Toán 8 2 những hằng đẳng thức đáng nhớ ( 2 tiết )

Các dạng toán và sơ đồ giải bài những hằng đẳng thức đáng nhớ. Giúp học sinh nắm chắc các dạng toán và phương pháp giải. Làm được các bài toán khó, dạng toán khó thông qua sơ đồ giải bài và sơ đồ giải dạng bài giúp học sinh tăng cường khả năng ghi nhớ và phát triển cả hai bán cầu não.

LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ  Hoạt động hình thành học : a a b a S1 S2 b S3 Ta thấy S=S1+S2+S3+S4 Mà S= (a+b)2 S1=a2, S2=a.b, S3= a.b, S4=b2 S S4 Hay : (a+b)2= ( a2+ab+ab+b2)  (a+b)2=( a2+2ab+b2) Vậy có cách tính S nhanh k ? Ta có S=(a+b)2=(a+b)(a+b) (nhân đa thức với đa thức) Vậy (a-b)2 = ? A KIẾN THỨC CẦN NHỚ   A + B  = A + 2AB + B2 (1)   A - B  = A - 2AB + B2 (2)  A - B2 -  A + B  A - B  (3)   A + B  = A + 3A 2B + 3AB2 + B3 (4)   A - B  = A - 3A 2B + 3AB2 - B3 (5)  A + B3 =  A + B   A - AB + B2  (6)  A - B3 =  A - B   A + AB + B2  (7) 2 3 KIẾN THỨC BỔ SUNG Bình phương đa thức (a1 + a2 + + an )2 = a12 + a22 + + an2 + 2a1a2 + 2a1a3 + + 2a1an + 2a2a3 + 2a2a4 + + 2a2an + + 2an-1an Khơng có tốn không giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Đặc biệt, với n = ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c + 2ab + 2ac + 2bc Luỹ thừa bậc n nhị thức (nhị thức Niu-tơn) (a + b)n = an + nan-1b + n(n-1) n-2 n(n-1)(n-2) n-3 a b + a b + + bn 1.2 1.2.3 Cho n giá trị từ đến ta : Với n = a + b Với n = a + b Với n = a + b Với n = a + b Với n = a + b Với n = a + b =1 =a+b = a2 + 2ab + b = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab + b5 Ta nhận thấy khai triển (a+b)n ta đa thức có n + hạng tử, hạng tử đầu an , hạng tử cuối bn , hạng tử lại chứa nhân tử a b Vì (a+b)n = B(a) + bn = B(b) + an Bảng hệ số khai (a+b)n Với n = : Với n = : 1 Với n = : Với n = : 3 Với n = : Với n = : 10 10 Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 ………………………………………………… - Mỗi dòng bắt đầu kết thúc - Mỗi số dòng kể từ dòng thứ hai số liền cộng với số bên trái số liền Bảng gọi tam giác Pa-xcan B Các dạng tập phương pháp giải Dạng : Rút gọn tính giá trị biểu thức  SĐGB KQ Phương pháp Thực phép tính Thu gọn biểu thức Phương pháp Dùng đẳng thức Dạng 1.1 Thực phép tính Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau : a) (7x+4)2 – (7x-4)(7x+4) b) (x-5y2)(x2+5xy2+25𝑦 ) Giải: a) (7x+4)2 – (7x-4)(7x+4) = 49x2 + 56x + 16 – (49x2 - 16) = 56x – 32 b) (x-5y2)(x2+5xy2+25𝑦 ) Ta thấy 25𝑦 = ( 5y2 )2 c) (x-5y2)(x2+5xy2+25𝑦 ) = [( x – 5y2 ).( x2 + 5xy2 + ( 5y2 )2 ] = 𝑥 - (5y )3 = x3 – 125y6 Khơng có tốn không giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Dạng 1.2 Rút gọn tính giá trị biểu thức Ví dụ: Cho biểu thức A = 5.(x-3).(x+3) + (2x+3)3 + (x-6)2 Rút gọn tính giá trị biểu thức A với x = − Giải: Tương tự ví dụ Dùng đẳng thức để rút gọn biểu thức Ta : A = 5.