.85 Trang 4 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAMĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚCĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾNKính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình.Chúng tôi gồm:TT Họ và tên NămsinhChứ
CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập- Tự do- Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KHAI THÁC, MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI ĐỊNH LÍ REIM TRONG CÁC BÀI HÌNH HỌC CỦA KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ (IMO) Đồng tác giả: Nguyễn Trường Sơn- Ngô Thị Hoa- Tô Thị Lan Nguyễn Thị Bích Ngọc- Bùi Thị Mỹ Nương Chức vụ: Giáo viên tổ Toán -Tin π π πTrường THPT Chuyên Lương Văn Tụy πĐơn vị công tác: π π π π π π π π π ππ NINH BÌNH 2022 - 2023π π π π MỤC LỤC Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Nội dung sáng kiến Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt Điều kiện khả áp dụng A Kiến thức cần nhớ B Một số ví dụ áp dụng 11 C Khai thác mở rộng số toán 42 Khai thác mở rộng hình IMO 2019 42 Khai thác mở rộng hình IMO 2018 48 Khai thác mở rộng hình IMO 2015- Ngày thứ 52 Khai thác mở rộng hình IMO 2015- Ngày thứ hai 58 Khai thác mở rộng hình IMO 2013 70 Khai thác mở rộng hình IMO 2022 76 D Bài tập tự luyện 85 E i/89 Hướng dẫn giải 86 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy ii MỤC LỤC ii/89 Kết nối tri thức với sống p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy ĐƠN XIN CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN CỘNG HỊA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP - TỰ DO - HẠNH PHÚC ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến tỉnh Ninh Bình Chúng tơi gồm: TT Họ tên Nguyễn Trường Sơn Ngô Thị Hoa Bùi Thị Mỹ Nương Nguyễn Thị Bích Ngọc Tơ Thị Lan Năm sinh 1983 1979 1978 1976 1984 Chức vụ Giáo Giáo Giáo Giáo Giáo viên viên viên viên viên Trình độ chuyên môn Cử nhân Thạc sĩ Thạc sĩ Thạc sĩ Thạc sĩ Tỉ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến 60% 10% 10% 10% 10% Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: KHAI THÁC, MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI ĐỊNH LÍ REIM TRONG CÁC BÀI HÌNH HỌC CỦA KỲ THI OLYMPIC TỐN HỌC QUỐC TẾ Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy hình học trường THCS, THPT THPT Chuyên Thời gian áp dụng: Năm học 2022 − 2023 năm học 2023 − 2024 Nội dung sáng kiến Trong chương trình mơn Tốn THPT, có nhiều định lí có cấu hình đẹp nhiều ứng dụng Vẻ đẹp của định lí huyền bí mà người giáo viên lần khám phá lại thấy có nhiều mới, lạ Nó giúp người ta có nhìn tổng quát, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ tư sáng tạo Có định lí ta sử dụng nhiều song khơng biết tên Định lí Reim định lí Học sinh từ cấp hai tới học lên cấp ba, ta sử dụng nhiều kiến thức liên quan tới nó, trước nay, sách giáo khoa tài liệu khác đề cập nhiều Tuy nhiên, giáo viên khơng có hệ thống tập mơ hình cụ thể Học sinh tiếp thu thông qua tốn cụ thể giáo viên cho, khơng biết nằm đâu, kiến thức liên quan tới tập Đặc biệt, từ kiến thức nhỏ, sách khơng phát triển, mở rộng cho tốn mới, có mơ hình đơn giản lời giản vơ đẹp Chính điều làm cho việc dạy việc học gặp nhiều khó khăn 1/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống Từ thực tế trên, chúng tơi nhận thấy tính cấp thiết phải xây dựng hệ thống tập mơ hình liên quan tới định lí Reim Sáng kiến xây dựng số mơ hình, xây dựng hệ thống tập từ dễ đến khó, làm tư liệu cho giáo viên học sinh q trình dạy học Sáng kiến chúng tơi đưa vào áp dụng, nhận hưởng ứng giáo viên học sinh, bước đầu thu kết tích cực a) Giải pháp cũ thường làm: Kiến thức định lí Reim quen thuộc với học sinh học chuyên hay không chuyên Song tập liên quan tới thường có rời rạc, khơng hệ thống Các tốn thường cho, sau giải tốn mà khơng có thêm phần phát triển, làm tập