn + pn − x¯n Khi (¯ x1 , , x¯N ) tách địa phương từ (S1 , , SN ) (¯ x1 , , x¯N ) Áp dụng Định lý 4.2.1 tồn pn ∈ Bε/2 (¯ xn ), yn ∈ Sn (pn ) ∩ Bε/2 (¯ xn ) = (Sn + pn − x¯n ) ∩ Bε/2 (¯ xn ) x∗ ∈ X ∗ với x∗ = cho x∗ ∈ ∩N n=1 (NF (Sn (pn ); yn ) + εBX ∗ ) Định nghĩa xn = yn − pn + x¯n Khi xn ∈ Bε (¯ xn ) ∩ Sn NF (Sn (pn ); yn ) = ∗ N NF (Sn ; xn ) x ∈ ∩n=1 (NF (Sn ; xn ) + εBX ∗ ) 4.3 4.3.1 Các nguyên tắc biến phân Stegall Tính chất Radon-Nikodym Định nghĩa 4.3.1 (Phiến)Cho X không gian Banach A tập khác rỗng X Với α > x∗ ∈ X ∗ , ta gọi S(x∗ , A, α) := {x ∈ A| x∗ , x > σA (x∗ ) − α} phiến A Nếu A tập khác rỗng X ∗ , ta định nghĩa phiến yếu* tương tự, với phiếm hàm từ X thay X ∗∗ 53 Định nghĩa 4.3.2 (Tập vết lõm) Cho X không gian Banach A tập X (X ∗ ) Ta gọi A vết lõm (yếu*) với ε > tồn x∗ ∈ X ∗ (x ∈ X) α > cho diamS(x∗ , A, α) < ε(diamS(x, A, α) < ε) Định nghĩa 4.3.3 (Tính chất Radon-Nikodym) Cho X không gian Banach A tập X Ta nói A có tính chất Radon-Nikodym (RNP) tập khác rỗng bị chặn A tập vết lõm 4.3.2 Nguyên lý biến phân Stegall Định nghĩa 4.3.4 Cho X không gian Banach S tập khác rỗng X Giả sử f hàm S bị chặn Ta nói x ∈ S giá trị cực tiểu mạnh f S f (x) = inf S f với dãy (xi ) S , x − xi → f (xi ) → f (x) Ta định nghĩa phiến tổng quát liên quan đến hàm f S bị chặn S(f, S, α) := {x ∈ S|f (x) > sup f − α} S Khi điều kiện cần đủ để hàm f đạt giá trị cực tiểu mạnh tập đóng S diamS(−f, S, α) → α → 0+ Định lý 4.3.1 (Nguyên lý biến phân Stegall)Cho X không gian Banach C ⊂ X tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng, RNP cho f hàm nửa liên tục C bị chặn Khi với ε > tồn x∗ ∈ X ∗ cho X ∗ < ε f + x∗ đạt giá trị cực tiểu mạnh C Hệ 4.3.1 Cho X không gian Banach với RNP f hàm nửa liên tục X Giả sử tồn a > b ∈ R cho f (x) > a x + b, x ∈ X Khi với ε > tồn x∗ ∈ X ∗ cho x∗ < ε f + x∗ đạt giá trị cực tiểu mạnh X Chứng minh Vì ta thay f f − b, ta giả sử b = Chú ý x∗ ∈ X ∗ với x∗ < a/2, với x ∈ X , f (x) + x∗ , x ≥ a x − a a x = x 2 (4.3.1) Cho r = (2/a)[f (0) + 1] áp dụng Nguyên lý biến phân Stegall vào f bị hạn chế rB , với < ε < a/2 Do đó, tồn x∗ ∈ X ∗ , x∗ < ε, điểm x¯ ∈ rB cho f + x∗ đạt giá trị cực tiểu mạnh x¯ rB Ta cần x¯ giá trị cực tiểu mạnh f + x∗ X Nếu x ∈ X cho f (x) + x∗ , x ≤ f (¯ x) + x∗ , x¯ = inf rB (f + x∗ ) ≤ f (0), từ (4.3.1) ta kết luận x ≤ (2/a)f (0) < r, nên x = x¯ Tương tự (xi ) dãy X f (xi ) + x∗ , xi → f (¯ x) + x∗ , x¯ , f (xi ) + x∗ , xi < f (0) + 1, từ (4.3.1) ta có xi ∈ rB xi → x¯ 54 Bổ đề 4.3.1 Cho X không gian Banach (Ai ) dãy tập khác rỗng X Giả sử tồn số ε > λ > cho với i = 1, 2, , x ∈ conv(Ai ) y ∈ X , d(conv(Ai+1 \Bε (y)); x) ≤ λ/2i Khi tập A = ∩∞ i=1 ∪j≥i conv(Aj ) khác