Dạng chuẩn smith và một số bài toán liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN VIỆT HIẾU DẠNG CHUẨN SMITH VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thành phố Huế - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN VIỆT HIẾU ĐỀ TÀI DẠNG CHUẨN SMITH VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ĐẶNG HỒ HẢI Thành phố Huế - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Nguyễn Đặng Hồ Hải Trong trình nghiên cứu đề tài luận văn, kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Trần Việt Hiếu ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến TS Nguyễn Đặng Hồ Hải, người tận tình hướng dẫn chu đáo, ln giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập q trình hồn thành Luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy, Khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế Viện Toán Học dạy dỗ truyền đạt cho kiến thức bổ ích, làm tảng để tơi hồn thành Luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại Học Sư Phạm Huế, phịng Đào tạo sau Đại học, Khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm Huế tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn bạn, anh, chị cao học viên khóa K26 nhiệt tình giúp đỡ, hỗ trợ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin chia sẻ niềm vui lớn với bàn bè, người thân gia đình tơi, người ln sát cánh động viên giúp đỡ tơi hồn thành Luận văn Trong q trình học tập nghiên cứu, tơi cịn gặp nhiều khó khăn, bên cạnh trình độ nghiên cứu cịn hạn chế nên có nhiều cố gắng đề tài nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Trần Việt Hiếu iii Mục lục Bìa i Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu DẠNG CHUẨN SMITH 1.1 Dạng chuẩn Smith miền ideal 1.2 1.3 1.4 4 Thuật toán tìm dạng chuẩn Smith miền Euclide Ví dụ với MAPLE Dạng Smith tham số hóa 11 DẠNG CHUẨN SMITH CỦA MA TRẬN LIÊN CÁC TẬP SẮP THỨ TỰ VI PHÂN 2.1 Tập thự tự vi phân 2.2 Giả thuyết Miller Reiner 2.3 Chứng minh Cai Stanley cho Young lattice KẾT VỚI 15 15 20 21 MỞ ĐẦU Cho A ∈ M at(m×n, R) với R miền ideal (principal ideal domain, PID), chẳng hạn R = Z hay R = k[X] với k trường Khi đó, định lý dạng chuẩn Smith khẳng định tồn ma trận khả nghịch P ∈ GLm (R) Q ∈ GLn (R) cho P AQ ma trận có dạng chéo diag(α1 , , αr , 0, , 0) với α1 | α2 | · · · | αr Dạng chéo gọi dạng chuẩn Smith ma trận A, phần tử αi xác định sai khác phần tử khả nghịch R, gọi ước sơ cấp (elementary divisors) hay nhân tử bất biến (invariant factors) A Nếu xem A ma trận đồng cấu f : Rn → Rm hai R-môđun tự do, ta thấy tồn dạng chuẩn Smith cho phép xác định cấu trúc môđun đối hạt nhân Rm /Im(f ) Như thế, dạng chuẩn Smith hữu ích làm việc với môđun hữu hạn sinh miền ideal Trong báo tổng quan "Smith