tương tự, mở rộng tốn ? Nhược điểm: ○ Định lí Reim nội dung quan trọng chương trình hình học Nhưng sách tập giáo khoa hành, sách tài liệu chuyên chưa đáp ứng yêu cầu ○ Khi soạn giảng, giáo viên bắt buộc phải tham khảo nhiều tài liệu từ nhiều phương tiện, soạn cho đối tượng học sinh luyện thi đại học thi học sinh giỏi cấp, nhiều thời gian công sức, tốn nhiều tiền bạc ○ Học sinh học tập thụ động, kiến thức đặt sẵn nên tạo thói quen nghe, ghi chép, học thuộc, chưa phát huy lực tư sáng tạo, khả tự học, tự tìm tịi, tự xử lý thơng tin học sinh ○ Người học ngày hứng thú học tập, hạn chế, chí triệt tiêu sáng tạo, ln thụ động ghi nhớ kiến thức cách máy móc ○ Do tập thiếu tính hệ thống, học sinh lại chưa đủ kĩ kinh nghiệm để hệ thống phân loại kiến thức nên em khó hiểu cách bao quát, đầy đủ dạng tập liên quan tới định lí Reim Để khắc phục hạn chế trên, việc biên soạn hệ thống tập liên quan tới định lí Reim cần thiết, vừa có ích cho thầy cho trị, vừa góp phần nâng cao chất lượng dạy giáo viên phát huy tính tích cực, lực tự học học sinh b) Giải pháp cải tiến: ? Mô tả chất giải pháp mới: ○ Trên sở tư logic, nghiên cứu thể kiến thức bao trùm từ tới phức tạp, từ dễ đến khó phù hợp với nhận thức học sinh ○ Chúng giới thiệu chi tiết tốn liên quan tới định lí Reim hệ thống lý thuyết tập có gắn kết chặt chẽ với Khi đưa thực nghiệm thầy cô giáo em học sinh say mê hình học đón nhận nồng nhiệt ○ Hệ thống tập lựa chọn đưa vào sáng kiến tập tính tốn phân loại theo mức độ nhận thức Các dạng tập xếp theo chủ đề với mức độ kiến thức tăng dần Vì vậy, hệ thống tập sáng kiến xếp từ dễ đến khó dành cho đối tượng học sinh, vừa cách hệ thống kiến thức vừa cách định hướng, dẫn dắt đưa học sinh tới chân trời tốn học, kích thích tính ham tìm tịi, ham hiểu biết rèn luyện tư sáng tạo vốn có sẵn học sinh ○ Đặc biệt học sinh từ mơ hình quen thuộc chuyển sang mơ hình phức tạp hơn, để từ em rèn luyện số kĩ đưa tốn có mơ hình phức tạp mơ hình quen thuộc, em sáng tạo hình thú vị ○ Từ tốn đơn giản, chúng tơi giới thiệu toán phát triển, toán mở rộng Giúp học sinh rèn khả tự học, tự phát triển 2/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC ? Tính mới, tính sáng tạo giải pháp: ○ Tính Trong q trình giảng dạy, chúng tơi hệ thống, đúc rút thành tính chất liên quan Các tốn xây dựng từ đơn giản tới phức tạp, từ lạ thành quen Từ có ví dụ minh họa cho việc áp dụng tính chất Giúp người học, người đọc hiểu nhớ tính chất Đặc biệt, chúng tơi đưa khám phá, mở rộng định lí hình kì thi quốc tế, giúp học sinh nhìn vào tốn đó, có đặc điểm giống mơ hình cung cấp, giải nhanh tốn ○ Tính sáng tạo + Từ tập bản, xây dựng hệ thống tập liên quan Các tập có ứng dụng giúp học sinh biến lạ thành quen, biến tập với mơ hình khó mơ hình gặp, giải tốn khó + Chúng đúc rút số mô hình quen thuộc, để từ mơ hình đó, giáo viên học sinh dễ dàng chuyển đổi để biến thành tốn có cấu hình phức tạp Học sinh từ mơ hình,các giải pháp đưa sáng tạo toán + Phát triển thành hệ thống tập liên quan tới định lí Reim cách khoa học Các tập nhóm tác giả trình bày tự luận từ dễ tới khó để tăng khả trình bày cho học sinh HSG Quốc gia Sáng kiến nêu bật lên số cách sáng tạo tốn hình học với mơ hình lạ từ mơ hình quen thuộc Chính sáng kiến thúc đẩy tinh thần say mê toán học, điều sách tài liệu tham khảo đề cập tới Hiệu kinh tế xã hội dự kiến đạt a) Hiệu kinh tế: Thực tế giảng dạy ôn luyện học sinh giỏi cấp, nhận thấy học sinh đam mê mơn tốn nói chung, hình học nói riêng thường tự tìm đến nguồn tài liệu khác Đây tín hiệu tốt thể tính tự học người học sinh Tuy nhiên, tài liệu học quỹ thời gian người học sinh không nhiều Với sáng kiến này, định hướng cho em tài liệu thiết yếu phục vụ cho việc ơn luyện Việc em có hệ thống tập, mơ hình quen thuộc hốn đổi sang mơ hình khác sáng kiến giúp ích nhiều cho em học sinh Vì việc áp dụng sáng