2 DẠNG CHUẨN SMITH CỦA MA TRẬN LIÊN KẾT VỚ
2.3 Chứng minh của Cai và Stanley cho Young lattice
tice
Trong phần này chúng tôi phác thảo chứng minh Giả thuyết 2.2.1 cho Young lattice. Tài liệu tham khảo là bài báo [1].
Trước hết ta phát biểu lại kết quả cần chứng minh cho Y. Với mỗi n, kí hiệu
p(n) là số phân hoạch của n. Kí hiệu λ(n) = (p(n)−p(n−1), . . . , p(2)−p(1), p(1)), như thế λ(n) là một phân hoạch của p(n). Giả sử phân hoạch liên hợp của λ(n) là
λ(n)0 = (jp(n)−p(n−1), . . . , j2, j1),
trong đó liên hợp của phân hoạch λ = (λ1, . . . , λk) là phân hoạch λ0 trong đó
λ0j = #{i|λi ≥j}.
Nói riêng jp(n)−p(n−1) =n.
Định lý sau đây chính là khẳng định của Giả thuyết 2.2.1 cho trường hợp Young lattice.
Định lý 2.3.1 ([1]). Tồn tại P, Q∈GLp(n)(Z[t]) sao cho P(DUp(n)+tI)Q là ma trận chéo sau đây:
diag(1,1. . . ,1, αj1, αj2, . . . , αjp(n)−p(n−1)) (2.1)
trong đó αk =Qk
i=1ai(t) với ai(t) = i+t, 1≤i≤n−1 và an(t) =n+ 1 +t.
Ví dụ 2.3.2. Với n = 6, λ(6) = (4,2,2,1,1,1) và λ(6)0 = (6,3,1,1). Định lý trên cho ta biết dạng chuẩn Smith của DU11 trên Z[t] là
diag(1,1,1,1,1,1,1,1 +t,1 +t, 3 Y i=1 (i+t), Y 1≤i≤7,i6=6 (i+t)).
Các bước chứng minh của Định lý 2.3.1
Bước 1. Chuyển toán tử DU : Z[Yn]→ Z[Yn] thành toán tử T1 : Λn → Λn cho bởi
T1(v) = ∂
∂p1
(p1v).
Ở đây Λ =L
n≥0Λn là vành các hàm đối xứng [3] được định nghĩa như giới hạn ngược theo n của vành các đa thức đối xứng Z[x1, . . . , xn]Σn. Vành Λ là một đại số đa thức trên Z sinh bởi các hàm đối xứng sơ cấp ek, k ≥ 1, (theo các biến
x1, x2, . . . ,):
ek := X
i1>i2>···>ik≥1
xi1. . . xik.
Lấy tích ten xơ với Q, vành ΛQ :=Q⊗Λ là một đại số đa thức trên Q sinh bởi các đa thức pi, i≥1, trong đó
pk =xk1+xk2+· · · .
Như thế đẳng thức T1(v) = ∂p∂
1(p1v) được hiểu là lấy hàm đối xứng v nhân với
p1, viết p1v dưới dạng một đa thức của p1, p2, . . ., sau đó lấy đạo hàm hình thức theo p1.
Bước chuyển này cần nhiều kiến thức nền tảng của lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng cũng như lý thuyết các hàm đối xứng. Điều này vượt ra ngoài khuôn khổ luận văn này. Chúng tôi tóm tắt các ý chính như sau, chi tiết có thể xem [3]:
(1) Với mỗi số nguyên dươngn, có một tương ứng một-một giữa các phân hoạch củan với các biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứngΣn trênQ. Như vậy, mỗi phân hoạch λ ` n tương ứng với một mô-đun đơn Sλ trên vành nhóm
(2) Thông qua hàm đặc trưng Frobenius, mỗi biểu diễn bất khả quySλlại tương ứng một-một với một hàm đối xứng sλ, gọi là hàm đối xứng Schur tương ứng với phân hoạch λ.
(3) Theo quy tắc rẽ nhánh trong lý thuyết biểu diễn của nhóm đối xứng (branch- ing rule),D(λ)tương ứng với việc hạn chế biểu diễnSλcủaΣnthành một biểu diễn củaΣn−1 (hàm tử restriction trong lý thuyết biểu diễn). Ngược lại,U(λ) tương ứng với việc biến biểu diễnSλcủaΣn thành biểu diễnQ[Σn+1]⊗Q[Σn]Sλ
(hàm tử induction).
