Không gian mêtric suy rộng baire và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM MAI THỊ THANH THỦY KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG BAIRE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ NHƯ BÍCH HUẾ, 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Mai Thị Thanh Thủy ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành gợi ý Thầy giáo, PGS.TS Lê Văn Hạp hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo Cơ giáo, TS Lê Thị Như Bích Tơi xin gửi đến q Thầy, quý Cô trân trọng biết ơn sâu sắc Xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng đến kính Thầy giáo : PGS.TS Lê Viết Ngư, PGS.TS Nguyễn Hoàng, TS Trương Văn Thương, PGS.TS Huỳnh Thế Phùng, PGS.TS Phan Nhật Tĩnh, người tận tình giảng dạy ln động viên, khích lệ suốt q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn BGH trường ĐHSP Huế, Thầy Cơ Khoa Tốn trường ĐHSP Huế, ĐHKH Huế PQLSĐH trường ĐHSP Huế, người giúp tơi có kiến thức khoa học điều kiện để hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Xin trân trọng chân thành cảm ơn! iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời Cam Đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức sở 1.1 1.2 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric 1.1.2 Sự hội tụ 1.1.3 Không gian mêtric đầy đủ 1.1.4 Định lý điểm bất động không gian mêtric Không gian quasi-mêtric 1.2.1 Định nghĩa không gian quasi-mêtric 1.2.2 Quan hệ thứ tự không gian quasi-mêtric 1.2.3 Định lý ánh xạ co không gian quasi-mêtric 1.3 Không gian độ phức tạp (complexity space) 11 1.4 Thuật toán Chia để trị (Divide Conquer) phương trình đệ quy 14 1.5 1.4.1 Thuật toán Chia để Trị 14 1.4.2 Phương trình đệ quy 14 Nghiệm phương trình đệ quy thuật tốn Chia để trị 15 Không gian mêtric suy rộng Baire 18 2.1 2.2 2.3 Không gian p-mêtric (mêtric riêng) 18 2.1.1 Định nghĩa không gian p-mêtric 18 2.1.2 Sự hội tụ 19 2.1.3 Quan hệ thứ tự không gian p-mêtric 20 2.1.4 Không gian p-mêtric đầy đủ 22 Không gian p-mêtric Baire 29 2.2.1 Định nghĩa không gian p-mêtric Baire 29 2.2.2 Định lí điểm bất động khơng gian p-mêtric Baire 31 Không gian tựa p-mêtric Baire 32 2.3.1 Không gian tựa p-mêtric 32 2.3.2 Không gian tựa p-mêtric Baire 40 Ứng dụng không gian mêtric suy rộng Baire 43 3.1 Phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật tốn thơng qua tựa p-mêtric Baire 43 3.2 Độ phức tạp thuật toán Quicksort Mergesort 45 3.3 Độ phức tạp thuật toán Largetwo 47 3.4 Bài toán tháp Hà Nội 49 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 58 LỜI NĨI ĐẦU Khái niệm khơng gian mêtric giới thiệu nhà toán học tiếng người Pháp Maurice Fréchet vào năm 1905 Đó cặp (X, d), X tập hợp khác rỗng d : X × X −→ R ánh xạ thỏa mãn điều kiện: Với x, y, z ∈ X ta có: (1) d(x, y) ≥ d(x, y) = ⇔ x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Kể từ có nhiều nghiên cứu mở rộng không gian theo hai hướng: 1) Xây dựng không gian tổng quát