kiến mang lại hiệu sau: ○ Tiết kiệm nhiều thời gian công sức tìm tịi tài liệu giáo viên học sinh giảng dạy học tập mơn Tốn ○ Tiết kiệm phần chi phí mua tài liệu, sưu tầm tài liệu ○ Định hướng vấn đề, nội dung kiến thức cần bồi dưỡng mời thầy tập huấn cho đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia ○ Phù hợp mục tiêu việc học tập mà UNESCO đề xướng “Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để tự khằng định mình”, việc tự học học sinh chọn vào đội tuyển học sinh giỏi quốc gia tỉnh b) Hiệu xã hội: ○ Trong trình nghiên cứu, mạnh dạn đem sáng kiến áp dụng dạy cho lớp chuyên Toán trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy, em đón nhận nhiệt tình Các em hăng say phát triển thêm toán mới, với thầy giáo tìm tịi cách giải tốn nêu Điều khiến chúng tơi vui mừng từ mơ hình sáng 3/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC kiến, nhiều học sinh tạo tốn với cấu hình phức tạp Sáng kiến góp phần rèn luyện, phát triển lực, kỹ làm việc nhóm học sinh, lực cần thiết cho hội nhập quốc tế ○ Chúng đem sáng kiến giảng dạy cho giáo viên cốt cán tỉnh đón nhận Các thầy bất ngờ định lí Reim ○ Sáng kiến áp dụng làm tăng tính chuyên cần, nâng cao tính tự lực thái độ học tập học sinh Các em học sinh từ mơ hình, giải pháp đưa sáng tạo tốn ○ Sáng kiến áp dụng góp phần giúp học sinh có niềm đam mê hứng thú học tập, hình thành phát triển giới quan, nhân sinh quan Có ý thức tương trợ giải vấn đề thực tiễn góp phần xây dựng quê hương giàu mạnh có chất lượng sống tốt ○ Góp phần nâng cao tính chun nghiệp, hợp tác với đồng nghiệp trình dạy học, tạo hội xây dựng quan hệ với học sinh Đưa mơ hình triển khai, cho phép hỗ trợ đối tượng học sinh đa dạng việc tạo nhiều hội học tập dạy học Nâng cao hiệu đào tạo, chất lượng dạy Củng cố niềm tin, sức mạnh, gắn bó với nghiệp trồng người Điều kiện khả áp dụng ? Điều kiện áp dụng: Sáng kiến nguồn tư liệu hữu ích, dễ dàng sử dụng; khơng địi hỏi u cầu kĩ thuật hỗ trợ Những phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực ứng dụng giảng cụ thể số học nên thuận lợi cho giáo viên học sinh tham khảo, tra cứu; góp phần thiết thực đổi dạy học, kiểm tra, đánh giá, nâng cao chất lượng giáo dục Đặc biệt thiết thực với học sinh say mê với mơn hình học ? Khả áp dụng: ○ Những nội dung kiến thức truyền tải tới học sinh nhiều phương pháp kĩ thuật dạy học tích cực khác nhau, phù hợp với đối tượng học sinh Vì đối tượng học sinh, khơng phân biệt trình độ nhận thức, khơng phân biệt loại hình trường lớp dễ dàng tiếp nhận kiến thức ○ Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho đối tượng học sinh giáo viên học tập, nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn ○ Hiện nay, sáng kiến tư liệu tham khảo cần thiết thiếu học sinh giáo viên Chuyên Toán trường THPT chuyên Lương Văn Tụy ○ Sáng kiến tiếp tục mở rộng phát triển tiếp năm học sau ○ Đây hoạt động dạy học tích cực thơng qua học chương trình Tốn học THPT để phát triển lực học sinh Do áp dụng thường xuyên tất học sinh THPT tất giáo viên mơn Tốn học-THPT sử dụng giải pháp điều kiện sở vật chất có tất nhà trường Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu 4/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC TT Họ tên Đỗ Thị Nhàn Năm sinh 1979 Phạm Đức Tùng 1983 Vũ Nguyễn Hoàng Anh 1994 Nơi công tác THPT Chuyên Lương Văn Tụy THPT Chuyên Lương Văn Tụy Chức vụ Giáo viên Giáo viên Trình độ chuyên môn Thạc sĩ THPT Chuyên Lương Văn Tụy Giáo viên Cử nhân khoa học Thạc sĩ Nội dung cơng việc hỗ trợ Đọc nghiên cứu lí thuyết Dạy khám phá, mở rộng IMO 2019 Dạy khám phá, mở rộng IMO 2018 Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Ninh Bình, ngày 08 tháng năm 2023 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO ĐƠN VỊ Người nộp đơn Nguyễn Trường Sơn Ngô Thị Hoa Bùi Thị Mỹ Nương Nguyễn Thị Bích Ngọc Tơ Thị Lan 