Căn bậc 2, căn bậc 3

Căn bậc 2 – Căn bậc 3 là chủ đề đầu tiên trong phần Đại số mà các em cần phải học trong chương trình ôn thi Toán vào 10. Để giải các dạng bài tập về căn bậc 2 căn bậc 3 thì các em cần nắm vững nội dung lý thuyết và các dạng bài tập về căn bậc 2 căn bậc 3.

MỤC LỤC CHƯƠNG Căn bậc hai, bậc ba Căn bậc hai 5 A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập C Lời giải Căn bậc hai đẳng thức √ A2 = | A | A Tóm tắt lý thuyết B Bài tập C Lời giải 10 Liên hệ phép nhân phép khai phương 11 A Tóm tắt lý thuyết 11 B Bài tập 11 C Lời giải 13 Liên hệ phép chia phép khai phương 14 A Tóm tắt lý thuyết 14 B Bài tập 14 C Lời giải 18 Bảng bậc hai 19 A Tóm tắt lý thuyết 19 B Bài tập 19 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai A MỤC LỤC Tóm tắt lý thuyết 20 20 B Bài tập 20 C Lời giải 22 Rút gọn biểu thức chứa bậc hai 23 A Tóm tắt lý thuyết 23 B Bài tập 23 C Lời giải 26 Căn bậc ba 27 A Tóm tắt lý thuyết 27 B Bài tập 27 C Lời giải 29 Ôn tập chương I 30 D Đề 30 E Lời giải 37 MỤC LỤC CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số học Căn bậc hai số không âm a số x cho x2 = a √ Số dương a có hai bậc hai hai số đối Số dương kí hiệu a, số √ âm kí hiệu − a √ Số có bậc hai số 0, ta viết: = √ Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học √ √ √ Với a ≥ thì: a a = a = a So sánh bậc hai số học Với a b khơng âm, ta có: √ √ a < b ⇔ a < b B BÀI TẬP Bài tập Bài Tìm bậc hai số học số sau suy bậc hai chúng: a) 81; b) 225; c) 0, 49; d) 441 Bài Tìm số x không âm, biết: a) √ x = 12; √ d) x = 15; b) e) √ √ x= √ 7; x = 0; c) √ x = −9; √ f ) x = Bài Tìm số x < biết rằng: a) x2 = 100; b) x2 = 5; c) x2 = b) x4 − 100 = 0; c) 4x4 = 25 Bài Tìm x biết: a) x4 − = 0; Bài (Tuyển sinh 10, Đồng√Tháp, √ 2019) Rút gọn biểu thức A = 36 − √ Tìm x biết x = CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài (Thi vào 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định 2019) 2019 Tìm điều kiện xác định biểu thức P = √ − x−3 x−9 Bài Tìm số x khơng âm, biết: √ √ √ √ a) x < 3; b) 2x < 8; c) Bài Tìm số tự nhiên x cho √ √ √ a) x < 5; b) 2x < 3; c) Bài Với a < số lớn hai số √ − a √ √ √ 3x < 3x ≤ −3a Bài 10 Cho số a dương Chứng minh: √ a) Nếu a > a > √ b) Nếu a < a < Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 11 Cho số a dương Chứng minh: √ a) Nếu a > a > a √ b) Nếu a < a < a Bài 12 Tính đường chéo hình vng, biết diện tích diện tích hình chữ nhật có chiều rộng mét chiều dài 10 mét Bài 13 Rút gọn biểu thức: B= √ a+ a 1+ √ a+1 ( x + 1) x + √ Bài 14 Cho biểu thức P = x √ a− a 1− √ a−1 √ x −x− √ (0 < a = 1) x, với x > a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức P Bài 15 Cho biểu thức: P= 1 √ − √ 1− a 1+ a √ +1 a (0 < a = 1) a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị a P > √ Bài 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + 2x2 − 4x + √ Bài 17 Tìm giá trị lớn biểu thức: A = − x2 + 6x + 2017 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: » A = x2 + y2 − 2xy + 2x − 2y + + 2y2 − 8y + 2019 Bài 19 Chứng minh p số nguyên tố √ p số vô tỉ Bài 20 Chứng minh số nguyên dương a khơng phải số phương số vô tỉ Bài 21 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Hà Nội, 2018) Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ P = − x + + x + x Bài 22 (Đề thi HSG 9, tỉnh Tiền Giang, năm 2018) Tính giá trị biểu thức B= 143 + 153 + 163 + + 243 + 253 C LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA √ a BÀI CĂN BẬC HAI VÀ ĐẲNG THỨC √ A2 = | A | A TÓM TẮT LÝ THUYẾT √ Định lí Với số thực A, ta có: A2 = | A| Chú ý √ A xác định (hay có nghĩa) A ≥ √ có nghĩa A > A Với A ≥ thì: | X | ≤ A ⇔ − A ≤ X ≤ A; | X | ≥ A ⇔ X≥A X ≤ − A √ Với số thực a ≥ 0, ta có: ( a)2 = a B BÀI TẬP Bài tập Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) A = √ 25 + √ 9; b) B = » (1 − » (2 − √ √ √ 5) − Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo»dục Hưng Yên, 2017) √ √ Rút gọn biểu thức A = + (2 − 3)2 + Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) A = » (3 − √ 7) + √ 7; b) B = √ 6) − Bài Tính giá trị biểu thức sau: a) A = b) B = √ √ 36 − 12x + x2 x2 − 4x + 4, với x > √ 4x2 + 12x + 9, với x < − … 1 d) D = x2 + x + + − x, với x ≥ − √ e) E = 25x2 − 60x + 36 + 6x − 2, với x < c) C = Bài Tìm x biết √ x2 − 4x + = CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài Với x > x = , rút gọn biểu thức: 2 » Q= 8x (1 − 4x + 4x2 ) 2x − Bài (Đề thi vào 10 chuyên toán, Chuyên Hùng Vương Gia Lai, 2016) 2016 Tính giá trị biểu thức P = 5x3 − 30x + 21 , với » » √ √ x = + 2 − − 2 Bài (Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai, 2017-2018) Rút gọn biểu thức: A= 2x − 18 √ x+6 x−9+ (với x ≥ 18) √ x−6 x−9 Bài (Đề thi vào 10, Chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu, 2016) Rút gọn biểu thức A= √ x−1−1 + » √ 4x − + x − 1, với x ≥ Bài 10 Cho x, y, z khác thỏa mãn: x + y + z = Chứng minh rằng:   1 1 1 + 2+ = + + x y z x y z Bài 11 Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn: ab + bc + ca = Chứng minh biểu thức A= » ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) số hữu tỉ Bài 12 (Đề thi HSG 9, tỉnh Đồng Nai, năm 2018) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ac = Tính giá trị biểu thức P=a + b2 + c2 +b (1 + a2 ) + a2 + c2 +c (1 + b2 ) + a2 + b2 (1 + c2 ) Bài 13 Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = Rút gọn biểu thức:   P= ( a + bc)(b + ca) + c + ab CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA   (b + ca)(c + ab) + a + bc   (c + ab)( a + bc) b + ca Bài 14 (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017) a) Cho số hữu tỉ a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 2017 Chứng minh » ( a2 + 2017) (b2 + 2017) (c2 + 2017) số hữu tỉ b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn phương trình 7x2 + 3y2 = 714 Bài 15 Xét số dương x, y, z thỏa mãn thức Q= x yz(1 + x2 ) 1 + + = Tìm giá trị lớn biểu xy yz xz y + zx (1 + y2 ) + z xy(1 + z2 ) Bài 16 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 − 2x + + Q( x ) = x2 + 10x + 25 Bài 17 Tìm giá trị x, y để biểu thức: » » M = x2 + 2y2 − 6x + 4y + 11 + x2 + 3y2 + 2x + 6y + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 18 (Đề thi HSG 9, tỉnh Bắc Ninh, năm 2018) Rút gọn biểu thức √ √ x+2 x−1+ x−2 x−1 P= , x ≥ √ √ x + 2x − − x − 2x − Bài 19 Cho số thực a, b thỏa mãn ab = 0, a + b = a) Chứng minh rằng: 1 1 1 + 2+ = + − 2 a b a+b a b ( a + b) b) Chứng minh rằng: a2 + b2 + a2 b2 ( a + b) c) Sử dụng kết trên, tính: Õ  x= = a+b− 2 ab a+b 2  + 99 9 + 0, 99 9 , n ≥ n số n số C LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí Với hai số a b khơng âm, ta có: Áp dụng √ a.b = √ √ a b a) Quy tắc khai phương tích Muốn khai phương tích số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với b) Quy tắc nhân bậc hai Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết √ √ √ √ Chú ý Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có: a − b = a− b a+ b B BÀI TẬP Bài tập Bài Áp dụng quy tắc khai phương tích, tính: √ √ a) 45.80; b) 90.6, 4; Bài Áp dụng quy tắc nhân bậc hai, tính: √ √ √ √ a) 98; b) 52 13; c) √ 2500.4, 9.0, … … c) · c) 9− 12 · 25 … Bài Rút gọn tính: a) 412 − 402 ; b) 21, 82 − 18, 22 ; Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Ninh Bình, 2017) Rút gọn biểu thức √ √ √ 12 − A= √ √ √ Bài Rút gọn: A = 16 − + 36 Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Đắk lắk, 2017) Giải phương trình 5x − 18 = 3x + 24 √ √ √ Rút gọn biểu thức 4x + 9x − 16x với x ≥ √ Tìm x để biểu thức A = − 3x có nghĩa Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo √ dục Bắc√Giang, √2017) Tính giá trị biểu thức A = 25 + − 18 Bài Rút gọn: CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA √ 17 + √ 17 √ √ + 14 √ ; a) √ + 28 √ √ 15 + 21 √ b) √ + 63 Bài Cho biểu thức: √ x + y + xy P= √ : √ √ √ , với x > 0, y > x = y x+ y x− y a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị biểu thức P x = 2019, y = 2017 √ √ √ 6− 5− √ √ Bài 10 Rút gọn biểu thức: Q = +√ : √ 5−1 5− 2−1 √ x 2x − x Bài 11 Rút gọn biểu thức: M = √ + √ , với < x = x−1 x−x √ Bài 12 Chứng minh đẳng thức sau với b ≥ 0, a ≥ b: … √ √ √ a) a + b + a − b = a + a2 − b b) a+ √ b− a− √ … √ b = a − a2 − b (1) (2) √ Bài 13 Chứng minh với x ≥ y ≥ 0, ta có: x + y ≥ xy Bài 14 (Thi vào 10 chuyên, THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai 2018) Rút gọn biểu thức A=2: √ x+1−1 − √ x+1+1 ( x > 0) √ Bài 15 Chứng minh với x < y < 0, ta có: x + y + xy ≤ Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài 16 Cho biểu thức: A = √ √ x − x + A = ( x − 1)( x + 4) a) Tìm x để A có nghĩa b) Tìm x để B có nghĩa c) Với giá trị x A = B Bài 17 Rút gọn biểu thức: A = √ 5+2 » √ − + Bài 18 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Gia Lai, 2017) Phân tích √ √ √ 5x + xy − 6y + x + y thành nhân tử, với x, y số không âm √ Bài 19 Rút gọn biểu thức: A = + 15 √ 10 − √ 4− √ 15 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp công thức sau: √ A2 = | A | √ √ √ AB = A B (với A ≥ B ≥ 0) √ … A A = √ (với A ≥ B > 0) B B √ √ A2 B = | A| B (với B ≥ 0) √ √ A B = A2 B (với A ≥ B ≥ 0) √ √ A B = − A2 B (với A < B ≥ 0) … A √ = AB (với AB ≥ B = 0) B | B| √ A A B √ = (với B > 0) B B √ C C ( A ∓ B) √ = (với A ≥ A = B2 ) A − B2 A±B √ √ C C ( A ∓ B) √ √ = (với A ≥ 0, B ≥ A = B) A−B A± B B BÀI TẬP Bài tập Bài Cho b > b = √ √ √ b b b−1 −√ + : √ a) Rút gọn biểu thức: B = √ b−4 b+2 b−2 b+2 √ b) Tính giá trị biểu thức B b = + √ √ x 10 x Bài Cho A = √ − −√ , với x ≥ 0, x = 25 x − x − 25 x+5 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = c) Tìm x để A < CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài Cho biểu thức: P= √ x 1 √ +√ + ( x − 4) , với x ≥ 0, x = x+2 x−2 x−4 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi √ Bài Cho biểu thức: A = √ x+2 x−2 √ − x−1 x+2 x+1 √ x : √ , với x > x = x+1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất số nguyên x để biểu thức A có giá trị số nguyên Bài Cho biểu thức: √ 2( x + 4) x √ B= +√ −√ , với x ≥ 0, x = 16 x−3 x−4 x+1 x−4 a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để giá trị B số nguyên Bài Cho biểu thức: √ √ √ x+ x−1 x+1 x+2 √ A= −√ −√ x+ x−2 x+2 x−1 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa rút gọn biểu thức A b) Tìm x nguyên để A số nguyên Bài Cho biểu thức: M= √ √ √ 2x x + x − x x + x √ − x−1 x x−1 √ x−1 x √ · + √ 2x + x − x − a) Tìm x để M có nghĩa b) Rút gọn M c) Tìm giá trị nhỏ M Bài Rút gọn biểu thức √ √ √ √ a a−b b a a+b b A= √ √ + √ √ − a b−b a a b+b a a, b số thực dương phân biệt √ 3−4 √ Bài Rút gọn biểu thức: A = + 3+1 … a − b … b a √ √ √ √ a+ b a− b √ +√ √ √ a− b a+ b √ 3+4 √ 5−2 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài 10 Cho biểu thức: Q= √ x+3 x−4 √ − x + ( x − 1) x+4 √ √ x2 x + x2 − x − √ · x+1 a) Với giá trị x Q xác định b) Rút gọn Q √ c) Tìm giá trị x để Q = 2012 x − 2012 Bài 11 Rút gọn biểu thức: √ √ √ x x − 2x + 28 x−4 x+8 √ √ ( x ≥ 0, x = 16) A= −√ + x−3 x−4 x+1 4− x Bài 12 Rút gọn biểu thức: » » √ + − x2 (2 + x )3 − (2 − x )3 √ A= , với −2 ≤ x ≤ + − x2 Bài 13 (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Long, năm 2018) √ √ 3+ 3− a) Tính giá trị biểu thức A = + 2 √ √ x−3 x−1 x−2 √ b) Cho biểu thức P = √ − √ + Tìm x để P ≥ x−2 x−1 x−3 x+2 Bài 14 (Đề thi HSG 9, tỉnh Vĩnh Phúc, năm 2018) Rút gọn biểu thức √ √ a + 2018 a − 2018 √ P= − a−1 a+2 a+1 √ · a+1 √ a Bài 15 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hải Dương, năm 2018) Cho √ √ x2 + x x2 − x √ √ + A= x+ x+1 x− x+1 √ Rút gọn biểu thức B = − · A − x + 1, với ≤ x ≤ Bài 16 (Đề thi HSG 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm 2018) √ 2x4 − 25x3 + 61x2 − 36x + 6078 48 − 24 Tính giá trị F = 2x4 − 25x3 + 61x2 − 36x + 27 √ √ √ x x−1 x x+1 3− x √ − √ b) Cho biểu thức P = : 1− √ Tìm giá trị x để x− x x+ x x+1 P < a) Cho x = Bài 17 (Đề thi HSG, Thanh Hóa, năm 2018) Cho biểu thức √ √ √ x−2 x x+1 + 2x − x √ + √ P= √ + √ , với x > 0, x = x x−1 x x+x+ x x2 − x Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài 18 (Đề thi HSG, Thanh Hóa, năm 2018) Tính giá trị biểu thức P=   x = 4( x + 1) x2018 − 2x2017 + 2x + 2x2 + 3x − √ 3−2 3+2 √ Bài 19 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hà Nam, năm 2018) Cho biểu thức √ √ √ √ 1+2 x 2x + x + 2x x + 3x + x √ : √ P= + 1−x (1 + x )(1 − x ) 1+x x với x ≥ 0; x = a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P có giá trị nguyên C LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC BA A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Căn bậc ba số a số x cho x3 = a, đó, ta kí hiệu: x = Tính chất √ √ √ √ 3 3 a = a; a3 = a; a < b ⇔ a < b; √ … √ √ √ a 3 3 a ab = a b; =√ ( b = 0) b b √ a B BÀI TẬP Bài tập Bài Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, tính: … √ √ √ 3 8; −27; 0; − 125 Bài Tìm x biết: √ a) x = 4; b) √ x=− ; √ c) x − = Bài So sánh: √ a) 345; √ √ b) 3 √ √ Bài Cho a < Hỏi số lớn hai số: 4a 5a Bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi Bài Rút gọn biểu thức: x5 ( x4 − 3x3 + 3x2 − x ) Bài Rút gọn biểu thức sau (giả sử biểu thức xác định): a) A = √ c) B a−b a+b √ √ −√ ; 3 a− b a+ b = √ a− √ √ b √ a+b √ − ab a+ b : ; a− √ √ √ a −1 − a √ √ b) C = √ −√ ; 3 3 a − a4 a + a −1 √ √ √ x −2 x − y x + y3 d) D = » : √ √ x x − y y ( x − xy) √ a7 Bài Cho biểu thức: 8−x √ : A= 2+ x √ 2+ 2+ x2 √ x + √ √ 23 x x+ √ x−2 √ ·√ x2 − √ x2 + x Với x = 8, x = −8, x = Chứng minh giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào x CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017) Cho √ √ √ a a+1 a+2 P= √ +√ + ( a ≥ 0, a = 4) 4−a a+2 a−2 a) Rút gọn biểu thức P; √   1+ √ 84 + √   84 √ Bài Hãy tìm đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận −5 làm nghiệm … Bài 10 Hãy tìm đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận làm nghiệm √ Bài 11 Hãy tìm đa thức bậc ba, hệ số nguyên nhận − làm nghiệm √ √ 3 Bài 12 Chứng minh 5+2− − số nguyên     … … 5 25 64 25 64 Bài 13 Chứng minh + + + − + = 27 27 Bài 14 (Malaysia National Olympiad 2010) Chứng minh tồn hai số nguyên m, n (n = 0) cho »√ »√ m 3 = 50 + − 50 − n » » Bài 15 Cho x, y thỏa mãn: x2 + x4 y2 + y2 + y4 x2 = a Chứng minh rằng: b) Tính giá trị biểu thức P a = x2 + » 3 1− y2 = √ a2 1 + + = x y z » √ √ √ 3 ax2 + by2 + cz2 = a + b + c Bài 16 Chứng minh ax3 = by3 = cz3 Bài 17 Hãy tính A = 2x3 + 2x2 + 1, với:      √ √ 23 − 513 23 + 513 + − 1 x=  4 2018 Bài 18 Cho f ( x ) = 2x3 − 21x − 29   x= Tính f ( x )   … … 49 49 7+ + 7− 8 Bài 19 Tính x + y biết x y thỏa mãn: x+ x2 + 2017 y+ » y2 + 2017 = 2017 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA » » Bài 20 Cho x, y thỏa mãn: x = y − y2 + + y + Tính giá trị biểu thức: x4 + x3 y + 3x2 + xy − 2y2 + y2 + Bài 21 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Ninh, năm 2018) Rút gọn biểu thức » √ √ √ √ 3 + + 10 + 3 − 3 − √ √ 5+ 2+1 Bài 22 (Đề thi HSG 9, tỉnh Thái Bình, năm 2018) √ √ ( − 1) 16 + Cho x = √ √ Tính giá trị biểu thức A = (77x2 + 35x + 646)2017 10 + − √ √ Bài 23 Hãy tìm đa thức bậc ba, có hệ số ngun nhận số − + làm nghiệm √ √ Bài 24 Tìm đa thức khơng đồng khơng, bậc nhỏ có hệ số ngun nhận − + làm nghiệm C LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA ÔN TẬP CHƯƠNG I D ĐỀ BÀI Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Bình Thuận, 2017) Cho biểu thức: √ √ √ √ A = + 45 − 500, B = 20 Tính tích A.B? Bài Thực phép tính a) √ √ 7√ 12 − 48 + 75 … b) 3+ √ 2 + √ − Bài 1) Thực phép tính: √ A = 50 − 2) Tìm x biết √ √ 9x − 27 + … 128 + √ ; B= √ 5+1 −√ 5−1 x − = 16 3√ 4x − = Bài (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Long An, 2017) Bài Tìm x biết √ 25x − 50 + √ x−2− √ √ √ a) Rút gọn: 75 − 12 + 12 √ √ x−2 x+1 x+x √ b) Rút gọn: N = − √ x−1 x √ c) Giải phương trình: 4x2 − 12x + = Bài (Thi vào 10 THPT…Chuyên Hưng Yên 2019) … √ √ Rút gọn biểu thức A = 2 − + 20 + 20 Bài (Đề thi vào 10, Sở GD-ĐT Bắc Ninh, 2017) Rút gọn biểu thức x−2 1 √ −√ +√ P= , với x > x+2 x x x+2 Bài (Đề thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Gia Lai, 2017) Rút gọn biểu thức √ √ √ x x P= √ +√ x− √ , với x > 0, x = x+1 x−1 x Bài (Tuyển sinh 10, Hải Phòng 2019) Cho hai biểu thức √ √ √ √ A= 3 − 12 + 27 √ √ x+ x x− x B = 1+ √ · 1− √ x+1 x−1 (với x > 0, x = 1) CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Rút gọn biểu thức A B Tìm giá trị x cho A · B ≤ Bài 10 (Toán kỳ 1, Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội, 2018-2019) Giải phương trình sau: √ √ … 1√ 2√ x−2 x − 2− 9x − 18 + = −4 3 81 √ √ x − x − = x − 6x − = 9x2 + 12x + = 4x Bài 11 (Thi vào 10 chuyên, Sở giáo dục Hịa Bình, 2016 - 2017) Rút gọn biểu thức sau: A= √ √ x y−y x x−y B= +√ √ √ xy x− y √ » √ + − 29 − 12 5; Bài 12 Cho biểu thức P = √ x 8x √ + 2+ x 4−x √ : x−1 √ −√ x−2 x x với x > 0, x = 4, x = Rút gọn P Tính giá trị P x = 25 Với x > 9, tìm giá trị nhỏ P √ √ √ 3+3 √ · √ √ Bài 13 Rút gọn biểu thức: A = √ 3+ 5 3−3 √ √ √ x+1 x+2 x−8 √ Bài 14 Cho hai biểu thức A = √ B = √ + với x ≥ 0, x = 4, x−2 x−3 x−5 x+6 x = Tính giá trị biểu thức A x = Rút gọn biểu thức B Tìm tất giá trị nguyên x để B < A Bài 15 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Trị, năm 2018) Rút gọn biểu thức » » √ √ P = 109 − 36 + 109 + 36 Bài 16 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Quãng Ngãi, 2017) Cho a số thực dương lớn » » x = a + a − + a − a2 − Tính giá trị biểu thức P = x3 − 2x2 − ( a + 1) x + 4a + 2021 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài 17 Rút gọn biểu thức: … » » √ √ A = + + + + » √ + + … 2− » √ + + Bài 18 Rút gọn biểu thức sau: A= √ x−3 x · √ , với < x = x +√ x−9 x+3 Bài 19 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Tp Hồ Chí Minh năm học 2013-2014) Rút gọn biểu thức sau: √ √ x x+3 +√ A= √ · , với x ≥ 0, x = x+9 x+3 x−3 Bài 20 Cho biểu thức P = √ 2 a+1 √ +1 2− √ Tìm giá trị a để P = a−1 a+1 Bài 21 (Đề thi vào 10, Sở giáo dục Lâm Đồng, 2017) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x− √ x − 2017 + 2x2 + 1 √ − √ , với ≤ x = Bài 22 Cho biểu thức A = − 1−x 1− x 1+ x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x cho A = −2 √ Bài 23 Rút gọn biểu thức: A = √ a ab − b √ +√ b ab − a √ √ a b − b a , với a > 0, b > a = b Bài 24 Với x > 0, cho hai biểu thức: √ √ √ 2+ x x−1 x+1 √ A= √ , B= √ + x x x+ x a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A > B Bài 25 (Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017) Cho biểu thức √ √ √ 2x − x − x3 − x + 2x − √ √ P= , Q= , với x ≥ 0; x = x−2 x+2 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Rút gọn biểu thức P Q Tìm tất giá trị x để P = Q Bài 26 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lâm Đồng, năm 2018) Rút gọn biểu thức » √ √ √ + + 12 + 24 Bài 27 (Đề thi HSG 9, tỉnh Kon Tum, năm 2018) Rút gọn biểu thức √ √ 4+ 4− P= √ √ +√ √ 2+ 3+ 2− 3− Bài 28 Cho biểu thức: √ √ √ x + 13 x−2 x−1 √ A= +√ − √ (với x ≥ 0) x+5 x+6 x+2 x+3 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên c) Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên Bài 29 (Đề thi HSG 9, tỉnh Phú Yên, năm 2018) Tính giá trị √ √ 2+ 2− 2 P= √ + √ 4+2 4−2 1+ 1− 2 √ √ 3a + 9a − a−2 √ Bài 30 Cho biểu thức: P = −√ +√ − a+ a−2 a−1 a+2 a) Rút gọn P b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên Bài 31 Cho biểu thức A= √ x + 9x − 1 √ −√ −√ x+ x−2 x−1 x+2 : (với x ≥ 0, x = 1) x−1 Rút gọn biểu thức A Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên A Bài 32 (Thi vào 10 chuyên toán, THTH, ĐHSP Tp HCM năm học 2013-2014) Cho biểu thức: √ √ 3x + x − 11 x−2 √ P= −√ +√ − 1, với x ≥ x = x+ x−2 x−1 x+2 a) Rút gọn P CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA b) Tìm x để P nhận giá trị nguyên Bài 33 Cho biểu thức: √ √ √ √ √ √ √ √ a a + 2a − 3b + 3b a − 3b − 2a √ √ M= a + 3ab a) Tìm điều kiện a, b để M xác định rút gọn M √ √ 11 b) Tính giá trị M a = + 2, b = 10 + Bài 34 Cho biểu thức: P= √ x−1 x+8 √ + + x − 10 − x √ x−1+1 √ −√ x−3 x−1−1 x−1 : a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = √ 3+2 √ − 3−2 √ 3−2 √ 3+2 Bài 35 Cho biểu thức:  M= 2   3  1+ √ x+1 √ + 1+ √ x−1 √  2019  · 2  x+1 Tìm x để M có nghĩa, rút gọn biểu thức M tìm giá trị lớn M Bài 36 (Thi vào 10 chuyên toán, Chuyên Trần Rút gọn biểu thức: √ x x−3 √ − − A= √ x−2 x+2 x+4 Phú - Hải Phòng, 2013-2014) √ x + 10 √ x x−8 √ : x+7 √ x+2 x+4 Bài 37 (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán tỉnh Yên Bái) Cho biểu thức: P= √ a 3a √ √ +√ √ − √ a + ab + b a a − b b a− b ( a − 1) : a+ √ √ a− √ ab + b b a) Tìm điều kiện a, b để P có nghĩa rút gọn P b) Tìm số nguyên dương a để Q = P(3a + 5) nhận giá trị nguyên Bài 38 Tìm x, y, z biết √ x+1+ y−3+ √ z−1 = ( x + y + z ) Bài 39 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lào Cai, năm 2018) Cho √ √ x+ x x−1 x2 + x √ P( x ) = + √ −√ , với x > x− x+1 x x+1 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA a) Rút bọn biểu thức P( x ) √ x b) Với x > tìm giá trị lớn biểu thức P( x ) Bài 40 (Đề thi HSG 9, Đà Nẵng, năm √ 2018) √ x+2 x x−1 √ √ √ √ , với x > 0, x = Rút gọn Cho biểu thức A = + + : x x−1 x+ x+1 1− x x A chứng minh A < Bài 41 (Đề thi HSG 9, tỉnh Ninh Bình, năm 2018) Cho biểu thức √ √ √ a + a a − a2 − a a + a − √ + √ √ M= √ + , với a > 0, a = a a− a a−a a a) Rút gọn M b) Chứng minh M > c) Tìm giá trị a để biểu thức N = có giá trị nguyên M Bài 42 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Bình, năm 2018) a) Rút gọn biểu thức P= với x √ √ √ 3x + 16x − x+1 x+7 √ −√ −√ x+2 x−3 x+3 x−1 : √ x 2− √ , x−1 0, x = 1, x = b) Cho a = 13 √ Khơng sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức: 19 + a4 − 6a3 − 2a2 + 18a + 23 A= a2 − 8a + 15 Bài 43 (Đề HSG9, Quảng Nam, 2017-2018) Cho biểu thức x+8 √ A= √ + + x x+8 x−2 x+4 √ x+4−4 x , với ≤ x ≤ x−4 Rút gọn biểu thức A Tìm số nguyên x để A số nguyên Bài 44 (Đề thi HSG 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm 2018) √ √ √ x−3 x x−3 x+3 √ √ − √ Cho biểu thức C = + với x ≥ 0, x = x−2 x−3 3− x x+1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Chứng minh với n ∈ N∗ D= + + +···+ < 4 1+1 +1 1+2 +2 1+3 +3 + n2 + n4 Bài 45 (Đề thi HSG 9, tỉnh Sơn La, năm 2018) √ √ x2 + x 2x + x √ 1) Cho biểu thức P = − √ +1 x− x+1 x a) Rút gọn P b) Biết < x < 1, so sánh P với | P| c) Tìm giá trị nhỏ P   2) Cho f ( x ) = 2x3 − 21x − 29 Bài 46 Tìm số x nguyên để Bài 47 Tìm số x nguyên để √ √ 2018 Tính f ( x ) x = … 7+ 49 +   7− … 49 x2 + x + số hữu tỉ x2 + x + 13 số hữu tỉ Bài 48 (Đề thi HSG 9, tỉnh Hưng Yên, năm 2018) 1 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện + = Chứng minh a b 2018 √ √ √ a + b = a − 2018 + b − 2018 Bài 49 (Đề thi HSG 9, tỉnh Kiên Giang, năm 2018) Rút gọn biểu thức sau … … … … 1 1 1 1 X = 1+ + + 1+ + + 1+ + +···+ 1+ + 2 3 2017 20182 Bài 50 (Đề thi vào 10, Chuyên Hưng Yên Vòng 2, 2016) Đặt a = √ 2, b = √ Chứng minh: 1 a b − = a + b + + + a−b b b a Cho x = √ 28 + − √ 28 − + Tính giá trị biểu thức P = x3 − 6x2 + 21x + 2016 Bài 51 (HSG 9-Tỉnh Hải Dương - 2019) √ √ √ √ y x z √ √ Cho P = √ +√ +√ xyz = Tính 10P − √ yz + y + xy + x + xz + z + √ Cho x, y, z số dương thỏa mãn: x + y + z + xyz = Chứng minh » » » √ x (4 − y)(4 − z) + y(4 − z)(4 − x ) + z(4 − x )(4 − y) = + xyz CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Bài 52 (Đề thi vào 10, Chuyên Lương Văn Tuỵ, Ninh Bình, 2017) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 2018 Tìm giá trị lớn biểu thức a b c √ √ √ P= + + a + 2018a + bc b + 2018b + ca c + 2018c + ab Bài 53 Cho x, y, z số thực đôi khác thỏa mãn: » 3 (y − z) − x3 + (z − x ) − y3 + ( x − y) − z3 = Chứng minh rằng: (1 − x3 )(1 − y3 )(1 − z3 ) = (1 − xyz)3 Bài 54 (Đề thi HSG 9, tỉnh Lâm Đồng, năm 2018) Cho a > 0, b > Chứng minh √ … a a −1 b ≥ √ … b 1− b a Bài 55 Chứng minh với số nguyên dương m, n ta có: m √ − ≥ √ √ n n 3+ (1) Bài 56 (Đề thi vào 10 chuyên Thái Nguyên, 2017) √ Với số nguyên dương n ta kí hiệu an số nguyên gần n Ví dụ: a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 2, a5 = 2, a6 = 2, a7 = Tính giá trị tổng S= 1 1 + + +···+ + a1 a2 a3 a2017 a2018 Bài 57 (Thi vào 10 chuyên Toán, Chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon √Tum 2017) √ Xét 2020 số thực x1 , x2 , , x2020 nhận hai giá trị − + Hỏi biểu 1010 thức ∑ x2k−1 x2k nhận giá trị nguyên khác nhau? k =1 √ √ Bài 58 Tìm đa thức bậc bốn, hệ số nguyên nhận + + làm nghiệm √ √ Bài 59 Tìm đa thức bậc sáu với hệ số nguyên nhận + 3 nghiệm √ Bài 60 Cho trước số hữu tỉ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để √ √ a m2 + b m + c = (1) √ √ Bài 61 Chứng minh u, v ∈ Q s = u 3 + v ∈ Q u = v = E LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA ... chứa bậc hai 23 A Tóm tắt lý thuyết 23 B Bài tập 23 C Lời giải 26 Căn bậc ba 27 A Tóm tắt lý thuyết 27 B Bài tập 27 C Lời giải 29 Ôn tập chương I 30 D Đề 30 E Lời giải 37 MỤC LỤC CHƯƠNG CĂN BẬC... tỉnh Tiền Giang, năm 2018) Tính giá trị biểu thức B= 1 43 + 1 53 + 1 63 + + 2 43 + 2 53 C LỜI GIẢI CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA √ a BÀI CĂN BẬC HAI VÀ ĐẲNG THỨC √ A2 = | A | A TÓM TẮT LÝ THUYẾT... a = x2 + » 3 1− y2 = √ a2 1 + + = x y z » √ √ √ 3 ax2 + by2 + cz2 = a + b + c Bài 16 Chứng minh ax3 = by3 = cz3 Bài 17 Hãy tính A = 2x3 + 2x2 + 1, với:      √ √ 23 − 5 13 23 + 5 13 + − 1 x=