(4) Thông qua hàm đặc trưng Frobenius, hàm tử induction tương ứng với phép nhân với p1 và hàm tử restriction tương ứng với việc lấy đạo hàm riêng theo biến p1.
Bước 2. Thay vì làm việc với cơ sở chính tắc {sλ |λ ` n}, ta chuyển sang làm việc với cở sở {hλ | λ ` n} trong đó hλ = Qihλi với hk là hàm đối xứng thuần nhất đầy đủ
hk = X
i1≥i2≥···≥ik≥1
xi1. . . xik.
Tập {hλ |λ`n} là một cơ sở của Λn nên việc chuyển cơ sở không làm thay đổi dạng Smith tham số hóa trên Z.
Bước 3. Định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập các phân hoạch củan để đưa ma trận của T trong cơ sở{hλ|λ`n} được sắp theo quan hệ này thành một ma trận gần với một ma trận tam giác trên.
Định nghĩa 2.3.3. Cho λ = (λ1, . . . , λi,1) là một phân hoạch, i ≥ 1. Ta định nghĩa λ+ = (λ1+ 1, . . . , λi) và kí hiệu λ+ - λ. Ta gọi một phân hoạch λ là khởi đầu nếu λ1 =λ2, và là tận cùng nếu m1(λ) = 0 trong đó mi(λ) là số thành phần của λ nhận giá trị i.
Với mỗi phân hoạch µ, ta thấy rằng µ chỉ xuất hiện trong một chuổi duy nhất
λt-λt−1 - · · · -λ0
trong đó λt là tận cùng và λ0 là khởi đầu. Một chuỗi như thế được gọi là một
chuỗi đầy. Ta đặt T(µ) =λt.
Định nghĩa 2.3.4. Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập các phân hoạch của n như sau:
(1) Nếu có một chuỗi λt-λt−1 - · · · -λ0 thì ta định nghĩa λi λj nếu i≤j.
(2) Nếu λ và µ không thuộc cùng một chuỗi đầy, ta định nghĩa λ µ nếu
T(λ)≤L T(µ), trong đó ≤L là quan hệ thứ tự từ điển tính từ bên trái.
Ta sắp xếp các hoán vị của n từ lớn đến nhỏ như sau:
λ11, λ12, . . . , λ1i1; λ21, λ22, . . . , λ2i2; . . .; λt1, λt2, . . . , λtit, (2.2) trong đó λj1, λj2, . . . , λjij là chuỗi đầy thứ j các phân hoạch của n.
Ví dụ 2.3.5. Để đơn giản phân hoạch (3,2,1) được viết gọn thành 321. Các phân hoạch của n = 6 được sắp xếp theo thứ tứ giảm dần theo quan hệ như sau:
6,51,411,3111,21111,111111; 42,321,2211; 33; 222.
Chú ý số các phần tử của các chuỗi đầy ở trên là (6,3,1,1), trùng với phân hoạch liên hợp của λ(6). Điều này được tổng quát hóa thành:
Bổ đề 2.3.6. Nếu sắp xếp theo thứ tự giảm dần các giá trị i1, . . . , it thành phân hoạch J = (jt, . . . , j2, j1) thì J chính là liên hợp của phân hoạch λ(n) = (p(n)−p(n−1), . . . , p(2)−p(1), p(1)).
Bổ đề sau mô tả một vài thông tin về ma trận A= (aµλ)của toán tử T1 trong cơ sở {hλ} được sắp xếp theo thứ tự ở trên.
Bổ đề 2.3.7. Ma trận A = (aµλ) có các tính chất dưới đây: (1) aµλ chỉ khác không khi λ-µ, µ=λ, hoặc T(µ)> T(λ).
(2) aµλ = 1 nếu λ-µ; aλλ =m1(λ) + 1;
m1(µ) bằng m1(λ) + 1 hoặc m1(λ) + 2 nếu aµλ 6= 0 và T(µ)> T(λ).
Ở đây ta dùng quan hệ λ > µ để chỉ λDµ và λ6=µ trong đó λDµ (dominance order!) khi chỉ khi λ1+· · ·+λk ≥µ1+· · ·+µk với mọi k.