5/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy PHỤ LỤC A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ c Định lí 0.1 Hai đường tròn (C1 ) (C2 ) cắt A B Cát tuyến qua A cắt đường tròn (C1 ) (C2 ) theo thứ tự S1 S2 Cát tuyến qua B cắt đường tròn (C1 ) (C2 ) theo thứ tự T1 T2 Khi S1 T1 ∥ S2 T2 S2 A S1 O1 O2 T1 B T2 |Chứng minh Ta có (T1 S1 , T1 B) ≡ (AS1 , AB) ≡ (T2 S2 , T2 B) (mod π) Suy điều phải chứng minh Định lí Reim trường hợp suy biến, mà điểm trùng ta xem cạnh điểm trùng tiếp tuyến cặp điểm trùng hai đường trịn tiếp xúc với Sau trường hợp suy biến ○ Hai điểm S1 , T1 trùng AS1 khơng tiếp tuyến đường trịn (O2 , A) S2 A S1 ≡ T1 O1 O2 B T2 6/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC ○ AS1 tiếp tuyến đường tròn (O2 , A), hai điểm S1 , T1 không trùng A ≡ S2 O1 O2 T1 B S1 T2 ○ AS1 tiếp tuyến đường tròn (O2 , A), hai điểm S1 , T1 trùng A ≡ S2 O1 O2 T2 B S1 ≡ T1 ○ AS1 tiếp tuyến đường tròn (O2 , A), BT1 tiếp tuyến đường tròn (O2 , A) T1 A ≡ S2 O1 O2 B ≡ T2 S1 7/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 75 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC c Câu Cho tam giác ABC với đường cao BM, CN Trên cạnh BC lấy điểm V Đường thẳng qua V vuông góc với AB cắt đường thẳng qua B vng góc với BC X Đường thẳng qua V vng góc với AC cắt đường thẳng qua C vng góc với BC Y Đường thẳng qua X vng góc với AC cắt đường thẳng qua Y vng góc với AB P Đường thẳng M N theo thứ tự cắt P X, P Y Q, R Chứng minh đường tròn (P QR) tiếp xúc với đường thẳng BC Ê Lời giải P A R Y M Q N J X I B V D W C Gọi W điểm đối xứng V qua D gọi D, I, J theo thứ tự trung điểm đoạn BC, W X, W Y Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ta có DI ∥ V X Lại có V X ⊥ AB nên DI ⊥ AB Điều dẫn tới DI ∥ CN Mặt khác D trung điểm đoạn BC, suy DI qua trung điểm đoạn BN Suy DI trung trực đoạn BN Do IB = IN Lại có tam giác BXW vng B nên IB = IX = IW Do tứ giác BXN W nội tiếp Mặt khác tứ giác BCM N nội tiếp đường trịn ’ ÷ ’ ÷ Ta có N QX = N MB = N CB = N BX Suy tứ giác BXN Q nội tiếp, hay Q nằm đường tròn (W X) Chứng minh tương tự ta có C, Y, R, W, M đồng viên ÷ = 90◦ ⇒ P ÷ Ta có XQW QW = 90◦ ÷ Chứng minh tương tự ta có P RW = 90◦ Do tứ giác P QW R nội tiếp Mặt khác RW ⊥ P Y P R ⊥ AB nên RW ∥ AB ÷ = QN ’ ’ ÷ Do tứ giác BN QW nội tiếp nên QRW A = 180◦ − QN B = QW B Suy BC tiếp xúc với đường trịn (QRW ) Ta có điều phải chứng minh 75/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 76 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC Khai thác mở rộng hình IMO 2022 c Câu (IMO 2022) Cho ngũ giác lồi ABCDE với BC = DE Giả sử có điểm T ’ =T ’ nằm ABCDE cho T B = T D, T C = T E ABT EA Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD, CT điểm P, Q P, B, A, Q theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD DT điểm R, S điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự đường thẳng Chứng minh điểm P, S, Q, R đồng viên S Q A G H B E T P C D R 7Lời bình Bài tốn khơng làm khó học sinh, song giải xong tốn ta chưa cảm nhận hay toán đồng thời chưa rèn luyện tư quan sát Chính việc mở rộng tốn cần thiết Lời giải toán trình bày chi tiết, lời giải cách hai thấy mấu chốt ’ ’ lời giải ta thu kết BT C = DT E Kết dẫn đến ∆QBC v SED nhận TS TB tỉ số = TQ TE TS TD Từ dẫn đến quan hệ đồng dạng tam giác T QS T DC Suy = Điều dẫn đến TQ TC 76/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 77 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC TD TB = TE TC Đề bài toán cho T B = T D, T C = T E để nhận hai tỉ số Do ta tổng quát lên T B · T C = T D · T E ’ ’ ’ ’ Lại đến ý BT C = DT E tương đương với BT D = CT E Suy S∆T BD = S∆T CE Do giả thiết T B = T D, T C = T E thay S∆T BD = S∆T CE giả thiết BC = DE có ’ ’ thể thay giả thiết BT C = DT E Ta đến mở rộng cho toán phải đảm bảo ta c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE Giả sử có điểm T nằm ABCDE cho ’ ’ ’=T ’ BT C = DT E, ABT EA S∆T BD = S∆T CE Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD, CT điểm P, Q P, B, A, Q theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD DT điểm R, S điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự đường thẳng Chứng minh điểm P, S, Q, R đồng viên Ê Lời giải ’ ’ ’ ’ Ta có BT C = DT E ⇒ BT D = CT E 2ST BD 2ST CE TB TD Ta có T B · T D = = = TC · TE ⇒ = TE TC ’ ’ sin BT D sin CT E ’ ’ BT D = CT E ’ ’ ⇒ ∆T BD v ∆T EC(c.g.c) ⇒ BT Q = ST E Ta có T B TD = TE TC T Q = T B = T D ’ ’ TE TC Kết hợp với T BA = T EA ta suy ∆QT B v ∆ST E(g.g) Suy T S ’ ’ T QB = T SE ’ Suy ∆T QS v ∆T DC(c.g.c) ⇒ T QS = T’ DC ’ ’ ’ ’ − DSR ’ = DRS ’=P ’ Ta có P QS = T QS − T’ QB = T’ DC − T SE = SDP RS Do bốn điểm P, S, Q, R đồng viên 7Lời bình Bài tốn dù mở rộng thú vị tốn đầu Song ta mở rộng táo bạo cách tách điểm thành nhiều điểm Cụ thể, cách kiểm chứng cẫn đảm bảo số yếu tố then chốt giả thiết, ta tách điểm T thành nhiều điểm c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE Giả sử có điểm T nằm ABCDE cho ’ = V’ S∆T BC = S∆T DE Lấy điểm U, V đoạn T C, T D cho ABU EA, ’ ’ BU C = DV E Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD, CT điểm P, Q P, B, A, Q theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD DT điểm R, S điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự đường thẳng Chứng minh bốn điểm P, S, Q, R đồng viên bốn điểm C, D, U, V đồng viên Ê Lời giải Ta xây dựng số tính chất sau đây: ’ ’ ’ ’ i) Ta có BU C = DV E ⇒ BU Q = SV E QU SV ’ = V’ Kết hợp với ABU EA, ta có ∆QBU v ∆SEV (g.g) ⇒ = BU EV (1) ’ ’ BU · T C · sin BU C EV · T D · sin DV E = ⇒ BU · T C = EV · T D 2 QU SV TC SV Kết hợp với (1), ta có QU · T C = · BU · T C = · EV · T D = SV · T D ⇒ = (2) BU EV TD QU ii) S∆T BC = S∆T DE ⇒ ’ = DSR ’ = α Khi P ’ ’ − CQP ’ = CQS ’ − α P ’ ’ = CDS ’− iii) Đặt CQP QS = CQS RS = DRS ’ = CDS ’ − α DSR 77/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 78 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC Từ tính chất ta suy S Q A B T U P C E V D R ○ Xét bốn điểm P, Q, R, S đồng viên ’ = SRP ’ Từ (iii) suy CQS ’ = CDS, ’ suy tứ giác CDQS nội tiếp Khi SQP TC TS Suy T Q · T C = T S · T D ⇒ = TD TQ TS SV = Kết hợp với (2) ta có QU TQ ’ = CDS ’ = CDV ’ Áp dụng định lí Thales đảo ta có U V ∥ QS ⇒ T’ U V = CQS Do bốn điểm C, D, U, V đồng viên ○ Xét bốn điểm C, D, U, V đồng viên TC TV Khi T U · T C = T V · T D ⇒ = TD TU SV TV Kết hợp với (2) ta có = QU TU ’ = T’ ’ = CDS ’ Áp dụng định lí Thales đảo ta có U V ∥ QS ⇒ CQS U V = CDV ’ ’ Do từ (iii) ta suy P QS = P RS Do bốn điểm P, Q, R, S đồng viên 78/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 79 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE Giả sử có điểm U, V nằm ABCDE cho ’ = V’ ∆U BD, ∆V EC đồng dạng ngược hướng ABU EA Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD, CV điểm P, Q P, B, A, Q theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng CD DU điểm R, S điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự đường thẳng Chứng minh bốn điểm P, S, Q, R đồng viên CD ∥ U V Ê Lời giải S Q A N M B U V E P C D R ○ Xét CD ∥ U V Gọi = DU ∩ AB N = DU ∩ AE ’ = V’ Do hai tam giác ∆U BD, ∆V EC đồng dạng ngược hướng ABU EA nên hai tam giác ∆M BD, ∆N EC đồng dạng ngược hướng UM VN Suy = UD VC Do U V ∥ CD nên theo định lí Thales đảo ta có M N ∥ CD ÷ ’ Lại từ hai tam giác ∆M BD, ∆N EC đồng dạng ngược hướng ta có BM D = CN E Do tứ giác SQN M nội tiếp ’ = SQM ’ = SN ÷ ’ Do tứ giác P SQR nội tiếp Do SQP M = SRP ○ Xét tứ giác P SQR nội tiếp ’ = V’ Do hai tam giác ∆U BD, ∆V EC đồng dạng ngược hướng ABU EA nên hai tam giác 79/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 80 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC ÷ ’ ∆M BD, ∆N EC đồng dạng ngược hướng.Suy BM D = CN E Do tứ giác SQN M nội tiếp Theo định lí Reim ta có M N ∥ P R Lại từ hai tam giác ∆M BD, ∆N EC đồng dạng ngược hướng ta có Theo định lí Thales đảo ta có U V ∥ CD UM VN = UD VC ’ c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE Giả sử có điểm T nằm ABCDE cho BT C= ’ ’=T ’ DT E ABT EA Đường thẳng AB cắt đường thẳng CT điểm Y B, A, Y theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng T D điểm X điểm X, A, E nằm theo thứ tự đường thẳng Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn ngoại tiếp tam giác AEY ABX qua điểm T Ê Lời giải X Y A B M N E T D C Xét hình vẽ Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng T X với đường tròn (ABX), N giao điểm thứ hai đường thẳng T Y với đường tròn (AEY ) Ta có: ’ ’ = 180◦ − BAX ’ = 180◦ − BM ÷ ÷ T’ N E = 180◦ − EN Y = 180◦ − EAY X = BM T ’ ’ ’ ’ ’ ÷ ET N =N T D − DT E=M T C − BT C=M T B Suy hai tam giác ∆BM T v ∆EN T (g.g) (1) ’ ’ ’ ’ Lại có BT Y = XT E Y BT = T EX Suy hai tam giác ∆BY T v ∆EXT (g.g) (2) TM TB TY Từ (1) (2) suy = = ⇒ T M · T X = T Y · T N Suy T thuộc trục đẳng phương TN TE TX hai đường tròn (ABX) (AEY ) 80/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 81 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE với BC = DE Giả sử có điểm T nằm ’ = T ’ ABCDE cho T B = T D, T C = T E ABT EA Đường thẳng AB cắt đường thẳng CT điểm X B, A, X theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng DT điểm Y điểm E, A, Y nằm theo thứ tự đường thẳng Gọi Q = AB ∩ CY, P = AE ∩ DX Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn (P EX) (QBY ) qua điểm T Ê Lời giải Y X A M N L Q K B P E T C D Gọi K = T C ∩ AE, L = T D ∩ AB, M giao điểm thứ hai đường thẳng T C với đường tròn (P EX) ( N giao điểm thứ hai đường thẳng T D với đường tròn (QBY ) ’ = Y’ XBT ET Ta có ⇒ ∆XBT v ∆Y ET (g.g) ’ BT X = Y’ TE ’ = EY ’ BXT T Suy T X TB TD = = TY TE TC Suy DCY X nội tiếp ’ ’ ’ ’ ’ ’ Ta có ∆T BC = ∆T DE ⇒ BT C = ET D ⇒ BT D = ET C ⇒ LT B = ET K ’ ’ Suy ∆KT E v ∆LT B(g.g) ⇒ BLT = EKT Suy tứ giác KLY X nội tiếp Áp dụng định lí Reim ta suy KL ∥ DC Ta có ÷ = 180◦ − XKY ÷ = 180◦ − KLY ’ =Y ’ XKP LQ ÷ = CXD ’ = CY ’ ’ KXP D = QY L 81/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 82 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC Do ∆XKP v ∆Y LQ(g.g) Lại có ’ = LBT ’ KET ’ = XKY ÷ = XLY ’ =T ’ EKT LB Do ∆T KE v ∆T LB(g.g) Ta có KM ·KX = KP ·KE LN ·LY = LQ·LB Khi KP KE LY KX T K LY KM = · · = · · = NL LQ LB KX LY T L KX TK TL Áp dụng định lí Thales đảo ta có M N ∥ KL ∥ CD Mà tứ giác DCY X nội tiếp nên tứ giác M N Y X nội tiếp hay T M · T X = T N · T Y , suy điều phải chứng minh 7Lời bình Ý tưởng giải hai tốn giống Cái khó tốn cần thông qua nhiều kết trung gian để tới kết T M · T X = T N · T Y Tiếp theo, thay đổi cách nhìn tốn, cụ thể thay đổi việc thiết lập đường tròn ngoại tiếp cho tam giác thu tốn sau: c Câu Cho ngũ giác lồi ABCDE với BC = DE Giả sử có điểm T nằm ’=T ’ ABCDE cho T B = T D, T C = T E ABT EA Đường thẳng AB cắt đường thẳng CT điểm X B, A, X theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng AE cắt đường thẳng DT điểm Y điểm E, A, Y nằm theo thứ tự đường thẳng M giao điểm thứ hai đường thẳng CE với (CBX), N giao điểm thứ hai đường thẳng BD với (DEY ) Gọi K = M N ∩ AB, L = AE ∩ M N Chứng minh bốn điểm B, E, K, L đồng viên Ê Lời giải X Y M K L N A E B T C 82/89 D p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 83 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC ( ’ = Y’ XBT ET ’ = EY ’ ⇒ ∆XBT v ∆Y ET (g.g) ⇒ BXT T ’ BT X = Y’ TE ’ ’ ’ ’ = BM ÷ ÷ Suy BN E = EN D = EY D = CXB C = EM B Do BEM N nội tiếp T B = T D ’ = CET ’ Ta có T C = T E ⇒ ∆T DB v ∆T EC ⇒ DBT ’ ’ ’ ’ ’ ’ DT B = DT C + BT C = DT C + DT E = ET C ’ = AEC ’ ⇒ KBN ÷ = LEM ’ Suy ABD ’ = 180◦ − LEM ’ − LM ’ ’ − KBN ÷ = KBE ’ Ta có ALK E = EBN Vậy tứ giác BELK nội tiếp , suy điều phải chứng minh Ta có 7Lời bình Cuối cùng, sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để khai thác cấu hình tốn Đầu tiên, quan sát toán gốc cần ý đến giả thiết mang tính tổng quát ’=T ’ Chẳng hạn ta thấy tốn ban đầu có giả thiết hai góc đối ABT EA, điều khiến ta liên tưởng tới hình bình hành Ta có tốn sau: c Câu Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử có điểm T nằm ABCDE cho ’ ’ BT C = AT D Đường thẳng qua A song song với T B cắt đường thẳng DT điểm X D, T, X theo thứ tự nằm đường thẳng Đường thẳng qua B song song với T A cắt đường thẳng CT điểm Y điểm C, T, Y nằm theo thứ tự đường thẳng Đường thẳng nối trung điểm hai đoạn thẳng BX, AY cắt đường thẳng AX, BY K, L Chứng minh bốn điểm A, B, K, L đồng viên Ê Lời giải G X H Y N I L M K A B S T J D 83/89 C p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 84 MỤC LỤC Kết nối tri thức với sống 7Cách Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BX, AY G, H theo thứ tự điểm đối xứng T qua M, N Suy BGXT, AHY T hình bình hành Lại có AX ∥ T B BY ∥ T A nên G ∈ AX, H ∈ BY T’ AX = T’ BY ’ ’ ’ ’ Vì BT C = AT D nên BT Y = AT X ’ ’ Do ∆AXT v ∆BY T (g.g) ⇒ BY T = AT X ’ ’ ’ ’ Suy AGB = AXT = BY T = BHA, Do tứ giác AGHB nội tiếp Mặt khác, M N ∥ GH nên KL ∥ GH Áp dụng định lí Reim ta thu bốn điểm A, B, K, L đồng viên, suy điều phải chứng minh 7Cách Gọi M, N, S theo thứ tự trung điểm BX, AY, AB, I = AX ∩ BY J giao điểm thứ hai hai đường tròn (AY I) (BXI) ‘ Ta có AT BI hình bình hành nên S trung điểm đoạn AB T‘ AI = IBT Theo toán 5, ta có T, I, J thẳng hàng, hay bốn điểm I, J, S, T thẳng hàng Ta có ∆JAY ∆JXB đồng dạng hướng, hai tam giác ∆JY N ∆JBM đồng dạng ’ ‘ hướng Suy hai tam giác ∆JN M ∆JY B đồng dạng hướng Do LM J = LBJ Vậy bốn điểm J, B, M, L đồng viên Suy J điểm Miquel tứ giác toàn phần tạo bốn đường thẳng (AX, BY, BX, M N ) nên J ∈ (IKL) Áp dụng bổ đề hình thang với hình thang IXBT ta có SM ∥ IX Áp dụng định lí Reim đường trịn (JBXI) với ý M ∈ XB, S ∈ IJ SM ∥ IX nên suy bốn điểm J, S, M, B đồng viên Suy năm điểm J, S, L, M, B đồng viên ‘ = IJL ‘ = SJL ‘ = SBL ’ = ABL ’ Vậy bốn điểm A, B, K, L đồng viên Suy IKL 84/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 85 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC D – BÀI TẬP TỰ LUYỆN c Câu Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) đường cao AH Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC D Gọi K trung điểm AH, dựng hình chữ nhật KHDL Dựng hình thang cân ABCF (AF ∥ BC) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABF Chứng minh a) Ba điểm J, I, D thẳng hàng b) Đường tròn (L, LD) tiếp xúc đường tròn (O) c Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy E, F trung điểm AB, AC Gọi H chân đường cao từ A đến BC G trọng tâm tam giác ABC Đường tròn ω đường tròn qua E, F tiếp xúc với (O) X khác A Chứng minh rằng: ’ = CXF ’ a) BXE b) H, G, X thẳng hàng c Câu Cho tam giác ABC Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu A, C tương ứng lên đường BC, AB M, N theo thứ tự trung điểm đoạn BC, AC Chứng minh đường đối trung kẻ từ A, M N DE đồng quy c Câu (Chọn đội tuyển trường THPT Năng Khiếu TPHCM 2022) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có B, C cố định (BC khơng qua O), A điểm thay đổi cung lớn BC (O) Gọi I, M, N theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Đường tròn qua M tiếp xúc với BC B đường tròn qua N tiếp xúc với BC C cắt IM, IN E, F Gọi D = BE ∩ CF a) Chứng minh AD qua điểm cố định b) Gọi K giao điểm AD EF Chứng minh K thuộc đường tròn cố định 85/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 86 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC E – HƯỚNG DẪN GIẢI c Câu Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC) đường cao AH Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC D Gọi K trung điểm AH, dựng