rỗng không tập vết lõm Chứng minh X không gian Banach, A tập đóng X Khi A vết lõm ∀ε > 0, ∃x ∈ A cho x ∈ / conv(A\Bε (x)) Điều đủ để x ∈ conv(A\Bε/2 (x)) với x ∈ A Đầu tiên ta chứng minh A khác rỗng với i ≥ 1, conv(Ai ) ⊂ B4λ/2i (A) (4.3.2) Cố định i đủ lớn để Ai khác rỗng giả sử x0 ∈ conv(Ai ) Theo giả thiết, tồn điểm x1 ∈ conv(Ai+1 ) cho x0 − x1 ≤ 2λ/2i Tương tự tồn điểm x2 ∈ conv(Ai+2 ) cho x1 − x2 ≤ 2λ/2i+1 Tiếp tục ta có xk ∈ i conv(Ai+k ), k = 0, 1, , cho ∞ k=0 xk − xk+1 ≤ 4λ/2 < ∞ Điều suy i chuỗi ∞ k=1 (xk − xk+1 ) hội tụ đến phần tử y ∈ X , với chuẩn nhỏ 4λ/2 Ta có y = x0 −z z = limk→∞ xk Từ z ∈ A (do A khác rỗng) x0 ∈ B4λ/2i (A), ta chứng minh (4.3.2) Giả sử x ∈ A Cố định j cho 4λ/2j < ε/2 Vì ta có x ∈ ∪k≥i conv(Ak ), ∀i, với i ≥ j tồn k ≥ i yi ∈ conv(Ak ) cho x − yi ≤ λ/2i Theo giả thiết, d(conv(Ak+1 \Bε (x)); yi ) ≤ λ/2k < 2λ/2i , nên tồn zi ∈ conv(Ak+1 \Bε (x)) cho yi − zi < 2λ/2i Ta viết zi tổ hợp lồi hữu hạn zi = λn un , un ∈ Ak+1 \Bε (x) Theo (4.3.2), với n ta có un ∈ B4λ/2k (A) ⊂ B4λ/2i (A) nên tồn ∈ A cho un −vn ≤ 4λ/2i Cho wi = λn ; từ zi −wi ≤ 4λ/2i x−wi ≤ 7λ/2i Vì un − x ≥ ε với n ta có − x ≥ ε − 4λ/2i ≥ ε − 4λ/2j > ε/2, tức là, wi ∈ conv(A\Bε/2 (x)) Nên x ∈ conv(A\Bε/2 (x)) Bổ đề 4.3.2 Cho X không gian Banach S tập khác rỗng hình cầu đơn vị X Giả sử f S bị chặn Khi với α > 0, ta có S(f + x∗ , S, β) ⊂ S(f, S, α) x∗ < α/2 < β < α − x∗ 55 Bổ đề 4.3.3 Cho X không gian Banach S tập đóng, bị chặn, khác rỗng X Giả sử với hàm f bị chặn dưới, nửa liên tục S với ε > 0, tồn x∗ ∈ X ∗ , x∗ < ε α > cho diamS(−(f + x∗ ), S, α) ≤ 2ε Khi với hàm f S nửa liên tục dưới, bị chặn ε > tồn x∗ ∈ X ∗ cho x∗ < ε f + x∗ đạt giá trị cực tiểu mạnh S Chứng minh Không tổng quát ta giả sử S chứa hình cầu đơn vị X < ε < Theo giả thiết, tồn x∗1 ∈ X ∗ , x∗1 < ε/2 < α1 < cho diamS1 < ε, S1 = S(−(f + x∗1 ), S, α1 ) Áp dụng giả thiết vào f + x∗1 ε1 = α1 ε/22 ta có x∗2 ∈ X ∗ , x∗2 < ε1 , < α2 < α1 < cho diamS2 < 2ε1 , S2 = S(−(f + x∗1 + x∗2 ), S, α2 ) Tiếp tục quy nạp với α0 = 1, ta dãy i εi > 0, < αi < 1, x∗i ∗ x∗k ), S, αi ) ∈ X , Si = S(−(f + k=1 cho x∗i < εi−1 , diamSi ≤ 2εi−1 , εi = εαi /2i+1 αi < αi−1 ∞ ∗ i=1 xi hội tụ đến điểm x∗ ∈ X ∗ với chuẩn nhỏ < ε Chú ý diamSi → 0, εi → Ta cần f +x∗ đạt giá trị cực tiểu ε mạnh Ta có f đạt giá trị cực tiểu mạnh S diamS(−f, S, α) → α → 0+ Điều đủ để diamS(−(f + x∗ ), S, α) → α → 0+ , với điều đủ để chứng minh với i tồn α > cho diamS(−(f +x∗ ), S, α) ⊂ i Si Từ bổ đề 4.3.2, sử dụng f + x∗ = f + k=1 x∗k + wi∗ Hiển nhiên, chuỗi ∞ −(1+i) i=1 αi ∞ wi∗ εαk−1 /2k < αi /2 ≤ k=i+1 ta cần chọn α cho < α < αi − wi∗ Bây ta chứng minh nguyên lý biến phân Stegall Chứng minh định lý 4.3.1 Sử dụng bổ đề trước, ta cần chứng minh với ε > cho trước tồn x∗ ∈ X ∗ , x∗ < ε, α > cho diamS(−(f + x∗ ), C, α) ≤ 2ε Giả sử ngược lại, với x∗ < ε, α > 0, ta có diamS(−(f + x∗ ), C, α) > 2ε Với i đặt Ai = {S(−(f + x∗ ), C, 1/4i )| x∗ ≤ ε − 2−i } Với tất i đủ lớn, ta có ε − 2−i > 0, nên Ai khác rỗng Cho λ = 5/2; ta chứng minh với λ này, dãy (Ai ) thoả mãn giả thiết bổ đề 4.3.1, kết luận mâu thuẫn với giả thiết định lý 4.3.1 (C có RNP) Nhắc lại giả thiết bổ đề 4.3.1, ta muốn chứng minh với y ∈ X , conv(Ai ) ⊂ conv(Ai+1 \Bε (y)) + (λ/2i )B 56 (4.3.3) Vì tập bên phải lồi, đủ để chứng minh chứa Ai Giả sử x ∈ Ai , với vài y ∈ X khơng bên phải (4.3.3) Theo định lý tách tồn y ∗ ∈ X ∗ , y ∗ = cho y ∗ , x ≤ inf{ y ∗ , u |u ∈ Ai+1 \Bε (y)} − λ/2i (4.3.4) Vì x ∈ Ai , tồn x∗ ∈ X ∗ với x∗ < ε − 2−i cho x phiến S(−(f + x∗ ), C, 1/4i ) Từ z ∗ = x∗ + y ∗ /2i+1 ta có z ∗ ≤ ε − 2−i + 2−(i+1) = ε − 2−(i+1) nên S(−(f + z ∗ ), C, 1/4i+1 ) ⊂ Ai+1 Vì diamS(−(f + z ∗ ), C, 1/4i+1 ) > 2ε, phiến không chứa Bε (y) Suy tồn z ∈ C\Bε (y) cho f (z) + z ∗ , z < inf (f + z ∗ ) + 1/4i+1 C (4.3.5) Do đó, z ∈ Ai+1 \Bε (y) từ (4.3.4), ta kết luận y ∗ , x ≤ y ∗ , z − λ/2i (4.3.6) Ta chứng minh (4.3.3) cách điều khơng Chú ý x ∈ S(−(f + x∗ ), C, 1/4i ) z ∈ C , ta cần có f (x) + x∗ , x < inf (f + x∗ ) + 1/4i ≤ f (z) + x∗ , z + 1/4i C (4.3.7) Tương tự, từ (4.3.5) ta có f (z) + z ∗ , z = f (z) + x∗ , z + y ∗ , z /21+i < inf (f + x∗ + y ∗ /21+i ) + 1/4i+1 C ≤ f (x) + x∗ , x + y ∗ , x /2i+1 + 1/4i+1 (4.3.8) Sử dụng (4.3.7) (4.3.8) ta có f (z) + x∗ , z + y ∗ , z /2i+1 < f (z) x∗ , z + 1/4i + y ∗ , x /2i+1 + 1/4i+1 y ∗ , z − x /2i+1 < 1/4i + 1/4i+1 = 5/4i+1 = 5/22i+2 Tương đương, y ∗ , z − x < (5/2)(1/2i ) = λ/2i , mâu thuẫn (4.3.6) hoàn thành chứng minh 57 4.3.3 Định lý Pitt Định lý 4.3.2 (Pitt) Giả sử ≤ p < q < +∞ Khi tốn tử tuyến tính bị chặn từ q vào p compact Chứng minh Cho T tốn tử tuyến tính bị chặn từ q q f (x) = x − T x pp , x ∈ q vào p Khi hàm q bị chặn f (x) > x q x q đủ lớn Theo hệ 4.3.1 tồn điểm x ∈ q phiếm hàm x∗ ∈ ∗q cho f (x + h) − f (x) − x∗ , h ≥ 0, h ∈ q Nên f (x + h) − f (x − h) − 2f (x) ≥ 0, h ∈ Do đó, với h ∈ x+h q q q q, + x−h q q −2 x q q p p ≥ T (x + h) + T (x − h) p p − T x pp Cho (xi ) dãy bị chặn q Ta giả sử dãy hội tụ yếu đến vài y ∈ q Ta chứng minh T xi − T y → i → ∞ Thật vậy, cách thay h = t(xi − y) bất đẳng thức cuối ta có x + t(xi − y) q q + x − t(xi − y) q q −2 x p p ≥ T x + tT (xi − y) với i = 1, 2, ∀t > Nếu z ∈ r, r r r lim sup z + wi i→∞ q q + T x − tT (xi − y) p p − Tx ≥ wi → yếu = z r r r, p p + lim sup wi rr , i→∞ ta có q q lim sup x ± t(xi − y) i→∞ = x q q + tq lim sup xi − y = Tx p p + lim sup T (xi − y) pp i→∞ q q lim sup T x ± tT (xi − y) i→∞ p p i→∞ Do đó, tq lim sup xi − y q q i→∞ với t > 0, T (xi − y) 4.4 p ≥ tq lim sup T (xi − y) pp , i→∞ → i → ∞ Định lý Mountain Pass Các kỹ thuật biến phân ứng dụng mà thảo luận gần dựa khái quát hoá nguyên lý Fermat mà giá trị cực tiểu hàm số điểm tới hạn (critical point) Điều dễ dàng biết rộng rãi điểm tới hạn (critical points) sinh điểm cực đại (saddle point = điểm yên ngựa, điểm nút) Liệu nguyên lý biến phân dùng trường hợp này? Câu trả lời chắn 58 4.4.1 Định lý Mountain Pass Định lý mountain pass kết quan trọng việc nghiên cứu nhiều nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính (nonlinear partial differential equations) Cái tên bắt nguồn từ hình ảnh hình học Xem xét vùng trũng (vùng vịnh) bao quanh núi Để di chuyển từ địa điểm vùng vịnh tới thành phố núi bao quanh này, người ta phải theo đèo (mountain pass) ngang qua sườn núi Mỗi đèo có điểm cao Bằng trực giác, người ta tưởng tượng số đèo có đèo với chiều cao thấp Điểm mà có chiều cao thấp mountain pass saddle point (điểm yên ngựa) Trên thực tế, dọc theo đèo (mountain pass), có điểm cao có điểm thấp dọc theo sườn núi, minh hoạ hình 6.1 Người ta mong đợi chắn điểm critical point (điểm tới hạn), nằm điều kiện định Để kết xác ta cần phải xác định “ mountain pass" Cho X khơng gian Banach C([0, 1]; X) không gian Banach tất hàm liên tục x : [0, 1] → X với chuẩn sup x ∞ Với a, b ∈ X ta định nghĩa tập đèo từ a đến b Γ(a, b) := {x ∈ C([0, 1]; X)|x(0) = a, x(1) = b} Định nghĩa 4.4.1 Cho X không gian Banach S tập đóng X Ta gọi S tách hai điểm a b X a b thuộc thành phần liên thông rời X\S Định lý 4.4.1 (Định lý Mountain Pass xấp xỉ) Cho X không gian Banach, cho a, b ∈ X f : X → R hàm liên tục khả vi Gâteaux với hàm khả vi Gâteaux f : X → X ∗ liên tục từ tôpô chuẩn X đến tôpô yếu* X ∗ Định nghĩa c= inf max f (x(t)) x∈Γ(a,b) t∈[0,1] Giả sử S tập đóng X cho S ⊂ {x ∈ X|f (x) ≥ c} S tách a b Khi tồn dãy (xi ) X cho lim d(S; xi ) = 0, i→∞ lim f (xi ) = c, i→∞ lim f (xi ) = i→∞ Chứng minh Vì S tách a b ta tìm hai tập mở rời U V cho X\S = U ∪ V a ∈ U b ∈ V Cố định ε để < ε < min(1, d(S; a), d(S; b)) Ta chứng minh tồn điểm xε ∈ X cho (i) c < f (xε ) < c + 54 ε2 , 59 (ii) d(S; xε ) < 23 ε (iii) f (xε ) < 32 ε Cho x¯ ∈ Γ(a, b) thoả mãn max{f (¯ x(t))|t ∈ [0, 1]} < c + ε2 /4 (4.4.1) Định nghĩa α := sup{t ∈ [0, 1]|¯ x(t) ∈ U d(S; x¯(t)) ≥ ε}, β := inf{t ∈ [0, 1]|¯ x(t) ∈ V d(S; x¯(t)) ≥ ε}, nên d(S; x¯(t)) < ε t ∈ (α, β) Rõ ràng Γ(¯ x(α), x¯(β)) tập đóng C([0, 1]; X) Đặt h(x) := ε max(0, ε − d(S; x)), định nghĩa hàm ϕ : Γ(¯ x(α), x¯(β)) → R ϕ(x) := max{f (x(t)) + h(x(t))|t ∈ [0, 1]} Chú ý với x ∈ Γ(¯ x(α), x¯(β)) ta có x([0, 1]) ∩ S = ∅, x(0) = x¯(α) ∈ ¯ U, x(1) = β) ∈ V X\S = U ∩ V Từ với x ∈ Γ(¯ x(α), x¯(β)) ϕ(x) ≥ max{f (x(t)) + h(x(t))|t ∈ [0, 1] x(t) ∈ S} ≥ c + ε2 nên ϕ ≥ c + ε2 inf (4.4.2) Γ(¯ x(α),¯ x(β)) Mặt khác, cho z(t) := x¯(α + t(β − α)) ∈ Γ(¯ x(α), x¯(β)) Ta có ϕ(z) ≤ max{f (¯ x(t)) + h(¯ x(t))|t ∈ [0, 1]} ≤ (c + ε2 + ε2 (4.4.3) Áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland vào ϕ Γ(¯ x(α), x¯(β)) để tìm đường y ∈ Γ(¯ x(α), x¯(β)) cho ϕ(y) ≤ ϕ(z), (4.4.4) y − z ≤ ε/2 (4.4.5) ε x − y ≥ ϕ(y), ∀x ∈ Γ(¯ x(α), x¯(β)) (4.4.6) Cho M tập [0, 1] gồm tất điểm mà (f + h) ◦ y đạt giá trị cực đại [0, 1] Đầu tiên ta chứng minh tồn t¯ ∈ M cho f (y(t¯)) ≤ 32 ε Thật vậy, từ (4.4.6) ta có với η ∈ C([0, 1]; X), η(0) = η(1) = 0, ϕ(x) + − ε ϕ(y + sη) − ϕ(y) η ≤ lim+ inf s s→0 Sử dụng định nghĩa đạo hàm Gâteaux f h có số Lipschitz ε, từ bất đẳng thức cuối trội lim+ inf s→0 s max ((f + h)(y(t)) + s f (y(t)), η(t) ) − max ((f + h)(y(t)) + ε η t∈[0,1] t∈[0,1] 60 Do − 3ε m(k + sl) − m(k) η ≤ lim+ inf , s s→0 (4.4.7) k = (f + h) ◦ y, l = f (y), η m hàm lồi liên tục C([0, 1]; X) định nghĩa m(x) = max{x(t)|t ∈ [0, 1]} Nhắc lại vi phân hàm lồi m có biểu diễn sau ∂m(x) = {µ|µ hàm tựa đo xác suất Radon M (x)} M (x) := {t ∈ [0, 1]|x(t) = m(x)} Do từ cơng thức Max (4.4.7) ta có − m(k + sl) − m(k) 3ε η ≤ lim+ inf s s→0 ≤ max{ l, µ |µ ∈ ∂m(k)} = max{ f (y), η dµ|µ ∈ ∂m(k)} Theo định lý tiêu chuẩn minimax ta có − 3ε = inf max η µ f (y), η dµ|µ ∈ ∂m(k), η ≤ 1, η(0) = η(1) = = max inf f (y), η dµ|µ ∈ ∂m(k), η ≤ 1, η(0) = η(1) = µ µ = max µ − f (y) dµ µ ∈ ∂m(k) ≤ min{− f (y(t)) |t ∈ M (k)} Kết hợp (4.4.1) (4.4.2) ta có M (k) ∩ {0, 1} = ∅ (4.4.8) Do tồn t¯ ∈ M (k) = M cho f (y(t¯)) ≤ 3ε/2 Còn lại chứng minh điểm xε = y(t¯) thoả mãn (i) (ii) Với (i) kết hợp (4.4.2), (4.4.3) (4.4.4) ta có c + ε2 ≤ 5ε2 ϕ ≤ f (y(t¯)) + h(y(t¯)) = ϕ(y) ≤ ϕ(z) ≤ c + Γ(¯ x(α),¯ x(β)) inf Vì ≤ h ≤ ε2 ta có c ≤ f (xε ) ≤ c + 5ε2 /4 Với (ii) đủ để (4.4.8) suy t¯ ∈ (0, 1), d(S; z(t¯)) = d(S; x¯(α + t¯(β − α))) ≤ ε Điều kết hợp với (4.4.5) cho ta d(S; xε ) = d(S; y(t¯)) ≤ 3ε/2 4.4.2 Điều kiện Palais-Smale Định nghĩa 4.4.2 (Điều kiện Palais-Smale) Cho X không gian Banach, S tập X f : X → R hàm khả vi Gâteaux Ta nói f thoả mãn điều kiện Palais-Smale quanh S mức c dãy (xi ) X kiểm tra limi→∞ f (xi ) = c, limi→∞ d(S; xi ) = limi→∞ f (xi ) = có dãy hội tụ 61 Định lý 4.4.2 (Định lý Mountain Pass) Cho X không gian Banach, cho a, b ∈ X f : X → R hàm liên tục khả vi Gâteaux với hàm khả vi Gâteaux f : X → X ∗ liên tục từ tôpô chuẩn X đến tôpô yếu* X ∗ Định nghĩa c = inf x∈Γ(a,b) maxt∈[0,1] f (x(t)) Giả sử S tập đóng X cho S ⊂ {x ∈ X|f (x) ≥ c} S tách a b Khi tồn điểm x¯ ∈ S cho f (¯ x) = c f (¯ x) = 4.5 Các nguyên lý biến phân có nhiễu Cho hàm f nửa liên tục có giá trị thực xác định không gian metric đầy đủ X bị chặn ta cố gắng tìm điều kiện để có nhiễu "tốt" g cho hàm có nhiễu f + g đạt giá trị cực tiểu Như ta biết, dựa vào Weierstrasse, hàm nửa liên tục thường g : X → R ∪ {+∞} xác định không gian tôpô Hausdorff X có tập mức khác rỗng compact, bị chặn đạt giá trị cực tiểu Định lý 4.5.1 (Nguyên lý biến phân có nhiễu) Cho X không gian tôpô Hausdorff ϕ : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục thường mà tập mức ϕ−1 ((−∞, r]), r ∈ R compact Khi với hàm nửa liên tục thường f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới, hàm f + ϕ đạt giá trị cực tiểu Đặc biệt, domϕ compact tương đối, kết luận với hàm f nửa liên tục thường (không cần bị chặn dưới) Chứng minh Giả sử domf ∩ domϕ = ∅ Khi hàm f + ϕ thường, nửa liên tục Đặc biệt, (f +ϕ)−1 ((−∞, r]) khác rỗng (và đóng) với r Bây giờ, f bị chặn f +ϕ bị chặn Nhưng, (f +ϕ)−1 ((−∞, r]) ⊂ ϕ−1 ((−∞, r−inf f ]) tập sau compact, với (f + ϕ)−1 ((−∞, r]) Mặt khác, domϕ compact tương đối, dom(f + ϕ) ⊂ domϕ, dom(f + ϕ) compact tương đối Vì vậy, (f + ϕ)−1 ((−∞, r]) compact Kết theo sau ý trước định lý Định lý 4.5.2 Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục thường không gian metric X Giả sử với hàm bị chặn liên tục f : X → R, hàm f + ϕ đạt giá trị cực tiểu Khi ϕ hàm nửa liên tục dưới, bị chặn mà tập mức compact Chứng minh Hiển nhiên ϕ bị chặn Giả sử ϕ không nửa liên tục Khi epiϕ khơng đóng tơpơ tích X × R, tức tồn dãy ((xi , ri )) ∈ epiϕ cho (xi , ri ) → (x0 , r) ∈ / epiϕ Cố định x0 hiển nhiên, ϕ bị chặn dưới, dãy lấy có dạng ((xi , ϕ(xi ))) Điều với x0 cố định, tập R := {r ∈ R| ∃(xi ) ⊂ X cho (xi , ϕ(xi )) → (x0 , r) ∈ / epiϕ} khác rỗng Đặt r0 := inf R Vì R bị chặn inf ϕ, r0 xác định tốt hiển nhiên r0 < ϕ(x0 ) Hơn r0 ∈ R 62 Ngoài ra, với i = 0, 1, , cho Vi lân cận x0 với tính chất ϕ(x) > r0 − 2i+1 , ∀x ∈ Vi Sự tồn Vi đảm bảo định nghĩa r0 Khơng tính tổng qt ta xếp, với i = 0, 1, ta có Vi+1 ⊂ Vi họ {Vi }i∈N cung cấp sở địa phương lân cận cho điểm x0 Với i = 0, 1, , ta định nghĩa hàm liên tục hi : X → [0, 1] : hi |X\Vi ≡ hi (x0 ) = Các hàm tồn X khơng gian tơpơ quy đầy đủ Chọn α ∈ R+ để α > r0 − inf ϕ đặt ∞ f (x) := αh0 (x) + i=1 hi (x), x ∈ X 2i Hàm f xác định tốt, liên tục, bị chặn cho f (x0 ) = Ta chứng minh với x ∈ X ta có f (x) + ϕ(x) > r0 Thật vậy, x = x0 ta có f (x0 ) + ϕ(x0 ) = ϕ(x0 ) > r0 / Nếu x = x0 ta có hai khả năng: Trường hợp 1: Nếu x ∈ / Vi với i = 0, 1, Trong trường hợp hi (x) = 1, với i f (x) + ϕ(x) = α + + ϕ(x) ≥ α + + inf ϕ > r0 Trường hợp 2: Nếu x ∈ Vi với vài n Vì x = x0 họ {Vi } sở địa phương x0 , ta có x ∈ Vk \Vk+1 với k ∈ N Khi đó, theo định nghĩa f hi ta có f (x) + ϕ(x) ≥ 2k+1 + ϕ(x) > r0 , tuỳ theo định nghĩa Vk Do f (x) + ϕ(x) > r0 , ∀x ∈ X (4.5.1) Mặt khác, r0 ∈ R, có xi → x0 nên ϕ(xi ) → r0 Khi đó, f liên tục, f (xi )+ϕ(xi ) → f (x0 ) + r0 = r0 , điều với (6.5.1) inf(f + ϕ) = r0 Nhưng inf nhiễu f + ϕ hiển nhiên không đạt được, theo giống (4.5.1), trái giả thiết định lý Vì vậy, hàm ϕ nửa liên tục Thứ hai, ta chứng minh tập mức ϕ compact Khơng tính tổng quát ta giả sử inf ϕ = Lấy r > xét tập mức Xr := {x ∈ X|ϕ(x) ≤ r} Vì ϕ nửa liên tục nên tập Xr đóng Giả sử Xr khơng compact Khi có dãy (xi ) Xr mà khơng có điểm tụ Xr Lúc ta hạn chế lên không gian Xr với tôpô metric Sử dụng 63 điều ta có dãy tập (Wi ), mở Xr , cho xi ∈ Wi , ∀i Wi ∩ Wj = ∅, ∀i = j Vì ϕ nửa liên tục ta giả sử ϕ(x) > ϕ(xi ) − , ∀x ∈ Wi 2i (5.5.2) Ngoài ra, với x ∈ Xr \ ∪∞ / Wx , i=1 Wi có lân cận mở tương đối Wx để xi ∈ với i (thật vậy, ngược lại x điểm tụ dãy (xi )) Xét phủ mở Xr ∞ Γ := {Wx : x ∈ / Xr \ Wi } ∪ {Wi : i = 1, 2, } i=1 Vì Xr khơng gian metric, phủ có phủ mở γ = {Vα : α ∈ Λ} hữu hạn địa phương, tức là, với x ∈ Xr có lân cận U x để U giao nhiều hữu hạn phần tử γ Cho αi ∈ Λ cho xi ∈ Vαi , ∀i = 1, 2, Theo định nghĩa phủ Γ(xi ∈ / Wx , ∀i x ∈ / ∪Wi ) Wi rời đơi, nên Vαi ⊂ Wi , ∀n Đặc biệt, Vαi rời đơi Với n có hàm liên tục hi : Xr → [−ϕ(xi ) − + 1/i, 0] : hi (xi ) = −ϕ(xi ) − + 1/i Cuối cùng, đặt h|Xr \Vαi ≡ ∞ hi (x), x ∈ Xr h(x) := i=1 Vì tập mở Vαi rời tưng đôi, hàm h xác định Xr Hiển nhiên h nhận giá trị khoảng [−r − 1, 0] Hơn nữa, liên tục hạn chế lên Xr Thật vậy, x ∈ Vαi với mội vài n, trùng với hi Vαi , liên tục x Nếu x ∈ / Vαi với i dựa vào tính chất phủ γ , có lân cận mở U x để U giao nhiều hữu hạn phần tử Vαi Vì U hàm h tổng hữu hạn hàm liên tục Do h liên tục x Ngồi ra, Xr đóng X , theo định lý mở rộng Dugundji, có hàm f : X → [−r − 1, 0] mở rộng h Xét nhiễu f + ϕ, ta chứng minh f (x) + ϕ(x) > −1, ∀x ∈ X (4.5.3) Thật vậy, x ∈ / Xr ta có ϕ(x) > r bất đẳng thức rõ ràng có liên quan phạm vi f Vì thế, cho x ∈ Xr Khi ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu x ∈ / Vαi với n f (x) = h(x) = Do đó, f (x)+ϕ(x) = ϕ(x) ≥ (4.5.3) Trường hợp 2: Nếu x ∈ Vαi với vài (duy nhất) i f (x) = h(x) = hi (x), sử dụng (4.5.2) ta có f (x) + ϕ(x) > ϕ(xi ) − 1 + hi (x) ≥ ϕ(xi ) − − ϕ(xi ) − + 1/i = −1 + > −1 2i 2i 2i Do (4.5.3) 64 Cuối cùng, rõ ràng f (xi ) + ϕ(xi ) = ϕ(xi ) + hi (xi ) = −1 + 1/n → −1, điều với (4.5.3) cho ta inf(f + ϕ) = −1, inf không đạt theo (4.5.3) Mâu thuẫn chứng minh Xr compact Chứng minh định lý hoàn thành 65 KẾT LUẬN Kỹ thuật biến phân giải tích đại có khả ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác ngày nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu mở rộng Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu trình bày cách có hệ thống ngun lý biến phân cổ điển ứng dụng Cụ thể Chương trình bày nguyên lý biến phân, chứng minh ngắn gọn nguyên lý không gian metric đủ ứng dụng định lý giải tích Chương trình bày ứng dụng kỹ thuật biến phân không gian trơn Frechet với hàm nửa liên tục dưới, từ suy điều kiện nghiệm Viscosity phương trình Hamilton-Jacobi, trình bày định lý giá trị trung bình chứng minh định lý ví dụ cổ điển lập luận biến phân số kết liên quan tính lipschitz, tựa lồi, đơn điệu Chương trình bày kỹ thuật biến phân ứng dụng giải tích lồi số kết quan trọng liên quan tính liên hợp Fenchel Chương trình bày kỹ thuật biến phân giải tích hàm phi tuyến, tổng quan định lý tách không lồi, nguyên lý biến phân Stegall, nguyên lý biến phân có nhiễu định lý Mountain - Pass Kỹ thuật biến phân mở hướng nghiên cứu cho tốn học cơng cụ mạnh ứng dụng hiệu lĩnh vực lý thuyết vi phân, giải tích lồi, giải tich phi tuyến, giải tích đa trị liệu kỹ thuật với ánh xạ đơn trị đa trị không gian lồi địa phương, không gian vectơ, hướng nghiên cứu phát triển đề tài Tuy nhiên hạn chế thời gian lực nên luận văn không tránh khỏi sai sót em mong nhận góp ý q thầy bạn đọc 66 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nxb Giáo dục [2] Vũ Minh Thư (2011), Một vài mở rộng nguyên lý Ekeland, Viện Toán học Tiếng Anh [3] J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Canadian Mathematical Society [4] Facchinei F and Pang J (2003), Finite- Demensional VariationalInerqualities and Complementarity Problems, Springer- Verlag, New York [5] Konnov I V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer- Verlag, Berlin [6] J P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley, New York [7] F Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley [8] I Ekeland (1974), On the variational principle, J Math Anal Appl 47, 324-354 [9] T X D Ha (2006), Variants of the Ekeland variational principle for a Set - valued map involving the Clarke Normal Cone, J Math Anal Appl 316, 346-356 67 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN HỮU HIẾU KỸ THUẬT BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ... việc sử dụng nguyên lý biến phân sử dụng đạo hàm suy rộng cho hàm trơn, người ta thường cần phải kết hợp nguyên lý biến phân với cơng cụ thích hợp khác Một đặc điểm quan trọng kỹ thuật biến phân. .. Những kết nguyên lý biến phân tổng quát làm giảm nhẹ tính compact, cịn kết giải tích khơng trơn lại cho phép sử dụng hàm phụ không khả vi Nhờ vậy, kỹ thuật biến phân với ứng dụng chúng phát triển