Chứng minh. Viết hλ dưới dạng hλ1· · ·hλk· · ·hλihj1 trong đó λ1 ≥ · · · ≥ λi ≥ 2. Từ đẳng thức X m≥0 hmtm = expX i≥1 pit i i,
ta thu được ∂hm ∂p1 =hm−1. Khi đó, chú ý h1=p1, ta có ∂ ∂p1 p1hλ = (j+ 1)hλ+ k X i=1 hλ1· · ·hλk−1· · ·hλihj+11 .
Ta suy ra aλλ =j+ 1 = m1(λ) + 1. Giả sử µ là một phân hoạch thỏa mãn
hλ1· · ·hλk−1· · ·hλihj+11 =hµ, 1≤k≤i.
Nếuk = 1và λkhông phải là phân hoạch khởi đầu thì µ= (λ1−1, λ2, . . . , λi,1j+1) và do đó λ - µ (ở đây 1j+1 để chỉ j + 1 số 1 liên tiếp). Trong các trường hợp khác, µ có dạng µ = (λ1, λ2, . . . , λr −1, . . . , λi,1j+1) với 1 < r ≤ i. Do đó
T(µ) = (λ1+j+ 1, λ2, . . . , λr−1, . . . , λi) hoặc T(µ) = (λ1+j+ 2, λ2, . . . , λi−1) (khi
r = r và λr = 2). Chú ý rằng T(λ) = (λ1 +j, λ2, . . . , λi) nên ta suy ra được
T(µ)> T(λ).
Chúng ta tách hàng và cột tương ứng với các chuỗi đầy ở trên, và như thế ma trận A có dạng khối như sau:
A= A11 A12 · · · A1t A21 A22 · · · A2t · · · · · · · · · · · · At1 At2 · · · Att . Theo Bổ đề 2.3.7, các ma trận Akl có các tính chất sau: (1) Nếu k > l thì Akl là ma trận không. (2) Akk là ma trận vuông ik×ik có dạng a01 1 a02 . .. ... 1 a0i k trong đó a0i =i, 1≤i≤n−1, và a0n =n+ 1.
(3) Nếuk < lthì Akl= (bklij)là ma trận tam giác dưới với các phần tử trên đường chéo bằng không. Lý do là vì nếu bklij = aλkiλlj khác không, thì theo Bổ đề 2.3.7, ta có i−1 =m1(λki)≥m1(λlj) + 1 =j.
Bước 4. Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng và cột để đưa ma trận
A+tI về dạng chuẩn Smith. Bước này cần kỹ thuật khéo léo mang tính tổ hợp, tuy nhiên Cai và Stanley chỉ ra rằng việc đưa được về dạng chuẩn Smith chỉ phụ thuộc vào các tính chất của ma trận A vừa mô tả ở trên. Ta không trình chi tiết các phép biến đổi ở đây, độc giả quan tâm có thể xem bài báo [1].
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày các nội dung sau đây: (1) Dạng chuẩn Smith trên một miền ideal chính. (2) Sơ lược về poset vi phân.
(3) Giả thuyết của Miller-Reiner về sự tồn tại của dạng Smith tham số hóa cho toán tử DU của một poset vi phân.
(4) Phác thảo chứng minh của Cai và Stanley cho giả thuyết trên trong trường hợp Young lattice.
Chúng tôi hi vọng có thể tìm được một chứng minh đơn giản và lý thuyết hơn cho bước biến đổi cuối cùng trong chứng minh của Miller-Reiner. Đi xa hơn, chúng tôi mong muốn nghiên cứu giả thuyết Miller-Reiner trong trường hợp tổng quát.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Tommy Wuxing Cai and Richard Stanley (2015), "The Smith normal form of a matrix associated with Young’s lattice", Proc. Amer. Math. Soc, pp. 4695-4703.
[2] Serge Lang (2002), Algebra, volume 211 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York.
[3] I. G. Macdonald (2015), Symmetric functions and Hall polynomials, Ox- ford Classic Texts in the Physical Sciences. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York.
[4] Alexander Miller and Victor Reiner (2009), "Differential posets and Smith normal forms", Order 26, no. 3, pp. 197–228.
[5] Richard Stanley (1988), "Differential posets", J. Amer. Math. Soc. 1, no. 4, pp. 919–961.
[6] Richard Stanley (2016), "Smith normal form in combinatorics", J. Combin. Theory Ser. A, pp. 476-495.
Xác nhận của cán bộ hướng dẫn
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG BẢO VỆ LUẬN VĂN