hình chữ nhật KHDL Dựng hình thang cân ABCF (AF ∥ BC) Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABF Chứng minh a) Ba điểm J, I, D thẳng hàng b) Đường tròn (L, LD) tiếp xúc đường tròn (O) Ê Lời giải N A F E P J K L I B O C H D M a) Gọi DE đường kính (L), dễ thấy AE ∥ BC nên E ∈ AF ’ ‘ = 90◦ + C = 90◦ + AF B = AJB ’ nên tứ giác AJIB nội tiếp Ta có AIB 2 ’ = 90◦ − IBD ’ = BAJ, ’ suy J, I, D thẳng hàng Từ đó, ý AF ∥ BC nên BID b) Ta có (J) tiếp xúc với AF E Gọi M , N điểm cung nhỏ BC AF M N đường kính đường trịn (O) ’ ’I nên hai tam giác cân AN J IM B đồng dạng Lại có AN J = BM Lại có hai tam giác vuông đồng dạng AEJ IDB nên hai tam giác AN E IM D đồng dạng ’ ’ Suy AN E = IM D hay N E M D cắt P thuộc (O) ◦ ÷ Do M N đường kính (O) nên M P N = 90 , suy P ∈ (L) Mặt khác DE ∥ M N nên (L) tiếp xúc (O) P 86/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 87 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC c Câu Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy E, F trung điểm AB, AC Gọi H chân đường cao từ A đến BC G trọng tâm tam giác ABC Đường tròn ω đường tròn qua E, F tiếp xúc với (O) X khác A Chứng minh rằng: ’ = CXF ’ a) BXE b) H, G, X thẳng hàng Ê Lời giải A Z Y Q E W F O G H B D C X a) Nếu AB = AC khẳng định cần chứng minh hiển nhiên Nên khơng tính tổng quát, ta giả sử AB < AC Gọi tiếp tuyến đường tròn (O) A X a x Gọi Y, Z giao điểm XE, XF với (O) Vì X tâm vị tự ω (O) nên Y Z//EF//BC ’ = BXY ’ = CXZ ’ = CXF ’ (đpcm) Vì ta có BXE b) Ta có đường trịn (AEF ) ảnh đường trịn (ABC) theo phép vị tự tâm A tỉ số − Vì vậy, a trục đẳng phương (AEF ) (ABC) Xét đường tròn (O), (AEF ), ω có a trục đẳng phương (O) (AEF ), EF trục đẳng phương (AEF ) ω, x trục đẳng phương ω (O) Vì a khơng song song với EF nên a, x EF đồng quy, ta gọi điểm đồng quy điểm W ÷ ÷ ÷ = 90◦ , Gọi D trung điểm BC, Q hình chiếu D lên EF Ta có W AO = W QO = OXW nên điểm A, W, X, O, Q nằm đường tròn Mặt khác, X H đối xứng với A qua OW , EF nên ta có ÷ ÷ = AXW ÷=W ÷ ÷ W QH = AQW AX = W QX Nên điểm Q, H, X thuộc đường thẳng, ta gọi l đường thẳng Xét phép đối xứng f tâm G, tỉ số − biến tam giác ABC thành tam giác DEF , f biến đường cao AH thành đường cao DQ Vì phép đối xứng f biến H thành Q, nên ta có H, G, Q thẳng hàng ta có G thuộc l, ta có đpcm 87/89 p Sáng kiến 2023 – Ơ Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy 88 Kết nối tri thức với sống MỤC LỤC c Câu Cho tam giác ABC Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu A, C tương ứng lên đường BC, AB M, N theo thứ tự trung điểm đoạn BC, AC Khi đường đối trung kẻ từ A, M N , DE đồng quy Ê Lời giải Gọi L = DE ∩ M N Ta cần chứng minh AL đường đối trung tam giác ABC Áp dụng định lí Reim đường tròn (AEDC) với ý L ∈ ED, N ∈ AC AB ∥ N L nên suy bốn điểm C, D, N, L đồng viên Do tam giác ADC vuông N trung điểm đoạn AC nên A N N A = N C = N D E Lại có ∆N DM v ∆N LD ⇒ N D2 = N M · N L Do N A2 = N M · N L, suy N A tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AM L Do ∠M AC = ∠N AM = ∠ALM = ∠LAB Điều chứng tỏ AL đường đối trung tam giác ABC B M D C L d Nhận xét Đường A− đối trung, B− đối song cao ( đường thẳng qua chân hai đường cao kẻ từ đỉnh A, C tam giác) C− trung bình đồng quy 88/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí Pi, Hội Tốn học Việt Nam [2] Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ, ,Nhà xuất giáo dục Việt Nam [3] Diễn đàn toán học https://diendantoanhoc.net [4] AoPS Forum https://artofproblemsolving.com [5] Trần Quang Hùng, Tuyển chọn chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [6] TS Nguyễn Ngọc Giang ( Chủ biên) - Lê Viết Ân, Sáng tạo hình học, NXB ĐHQG Hà Nội [7] Nguyễn Trường Sơn, Định lí điểm Miquel tam giác, Hội thảo khoa học chuyên đề tổ chức Ninh Bình 2019 89/89 p Sáng kiến 2023 – Ô Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy