BTNC_ TRƯƠNG THỊ HƯƠNG_ Mot so ung dung cua dinh ly Viet

TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Hải Dương, năm 2020 TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Sinh viên thực hiện: Trương Thị Hương Khóa học: 2017 – 2020 Ngành học: Toán - Sinh K41 Giảng viên Bài giảng : Nguyễn Thị Tuyết Mai Hải Dương , năm 2020 MỤC LỤC A - MỞ ĐẦU I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III PHƯƠNG PHÁP IV PHẠM VI B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI I LÝ THUYẾT II MỘT SỐ ỨNG DỤNG DẠNG DẠNG DẠNG DẠNG DẠNG DẠNG DẠNG DẠNG III BÀI TẬP TỔNG HỢP Một số đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương Một số đề tổng hợp để học sinh tự ôn luyện C - KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 6 13 15 20 22 24 25 31 33 35 37 A MỞ ĐẦU  -I - LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết phương trình bậc hai nội dung quan trọng chương trình đại số lớp 9, tốn liên quan đến phương trình bậc hai vô phong phú Do khả gặp phương trình bậc hai kì thi tuyển sinh vào THPT, vào trường chuyên, lớp chọn cao Mà đặc biệt toán liên quan đến định lý Viet Tuy nhiên phân phối chương trình cho phần định lý Viet (1 tiết lý thuyết, tiết tập), đại đa số học sinh thường lúng túng đứng trước tốn có liên quan đến định lý Viet ứng dụng số ứng dụng định lí Trước thực tế đó, nhằm giúp em nắm cách có hệ thống có khả giải tập phần cách thành thạo, nhằm phát huy khả suy luận, óc phán đốn, tính linh hoạt học sinh, em nghiên cứu viết chuyên đề: “Một số ứng dụng định lý Viet” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng học sinh, trước thiên hướng tốt, chưa tốt mà em thấy cần phân loại số phương pháp giải cho em - Thứ hai: Bản thân người giáo viên rầt cần trau dồi tự học tham khảo làm chủ kiến thức - Thứ ba: Đề cập tới số ứng dụng định lý Viet Rút số nhận xét ý làm dạng , cách giải dạng Từ dần hình thành khả tổng hợp, khái quát lực tư khác cho học sinh III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu vấn đề lý thuyết phuơng trình bậc hai, định lý Viet chương trình đại số lớp - Nghiên cứu qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Qua học hỏi kinh nghiệm thày giáo - người có nhiều năm cơng tác, có bề dày kinh nghiệm IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Em nghiên cứu với học sinh khối trường THCS Đoàn Tùng - Chuyên đề áp dụng với đối tượng học sinh Tuy nhiên với đối tượng giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập với mức độ khó, dễ phù hợp - Chuyên đề áp dụng tốt việc ôn luyện học sinh giỏi, Bài giảng học sinh ôn thi vào THPT, đặc biệt ôn thi vào trường chuyên, lớp chọn B NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI  -I LÝ THUYẾT: Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc phương trình có dạng: ax2 + bx + c = • Với a≠0 • a,b,c số • x ẩn số Cơng thức nghiệm phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = Đặt: ∆ = b2 - 4ac + Nếu ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm + Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a + Nếu ∆ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt: x1,2 = −b ± ∆ 2a (Chú ý: Nếu ac < ∆ = b2 - 4ac > => PT chắn có hai nghiệm phân biệt ) * Cơng thức nghiệm thu gọn: (áp dụng b chẵn) Đặt b = 2b’; ∆’ = b’2 - ac + Nếu ∆’ < : Phương trình vơ nghiệm + Nếu ∆’ = : Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b ' a + Nếu ∆’ > : Phương trình có nghiệm phân biệt: x1,2 = Định lý Vi-et nghiệm phương trình bậc a Định lý Viet thuận: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 −b '± ∆ ' a S = x + x2 = P = x1 x2 = * Hệ quả: −b a c a  − b  x1 + x2 =    a  ( a ≠ 0vµΔ ≥ 0) ⇒   c   x x =    a    PT bậc 2: ax + bx + c = (*) c a −c - Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = a b Định lý đảo: x1 + x2 = S Nếu có số x1, x2 thoả mãn  chúng nghiệm số phương trình: t x1.x2 = P - st + p = (Điều kiện ∃ số x1, x2 s2 - 4p ≥ 0) Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ⇔ a ≠  Δ ≥ 0(Δ' ≥ 0) * a + b + c = ⇔x = ; a - b + c = ⇔x = - x + y = S * Nếu có: x = α ; y = β nghiệm hệ phương trình  α, β xy = P - Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = nghiệm phương trình: t2 - st + p = Các ứng dụng (thường dùng): a Kiểm tra nghiệm phương trình bậc b Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc c Biến nghiệm suy nghiệm d Tìm số biết tổng tích e Lập phương trình bậc biết nghiệm Một số kết thu từ định lý Viet: a Phân tích ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) thành nhân tử: Khi (*) có ∆ ≥ ⇔ ∃ x1, x2 / x1 + x2 = −b c ; x1 x2 = a a [ c  b ax2 + bx + c = a x + x +  = a x − (x1 + x2 )x + x1x2 a a  ] = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2 - Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 x2 thay đổi S2 Do S - 4P ≥ ⇔ P ≤ −b S S = P= ⇔ x1 = x2 = 2a S S2 ⇒ maxP = ⇔ x1 = x2 = (Vì x2 - Sx + P = có nghiệm kép) ⇒ KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn ⇔ số - Nếu x1 > 0; x2 > x1 x2 = P (Khơng đổi) Cịn S = x1 + x2 (thay đổi) Do: S2 - 4P ≥ ⇔ S − P S + P ≥ ⇔ S - P ≥ ; S = P ⇔ x1 = x2 = P ⇒ KL: số dương có tính khơng đổi tổng nhỏ chúng c Xét dấu nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) −b c  ;P =  S = a a  - Điều kiện cho (*) có nghiệm trái dấu P < Δ ≥ - Điều kiện cho (*) có nghiệm dấu  P > ( )( ) Δ ≥  - Điều kiện để (*) có nghiệm dương là: P > S >  Δ ≥  - Điều kiện để (*) có nghiệm âm là: P > S <  Δ = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép dương là:  S > Δ = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép âm là:  S <  x + y = f(m) d Điều kiện tham số để hệ phương trình:  có nghiệm x y = g  ( m )  là: f (m) - 4g(m) = (Chính điều kiện để phương trình bậc t2 - f(m)t + g(m)) = có nghiệm kép) II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT DẠNG 1: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT VÀO VIỆC NHẨM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2 + bx + c = 0, a ≠0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) (*) c a −c 2) Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = −1; x = a x + x = m + n x x = m n 3) Nếu ; ∆ ≥ phương trình có nghiệm: x1 = m; x = n x = m; x1 = n 1) Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1; x = MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: Giải phương trình sau cách nhẩm nhanh a x + ( − ) x − 15 = 1 2m − b m − x + n − x + (2 − m)(m − 3) = (Với m ≠ 2; m ≠ 3, x ẩn) c (m -3)x2 – (m +1)x – 2m + = ( m tham số, x ẩn) (1) (2) (3) Bài giảng : a Ở phần HS dễ nhận thấy a + b + c ≠ 0, a - b + c ≠ 0, có a.c = − 15 < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x Áp dụng hệ thức Viét có:  x1 + x = − +  Vậy phương trình có nghiệm là: −  x1 x = − 15 = − 1 2m − b Đây phương trình bậc hai có: a + b + c = m − + m − + (2 − m)(m − 3) = (Với m ≠ 2; m ≠ 3) Nên phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 = 1; x = 2m − 3−m c Ở phương trình khơng HS sai lầm vội vàng kết luận ngay: a – b + c = m – + m + – 2m + = Nên x1 = −1 ; x = 2m − mà không thấy phương trình cho chưa phải phương trình bậc hai Vì ta cần xét m – = 0; m – ≠ 0, nhẩm nghiệm Giải: + Nếu m – = ⇔ m = phương trình (3) trở thành -4x – = ⇔ x = -1 + Nếu m – ≠ ⇔ m ≠ phương trình (3) có a – b + c = 0, nên có nghiệm x1 = −1; x = 2m − m−3 Ở dạng tốn thường gặp là: Tìm điều kiện tham số để so sánh nghiệm với số cho trước Để giải tập kiểu ta thường thực bước sau: B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm B2: Từ điều kiện đầu tìm biểu thức mối liên hệ nghiệm phương trình B3: Thay tổng, tích nghiệm vào biểu thức B4: Tìm giá trị tham số, kết luận MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: Tìm m để phương trình x2 – mx + m = có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 ≤ −2 < x2 Bài giảng : m ≤ m ≥ Phương trình cho có nghiệm x1 ; x2 ∆ ≥ ⇔ m(m − 4) ≥ ⇔   x1 = −2 < x2 (1)  x1 < −2 < x2 (2) Ta có: x1 ≤ −2 < x2 ⇔  TH1: x = -2 gnhiệm PT ta có: (-2)2 – m(-2) + m = ⇔ + 3m = ⇔ m = −4 Ta tính nghiệm cịn lại nhờ vào định lí Viét sau: c −4 = m ⇒ (−2) x2 = ⇒ x2 = > −2 = x1 a 3 −4 Vậy m = giá trị cần tìm x1.x2 = TH2: x1 < −2 < x2 ⇔ ( x1 + 2)( x2 + 2) < ⇔ x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + < ⇔ m + 2m + < ⇔ m < Kết hợp hai trường hợp đối chiếu với điều kiện có nghiệm m ≤ −4 −4 giá trị cần tìm VD2: Với giá trị m phương trình x2 + x + m = có hai nghiệm lớn m Bài giảng : Cách 1: PT cho có nghiệm thoả mãn m < x1 ≤ x2 ∆ ≥ ∆ ≥ 1 − 4m ≥    x1 − m > ⇔ ( x1 − m)( x2 − m) > ⇔   x1 x2 − m( x1 + x2 ) > x − m > ( x − m) + ( x − m) >    m≤   m ≤     m < −2 ⇔ m < −2  m + 2m > ⇔   m >   −1 − 2m >    −1 m <   Cách 2: Từ việc tìm m để phương trình có hai nghiệm lớn m ta đưa tìm m để PT có nghiệm dương Bằng cách: Đặt t = x – m ⇒ x = t + m PT cho viết dạng (t + m)2 + t + 2m = ⇔ t + (2m+1)t + m2 + 2m = (*) VD3:Cho phương trình ( m − 4).x − 2( m − 2) x + m − = Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x thoả mãn : x1 〈0〈 x x1 〉 x Bài giảng : Vì x1 〈0 nên x1 = − x1 x1 〉 x ⇒ − x1 〉 x hay S = x1 + x 〈0 Do phương trình cho có hai nghiệm x1 ; x thoả mãn điều kiện toán  x1 〈0〈 x   x1 〉 x m − ≠  a ≠ ( m − ) − ( m − )( m − 1) 〉  ∆ ′〉   ⇔  ⇔  m − 〈0 m −  p〈0  2( m − ) s〈0 〈0   m−4 m ≠  m〉  ⇔  ⇔ 〈m〈 〈 m 〈  2〈 m〈 Vậy giá trị cần tìm m là: 〈m〈 VD4: Cho hai phương trình bậc hai: x + mx + n = (1) x + px + q = (2) tham số m,n,p,q phải thoả mãn điều kiện để nghiệm x1 ; x (1) x3 , x (2) thoả mãn điều kiện Mỗi phương trình có nghiệm bị kẹp nghiệm phương trình ( Đề thi chọn HS thuộc Ba Lan 1950) Bài giảng : Khơng tính tổng qt, giả sử x1 〈 x x3 〈 x Theo yêu cầu đề ta phải có : x1 〈 x 〈 x 〈 x x3 〈 x1 〈 x 〈 x Dễ dàng trường hợp ta có ( x3 − x1 )( x3 − x )( x − x1 )( x − x ) 〈0 (3) Do phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x nên theo định lí Viét ta có:  x1 + x = −m   x1 x = n Và phương trình (2) có hai nghiệm x3 , x nên theo định lí Viét ta có:  x3 + x = − p  Ta có (3) ⇔ x32 − ( x1 + x ) x3 + x1 x x 42 − ( x1 + x ) x + x1 x  x3 x = q [ ( )( ][ ] 〈 ) ⇔ x 32 + mx + n x 42 + mx + n 〈 ⇔ q − mpq + np − 2nq − mnp + m q + n 〈 Vậy điều kiện cần tìm (q − n ) + ( m − p ).( mq − np ) 〈 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tìm m để phương trình 2mx − x + m = có nghiệm thoả mãn x1 〈− ≤ x 2 Theo phương trình : x + 2( m − 1) x − ( m + 1) = a Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ 1, nghiệm lớn b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Tìm m để phương trình mx − 2( m − 2) x + = Có hai nghiệm phân biệt nghịch đảo hai nghiệm nhỏ Cho hai phương trình : x − px + n = x − 2mx + n = Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nằm xen hai nghiệm phương trình DẠNG Ứng dụng định lí Viét vào lập phương trình có hai biêu thức chứa hai nghiệm PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta cần lập phương trình bậc hai nhận số x1 ; x nghiệm Điều dựa định lý “ Nếu x1 + x = S x1 x = P x1 , x nghiệm phương trình x − Sx + P = ” MỘT SỐ VÍ DỤ VD1: lập phương trình bậc hai có hai nghiệm : 10 − 72 10 + Giải: Theo định lí Viét ta có: S = x1 + x = P = x1 x = 10 − 72 + 10 + 72 = 10 + 72 + 10 − 72 20 = 28 10 − 72 = S ≥ P nên x1 , x nghiệm phương trình 28 10 − 72 10 + 72 20 x2 − x+ = ⇔ 28 x − 20 x + = 28 28 Như với toán lập phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm ta cần áp dụng định lí Viét đảo song cần lưu ý điều kiện để có hai nghiệm S ≥ 4P VD2: Cho phương trình x + px + q = (1) có hai nghiệm x1 x khơng phải phương trình lập phương trình bậc hai theo y mà nghiệm số : y1 = x1 + ; x1 − y2 = x2 + x2 − Theo Viét ta có x1 + x = − p x1 x = q 2q − x1 + x2 + x1 x − S = y1 + y = + = = x1 − x − x1 x − ( x1 + x ) + p + q + x1 x + ( x1 + x ) + q − p + = x1 x − ( x1 + x ) + q + p + Với S ≥ P y1 , y hai nghiệm phương trình 2q − q − p +1 y2 − y + = ⇔ ( p + q + 1) y − 2( q − 1) y + ( q + − p ) = p + q +1 q + p +1 p = y1 y = 2q − q − p +1 Vì p ≥ 4q ( phương trình (1) có hai nghiệm nên p + q + ≥ q + p + = hay S ≥ p VD3: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x = x1 x2 a2 − + = x1 − x − a − Bài giải Để lập phương trình bậc hai trước hết ta cần tìm x1 + x Thật ta có x1 x = x1 x2 x x − x1 + x1 x − x 2 x1 x − ( x1 + x ) 2.4 − ( x1 + x ) + = = = = x1 − x − ( x1 − 1).( x − 1) x1 x − ( x1 + x ) + − ( x1 + x ) − ( x1 + x ) a − = − ( x1 + x ) a − ⇔ [ − ( x1 + x ) ] a − = [ − ( x1 + x ) ] a − ( ) ( ) ⇔ x1 + x = a + Với điều kiện S ≥ P ⇔ (a + 1) ≥ 4.4 ( ) ⇔ (a + − 4) a + + ≥ ⇔ a − ≥ ⇔ a ≥ ⇔ a ≤ − a ≥ Khi x1 , x nghiệm phương trình : X − ( a + 1) X + = VD4: Biết x1 ; α nghiệm phương trình x + px + q = Cịn x ; α nghiệm phương trình x + p1 x + q1 = biết x1 ≠ x Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x Bài giải: Theo ta có α + pα + q = α + p1 + q1 ⇒ ( p − q1 ).α = q1 − q Vì x1 ≠ x nên q1 − q p − p1 ta có : x1 + α = − p ; x + α = − p1 (1) ⇒ x1 + x = − ( p − p1 ) − 2α p − p1 ≠ ⇒ α = * Nếu α ≠ x1 α = q ; x α = q1 ⇒ x1 x =  Do S = ( x1 + x ) = − p + p1 + P= x1 x =  qq1 ( p − p1 ) q.q1 α2 q p1   p − p1  Với giá trị p , q S ≥ P x1 , x ( q − q1 ) 2  q1 − q  qp1 ( p − p1 ) .x + =0 nghiệm phương trình x +  p + p1 + p − p1  (q − q1 )  * Với α = từ (1) ⇒ x1 = − p ; x = − p1 ⇒ Ta có phương trình : x + ( p + p1 ) x + p p1 = Như để lập phương trình bậc biết nghiệm thoả mãn điều kiện ( số cho trước liên quan tới nghiệm phương trình phương trình đó) Ta cần: B1: Tính tổng S tích P chúng B2: Lập phương trình dạng : X − SX + P = ( Điều kiện để có nghiệm S − P ≥ ) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm : 1 d a + b a − b a e a+b m a- b m b 1+ 1- f m- m + m+ m + 1 c − 3+ x , x Gọi nghiệm phương trình 3x + x − = Khơng tính x1 , x lập phương trình bậc hai ẩn y mà nghiệm y1 = x1 + 1 y2 = x2 + ; x2 x1 3.Cho phương trình x − 2mx + = , có nghiệm x1 , x tìm phương trình bậc hai 3 có hai nghiệm là: X = x1 − x ; X = x − x Gọi x1 , x nghiệm phương trình x + x + = Không tính x1 , x lập x +1 x +1 phương trình bậc hai ẩn số y mà nghiệm y1 = x − ; y = x − 1 2 Gọi p, q hai nghiệm phương trình bậc hai 3x + x + = Không giải phương trình lập phương trình bậc hai mà nghiệm là: p q a q − p − b (p + q)2 (p – q)2 Giả sử PT ax2 + bx + c = (a khác 0) có nghiệm x1, x2 khác Tìm PT bậc hai mà nghiệm trường hợp sau: a ( − x1 ) ( − x ) d x1 + x x1 x 1 b x x c 2x1 2x2 e x12 x 22 g Lớn nghiệm PT cho lượng n h Gấp n lần nghiệm PT cho Gọi x1, x2 nghiệm PT x2 - 7x + = a Lập PT bậc hai có nghiệm 2x1- x2 2x2 - x1 b Tính giá trị A = x1 − x + x − x1 (Đề thi tuyển sinh vào trường THPT NK - ĐHQG, năm học: 2000 – 2001) Lập PT bậc hai có hai nghiệm x1, x2 cho: 4 x1 x − 5( x1 + x ) + =   ( x1 − 1)( x − 1) = m + (m ≠ −1) DẠNG Ứng dụng định lí Viét vào giải tốn cực trị liên quan đến biểu thức nghiệm PT bậc hai Các biểu thức thường gặp cho nghiệm PT ta phải tìm GTNN, GTLN biểu thức nghiệm PT PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để giải biểu thức thuộc dạng ta phải Bài giảng HS: B1: Tìm điều kiện để PT bậc hai có nghiệm B2; Sử dụng định lí Viét biểu diễn tổng, tích hai nghiệm theo tham số, rổi thay vào biểu thức cần tìm sau tìm GTLN, GTNN biểu thức CÁC VÍ DỤ VD1: Cho phương trình x + 2(m − 1) x − (2m + 5) = tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 biểu thức B = 12 - 10x1x2 – ( x 22 + x12 ) đạt giá trị lớn GIẢI: Xét x + 2(m − 1) x − (2m + 5) = phương trình có hai nghiệm ⇔ ∆ = (m − 1) + (2m + 5) ≥ ⇔ m + > , với m Vậy phương trình ln có hai nghiệm x1, x2 − b − 2(m + 1) = = −2m − ; x1 x = −2m − 2a Mặt khác: B = 12 - 10x1x2 – ( x 22 + x12 ) = 51 – 4m2 + 12m = 60 – (2m – 3)2 ≤ Vậy giá trị lớn B = 60 ⇔ 2m – = ⇔ m = 2 VD2: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = Theo Viét ta có: x1 + x = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A = x12 + x22 − x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải  x1 + x2 = −(2m − 1)  x1 x2 = − m Theo VI-ÉT:  A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Theo đ ề b ài : = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12m + = (2m − 3) − ≥ −8 2 VD 3: Cho phương trình : x − mx + m − = Suy ra: A = −8 ⇔ 2m − = hay m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B= Bài giảng x1 x2 + x + x22 + ( x1 x2 + 1)  x1 + x2 = m  x1 x2 = m − Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :  ⇒B= x1 x2 + x1 x2 + 2(m − 1) + 2m + = = = 2 x + x2 + ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + m2 + m +2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) Bài giảng Ta biến đổi B sau: B= m + − ( m2 − 2m + 1) ( m − 1) = 1− m2 + Vì ( m − 1) 2 m2 + ( m − 1) ≥0⇒ m2 + ≥ ⇒ B ≤1 Vậy max B=1 ⇔ m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m + 2m + − m m + 4m + ) − ( m + ) ( ( m + 2) − 2 B= = = m2 + m2 + 2 ( m2 + ) Vì ( m + ) ≥ ⇒ ( m + 2) 2 ( m + 2) ≥0⇒ B ≥ − 2 Vậy B = − ⇔ m = −2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m B= 2m + ⇔ Bm − 2m + B − = m +2 (Với m ẩn, B tham số) Ta có: ∆ = − B(2 B − 1) = − B + B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m ∆ ≥ hay −2 B + B + ≥ ⇔ B − B − ≤ ⇔ ( B + 1) ( B − 1) ≤  B ≤ −  2 B + ≤    B −1 ≥ B ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ B ≤1  2 B + ≥   B≥−     B − ≤ B ≤  Vậy: max B=1 ⇔ m = B = − ⇔ m = −2 (**) BÀI TẬP ÁP DỤNG 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ Cho phương trình x − 2(m − 1) x − − m = Tìm m cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 Cho phương trình : x − 2(m − 4) x + m − = xác định m để phương trình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn b) B = x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : x − (m − 1) x − m + m − = Với giá trị m, biểu thức C = x12 + x22 dạt giá trị nhỏ Cho phương trình x + (m + 1) + m = Xác định m để biểu thức E = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ III BÀI TẬP TỔNG HỢP Một số đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương Bài (Hải Dương1997 - 1998 Đề 1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − 2(m − 3) x + 2m − = (1) a/ Chứng tỏ phương trình (1) ln có nghiệm với m 1 b/ Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Hãy tìm m để x + + x + = m Bài (Hải Dương 1998 - 1999 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : (1) a/ Chứng minh với giá trị m phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt ? b/ Hãy tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 = + Khi tìm nghiệm x2 phương trình ? x − 3mx + 3m − = Bài (Hải Dương1999 - 2000 Đề 1) (1) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − x + m = a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm số âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 = Bài (Hải Dương1999 - 2000 Đề 2) Cho hai phương trình bậc hai ẩn x (a tham số) : x − 3x − a − = (1) x + ax + = (2) a/ Giải phương trình (1) (2) trường hợp a = -1 b/ Chứng minh với giá trị a hai phương trình ln có hai phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài (Hải Dương2000 - 2001 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x + (m + n) x − (m + n ) = (1) a/ Giải phương trình (1) m = n = b/ Chứng minh với giá trị m, n phương trình (1) ln có nghiệm c/ Tìm m, n để phương trình (1) tương đương với phương trình x − x − = Bài (Hải Dương2001 - 2002 Đề 1) Cho phương trình : x − 2(m + 1) x + 2m + = a/ Giải phương trình m = b/ Tìm tất giá trị m để phương trình cho có nghiệm Bài (Hải Dương2001 - 2002 Đề 2) Cho phương trình bậc hai : x − 2(m + 1) x + m + 3m + = (1) a/ Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b/ Tìm giá trị m thỏa mãn x12 + x22 = 12 (Trong x1 , x2 hai nghiệm phương trình) ? Bài (Hải Dương2002 - 2003 Đề 2) Cho hai phương trình : x − 3x + 2m + = (1) x + x − 2m − 10 = (2) a/ Giải hai phương trình với m = - b/ Tìm giá trị m để hai phương trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phương trình có nghiệm Bài (Hải Dương2003 - 2004 Đề 1) a/ Chứng minh : Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = − b c x1.x2 = a a b/ Tìm hai số biết tổng chúng tích chúng - c/ Tìm số ngun a để phương trình x − ax + a − = có nghiệm Bài 10 (Hải Dương2003 - 2004 Đề 2) Cho phương trình bậc hai ẩn x, m tham số : x − x + m = (1) a/ Tìm m để phương trình có (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phương trình (1) khơng thể có hai nghiệm âm c/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1 − x2 = Bài 11 (Hải Dương2004 - 2005 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : x − (m + 1) x + m − 2m + = (1) a/ Giải PT với m=2 b/ Tìm giá trị m để PT có nghiệm kép, vơ nghiệm, có ghiệp phân biệt Bài 12 (Hải Dương2005 - 2006 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : x − 2(m + 1) x + m − = (1) a/ Giải PT với m=1 b/ Tìm giá trị m để PT có nghiệm trái dấu c/ Với x1, x2 nghiệm PT tính theo m giá trị biểu thức A= x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) Bài 13 (Hải Dương2006 - 2007 Đề 1) Cho phương trình bậc hai : x + mx + m − = a/ Giải PT với m=1 b/ CMR PT ln có nghiệm phân biệt với moi m c/ Tìm m dể pt có hai nghiệm trái dấu nghiệm am lớn nghiệm âm Bài 14 (Hải Dương2007 - 2008 Đề 1) Cho phương trình bậc hai x − 2(2m − 1) x + 3m − = (x ẩn) (1) a/ Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Hãy tìm m để x1 + x2 = −2 Bài 15 (Hải Dương 2008 - 2009 Đề 1) Cho phương trình x2 - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 x x Tính giá trị biểu thức : S = x + x Bài 16 (Hải Dương2009 - 2010 Đề 1) Cho phương trình : (m + 1) x − 2(m − 1) x + m − = (1) (m tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn : 1 + = x1 x2 2 Một số đề tổng hợp để học sinh tự ơn luyện Bài 1: Cho phương trình: X2 – 3x + = có nghiệm x1, x2 Tính: a x12 + x22 b x13 + x23 c x14 + x24 d x15 + x25 h x1 + x2 + + x2 x1 e) x1 x1 + x2 x2 f x1 x2 + x2 x1 Bài Cho pt x2 - 3x + = 0, Gọi x1 x2 nghiệm pt Khơng giải pt tính x12 + x22 x31 + x32 x41 + x42 x21x2 + x22x1 1 x x x1 + x1 x + x x + x 2 x + x x1 -x2 10 x12 - x22 11 |x1 |-|x2| 12 x1 + x 13 x1 x + x x1 14 x1 x1 + x x 2 x1 x + x1 x 2 16 (2 x1-1)( 2x217 x12(x1- 1) + x22(x2- 1) 1) Bài Cho PT (m - 1) x2 - 2(m+1)x + m- = Giải pt với m = -1 Tìm m để pt có nghiệm phân biệt Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Bài 4: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m – = Giải phương trình m = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 2 x1 + x + x1 x ( x1 + x ) 2 x1 ( x 21 − 1) + x ( x − 1) 15 x1 + x2 x2 x1 x1 -1 x -1 18 x + x Tìm m để phương trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm cịn lại Bài 5:Cho phương trình : x2 – (m + 5)x – m + = 0, với m tham số Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn : 2x1 + 3x2 = 13 Bài 6: Cho phương trình: x2 - 2mx + m = a Giải phương trình với m = 7b Cm phương trình ln có nghiệm phân biệt với ∀m c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tính x1 theo x2 1 d Tính theo m: x3 + x ; x12 − 2mx1 + x22 + m e Tính m để phương trình có nghiệm trái dấu, nghiệm dương g Tính m để phương trình có nghiệm 2x1+x2 = ; h Tìm giá trị lớn A = x1(x2 – x1)- x22 i.Lập phương trình bậc có nghiệm số đối nghiệm phương trình Bài : Cho phương trình: x2-(m+1)x + m = a)giải phương trình với m = b)Tìm m để tổng bình phương nghiệm 17 c)Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m Bài : Cho phương trình: x2- 2mx + 2m – = a) Giải phương trình với m= b) Tìm m để tổng bình phương nghiệm 10 c) Llập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m 2( x12 + x22 ) − x1 x2 = 65 d) Tìm m cho : Bài 9: Cho x2-4x-( m2+2m)=0 a) Giải phương trình với m=5 b) Chứng minh phương trình có nghiệm với m c) Tính ( x12 + x22 ) + 8( x1 x2 + 1) theo m d) Tìm m để ( x12 + x22 ) = 5( x1 + x2 ) Bài 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0 a.Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m c.Tìm m để x1-3x2=5 Bài 11 Cho pt : x2 - ( 2m - ) + m2 - m- = (1) CMR phương trình ln có nghiệm với giá trị m Giải phương trình với m = Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) a Tìm hệ thức lên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m b Tìm m cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN Bài 12 Cho pt bậc : x2 - 2( m + )x + m2 + 3m + = (1) Giải phương trình (1) với m = -1 Tìm m để PT (1) ln có nghiệm phân biệt Gọi x1,x2 nghiệm PT Tìm m để x12 + x22 = 12 Bài 13 ( đề thi HSG năm 2017 - 2018 Phòng Giáo dục Thanh Miện) Cho phương trình x2 - 2mx + 2m - = CMR pt ln có nghiệm với giá Giải pt với m = trị m Gọi x 1, x2 nghiệm phương Tìm m để phương trình có nghiệm trình trái dấu a Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m b Tìm GTNN hệ thức A= x12 + x22 KẾT KUẬN Với ứng dụng phong phú, đa dạng Định lý Viet có vị trí quan trọng chương trình đại số giá trị sử dụng cịn có ý nghĩa với lớp Cũng việc mở rộng với phương trình bậc Định lý khơng có giá trị phương diện thực hành định lượng mà cịn có giá trị định tính cách phong phú cho nghiệm số phương trình bậc 2 Khai thác ứng dụng định lý Viet thuận đảo vào toán đại số lớp 9, làm phong phú đa dạng tập phương trình bậc 2, bậc Giúp cho người học rèn luyện thao tác tư đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt q trình học tập mơn tốn Cung cấp cho HS cách có hệ thống nội dung phương pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số pt bậc 2, bậc Từ hình thành HS thói quen học định lý, thấy rõ vai trị định lý tốn học chương trình tốn giúp cho em rèn luyện phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ Nêu giải pháp giải loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có phương hướng giải vấn đề có sở lý luận Xây dựng cho HS niềm tin học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay q trình học trốn Bước đầu hình thành HS thói quen, kỹ làm tốn, học tốn có phương pháp Trang bị cho HS phương pháp thực hành toán học cách phong phú, đa dạng Chuẩn bị cho HS tiền đề để tiếp thu kiến thức phương pháp lớp sau Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phương pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tích cực HS Tuy nhiên hạn chế cá nhân nên đề tài nói khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì em kính mong quan tâm giáo viên Bài giảng Em xin chân thành cảm ơn! SINH VIÊN Trương Thị Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập Toán lớp 9- NXB Giáo dục Tuyển tập theo chuyên đề Toán học Tập - NXB Đại học quốc gia Chuẩn bị kiến thức ôn thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn- NXB Giáo dục Bồi dưỡng học sinh giỏi - NXB Sư phạm Hà Nội https://dethi.violet.vn/present/ung-dung-cua-he-thuc-vi-et https://toanhoc247.com/ung-dung-cua-he-thuc-vi-et-trong-giai-toana5156.html ... học sinh giỏi - NXB Sư phạm Hà Nội https://dethi.violet.vn/present /ung- dung- cua- he-thuc-vi-et https://toanhoc247.com /ung- dung- cua- he-thuc-vi-et-trong-giai-toana5156.html ... tư đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt q trình học tập mơn tốn Cung cấp cho HS cách có hệ thống nội dung phương pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với... ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Sinh viên thực hiện: Trương Thị Hương Khóa học: 2017 – 2020 Ngành học: Tốn - Sinh K41 Giảng viên Bài giảng : Nguyễn Thị Tuyết Mai Hải Dương , năm 2020 MỤC LỤC A - MỞ