normal form in combinatorics" gần Richard Stanley [6], tác giả trình bày số vấn đề tổ hợp có góp mặt dạng chuẩn Smith Các vấn đề dàn trải nhiều lĩnh vực: tập thứ tự phần, vành đa thức đối xứng (ring of symmetric functions), ma trận ngẫu nhiên, Một vấn đề lĩnh vực chuyên sâu cần nhiều thời gian để tìm hiểu cho lĩnh vực Trong luận văn này, đặt mục tiêu tìm hiểu dạng chuẩn Smith xuất giả thuyết Miller Reiner, giả thuyết dự đoán tồn dạng chuẩn Smith vành đa thức Z[t] (không phải PID!) toán tử cảm sinh từ tập thứ tự vi phân (differential poset) Luận văn gồm hai chương Chương I giới thiệu Định lý dạng chuẩn Smith miền ideal Chúng tơi trình bày thuật tốn tìm dạng chuẩn miền Euclide (ED) với số ví dụ tính tốn MAPLE Để chuẩn bị phát biểu giả thuyết Miller Reiner cho chương sau, chúng tơi trình bày cuối chương dạng chuẩn tham số hóa tự đồng cấu tuyến tính Trong Chương II, chúng tơi trình bày tập thứ tự vi phân định nghĩa toán tử cảm sinh từ cấu trúc vi phân Đây chủ đề thú vị cịn nhiều tốn mở để nghiên cứu Sau chúng tơi phát biểu giả thuyết Miller Reiner, điểm qua tình trạng thời giả thuyết (theo Stanley [6]) Trong phần cuối cùng, chúng tơi trình bày phác thảo chứng minh Cai Stanley [1] cho giả thuyết Miller Reiner CHƯƠNG DẠNG CHUẨN SMITH Trong chương này, chúng tơi trình bày Định lý dạng chuẩn Smith ma trận A với hệ số miền ideal R Khi vành R vành A ma trận vuông cấp n, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm dạng Smith tham số hóa, tức dạng chuẩn Smith ma trận vuông A + tIn vành đa thức R[t] Sự tồn dạng Smith tham số hóa cho ta nhiều thơng tin ma trận ban đầu Tài liệu tham khảo chương [2] [4] 1.1 Dạng chuẩn Smith miền ideal Nhắc lại miền nguyên vành giao hốn (có đơn vị = 0) tích hai phần tử khác khác Một miền ideal (principal ideal domain, PID) miền ngun ideal ideal Chẳng hạn, vành số nguyên Z hay vành đa thức biến k[X] với hệ số trường k , miền ideal Chú ý vành đa thức hệ số nguyên Z[x] miền ideal ideal sinh x khơng phải ideal Cũng vậy, vành đa thức hai biến k[x, y] khơng phải PID ideal sinh x y ideal Kí hiệu M (m × n, R) tập ma trận m-hàng n-cột với hệ số vành R Tập ma trận khả nghịch M (n × n, R) tạo thành nhóm với phép tốn nhân ma trận, kí hiệu GLn (R) Chú ý A ∈ GLn (R) khi det(A) ∈ R× (tập phần tử khả nghịch R) Ma trận đơn vị vng cấp n kí hiệu In Ma trận m-hàng n-cột có phần tử aij = i = j aii = si kí hiệu diag(s1 , , sr , 0, , 0) Ta dùng kí hiệu a | b để a ước b hay b chia hết cho a vành R Định nghĩa 1.1.1 Ma trận A ∈ M (m × n, R) gọi có dạng chuẩn Smith R tồn ma trận khả nghịch P ∈ GLm (R) Q ∈ GLn (R) cho P AQ = diag(s1 , , sr , 0, , 0) với s1 | s2 | · · · | sr Định lý 1.1.2 Mọi ma trận với hệ số miền ideal có dạng chuẩn Smith