HSG Toan 9 V2_08.09.doc

THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2008 2009 MễN : TON 9 Thi gian : 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) ------------------------------------------------------------- Cõu 1. (4 im). a. Cho A = k 4 + 2k 3 16k 2 2k + 15 vi k Z. Tỡm iu kin ca k A chia ht cho 16. b. Tỡm giỏ tr ln nht ca phõn s m t s l mt s cú ba ch s, cũn mu s l tng cỏc ch s ca t s. Câu 2. (2 điểm): Cho a, b, c dơng và 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + cba . Chứng minh rằng P = abc 1 Câu 3. (5 điểm) Giải phơng trình; hệ phơng trình sau: a. 5 - z3--z 6+4+22=4+++ yxyx b. =+++++ =+++ 532 232 22 22 yyxx yyxx Câu 4. (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : abc c acb b bca a y 888 222 + + + + + = với a, b, c là các số thực dơng. Câu 5. (6 điểm) a. Cho tam giác cân ABC có góc A=20 0 , AB = AC = b, BC = a Chứng minh rằng: a 3 + b 3 = 3ab 2 b. Cho đờng tròn (O ; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đờng kính DE; AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng: BD = CM. Lu ý: Cán bộ coi thi không đợc giải thích gì thêm ! Hớng dẫn chấm đề thi khảo sát học sinh giỏi vòng 2 năm học 2008 2009 Môn thi: toán 9 --------------------------------------------------------------------- A. Hng dn chung - Hng dn chm ch trỡnh by túm tt li gii theo mt cỏch, nu thớ sinh lm theo cỏch khỏc ỳng, cỏc giỏm kho thng nht biu im ca hng dn cho im. - Vi nhng ý ỏp ỏn cho t 0,5 im tr lờn, nu cn thit cỏc giỏm kho cú th thng nht chia nh tng thang im. - Thớ sinh lm ỳng n õu, cỏc giỏm kho vn dng cho im n ú. - im ca ton bi l tng cỏc im thnh phn, khụng lm trũn. B. ỏp ỏn v biu im. Câu Nội dung Điểm 1a Cho A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 với k Z Vì k Z ta xét các trờng hợp: TH1: k chẵn A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 là một số lẻ A không chia hết cho 2 A không chia hết cho 16 (loại) (1) 1 TH2: k lẻ, ta có: A = k 4 + 2k 3 - 16k 2 - 2k +15 = (k 2 - 1)(k 2 + 2k - 15) = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) Do k lẻ k - 1; k + 1; k - 3; k + 5 đều chẵn A = (k - 1)(k + 1)(k - 3)(k + 5) M 2.2.2.2 = 16 (thoả mãn) (2) Từ (1) và (2) với k Z mà k lẻ thì A luôn chia hết cho 16 1 1b Giám khảo tự thống nhất cho điểm theo thang điểm: Đáp số: 100 1 1 2 - Ta cã ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 22222 2 22222 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ++ = ++ ≥ + + + =       + −+       + −= + c c b b c c b b c c b b cba - T¬ng tù ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 22 1 2 . 22 1 ++ ≥ + ++ ≥ + b b a a c c c a a b - Nh©n c¸c vÕ cña B§T trªn ta ®îc §PCM. 1 0,5 0,5 3a Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi: [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 0352312 0956)5(434)3(122)2( 222 =−−+−−+−−⇔ =+−−−++−−−++−−− zyx zzyyxx        =−− =−− =−− 035z 023y 012x      = = = ⇔ 14z 7y 3x 2 3b §Æt t xxtxx 2 202 22 =++⇒=−+  §Æt v yyvyy 3 303 22 =++⇒=−+  . Khi ®ã hÖ ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ:      −= =+ ⇔      =+ =+ vt vt vt vt 2 5 32 2 5 32    −= ==− ⇔ vt vv 2 06115 2    = = ⇔ 1 1 1 1 t v hoÆc        = = 5 4 5 6 2 2 t v *) Trêng hîp 1:    = = 1 1 1 1 t v ⇔      =−+ =−+ ⇔ 13 12 2 2 yy xx ⇔      +=+ +=+ yy xx 13 12 2 2      = = 1 2 1 y x 1 1 1 *) Trờng hợp 2: = = 5 4 5 6 2 2 t v =+ =+ 5 4 3 5 6 2 2 2 yy xx = = +=+ +=+ 20 13 20 17 5 4 3 5 6 2 2 2 y x yy xx 4 Đặt abc c acb b bca a T 888 222 + + + + + = áp dụng BĐT Bu nhi - a hai lần ta đợc ()( 2 ++ cba abc c acb b bca a 888 222 + + + + + ). 23 333 333 222 ).())((. )24)((. )8.8.8 ( )888( cbaTcbacbaT abccbacbaT abcccabcbbabcaaT abccacbbbcaa ++=++++ +++++ +++++= +++++ Từ đó suy ra 1 T Dấu = xảy ra cba == 1 1 1 a/ Vẽ tia Bx sao cho góc CBx = 20 0 , Bx cắt cạnh AC tại D. Vẽ AE Bx, E Bx. Xét BDC và ABC có : CBD = BAC=20 0 BCD chung BDC ~ ABC 0,5 0,5 5 BC DC AC BC AB BD == BD = BC = a. .;. 22 b a bDCACAD b a BC AB BD DC ==== ABE vuông tại E có ABE= ABC- CBD=60 0 nên là nửa tam giác đều, Suy ra: a b BDBEDE bAB BE ==== 222 Mặt khác theo Pitago ta có AE 2 + BE 2 = AB 2 2222 4 3 bBEABAE == ADE vuông tại E, nên theo Pitago tacó: 2332 2 4 2 4 22222 2 2 22222 33 2 4 1 4 3 )() 2 ( 4 3 abbaaab b a b a abaabbb b a ba b bADDEAE =+=+ +=++ =+=+ b/ Vẽ tiếp tuyến HEK của (O) ( H thuộc AB, K thuộc CD) BCHKBCEDHKED //, Gọi N là tiếp điểm của AC và (O) OK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) = KOC 90 0 Xét OEK và CDO có == CDOOEC 90 0 , OKE= COD ( cùng phụ với góc EOK) OEK ~ CDO (g.g) CD OE OD EK = hay CD r r EK = (1) Tơng tự ta có: BD r r EH = (2) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 LÊy (1) : (2) ta cã: )3( BC BD HK EK CDBD BD HEEK EK CD BD HE EK =⇔ + = + ⇒= Trong tam gi¸c ABM cã HE // BM, theo Ta lÐt tacã: AM AE BM HE = (4) T¬ng tù ta cã: AM AE CM EK = (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã: BMCM HEEK CM EK CM EK BM HE + + =⇒= )6( BC CM HK EK BC HK CM EK =⇒=⇔ Tõ (3) vµ (6) suy ra BD = CM (®pcm). 0,5 0,5 0,5 Tæng 20 ®iÓm . THI CHN HC SINH GII LP 9 NM HC 2 008 20 09 MễN : TON 9 Thi gian : 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) -------------------------------------------------------------. ! Hớng dẫn chấm đề thi khảo sát học sinh giỏi vòng 2 năm học 2 008 20 09 Môn thi: toán 9 ---------------------------------------------------------------------