theo hướng thay R khơng gian Banach thực có thứ tự (cho nón) 2) Mở rộng khơng gian mêtric cách giảm nhẹ điều kiện đặt tiên đề mêtric: • Bỏ điều kiện (2) d(x, y) = d(y, x) giữ nguyên hai điều kiện (1), (3) ta có định nghĩa khơng gian tựa mêtric (quasi-metric: W.A Wilson -1931, pseudo-metric ) • Thay đổi điều kiện (3) điều kiện d(x, y) ≤ K(d(x, z) + d(y, z)) với K số dương giữ nguyên hai điều kiện cịn lại ta có định nghĩa khơng gian b-metric (bounded- metric space) • Năm 1994, S.G Matthews giới thiệu khái niệm không gian p-mêtric (partial metric space), cách bỏ điều kiện x = y ⇒ d(x, y) = 0, thay đổi điều kiện (3) điều kiện d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) − d(z, z) giữ nguyên điều kiện lại mêtric ta có định nghĩa p-mêtric, cơng cụ tốn học thích hợp cho kiểm tra việc chạy chương trình máy tính Sau đó, M.P Schellekens đưa lí thuyết Khơng gian độ phức tạp (Complexity Space), nhằm nghiên cứu chất tôpô, tảng phân tích tiệm cận độ phức tạp chương trình thuật tốn (thuật tốn Divide Conquer) Khoa học máy tính Liệu định lí điểm bất động Matthews khơng gian p-mêtric có phải cơng cụ thích hợp để phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật toán theo hướng Schellekens? Hay cần mở rộng khơng gian khác hữu ích (khơng gian mêtric suy rộng Baire) để phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật toán? Với hấp dẫn không gian mêtric suy rộng Baire mong muốn tìm hiểu số tính chất đặc biệt không gian mêtric suy rộng ứng dụng Khoa học máy tính, gợi ý PGS.TS Lê Văn Hạp hướng dẫn tận tình TS Lê Thị Như Bích, tơi chọn đề tài ”Không gian mêtric suy rộng Baire ứng dụng” để tìm hiểu nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm đưa định nghĩa tìm hiểu số tính chất khơng gian mêtric suy rộng Baire mà đặc biệt tính chất liên quan đến định lí điểm bất động ứng dụng Do đó, nội dung luận văn chia làm chương Chương trình bày khái niệm khơng gian độ phức tạp, thuật tốn Chia để trị, phương trình đệ quy tìm hiểu tính chất khơng gian mêtric, khơng gian tựa mêtric; tạo điều kiện thuận lợi cho việc tìm hiểu vấn đề liên quan chương Chương trình bày khái niệm, tính chất khơng gian p-mêtric không gian mêtric suy rộng Baire Chương trình bày ứng dụng khơng gian mêtric suy rộng Baire vào phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật toán Huế, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Mai Thị Thanh Thủy Chương Một số kiến thức sở 1.1 Không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1 [1] Cho X tập khác rỗng Ánh xạ d: X × X −→ R+ (R+ = [0, ∞)) gọi mêtric X nếu: i) ∀x, y ∈ X : x = y ⇔ d(x, y) = 0; ii) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x); iii) ∀x, y, z ∈ X : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Lúc cặp (X, d) gọi khơng gian mêtric Ví dụ 1.1.1 [1] 1) d(x, y) = |x − y| , ∀ x, y ∈ R xác định mêtric R gọi mêtric thông thường R 2) Với hai điểm x = (x1 , x2 , , xk ) y = (y1 , y2 , , yk ) Rk ta định nghĩa k (xi − yi )2 d(x, y) = i=1 d mêtric Rk gọi mêtric thông thường Rk 3) C[a,b] tập hợp hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b] Với x, y ∈ C[a,b] , ta định nghĩa d(x, y) = max |x(t) − y(t)| t∈[a,b] d xác định mêtric C[a,b] 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho (xn ) dãy không gian mêtric (X, d), x0 ∈ X Ta nói dãy (xn ) hội tụ x0 lim d(xn , x0 ) = Ký hiệu lim xn = x0 hay n→∞ n→∞ xn → x0 Như lim xn = x0 ⇔ lim d(xn , x0 ) = n→∞ n→∞ ⇔ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀ n ∈ N, n ≥ n0 ⇒ d(xn , x0 ) < ε Lúc x0 gọi giới hạn dãy (xn ) 1.1.3 Không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa 1.1.3 [1] Cho không gian mêtric (X, d) Một dãy (xn ) X gọi dãy Cauchy hay dãy lim d(xm , xn ) = m,n→∞ Điều có nghĩa (xn ) X gọi dãy Cauchy ∀ε > bất kỳ, tồn n0 ∈ N cho ∀m, n ∈ N mà m, n ≥ n0 d(xm , xn ) < ε Nhận xét 1.1.1 [1] 1) Nếu dãy (xn ) hội tụ khơng gian mêtric (xn ) dãy Cauchy Tuy nhiên, chiều ngược lại, dãy Cauchy hội tụ không Chẳng hạn, cho X=(0, 1] Khi dãy ( ) dãy Cauchy không hội tụ n X 2) Nếu (xn ) dãy Cauchy có dãy hội tụ x0 dãy (xn ) hội tụ x0 Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ phần tử X Ví dụ 1.1.2 [1] 1) R với mêtric thông thường đầy đủ 2) Không gian Rk với mêtric thông thường đầy đủ 3) Không gian C[a,b] với mêtric định nghĩa ví dụ 1.1.1 đầy đủ Định lí 1.1.5 [1] Tập đóng khơng gian mêtric đầy đủ khơng gian đầy đủ 1.1.4 Định lý điểm bất động không gian mêtric Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho X tập khác rỗng ánh xạ f : X → X Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ f f (x0 ) = x0 Định nghĩa 1.1.7 [1] Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn số thực k ∈ [0, 1) cho d(f (x), f (y)) ≤ k.d(x, y), ∀x, y ∈ X Định lí 1.1.8 [1] Cho (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ co Khi f có điểm bất động Chứng minh: Xem tài liệu số [1] Định lí 1.1.9 Cho X khơng gian mêtric đầy đủ f : X → X ánh xạ Nếu tồn k ∈ N cho f k ánh xạ co f có điểm bất động X Chứng minh: Gọi α hệ số co ánh xạ co f k , α ∈ [0, 1) Lúc ánh xạ f k có điểm bất động x0 , nghĩa f k (x0 ) = x0 Ta có d(f (x0 ), x0 ) = d(f k+1 (x0 ), f k (x0 )) ≤ α.d(f (x0 ), x0 ), mà α ∈ [0, 1) nên d(f (x0 ), x0 ) = Suy f (x0 ) = x0 Hay x0 điểm bất động f Giả sử x1 điểm bất động f , (x1 = x0 ) Khi f (x1 ) = x1 nên f k (x1 ) = x1 , với k ∈ N Do x1 điểm bất động f k , k ∈ N Điều mâu thuẫn ánh xạ f k có điểm bất động x0 Vậy f có điểm bất động X 1.2 1.2.1 Không gian quasi-mêtric Định nghĩa không gian quasi-mêtric Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho X tập khác rỗng Một hàm d: X×X −→ [0, ∞) gọi quasi-mêtric (q-mêtric hay tựa mêtric) nếu: i) ∀x, y ∈ X : x = y ⇔ d(x, y) = d(y, x) = 0; Chứng minh: Vì ∞ b,c đóng không gian ( ∞ ( b,c , qB ) đầy đủ Mặt khác q B ∞ b,c ∞ , dsqB ) đầy đủ nên không gian tựa p-mêtric ( xΘza,b , yΘza,b ) ≤ q B ∞ b,c (x, y), ∀ x, y ∈ ∞ b,c Theo định lí điểm bất động khơng gian tựa p-mêtric, suy ánh xạ Θza, b có điểm bất động v ∈ ∞ b, c qB ∞ (v, v) = Vì l(v) = ∞ b,c ∞ b,c cho Θza, b (u) sp nữa, dqB (Θza, b (u), u) = Giả sử tồn u ∈ suy ta l(u) = ∞ Hơn dqB (v, u) = Suy v sp u Theo cách xây dựng hàm Θza, b , ta Vì vậy, theo mệnh đề 2.3.15 ta có: u Hệ 3.1.2 [5] Phương trình đệ quy dạng (1) có nghiệm fT ∈ RT b,c Hơn nữa, tồn g ∈ RT b,c cho ΦT phiếm hàm cấp tiến hàm g , ΦT : RT b,c → RT b,c phiếm hàm xác định sau:  n =  c ∞ n ∈ / ωb , n > ΦT (f )(n) =   a.f ( n ) + h(n) n ∈ ω , n > b b fT ∈ O(g) Chứng minh: z Cho v ∈ ∞ b,c điểm bất động ánh xạ Θa, b theo định lí 3.1.1 Hàm fv ∈ RT định nghĩa: fv (n) = , ∀n ∈ N Ta suy fv ∈ RT b,c nghiệm fT phương trình đệ quy dạng (1) Nên ta đồng fv với thời gian chạy thuật toán Chia để trị Hơn nữa, ΦT cấp tiến hàm g ∈ RT b,c ta đồng hàm độ phức tạp với từ y g ∈ ∞ b,c định nghĩa sau: g z g g yk = g(k), ∀k ∈ ωb cho Θa, b (y ) sp y Suy ra, theo định lí 3.1.1 ta có v sp y g ⇒ fv ∈ O(fyg ) Vì fyg = g nên ta có fv ∈ O(g) Hay fT ∈ O(g) 44 3.2 Độ phức tạp thuật tốn Quicksort Mergesort Ví dụ 3.2.1 Xét phương trình đệ quy sau: n = (a) n 2.T ( ) + n − n ∈ ω2 c T (n) = Phương trình đệ quy (a) cho ta thời gian chạy thuật toán Mergesort trường hợp xấu Phiếm hàm ΦT tương ứng là:   c n = ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (f )(n) =   2.f ( n ) + n − n ∈ ω , n > 2 Xét hàm   c n = g(n) = ∞ n ∈ / ω2 , n >   nlog n n ∈ ω , n > 2 Ta có g(n) ∈ RT b,c Mặt khác ΦT (g(n)) ≤ g(n), ∀n ∈ N Thật vậy,  n =  c ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (g)(n) =  n  2.g( ) + n − n ∈ ω , n > 2 n n n mà 2.g( ) + n − = .log2 + n − = nlog2 n − < g(n), ∀ n ∈ ω2 , n > nên ΦT phiếm hàm cấp tiến g Suy nghiệm phương trình (a) thuộc O(g) Ví dụ 3.2.2 Xét phương trình đệ quy sau: T (n) = n = (b) n n 2.T ( ) + n ∈ ω2 2 c Phương trình (b) cho ta thời gian chạy thuật toán Mergesort trường hợp tốt trường hợp trung bình 45 Phiếm hàm ΦT tương ứng là:   c n = ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (f )(n) =   2.f ( n ) + n n ∈ ω , n > 2 Xét hàm g(n) =    c n = n ∈ / ω2 , n > ∞    nlog2 n n ∈ ω2 , n > Ta có g(n) ∈ RT b,c Mặt khác ΦT (g(n)) ≤ g(n), ∀n ∈ N Thật vậy,  n =  c ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (g)(n) =  n n  2.g( ) + n ∈ ω2 , n > 2 n n n n 1n n = .log2 + = log2 n = g(n), ∀ n ∈ ω2 , n > nên ΦT 22 2 phiếm hàm cấp tiến g mà 2.g( ) + Suy nghiệm phương trình (b) thuộc O(g) Ví dụ 3.2.3 Xét phương trình đệ quy sau: T (n) = n = (c) n 2.T ( ) + d.n n ∈ ω2 c d ∈ R+ , d > Phương trình đệ quy (c) cho ta thời gian chạy thuật toán Quicksort trường hợp tốt Phiếm hàm ΦT tương ứng là:   c n = ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (f )(n) =   2.f ( n ) + d.n n ∈ ω , n > 2 Xét hàm   c n = g(n) = ∞ n ∈ / ω2 , n >   d.nlog n n ∈ ω , n > 2 46 Ta có g(n) ∈ RT b,c Mặt khác ΦT (g(n)) ≤ g(n), ∀n ∈ N Thật vậy,  n =  c ∞ n ∈ / ω2 , n > ΦT (g)(n) =   2.g( n ) + d.n n ∈ ω , n > 2 n n n mà 2.g( ) + d.n = 2.d .log2 + d.n = d.n.log2 n = g(n), ∀ n ∈ ω2 , n > nên ΦT phiếm hàm cấp tiến g Suy nghiệm phương trình (c) thuộc O(g) Từ ví dụ ta có hệ quả: r Hệ 3.2.1 [5] Cho r ∈ R+ , r > Ánh xạ glog ∈ RT b,c xác định sau:   n = c r glog (n) = ∞ n ∈ / ω2 , n >   r.nlog n n ∈ ω , n > b Khi đó, thời gian chạy thuật tốn 1) Mergesort trường hợp xấu O(glog ) 2) Mergesort trường hợp tốt trường hợp trung bình O(glog ) d ) 3) Quicksort trường hợp tốt O(glog 3.3 Độ phức tạp thuật toán Largetwo Xét phương trình đệ quy dạng: T (n) = c n = (3) T (n − 1) + h(n) n ≥ c ∈ R+ , d > 0, h ∈ RT , < h(n) < ∞, ∀n ∈ N Định lí 3.3.1 [5] Cho k ≥ Ký hiệu Khi ánh xạ ψz : = (0; ∞] Cố định z ∈ ∞ = y∈ c ∞ c → ∞ c ∞ ∞ , l(z) = ∞, zk = ∞, ∀k ∈ N, : ≤ l(y) y1 = c xác định sau: ψz (x) = xψz 47 (xψz )k = k = ≤ k ≤ l(x) + c xk−1 + zk ∞ c có điểm bất động v ∈ cho ψz (u) sp u v sp u với l(v) = ∞ Hơn nữa, u ∈ ∞ c Hệ 3.3.2 [5] Cho RT c = {f ∈ RT : f (1) = c} phiếm hàm ΓT xác định sau: ΓT : RT c → RT c , n = f (n − 1) + h(n) n ≥ c ΓT (f )(n) = Khi phương trình đệ quy dạng (3) có nghiệm fT ∈ RT c Hơn nữa, tồn g ∈ RT c cho ΓT phiếm hàm cấp tiến hàm g fT ∈ O(g) Ví dụ 3.3.1 Phương trình đệ quy: n = 1 T (n − 1) + − n ≥ n c T (n) = cho ta thời gian chạy thuật tốn Largetwo trường hợp trung bình Ví dụ 3.3.2 Phương trình đệ quy: c n = T (n − 1) + j.n n ≥ T (n) = j ∈ R+ , j > 0, cho ta thời gian chạy thuật toán Quicksort trường hợp xấu Hệ 3.3.3 [5] Cho d, r ∈ R+ , d, r > Khi 1) Thời gian chạy thuật tốn Quicksort trường hợp xấu c j 3j ) lớp độ phức tạp O(gk ), đó, k = max( + , gr (n) = c r.n2 n = n ≥ 2) Thời gian chạy thuật toán Largetwo trường hợp trung bình lớp độ phức tạp O(gk ), đó, k = max( gr (n) = 2c + , 1) + 2d n = r.(2(n − 1) − log2 n + d) n ≥ c 48 3.4 Bài toán tháp Hà Nội Xét phương trình đệ quy sau:   cn ≤ n ≤ k k T (n) =  T (n − i) + h(n) n > k (4) i=1 ci > 0, ≥ 1, ≤ i ≤ k, h ∈ RT , < h(n) < ∞, ∀n ∈ N = (0; ∞] , k ∈ N c1 , c2 , , ck ∈ Bổ đề 3.4.1 [12] Cho Ký hiệu ∞ c, k Khi ∞ c,k ∞ = y∈ đóng ( ∞ : k ≤ l(y) ym = cm , ≤ m ≤ k , dsqB ) Chứng minh: ∞ Giả sử (un ) dãy ∞ , dsqB ) Ta chứng minh c, k mà hội tụ v ( k ≤ l(v) vm = cm , ≤ m ≤ k Thật vậy, giả sử l(v) < k Đặt ε = 2−l(v) − 2−k Vì (un ) hội tụ v ( ∞ , dsqB ) nên ∃ n0 ∈ N cho 2−l (un ,v) − 2−l(un ) < ε, ∀n ≥ n0 Vì k ≤ l(un ) l (un , v) ≤ l(v), ∀n ≥ n0 nên ta suy 2−l(v) − 2−k ≤ 2−l (un ,v) − 2−l(un ) < ε Điều mâu thuẫn Vậy k ≤ l(v) Giả sử tồn k0 ∈ N, k0 < k cho vm = cm , ∀m ≤ k0 vk0 +1 = ck0 +1 TH1: vk0 +1 < ck0 +1 Ta có 2−l Đặt ε = 2−k0 − 2−l(v) Vì (un ) hội tụ v ( 2−l ∞ (v,un ) = 2−k0 , ∀n , dsqB ) nên ∃ n0 ∈ N cho (v,un ) − 2−l(v) < ε, ∀n ≥ n0 Do 2−k0 − 2−l(v) ≤ 2−l (v,un ) 49 − 2−l(v) < ε Suy k > k0 > l(v) Điều mâu thuẫn với k ≤ l(v) TH2: vk0 +1 > ck0 +1 Đặt ε = 2−k Vì (un ) hội tụ v ( ∞ , dsqB ) nên ∃ n0 ∈ N cho 2−l (un ,v) − 2−l(un ) < ε, ∀n ≥ n0 Khi 2−k0 − 2−l(un ) < 2−k , ∀n ≥ n0 Suy 2−k0 < 2−k + 2−l(un ) ≤ 2−k+1 ⇒ k − < k0 < k (điều xảy ra) ∞ c, k Do vm = cm , ≤ m ≤ k v ∈ ∞ , dsqB ) Vậy ∞ c,k đóng ( Bổ đề 3.4.2 [12] Cho ( X, q) không gian tựa p-mêtric đầy đủ Ánh xạ f : X → X cho tồn s ∈ [0, 1) , s ∈ R+ cho q(f (x), f (y)) ≤ s.q(x, y), ∀x, y ∈ X Khi f có điểm bất động x ∈ X Hơn nữa, 1) Nếu tồn y ∈ X cho q(f (y), y) = q(x, y) = 2) Nếu tồn y ∈ X cho q(y, f (y)) = q(y, x) = Chứng minh: Ta chứng minh 1): Giả sử q(x, y) > Khi q(x, y) ≤ q(x, f (y)) + q(f (y), y) − q(f (y), f (y)) ≤ q(x, f (y)) + q(f (y), y) ≤ q(x, f (y)) = q(f (x), f (y)) ≤ s.q(x, y) ⇒ s ≥ (mâu thuẫn với ≤ s < 1) Tương tự, ta chứng minh 2) Định lí 3.4.3 [12] Cho = (0; ∞] Cố định a1 , c1 , a2 , c2 , , ak , ck ∈ ∞ z∈ với l(z) = ∞, zm = ∞, ∀k ∈ N, m ≥ k + ∞ Ánh xạ Φz : ∞ c,k → c,k xác định sau: Φz (x) = xΦz 50 (xΦz )m =   cm ≤ m ≤ k k xm−i + zm k + ≤ m ≤ l(x) +  i=1 Khi 1) Φz có điểm bất động w ∈ 2) Nếu u ∈ ∞ c,k cho Φz (u) 3) Nếu v ∈ ∞ c,k cho v sp ∞ c,k u w với l(w) = ∞ sp u Φz (v), l(v) = ∞ v sp sp w Chứng minh: 1) Vì khơng gian tựa p-mêtric Baire ( ∞ , qB ) đầy đủ nên không gian ( ∞ , dqB ) song đầy đủ hay không gian ( ∞ , dsqB ) đầy đủ ∞ ∞ Theo bổ đề 3.4.1, ∞ , dsqB ) nên khơng gian ( c,k , dqB ) c,k đóng ( song đầy đủ Do khơng gian tựa p-mêtric ( ∞ c,k , qB ) đầy đủ Mặt khác qB ( Φz (x), Φz (y)) ≤ 2k+1 ∞ ≤ qB (x, y), ∀x, y ∈ c,k Theo định lí điểm bất động khơng gian tựa p-mêtric, ta suy ánh xạ Φz có điểm bất động w ∈ ∞ c, k qB (w, w) = Vì l(w) = ∞ 2) Giả sử tồn u ∈ ∞ c, k cho Φz (u) sp u Theo cách xây dựng hàm Φz , ta suy ta l(u) = l(Φz (u)) = ∞ Vì Φz (u) sp u nên qB (Φz (u), u) = Vì vậy, theo bổ đề 3.4.2 ta có: qB (w, u) = Suy w sp u 3) Giả sử tồn v ∈ ∞ c,k cho l(v) = ∞ Khi l(Φz (v)) = ∞ Vì v sp Φz (v) nên qB (v, Φz (v)) = Theo bổ đề 3.4.2, ta suy qB (v, w) = Vì v sp w = (0; ∞] Cố định a, c ∈ Hệ 3.4.4 [12] Cho zk = ∞, ∀k ∈ N, k ≥ Ký hiệu ∞ Khi ánh xạ Φz : = y∈ c ∞ c → ∞ c ∞ ,z ∈ : ≤ l(y) y1 = c xác định sau: Φz (x) = xΦz 51 ∞ , a > 1, l(z) = ∞ c (xΦz )m = a.xm−1 + zm có điểm bất động w ∈ cho Φz (u) sp u w sp u ∞ c m = ≤ m ≤ l(x) + với l(w) = ∞ Hơn nữa, u ∈ ∞ c Định lí 3.4.5 [12] Cho phiếm hàm ΓT : RT c,k → RT c,k xác định sau:  ≤ n ≤ k  cn k ΓT (f )(n) =  f (n − i) + h(n) n > k i=1 Khi phương trình đệ quy dang (4) có nghiệm fT ∈ RT c,k Hơn nữa, tồn g ∈ RT c,k cho ΓT (g) ≤ g f ∈ O(g) Chứng minh: Cho w ∈ ∞ c,k điểm bất động ánh xạ theo định lí 3.4.3 Hàm fw ∈ RT c,k xác định: fw (n) = wn , ∀n ∈ N Ta suy fw nghiệm phương trình đệ quy dạng (4) Do ta đồng fw với thời gian tính tốn thuật tốn đệ quy thỏa mãn phương trình đệ quy (4) Ta có fw (n) = fT (n) = wn Giả sử tồn g ∈ RT c,k cho ΓT (g) ≤ g Ta đồng hàm với ug ∈ ∞ c,k : ugn = g(n), ∀n ∈ N cho Φz (ug ) sp ug Do theo định lí 3.4.3 ta có w sp ug Suy fw ∈ O(g) Hay fT ∈ O(g) Ví dụ 3.4.1 Bài tốn "Tháp Hà Nội": Có cọc đánh dấu A, B, C n đĩa Các đĩa có kích thước khác đĩa có lỗ để cắm vào cọc Ban đầu, đĩa nằm cọc A, đó, đĩa nhỏ ln nằm đĩa lớn Yêu cầu : chuyển n đĩa từ cọc A sang cọc đích C với điều kiện sau : + Mỗi lần chuyển đĩa + Trong q trình chuyển, đĩa nhỏ phải ln nằm đĩa lớn + Cho phép sử dụng cọc B làm cọc trung gian Thời gian tính tốn tốn Tháp Hà Nội thỏa mãn phương trình đệ quy: c n = T (n) = (5) 2T (n − 1) + d n ≥ 52 c, d > Phương trình đệ quy (5) trường hợp riêng phương trình đệ quy (4) với k = 1, c1 = c, a1 = 2, h(n) = d, ∀n ∈ N Phiếm hàm ΓT : RT c,1 → RT c,1 xác định sau: ΓT (f )(n) = n = 2.f (n − 1) + d n ≥ c Theo định lí 3.4.5, phương trình đệ quy (5) có nghiệm fT ∈ RT c,1 thời gian chạy thuật toán Xét c n = g(n) = n−1 (d + c) − d n ≥ Ta có g ∈ RT c,1 Mà ΓT (g) ≤ g Thật vậy, ΓT (g)(n) = c n = 2.g(n − 1) + d n ≥ mà ΓT (g)(n) = 2.g(n − 1) + d = 2.(2n−2 (d + c) − d) + d = 2n−1 (d + c) − d = g(n), ∀n ≥ nên ΓT (g)(n) ≤ g(n), ∀n ∈ N Theo định lí 3.4.5, ta suy fT ∈ O(g) Ngoài ra, thời gian tính tốn dãy Fibonacci thỏa mãn phương trình đệ quy:   n =  2c T (n) = 3c n = (6)   T (n − 1) + T (n − 2) + 4c n > c > trường hợp riêng phương trình đệ quy (4) Chú ý 3.4.1 Phương trình đệ quy dạng (1) đưa phương trình đệ quy dạng: c m = S(m) = a.S(m − 1) + r(m) m ≥ 53 S(m) = T (bm−1 ), r(m) = h(bm−1 ), ∀m ∈ N Ta viết lại: T (n) = n = ( 7) a.T (n − 1) + h(n) n ≥ c a > 1, c > 0, h(n) ∈ RT , h(n) < ∞, ∀n ∈ N Như phương trình đệ quy (5) trường hợp cụ thể phương trình đệ quy (7) 54 KẾT LUẬN Luận văn chia làm phần: mở đầu, nội dung kết luận Trong đó, phần nội dung gồm có chương, kết trình bày chương chương Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm không gian độ phức tạp, thuật tốn Chia để trị, phương trình đệ quy tìm hiểu tính chất khơng gian mêtric, khơng gian tựa mêtric; tạo điều kiện thuận lợi cho việc tìm hiểu vấn đề liên quan chương Ở chương 2, chúng tơi trình bày lịch sử hình thành khái niệm, tính chất khơng gian mêtric suy rộng Baire trọng đến định lí điểm bất động mở rộng khơng gian để ứng dụng vào phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật tốn Cuối cùng, chương chúng tơi trình bày ứng dụng khơng gian mêtric suy rộng Baire phân tích độ phức tạp thuật tốn thơng qua ví dụ thuật tốn điển hình: Mergesort, Quicksort, Largetwo toán Tháp Hà Nội Như vậy, luận văn không gian p-mêtric đóng vai trị quan trọng phân biệt loại thơng tin Khoa học máy tính Tuy nhiên, định lí điểm bất động khơng gian khơng thể sử dụng để phân tích độ phức tạp thuật toán Luận văn quan hệ không gian tựa p-mêtric không gian p-mêtric; thông qua điểm bất động không gian tựa p-mêtric để phân tích tiệm cận độ phức tạp nhứng ∞ thuật tốn mà khơng cần điều kiện hội tụ : n=1 2−n < ∞ định nghĩa f (n) không gian độ phức tạp theo hướng tiếp cận Schellekens Chúng xây dựng không gian tựa p-mêtric Baire tập chữ với khái niệm tiền tố từ cấu thành chữ ứng dụng không gian vào phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật toán mà thời gian chạy liên kết với phương trình đệ quy, thơng qua điểm bất động Ngồi ra, chúng tơi phân tích tiệm cận độ phức tạp thuật tốn điển hình như: Mergesort, Quicksort, Largetwo tốn Tháp Hà Nội Tóm lại, luận văn này, đưa định nghĩa khảo sát số tính chất không gian mêtric suy rộng Baire ứng dụng không gian việc đánh giá độ phức tạp thuật toán Tuy nhiên, hạn chế thân thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi số thiếu sót Chúng tơi chân thành biết ơn mong nhận ý kiến 55 đóng góp, nhận xét q thầy bạn để luận văn hoàn thiện 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lương Hà (2003), Giáo trình Cơ sở Giải tích đại, Trường ĐHSP Huế [2] Hồng Thị Phương Lộc (2014), Khơng gian mêtric riêng số định lí điểm bất động, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHSP Huế Tiếng Anh [3] H.P.K Kunzi, H Pajoosheh, M.P Schellekens (2006), Partial quasi-metrics, Theoret Comput Sci 365, 237-246 [4] S.G Matthews (1994), Partial metric topology, Ann New York Acad Sci 728,183-197 [5] M.A Cerdà- Uguet, M.P Schellekens, O Valero (2010), The Baire partial quasi- metric space: A mathematical tool for asymptotic complexity analysis in Computer Science, arXiv: 1009.6105v1[cs.CC] [6] T.H Cormen, C.E Leiserson, R.L Rivest (1990), Introduction to Algorithms, MIT Press, New York [7] S Romaguera, M.P Schellekens (1999), Quasi-metric properties of complexity spaces, Topology Appl 98,311-322 [8] S.G Matthews (1995), An extensional treatment of lazy data flow deadlock, Theoret Comput Sci 151, 195-205 [9] M Schellekens (1995), The Smyth completion: a common foundation for denonational semantics and complexity analysis, Electronic Notes in The-oret Comput Sci 1, 211-232 [10] Erdal Karapinar, I.M Erahan, Ali Ozturk (2013), Fixed point theorems on quasi- partial metric spaces, Mathematical and Computer Modelling 57 57 [11] Erdal Karapinar, Salvador, Romaguera (2013), Nonunique fixed point theorems in partial metric spaces, Filomat 27:7, 1305-1314 [12] Maryam A Alghamdi, Naseer Shahzad, Oscar Valero (2014), New results on the Baire partial quasi-metric space, fixed point theory and asymptotic complexity analysis for recursive programs, Alghamdi et al Fixed Point Theory and Applications [13] Sandra Oltra, Oscar Valero (2004), Banach’s fixed point theorem for partial metric spaces, Rend Istit Mat Univ Trieste [14] Hassen Aydi (2011), Some fixed point results in ordered partial metric spaces, The Journal of Nonlinear Sciences and Applications, No 3, pp 210217 58 ... gian p -mêtric Baire 31 Không gian tựa p -mêtric Baire 32 2.3.1 Không gian tựa p -mêtric 32 2.3.2 Không gian tựa p -mêtric Baire 40 Ứng dụng. .. thứ tự không gian p -mêtric 20 2.1.4 Không gian p -mêtric đầy đủ 22 Không gian p -mêtric Baire 29 2.2.1 Định nghĩa không gian p -mêtric Baire ... quy thuật tốn Chia để trị 15 Không gian mêtric suy rộng Baire 18 2.1 2.2 2.3 Không gian p -mêtric (mêtric riêng) 18 2.1.1 Định nghĩa không gian p -mêtric 18 2.1.2