Chứng minh Để trình bày chứng minh rõ ràng hơn, thể ý tưởng cho ma trận cấp × Giả sử ma trận A có dạng: a b c d Lấy e ƯCLN a c, e = gcd(a, c) Vì ƯCLN tổ hợp tuyến tính hai thành phần ban đầu, nên ta viết e = ax + cy với x, y ∈ R Ta viết lại a = eα c = eβ với α, β ∈ R gcd(α, β) = Khi = αx + βy , đó: −1 x y α −y = −β α β x Hơn nữa, x y a b −β α c d e = bx + dy −aβ + cα −bβ + dα Mà e ước −aβ + cα, nên cách cộng bội thích hợp hàng thứ vào hàng thứ hai, ma trận trở thành: e u v Như vậy, cách nhân bên trái ma trận khả nghịch thích hợp, ta đưa ma trận A ban đầu ma trận: e u v e = gcd(a, c) Tương tự, ta áp dụng trình cho hàng ma trận này, nghĩa nhân bên phải ma trận khả nghịch thích hợp, ta thu ma trận: e1 ∗ ∗ e1 = gcd(e, u) Tiếp tục trình ta chuỗi e, e1 , e2 , với e1 ước e, e2 ước e1 , Quá trình phải dừng sau số hữu hạn bước dãy tăng ideal (e) ⊂ (e1 ) ⊂ (e2 ) ⊂ · · · phải dừng vành hệ số R xét miền ideal Thật vậy, ideal hợp i (ei ) R ideal nên có dạng ( ) với ∈ R Do ∈ i (ei ) nên phải tồn i cho ∈ (ei ) Vì ei ∈ ( ) nên ta phải có ( ) = (ei ), tức dãy ideal dừng từ vị trí i Như ta thu ma trận dạng: f f g g h h với f ước g Biến đổi sơ cấp, ta thu ma trận: f k Như vậy, cách nhân bên trái bên phải ma trận ban đầu ma trận khả nghịch, có ma trận đường chéo Khi ta đưa dạng đường chéo a , b để ma trận có dạng chuẩn Smith (tức thỏa điều kiện a ước b), ta lấy d = gcd(a, b) Ta viết d = ax + by với x, y ∈ R Hơn nữa, a = dα b = dβ với α, β ∈ R = gcd(α, β) Sau đó, ta thực loạt phép biến đổi sau: a a → b → a → ax b −bα d b → a = ax + by b −bα d = d b d −bα Mà d ước bα, ta thu ma trận dạng chuẩn Smith CHƯƠNG DẠNG CHUẨN SMITH CỦA MA TRẬN LIÊN KẾT VỚI CÁC TẬP SẮP THỨ TỰ VI PHÂN 2.1 Tập thự tự vi phân Khái niệm tập thứ tự vi phân (differential poset) Richard Stanley giới thiệu báo [5] Khái niệm tổng qt hóa tính chất đặc trưng tập thự tự Young (là tập gồm phân hoạch số tự nhiên theo quan hệ bao hàm) Dưới ta nhắc lại khái niệm tính chất đơn giản tập thứ tự vi phân dựa tài liệu [5] Trước hết ta nhắc lại tập hợp P khác rỗng với phép tốn hai ngơi ≤ gọi tập thứ tự phần (partially ordered set, poset) quan hệ thỏa mãn tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu Để đơn giản, ta thường dùng chữ poset để tập thứ tự phần Với x, y ∈ P , ta dùng kí hiệu x < y để x ≤ y x = y Ta nói y phủ x, hay x bị phủ y , x < y không tồn z cho x < z < y (tức đoạn [x, y] có hai phần tử x y ) Định nghĩa 2.1.1 (Graded Poset) Poset P gọi phân bậc P trang bị hàm thứ hạng (rank function) ρ : P → N thỏa mãn: (1) Nếu x < y ρ(x) < ρ(y) (2) Nếu y phủ x ρ(y) = ρ(x) + 15 Giá trị ρ(x) gọi hạng, hay bậc x Tập phần tử có bậc n P kí hiệu Pn Định nghĩa 2.1.2 (Differential Poset) Cho r số nguyên dương Một poset P gọi r-vi phân thỏa mãn tính chất sau: (D1) P phân bậc, hữu hạn bâc, có phần tử tối tiểu (D2) Nếu hai phần tử P phủ k phần tử có k phần tử phủ hai phần tử (D3) Nếu phần tử P phủ k phần tử bị phủ k + r phần tử Nếu poset P r-vi phân với r ta nói P poset vi phân Nhận xét đơn giản sau Stanley làm đơn giản hóa định nghĩa Mệnh đề 2.1.3 Nếu poset P thỏa mãn (D1) (D2) với x = y P , giá trị k tính chất (D2) Chứng minh Giả sử ngược lại Ta lấy x y hai phần tử thỏa mãn (D2) có hạng nhỏ cho k ≥ Khi x y phủ hai phần tử phân biệt x1 y1 hai phần tử có hạng nhỏ hạng x y thỏa mãn tính chất (D2) với giá trị k ≥ Mâu thuẫn! Ví dụ 2.1.4 (Young lattice) Một dãy số nguyên dương giảm dần λ = (λ1 , , λk ), λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λk ≥ với tổng n gọi phân hoạch n Ta kí hiệu λ n Tập tất phân hoạch n kí hiệu P (n) Với hai phân hoạch λ µ, ta định nghĩa λ ≤ µ λi ≤ µi với i Tập tất phân hoạch, với (0) xem phần tử tối tiểu nhất, với quan hệ ≤ gọi tập thứ Young (thường gọi Young lattice tài liệu tiếng anh), kí hiệu Y Đây poset phân bậc với hàm thứ hạng ρ(λ) = |λ| := i λi , tức phần tử P (n) gán bậc n Các thành phần 16 bậc nhỏ Y biểu diễn sau: (0)  (1)  " (2) (1, 1)  " (3)  (4)  $ (2, 1) "  (3, 1) (1, 1, 1) $ * % (2, 2) (2, 1, 1) * (1, 1, 1, 1) Trong biểu đồ này, ta dùng dấu mũi tên để quan hệ ≤ phân hoạch Ta thấy (2, 1) phủ phần tử (2), (1, 1) bị phủ phần tử (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1) Tương tự, (2, 1) (1, 1, 1) phủ (1, 1) bị phủ (2, 1, 1) Người ta chứng minh Y poset 1-vi phân [5] Ví dụ 2.1.5 (Young-Fibonacci lattice) Kí hiệu F (n) tập từ có dạng w = x1 x xi x1 + · · · + x = n Đặt F = n≥0 F (n) với ý F (0) có phần tử tập rỗng, kí hiệu ∅ Lưu ý, gọi fn số phần tử tập F (n), ta dễ thấy fn = fn−1 + fn−2 , f0 = f1 = (dãy Fibonacci!) Đồ thị Young-Fibonacci, kí hiệu YF đồ thị định hướng với tập đỉnh tập F , cạnh nối từ v ∈ F (n) đến w ∈ F (n + 1) hai điều sau xảy ra: (1) v nhận từ w cách thay số thành số số khơng có số bên trái (2) v nhận từ w cách bỏ số tận trái 17 Các thành phần bậc nhỏ YF biểu diễn sau: ∅   11  111  1111 #  ") 12  21  112 121 +" 211 (+ 22 Bằng cách gán hạng n cho phần tử F (n), đồ thị định hướng YF trở thành tập thứ tự phân bậc, người ta chứng minh YF poset 1-vi phân [5] Nhận xét 2.1.6 Các ví dụ poset r-vi phân, r ≥ 2, thường cho dạng tích số phiên Y số phiên YF Một câu hỏi mở lĩnh vực là: Có hay khơng poset vi phân mà khơng phải tích Y YF? (Xem https://en.wikipedia.org/wiki/Differential_poset.) Để giải thích ý nghĩa chữ "vi phân" định nghĩa, ta cần đưa toán tử sau Với vành giao hốn R, kí hiệu R[Pn ] R-mô đun tự với sở tập Pn Ta định nghĩa ánh xạ: Un : R[Pn ] → R[Pn+1 ], Dn : R[Pn ] → R[Pn−1 ] công thức Un (x) = y, Dn (x) = y, y∈C − (x) y∈C + (x) C + (x) tập phần tử phủ x C − (x) tập tử bị phủ x Như U Dn := Un−1 ◦ Dn DUn := Dn+1 ◦ Un tự đồng cấu mơ đun tự R[Pn ] Kí hiệu I ánh xạ đồng nhất, điều kiện (D2) (D3) cho ta đẳng thức sau tự đồng cấu R[Pn ]: Mệnh đề 2.1.7 DUn − U Dn = rI 18 Chứng minh Với x ∈ Pn , theo định nghĩa, ta có: DUn (x) = cy y y cy = #(C + (x) ∩ C + (y)) U Dn (x) = dy y y cy = #(C − (x) ∩ C − (y)) Từ ta thấy đẳng thức DUn − U Dn = rI với n khi với x, y ∈ P , ta có: (1) #(C + (x) ∩ C + (y)) = #(C − (x) ∩ C − (y)) x = y , (2) #C + (x) = r + #C − (x) Đây điều kiện (D2) (D3) định nghĩa poset vi phân Mệnh đề chứng minh Nhận xét 2.1.8 Nguồn gốc chữ "vi phân" poset vi phân d tốn tử nhân với x khơng gian giải thích sau Tốn tử đạo hàm dx đa thức biến x thỏa mãn d d (xf ) − x (f ) = f dx dx Quan hệ D/r U mệnh đề tương tự đẳng thức Kí hiệu pn số phần tử bậc n P , ∆pn = pn − pn−1 , Ch(A, t) = det(tI − A) (chuẩn hóa để có hệ số dẫn đầu 1) đa thức đặc trưng tốn tử A Khi R trường có đặc số không, định lý cho ta biết thơng tin đa thức đặc trưng tính chéo hóa tốn tử DUn U Dn Định lý 2.1.9 ([5]) Cho P poset r-vi phân R trường đặc số khơng Khi n (t − r(i + 1))∆pn−i Ch(DUn ) = i=0 n (t − ri)∆pn−i , Ch(U Dn ) = i=0 Hơn nữa, 19 (1) DUn U Dn tốn tử chéo hóa được; (2) Dn toàn cấu Un đơn cấu; (3) p0 ≤ p1 ≤ p2 ≤ · · · Chứng minh Chứng minh quy nạp theo n định lý tìm thấy §4 tài liệu [5] Ta trình bày lại chứng minh đẳng thức n (t − ri)∆pn−i Ch(U Dn ) = i=0 Vì Ch(U D0 ) = t nên rõ ràng đẳng thức với n = Giả sử đẳng thức đến hạng n Nhắc lại A : V → W B : W → V phép biến đổi tuyến tính với dimV = v dimW = , đa thức đặc trưng AB BA liên hệ với công thức: Ch(BA) = tv−w Ch(AB) Áp dụng điều cho Dn+1 Un ta Ch(U Dn+1 , t) = t∆pn+1 Ch(DUn , t) = t∆pn+1 Ch(U Dn + rI, t) (theo Mệnh đề 2.1.7) = t∆pn+1 Ch(U Dn , t − r) n ∆pn+1 (t − r − ri)∆pn−i = t (theo giả thiết quy nạp) i=0 n+1 (t − ri)∆pn+1−i = i=0 Vậy đẳng thức cần chứng minh với hạng n + 2.2 Giả thuyết Miller Reiner Định lý 2.1.9 cho ta nhiều thơng tốn tử DUn (và U Dn ) làm việc trường đặc số không Giả thuyết sau Miller Reiner cung cấp cho ta thông tin DUn làm việc vành số nguyên Với poset vi phân P số tự nhiên n, kí hiệu [DUn ] ma trận DUn sở tắc Z[Pn ] Giả thuyết 2.2.1 ([4]) [DUn ] có dạng Smith tham số hóa Z 20 Nhận xét 2.2.2 Từ thông tin biết từ Định lý 2.1.9, kết hợp với Mệnh đề 1.4.3, ta thấy Giả thuyết 2.2.1, đúng, xác định cách tường minh dạng chuẩn Smith DUn + tI Z[t] Cụ thể, phần tử đường chéo dạng chuẩn là: spn +1−j (t) = (t + r(i + 1)) i: ∆pn−i ≥j Như thế, ta biết dạng chuẩn Smith ma trận DUn + kI (nói riêng U Dn = DUn + rI ) Z Nhận xét 2.2.3 Theo [5], Giả thuyết 2.2.1 chứng minh cho YoungFibonacci lattice YF (và tích trực tiếp YFr ) Miller Reiner [4] Sau Cai Stanley chứng minh cho Young lattice Y [1] Một số tác giả khác (Nie, Shah) cải thiện kết này, nhiên giả thuyết mở cho trường hợp poset vi phân tổng quát 2.3 Chứng minh Cai Stanley cho Young lattice Trong phần phác thảo chứng minh Giả thuyết 2.2.1 cho Young lattice Tài liệu tham khảo báo [1] Trước hết ta phát biểu lại kết cần chứng minh cho Y Với n, kí hiệu p(n) số phân hoạch n Kí hiệu λ(n) = (p(n) − p(n − 1), , p(2) − p(1), p(1)), λ(n) phân hoạch p(n) Giả sử phân hoạch liên hợp λ(n) λ(n) = (jp(n)−p(n−1) , , j2 , j1 ), liên hợp phân hoạch λ = (λ1 , , λk ) phân hoạch λ λj = #{i | λi ≥ j} Nói riêng jp(n)−p(n−1) = n Định lý sau khẳng định Giả thuyết 2.2.1 cho trường hợp Young lattice 21 Định lý 2.3.1 ([1]) Tồn P, Q ∈ GLp(n) (Z[t]) cho P (DUp(n) + tI)Q ma trận chéo sau đây: (2.1) diag(1, , 1, αj1 , αj2 , , αjp(n)−p(n−1) ) αk = k i=1 (t) với (t) = i + t, ≤ i ≤ n − an (t) = n + + t Ví dụ 2.3.2 Với n = 6, λ(6) = (4, 2, 2, 1, 1, 1) λ(6) = (6, 3, 1, 1) Định lý cho ta biết dạng chuẩn Smith DU11 Z[t] (i + t), diag(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, + t, + t, i=1 (i + t)) 1≤i≤7,i=6 Các bước chứng minh Định lý 2.3.1 Bước Chuyển toán tử DU : Z[Yn ] → Z[Yn ] thành toán tử T1 : Λn → Λn cho T1 (v) = Ở Λ = n≥0 Λ n ∂ (p1 v) ∂p1 vành hàm đối xứng [3] định nghĩa giới hạn ngược theo n vành đa thức đối xứng Z[x1 , , xn ]Σn Vành Λ đại số đa thức Z sinh hàm đối xứng sơ cấp ek , k ≥ 1, (theo biến x1 , x2 , ,): xi1 xik ek := i1 >i2 >···>ik ≥1 Lấy tích ten xơ với Q, vành ΛQ := Q ⊗ Λ đại số đa thức Q sinh đa thức pi , i ≥ 1, pk = xk1 + xk2 + · · · Như đẳng thức T1 (v) = ∂p∂ (p1 v) hiểu lấy hàm đối xứng v nhân với p1 , viết p1 v dạng đa thức p1 , p2 , , sau lấy đạo hàm hình thức theo p1 Bước chuyển cần nhiều kiến thức tảng lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng lý thuyết hàm đối xứng Điều vượt ngồi khn khổ luận văn Chúng tơi tóm tắt ý sau, chi tiết xem [3]: (1) Với số nguyên dương n, có tương ứng một-một phân hoạch n với biểu diễn bất khả quy nhóm đối xứng Σn Q Như vậy, phân hoạch λ n tương ứng với mô-đun đơn Sλ vành nhóm Q[Σn ] 22 (2) Thơng qua hàm đặc trưng Frobenius, biểu diễn bất khả quy Sλ lại tương ứng một-một với hàm đối xứng sλ , gọi hàm đối xứng Schur tương ứng với phân hoạch λ (3) Theo quy tắc rẽ nhánh lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng (branching rule), D(λ) tương ứng với việc hạn chế biểu diễn Sλ Σn thành biểu diễn Σn−1 (hàm tử restriction lý thuyết biểu diễn) Ngược lại, U (λ) tương ứng với việc biến biểu diễn Sλ Σn thành biểu diễn Q[Σn+1 ]⊗Q[Σn ] Sλ (hàm tử induction) (4) Thông qua hàm đặc trưng Frobenius, hàm tử induction tương ứng với phép nhân với p1 hàm tử restriction tương ứng với việc lấy đạo hàm riêng theo biến p1 Bước Thay làm việc với sở tắc {sλ | λ n}, ta chuyển sang làm việc với cở sở {hλ | λ n} hλ = i hλi với hk hàm đối xứng đầy đủ hk = xi1 xik i1 ≥i2 ≥···≥ik ≥1 Tập {hλ | λ n} sở Λn nên việc chuyển sở không làm thay đổi dạng Smith tham số hóa Z Bước Định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần tập phân hoạch n để đưa ma trận T sở {hλ | λ n} theo quan hệ thành ma trận gần với ma trận tam giác Định nghĩa 2.3.3 Cho λ = (λ1 , , λi , 1) phân hoạch, i ≥ Ta định nghĩa λ+ = (λ1 + 1, , λi ) kí hiệu λ+ λ Ta gọi phân hoạch λ khởi đầu λ1 = λ2 , tận m1 (λ) = mi (λ) số thành phần λ nhận giá trị i Với phân hoạch µ, ta thấy µ xuất chuổi λt λt−1 ··· λ0 λt tận λ0 khởi đầu Một chuỗi gọi chuỗi đầy Ta đặt T (µ) = λt Định nghĩa 2.3.4 Ta định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần phân hoạch n sau: 23 tập (1) Nếu có chuỗi λt λt−1 λ0 ta định nghĩa λi ··· λj i ≤ j (2) Nếu λ µ khơng thuộc chuỗi đầy, ta định nghĩa λ µ T (λ) ≤L T (µ), ≤L quan hệ thứ tự từ điển tính từ bên trái Ta xếp hoán vị n từ lớn đến nhỏ sau: λ11 , λ12 , , λ1i1 ; λ21 , λ22 , , λ2i2 ; .; λt1 , λt2 , , λtit , (2.2) λj1 , λj2 , , λjij chuỗi đầy thứ j phân hoạch n Ví dụ 2.3.5 Để đơn giản phân hoạch (3, 2, 1) viết gọn thành 321 Các phân hoạch n = xếp theo thứ tứ giảm dần theo quan hệ sau: 6, 51, 411, 3111, 21111, 111111; 42, 321, 2211; 33; 222 Chú ý số phần tử chuỗi đầy (6, 3, 1, 1), trùng với phân hoạch liên hợp λ(6) Điều tổng quát hóa thành: Bổ đề 2.3.6 Nếu xếp theo thứ tự giảm dần giá trị i1 , , it thành phân hoạch J = (jt , , j2 , j1 ) J liên hợp phân hoạch λ(n) = (p(n) − p(n − 1), , p(2) − p(1), p(1)) Bổ đề sau mô tả vài thông tin ma trận A = (aµλ ) tốn tử T1 sở {hλ } xếp theo thứ tự Bổ đề 2.3.7 Ma trận A = (aµλ ) có tính chất đây: (1) aµλ khác khơng λ (2) aµλ = λ µ, µ = λ, T (µ) > T (λ) µ; aλλ = m1 (λ) + 1; m1 (µ) m1 (λ) + m1 (λ) + aµλ = T (µ) > T (λ) Ở ta dùng quan hệ λ > µ để λ µ λ = µ λ order!) khi λ1 + · · · + λk ≥ µ1 + · · · + µk với k µ (dominance Chứng minh Viết hλ dạng hλ1 · · · hλk · · · hλi hj1 λ1 ≥ · · · ≥ λi ≥ Từ đẳng thức hm tm = exp m≥0 i≥1 24 ti pi , i ta thu ∂hm ∂p1 = hm−1 Khi đó, ý h1 = p1 , ta có ∂ p1 hλ = (j + 1)hλ + ∂p1 k hλ1 · · · hλk −1 · · · hλi hj+1 i=1 Ta suy aλλ = j + = m1 (λ) + Giả sử µ phân hoạch thỏa mãn hλ1 · · · hλk −1 · · · hλi hj+1 = hµ , 1 ≤ k ≤ i Nếu k = λ khơng phải phân hoạch khởi đầu µ = (λ1 −1, λ2 , , λi , 1j+1 ) λ µ (ở 1j+1 để j + số liên tiếp) Trong trường hợp khác, µ có dạng µ = (λ1 , λ2 , , λr − 1, , λi , 1j+1 ) với < r ≤ i Do T (µ) = (λ1 + j + 1, λ2 , , λr − 1, , λi ) T (µ) = (λ1 + j + 2, λ2 , , λi−1 ) (khi r = r λr = 2) Chú ý T (λ) = (λ1 + j, λ2 , , λi ) nên ta suy T (µ) > T (λ) Chúng ta tách hàng cột tương ứng với chuỗi đầy trên, ma trận A có dạng khối sau:   A11 A12 · · · A1t   A21 A22 · · · A2t    A=   ··· ··· ··· ···   At1 At2 · · · Att Theo Bổ đề 2.3.7, ma trận Akl có tính chất sau: (1) Nếu k > l Akl ma trận khơng (2) Akk ma trận vng ik × ik có dạng   a1  1           a2 k = i, ≤ i ≤ n − 1, an = n + (3) Nếu k < l Akl = (bkl ij ) ma trận tam giác với phần tử đường chéo khơng Lý bkl ij = aλki λlj khác khơng, theo Bổ đề 2.3.7, ta có i − = m1 (λki ) ≥ m1 (λlj ) + = j 25 Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp theo hàng cột để đưa ma trận A + tI dạng chuẩn Smith Bước cần kỹ thuật khéo léo mang tính tổ hợp, nhiên Cai Stanley việc đưa dạng chuẩn Smith phụ thuộc vào tính chất ma trận A vừa mơ tả Ta khơng trình chi tiết phép biến đổi đây, độc giả quan tâm xem báo [1] 26 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau đây: (1) Dạng chuẩn Smith miền ideal (2) Sơ lược poset vi phân (3) Giả thuyết Miller-Reiner tồn dạng Smith tham số hóa cho tốn tử DU poset vi phân (4) Phác thảo chứng minh Cai Stanley cho giả thuyết trường hợp Young lattice Chúng tơi hi vọng tìm chứng minh đơn giản lý thuyết cho bước biến đổi cuối chứng minh Miller-Reiner Đi xa hơn, mong muốn nghiên cứu giả thuyết Miller-Reiner trường hợp tổng quát 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tommy Wuxing Cai and Richard Stanley (2015), "The Smith normal form of a matrix associated with Young’s lattice", Proc Amer Math Soc, pp 4695-4703 [2] Serge Lang (2002), Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York [3] I G Macdonald (2015), Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Classic Texts in the Physical Sciences The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [4] Alexander Miller and Victor Reiner (2009), "Differential posets and Smith normal forms", Order 26, no 3, pp 197–228 [5] Richard Stanley (1988), "Differential posets", J Amer Math Soc 1, no 4, pp 919–961 [6] Richard Stanley (2016), "Smith normal form in combinatorics", J Combin Theory Ser A, pp 476-495 28 Xác nhận cán hướng dẫn Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN Chủ tịch hội đồng 29 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN VIỆT HIẾU ĐỀ TÀI DẠNG CHUẨN SMITH VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ THEO... trận hệ số nguyên với số nguyên k , A + kI có dạng chuẩn Smith Z Như thế, A có dạng Smith tham số hóa Z, ta dự đoán dạng chuẩn Smith A + kI cách cho t = k 11 Mệnh đề sau cho ta số thông tin quan. .. đầu DẠNG CHUẨN SMITH 1.1 Dạng chuẩn Smith miền ideal 1.2 1.3 1.4 4 Thuật tốn tìm dạng chuẩn Smith miền Euclide Ví dụ với MAPLE Dạng Smith tham số