(x2 - 3) + ( 4x2 + 12x + ) + ( x2 – 12x + 36 ) A = 5x2 – 15 + 4x2 + 12x + + x2 – 12x + 36 A = 10x2 Với x=− 1 ta có A = 10 ( − )2 5 = Dạng 1.3 Tính nhanh Ví dụ: Tính giá trị biểu thức a) C = 392 + 78.61 + 612 b) D = 502 - 49.50 Giải: c) C = 392 + 78.61 + 612 = ( 39 +61)2 = 1002 = 10000 d) D = 502 - 49.50 = 502 – (50 -1)(50+1) = 502 – (502 – 1) = A → B Dạng : Chứng minh đẳng thức  SĐGB: Đẳng thức B→A PP Thực phép tính KQ A=B A=B A = m, B = m Dùng đẳng thức => A = B PP Mệnh đề Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TỐN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Ví dụ Chứng minh tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thoả mãn :  5a - 3b + 4c  5a - 3b - 4c  =  3a - 5b  tam giác tam giác vng Giải Ta có  5a - 3b + 4c  5a - 3b - 4c  =  3a - 5b   5a - 3b  + 4c   5a - 3b  - 4c  =  3a - 5b   5a - 3b  -  4c  =  3a - 5b  25a - 30ab + 9b2 - 16c2 = 9a - 30ab + 25b2 25a - 9a22 + 9b - 25b2 - 16c2 = 16a - 16b2 - 16c2 = 16a = 16b2 + 16c2 a = b2 + c2 2 Do tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c tam giác vng 3 Ví dụ Cho a + b + c = 0, chứng minh a +b +c =3abc Giải Từ a + b + c = 0, suy a + b = -c Lập phương hai vế ta (a + b)3  (-c)3 Suy a + b3 +3ab(a + b) = - c3 3 Thay a + b = -c vào đẳng thức ta a + b + 3ab  -c  = -c Ví dụ Chứng minh đẳng thức a5 - b5 -  a - b  = 5ab  a - b   a - ab + b  Giải 5 • Xét vế trái T : T = a - b -  a - b  = a - b5 -  a - 5a b + 10a b - 10a b3 + 5ab - b5  Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 = a - b5 - a + 5a b - 10a 3b2 + 10a b3 - 5ab4 + b5 = 5a b - 10a 3b2 + 10a b3 - 5ab4 • Xét vế phải P : P = 5ab  a - b   a - ab + b  = 5ab  a - 2a b + 2ab - b3  = 5a b - 10a 3b2 + 10a b3 - 5ab4 Vậy T = P Ví dụ Cho  a + b + c  =  ab + bc + ca  Chứng minh a = b = c Giải Ta có  a + b + c  =  ab + bc + ca  a + b + c2 +  ab + bc + ca  =  ab + bc + ca  a + b + c2 - ab - bc - ca =  a - 2ab + b  +  b - 2bc + c2  +  c2 - 2ca + a   =  a - b  +  b - c  +  c - a  = 2   a - b  =  b - c  =  c - a  =  a - b  a - b =  b - c = c - a =  2  ;  b - c  ; c - a    a = b = c Dạng 3: Tìm giá trị x thỏa mãn đẳng thức Phương pháp giải : Dùng đẳng thức để biến đổi vế thành vế biến đổi vế biểu thức Ví dụ : Tìm x a) 9x2 – 6x – = Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 b) x3 + 9x2 + 27x + 19 = Giải: a) 9x2 – 6x – =  9x2 – 2.3x.1 + – =0  ( 3x – )2 – =  ( 3x -1 -2 ) ( 3x – + ) =  ( 3x +1 ).( 3x – ) =  3x + = 3x – = hay x = −1 x = b) x3 + 9x2 + 27x + 19 =  x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 – =  ( x + )3 – 23 =  ( x + – ).[( x + )2 + 2.( x + ) + ] =  ( x +1 ).(x2 + 8x + ) =  x +1 = ( x2 + 8x + = ( x + )2 + > với ∀𝑥 )  x = -1 Vậy x = -1 Dạng : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Phương pháp giải:  Muốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x), ta vận dụng đẳng thức để biến đổi P(x) dạng [f(x)]2 + k ( k số) Vì [f(x)]2 ≥ nên P(x) ≥ 𝑘 Do giá trị nhỏ P(x) k ( ta phải tìm x để f(x) =0 ) Ta viết P(x) = k Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430  Muốn tìm giá trị lớn biểu thức P(x), ta vận dụng đẳng thức để biến đổi P(x) dạng -[f(x)]2 + k ( k số) Vì -[f(x)]2 ≤ nên P(x) ≤ 𝑘 Do giá trị lớn P(x) k ( ta phải tìm x để f(x) =0 ) Ta viết max P(x) = k Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x² – 4x + Giải: Ta biến đổi A= x² – 4x + = x² – 4x + – = ( x- 2)² – Do ( x- 2)² > nên => ( x- 2)² – ≥ -3 Vậy giá trị nhỏ biểu thức A(Amin) = -3 x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức : B = 6x  x  Giải: Ta biến đổi : B = 6x – x2 – = ( -x2 – 2.3.x – 32 ) + = -( x + )2 + Do -( x + )2 ≤ nên -( x + )2 + ≤ Vậy giá trị lớn biểu thức B(Bmax) = x = -3 Dạng Chứng minh chia hết số nguyên Phương pháp giải: Vận dụng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi số cho dạng a = b.k ( k ≠ ) Lúc a ⋮ 𝑘 Ví dụ: Chứng minh hiệu bình phương số chẵn liên tiếp chia hết cho  SĐGB: Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 KQ ( 2a + 2)2 – ( 2a )2 = 4.k A⋮𝑘 KQ Đặc điểm A⋮𝑘 ( 2a + 2)2 ( 2a )2 Bình phương tổng Bình phương số Tính chất ( 2a + 2)2 = 4a2 + 8a + ( 2a )2 = 4a2 Biểu thức ( 2a + 2)2 – ( 2a )2 = 4a2 + 8a + – 4a2 = 8a + = 4.( 2a + 1) Biểu diễn số dạng biểu thức Biến đổi biểu thức dạng tích có thừa số Giải: Gọi số chẵn liên tiếp 2a 2a + ( a ∈ 𝑍 ) Hiệu bình phương chúng : ( 2a + 2)2 – ( 2a )2 = 4a2 + 8a + – 4a2 = 8a + = 4.(a+2) ⋮ Vậy hiệu bình phương hai số chẵn liên tiếp chia hết cho C BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán 1: Tính  x  2y   2x  3y  3x  2y  5x  y  2 x  11   2y  2  2 12  2x  y  3  13  x  3y  2  14  2x  8y  Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 2 1   x   4  1   2x   2   1  x  y   3  3x  1 3x  1     x  y  x  y     x  x  10   y   y  2     15  x  y     1  16  x  4y  2  x  x  17   2y   2y  2   18  x   x   19  x  y    x  y  2 20  2x  3   x  1 2 Bài tốn 2: Tính 1   x   3   2x  y   1  x  y   2 3x  2y   2  x  y   3 1   2x   2   x  3 3  x  1  x  x  1  x  3  x  3x    x    x  2x    x    x  4x  16   x  3y   x  3xy  9y2   1   x   x  x    9  1    x  2y  x  xy  4y  3   Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết 10 LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Bài toán 3: Viết đa thức sau thành tích 3x  2 x  6x  25  10x  x a  2ab2  4b 4  y  y8 x  8y3 4x  25y2 8y3  125 a  b3 x  10x  25 8x  10 x  4xy  4y2 4 10 4x  49 11 8z3  27 x  25 13 x32  12 14 4x  4x  15 x  20x  100 16 y4  14y2  49 17 125x  64y3 Bài toán 4: Tính nhanh 10012 29,9.30,1 2012 37.43 1992 372  2.37.13  132 51,7  2.51,7.31,7  31,7 20,1.19,9 31,82  2.31,8.21,8  21,82 10 33,32  2.33,3.3,3  3,32 Bài tốn 5: Rút gọn tính giá trị biểu thức  x  10  x  x  80 với x  0,98  2x  9  x  4x  31 với x  16,2 9x  42x  49 với x  4x  28x  49 với x  y với x   , y  5 25 27   x  3  x  3x   với x  3 x  9x  27x  27 với x  x  3x  3x  với x  99 25x  2xy  Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết 11 LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Bài toán 6: Viết biểu thức sau dạng tổng hiệu hai bình phương x  10x  26  y2  2y z  6z  13  t  4t x  2xy  2y2  2y  4x  2z2  4xz  2z  4x  12x  y2  2y  4x  2z2  4zx  2z   x  y   x  y    x  y   x  y    y  2z  3 y  2z  3 10  x  2y  3z  2y  3z  x  Bài tốn 7: Tìm x, biết: 25x    x  3 40  6x  2  5x  2 2  3x  15x     x  2  x  x  6   x  1  x  x  1  x  x   x     x  4   x  1 x  1  16 2  2x  1   x  3  5 x   x    10  x  13   x  3  x  3x  9  3 x    x  2x  24 3 x  1  3x  x  5  Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ biểu thức x  5x  x  20x  101 4a  4a  x  4xy  5y2  10x  22y  28 x  3x  Bài tốn 9: Tìm giá trị lớn biểu thức 6x  x  4x  x  x  x2 11  10x  x x  2  x   Khơng có tốn không giải Chúng ta phải biết biết 12 LỚP TỐN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 Bài tốn 10: Cho x  y  Tính giá trị biểu thức a) P  3x  2x  3y2  2y  6xy  100 b) Q  x  y3  2x  2y  3xy  x  y   4xy   x  y   10 Bài toán 11: a) Cho x  y  x  y2  Tính x  y3 b) Cho x  y  x  y2  15 Tính x  y3 Bài toán 12: Cho x  y  Tính giá trị biểu thức: a) M  x  3xy  x  y   y3  x  2xy  y b) N  x  x  1  y  y  1  xy  3xy  x  y  1  95 Bài toán 13: Cho số tự nhiên n chia cho dư Hỏi n chia cho dư bao nhiêu? n3 chia cho dư bao nhiêu? Bài tốn 14: Tính a)  x  2y  x  x   y   y  2   d)  b)  3x  2y  1  e)  x   3  1  c)  2x   2   f)  x   x  2x   Bài toán 15: Viết đa thức sau thành tích a)x  8y3 b)a  b c)8y3  125 Bài toán 16: Rút gọn tính giá trị biểu thức a)  x  10   x  x  80  x=0,98 b)  2x    x  4x  31 x=-16,2 c)4x  28x  49 x=4 d)x  9x  27x  27 x = Bài tốn 17: Tìm x, biết Khơng có tốn không giải Chúng ta phải biết biết 13 LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 a)  x  3   b)x  2x  24 Bài toán 18: Chứng minh: a)  a  b     b  a  b)  a  b    a  b  c)  x  y   x  x  3y   y  y  3x   d)  x  y    x  y   2y y  3x 3  Bài tốn 19: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a)A  x  20x  101 b)B  4x  4x  c)C  x  4xy  5y  10x  22y  28 d)D  2x  6x Bài tốn 20: Tìm giá trị lớn biểu thức a)M  4x  x  b)N  x - x c)P  2x  2x - Bài 21 : viết biểu thức  4n  3  25 thành tích chứng minh với số nguyên n biểu thức  4n  3  25 chia hết cho Bài 22 : chứng minh với số nguyên n biểu thức  2n  3  chia hết cho Bài 23 Viết biểu thức sau dạng tổng a  x  y  z  t   x  y  z  t  a  x  y  3z  t  b  x  y  z  t   x  y  z  t  b  x  x  1 Bài 24 Tính nhanh kết biểu thức sau: a) 127² + 146.127 + 73² Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết 14 LỚP TOÁN THẦY ĐỨC-MATH ZALO:0963.295.430 b) 98 28 – (184 – 1)(184 + 1) c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1² d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – ( 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²) Bài 25 So sánh hai số sau, số lớn hơn? a) A = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) B = 232 b) A = 1989.1991 B = 19902 Khơng có tốn khơng giải Chúng ta phải biết biết 15 ... (x-5y 2 )( x2+5xy2 +25