100 BAI HINH HOC ON VAO 10 VA BAI GIAI PHAN 2

Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng na[r]

Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tt AB AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E

1 C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE.AD.

3 C/m góc AOC ACB  và BDC cân. CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m) 2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh

ADB ∽ ABE , có E chung

Sđ ABE = 12 sđ cung BE (góc tt dây) Sđ BDE =

2 sđ BE (góc nt chắn BE ) 3/C/m AOC ACB 

* Do ABOC nt AOC ABC  (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt caét

nhau) ABC cân AABC ACB   AOC ACB 

* sñ ACB =

2 sđ BEC (góc tt dây); sđ BDC =

2 sđ BEC (góc nt)

 BDC =ACB mà ABC =BDC (do CD//AB)  BDC BCD  BDC cân B

4/ Ta có I chung; IBE ECB  (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)

IBE∽ICB IEIB=IBIC  IB2=IE.IC

Xét IAE ICA có I chung; sđ IAE = 21 sđ (DB BE   ) mà BDC cân B

 

DB BC sñ IAE=

    sñ (BC-BE) = sñ CE= sñ ECA

2

IAE∽ICA IAIC=IE

IA IA2=IE.IC Từ uvàvIA2=IB2 IA=IB I

E

D

C B

O A

Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp

trong (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ABC vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh

hình tạo

Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường trịn)AC’A’C hình chữ

nhật

3/ C/m: AKHC thang cân:

 ta có AKC=AHC=1vAKHC nội tiếp.HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà OAC cân OOAC=OCAHKC=HCAHK//ACAKHC hình thang

 Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH) KAO+OAC=KCH+OCAHình

thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân

4/ Khi Quay  ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong

BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón Sxq= 12 p.d= 12 2.BH.AB=15

V= 13 B.h= 13 BH2.AH=12

Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vng góc với MQ M

cắt (O) P

1 C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2 Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP

H K C' C A' A O B

1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4  AB=5; ABA’ vng BBH2=AH.A’H

A’H= BH AH =

9 AA’=AH+HA’= 254 AO= 258

3 Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr: a/ MH.MQ= MP2.

b/ MP tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp QHP

và CM=QD  CP=QD  sñ CSP= 12 sñ(AQ+CP)= sñ CSP= 12 sđ(AQ+QD) =

1

2 sđAD=45

o.Vậy CSP=45o.

3/ a/ Xét hai tam giác vuông: MPQ MHP có : Vì  AOM cân O; I trung

điểm AO; MIAOMAO tam giác cân M AMO tam giác 

cung AM=60o vaø MC = CP =30o

 cung MP = 60o  cung AM=MP  goùc MPH=

MQP (góc nt chắn hai cung nhau.)MHP∽MQP đpcm

b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  QHP

Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp QHP.Do cung AQ=MP=60o HQP cân H

QHP=120o

J nằm đường thẳng HO HPJ tam giác mà

HPM=30o

MPH+HPJ=MPJ=90o hay JPMP P nằm đường tròn ngoại

tiếp HPQ đpcm

Bài 54:

Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vng góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vng góc với BC O cắt AM D

1. C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn

2. C/m AC//MO vaø MD=OD

3. Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF 1/ a/ C/m MPOI thang vng

Vì OIMI; COIO(gt) CO//MI mà MPCO MPMIMP//OIMPOI thang vuông

b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông IMP=1v hay QMP=1v QP đường kính (O) Q; O; P thẳng hàng

2/ Tính góc CSP: Ta có

tích phần tạo hai tt với đường tròn trường hợp

C/mMD=OD Do OD//MB (cùng CB)DOM=OMB(so le) mà

OMB=OMD(cmt)DOM=DMODOM cân Dđpcm

3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ EAM= 12 sd cungAE(góc tt dây)

Sđ AFM= 12 sđcungAE(góc nt chắn cungAE) EAM=A FM MAE∽MFAđpcm

4/Vì AMB tam giác đềugóc OMA=30oOM=2OA=2OB=2R

Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB Ta có AB=AM= √OM2

−OA2 =R √3 S AMBO=

2 BA.OM=

1

2 2R R

√3 = R2 √3  Squaït= πR

.120

360 =

πR2

3 S= R

√3 - πR

2 =

(3√3− π)R2

3

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 55:

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1. C/m AMN=BMC

2. C/mANM=BMC

3. DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FEAx

4. Chứng tỏ M trung điểm DC d

H C

E O F

B

A D

1/Chứng minh

OBM=OAM=OHM=1v 2/C/m AC//OM: Do MA vaø

MB hai tt cắt BOM=OMB MA=MB MO đường trung trực ABMOAB

1/C/m AMN=BMA

Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NMDCNMC=1v vậy:

AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v AMN=BMA

2/C/m ANM=BCM:

Do cung AM=MB=90o.

dây AM=MB MAN=MBA=45o.(AMB vuông cân

ở M)MAN=MBC=45o

Theo c/mt CMB=AMN ANM=BCM(gcg)

3/C/m EFAx

Do ADMN ntAMN=AND(cùng chắn cung AN)

Do MNBC ntBMC=CNB(cùng chắn cung CB)

Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)

Ta laïi có AND+DNA=1vCNB+DNA=1v ENC=1v mà EMF=1v EMFN nội

tiếp EMN= EFN(cùng chắn cung NE) EFN=FNB  EF//AB mà ABAx  EFAx

4/C/m M trung điểm DC:

Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN).

NMC vng cân M MN=NC Và NDC vuông cân NNDM=45o

MND vuông cân M MD=MN MC= DM đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 56:

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I K

giao điểm AC với DE BC với DF

1. C/m AECD nt

2. C/m:CD2=CE.CF

3. Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE

Hình 55 554

1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF.

Xét hai tam giác CDF CDE có:

-Do AECD ntCED=CAD(cùng chắn cung CD)

-Do BFCD ntCDF=CBF(cùng chắn cung CF)

Mà sđ CAD= 12 sđ cung BC(góc nt chắn cung BC)

Và sđ CBF= 12 sđ cung BC(góc tt dây)FDC=DEC

Do AECD nt vaø BFCD nt DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Maø MBD=DAM(t/c hai tt

cắt nhau)DCF=DCE.Từ uvà vCDF∽CEDđpcm

3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD

 xCF= xCE.ñpcm

4/C/m: IK//AB

Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)

Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE)

ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)CBA=CDI.trong CBA có

BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn

cung CK)KIC=BACKI//AB

Bài 57:

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

x K

I D

F

E

M O

B A

C

1/ C/m:BM//OP:

Ta có MBAM (góc nt chắn nửa đtròn) OPAM (t/c hai tt cắt nhau)  MB//OP

2/ C/m: OBNP hình bình hành:

Xét hai  APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP 

POA=NBO (đồng vị)APO=ONB PO=BN Mà OP//NB (Cmt)  OBNP

hình bình hành

3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:

Ta có: PMOJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ONABONOJI trực

tâm OPJIJOP

-Vì PNOA hình chữ nhật P; N; O; A; M nằm đường trịn tâm K, mà

MN//OP MNOP thang cânNPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chaén

cung NM) IPO=IOP· · IPO cân I Và KP=KOIKPO Vậy K; I; J thẳng

haøng



Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1. C/m ABI vuông cân

2. Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

3. C/m JDCI nội tiếp

Q J

K

N

I P

O

A B

M

AK qua trung điểm DH

ABC vuông cân C Mà BtAB có góc CAB=45 o ABI vng cân B

2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xét hai ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA= 12 sđ cung AC =45o

Mà  ABI vuông cân BAIB=45 o.CDA=AIBADC∽AIJđpcm

3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v CDJ+CIJ=2vCDJI nội tiếp

4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v

và KDB+KDJ=1vKJD=JDKKDJ cân K KJ=KD KB=KJ

-Do DH vaø JBAB(gt)DH//JB Aùp dụng hệ Ta lét tam giác

AKJ AKB ta có: DN JK = AN AK ; NH KB = AN AK  DN JK = NH

KB maø JK=KBDN=NH

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 59:

Cho (O) hai đường kính AB; CD vng góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M

1. Chứng minh: NMBO nội tiếp

2. CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3. C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM

4. Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác Hình 58 554 N H J K I C O A B D

1/C/m ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)ABC vng C.Vì OCAB trung điểm OAOC=COB=1v

sñ DMB= 12 sñcung DB=45o.

AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc ngồi góc

AMB

3/C/m: AM.DN=AC.DM

Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)AMC∽DMNđpcm

4/Khi ON=NM ta c/m MOB tam giác

Do MN=ONNMO vcân NNMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v

NOM+MOB=1vOMB=MOB.Mà OMB=OBM OMB=MOB=OBMMOB laø

tam giác

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường trịn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d

1. C/m: CD=CE

2. Cmr: AD+BE=AB

3. Vẽ đường cao CH ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE 4. Chứng tỏ:CH2=AD.BE.

5. Chứng minh:DH//CB E

M

D C

O

A B

N

1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối)

2/C/m CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB:

-Do ABCD trung điểm O AB CD.Cung AD=DB=CB=AC=90 o. sđ AMD= 12 sñcungAD=45o.

của hình thang ta có:OC= BE+2AD BE+AD=2.OC=AB

3/C/m BH=BE.Ta có:

sđ BCE= 12 sdcung CB(góc tt dây)

sđ CAB= 12 sđ cung CB(góc nt)ECB=CAB;ACB cng CHCB=HCA HCB=BCEHCB=ECB(hai tam giác vng có cạnh huyền góc nhọn

bằng nhau) HB=BE

-C/m tương tự có AH=AD 4/C/m: CH2=AD.BE.

ACB có C=1v CH đường cao CH2=AH.HB Mà AH=AD;BH=BE  CH2=AD.BE

5/C/m DH//CB

Do ADCH noäi tiếp  CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt) 

CDH=ECB DH//CB

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 61:

Cho ABC có: A=1v.D điểm nằm cạnh AB.Đường trịn đường kính

BD cắt BC E.các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G

1 C/m CAFB nội tiếp C/m AB.ED=AC.EB Chứng tỏ AC//FG

4 Chứng minh AC;DE;BF đồng quy

Do ADd;OCd;BEd AD//OC//BE.Mà OH=OBOC đường trung bình hình thang ABED CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình Hình 60

554

d

H

E D

O

A B

1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC)

2/C/m ABC EBD đồng dạng

3/C/m AC//FG:

Do ADEC nội tiếp ACD=AED(cùng chắn cung AD)

Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)ACF=CFGAC//FG

4/C/m AC; ED; FB đồng quy:

AC FB kéo dài cắt K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng

BACK CFKB; ABCF=DD trực tâm KBCKDCB Mà

DECB(góc nt chắn nửa đường trịn)Qua điểm D có hai đường thẳng

vng góc với BCBa điểm K;D;E thẳng hàng.đpcm ÐÏ(&(ÐÏ

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O).M điểm di động d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OHd H dây cung

PQ cắt OH I;cắt OM K

1. C/m: MHIK nội tiếp

2. 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2.

3. CMr M di động d vị trí I ln cố định

1/C/m MHIK nội tiếp (Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2.

-Xét hai tam giác OIM OHK có O chung

Do HIKM nội tiếpIHK=IMK(cùng chắn cung IK) OHK∽OMI 

OH OM=

OK

OI OH.OI=OK.OM 

OPM vuông P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có:OP2=OK.OM

.Từ uvà vđpcm

4/Theo cm câu2 ta có OI= OHR2 mà R bán kính nên khơng đổi.d cố định nên OH khơng đổi OI không đổi.Mà O cố định I cố định

ÐÏ(&(ÐÏ

d

K I

H M O

Q P

Bài 63:

Cho  vng ABC(A=1v) AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối tia HB lấy

HD=HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E

1. C/m AHEC nội tiếp

2. Chứng tỏ CB phân giác góc ACE AHE cân

3. C/m HE2=HD.HC.

4. Gọi I trung điểm AC.HI cắt AE J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH 5. EC kéo dài cắt AH K.Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi

-C/m HAE cân: Do HAD=ACH(cmt) AEH=ACH(cùng chắn cung AH) HAE=AEHAHE cân H

3/C/m: HE2=HD.HC.Xeùt

HED HEC có H chung.Do AHEC nt DEH=ACH(

chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) DEH=HCE HED∽HCEđpcm

4/C/m DC.HJ=2IJ.BH:

Do HI trung tuyến tam giác vuông AHCHI=ICIHC cân I IHC=ICH.Mà

ICH=HCE(cmt)IHC=HCEHI//EC.Mà I trung điểm ACJI đường trung

bình AECJI= 12 EC

Xét hai HJD EDC có: -Do HJ//Ecvà ECAEHJJD HJD=DEC=1v

HDJ=EDC(đđ)JDH~EDC JHEC=HDDC JH.DC=EC.HD mà HD=HB EC=2JIđpcm

5/Do AEKC CHAK AE CH cắt DD trực tâm ACKKDAC

maø ABAC(gt)KD//AB

-Do CHAK CH phân giác CAK(cmt)ACK cân C AH=KH;Ta lại có

BH=HD(gt),mà H giao điểm đường chéo tứ giác ABKD ABKD hình bình

hành.Nhưng DBAK ABKD hình thoi

1/C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E H…)

2/C/m CB phân giác cuûa ACE

Do AHDB BH=HD ABD tam giác cân A BAH=HAD mà BAH=HCA (cùng phụ với góc B)

Do AHEC nt HAD=HCE (cùng chắn cung HE)

Cho tam giác ABC vng cân A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE

Bx E.Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FDBC,tính góc BFD

2 C/m ADEF nội tiếp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

4 Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

1/ C/m: FDBC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn).Hay BEFC;

CAFB.Ta lại có BE cắt CA DD trực tâm FBCFDBC

Tính góc BFD:Vì FDBC BEFC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng

vuông góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45o

BFD=45o

2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối 3/C/m EA phân giác góc DEF

Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(

ABC vng cân A) AEB=45o.Mà DEF=90oFEA=AED=45oEA phân giác…

4/Neâùu Bx quay xung quanh B : -Ta có BEC=1v;BC cố định

-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động đường trịn đường kính BC -Giới hạn:Khi Bx BC Thì EC;Khi BxAB EA Vậy E chạy cung

phần tư AC đường trịn đường kính BC

ÐÏ(&(ÐÏ

D E

A

O C

B

Baøi 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng

Q M

P

D E

A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:

Do ACMP nội tiếp PAM=CPM(cùng chắn cung PM)

Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếpMCD=DEM(cùng chắn cung

MD).Ta lại có:

Sđ PAM= 12 sđ cung AM(góc tt dây) Sđ ABM= 12 sđ cung AM(góc nội tiếp)

ABM=MEDDE//AB

3/C/m M;P;Q thẳng hàng:

Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v MPC=MCQ

Ta lại có PCQ vng CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay

CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng ÐÏ(&(ÐÏ

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM.IB C/m: BAF caân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

I

F M H

E K

A B

1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB IAM đồng dạng) 2/C/m BAF cân:

Ta có sđ EAB= 12 sđ cung BE(góc nt chắn cung BE) Sđ AFB = 12 sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ngồi đtrịn)

Do AF phân giác góc IAM nên IAM=FAMcung AE=EM  sđ AFB= 12 sđ(AB-AE)= 12 sđ cung BEFAB=AFBđpcm

3/C/m: AKFH hình thoi:

Do cung AE=EM(cmt)MBE=EBABE phân giác cân ABF  BHFA AE=FAE trung điểm HK đường trung trực FA AK=KF AH=HF

Do AMBF BHFAK trực tâm FABFKAB mà AHAB AH//FK Hình bình hành AKFH hình thoi

5/ Do FK//AIAKFI hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp AKFI phải

thang cângóc I=IAMAMI tam giác vuông cân AMB vuông cân

MM điểm cung AB ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 67:

Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM.CN không phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

C

K

A O M B N

D P y

Do OPNM nội tiếpOPM=ONM(cùng chắn cung OM) OCN cân O ONM=OCMOCM=OPM

Gọi giao điểm MP với (O) K.Ta có PMN=KMC(đ đ) OCM=CMK CMK=OPMCM//OPv.Từ  v CMPO hình bình hành

3/Xét hai tam giác OCM NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

NCD tam giác vuông.Hai tam giác vuông COM CND có góc C chung OCM~NCDCM.CN=OC.CD

Từ  ta có CD=2R;OC=R.Vậy trở thành:CM.CN=2R2 khơng đổi.vậy tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí vị trí M

4/Do COPM hình bình hànhMP//=OC=RKhi M di động AB P di

động đường thẳng xy thoả mãn xy//AB cách AB khoảng R không đổi

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 68:

1/c/m:OMNP nội tiếp: (Sử dụng hai điểm M;N làm với hai đầu đoạn OP góc vng

2/C/m:CMPO hình bình hành:

Ta có:

CDAB;MPABCO //MP.

chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường tròn cắt AB AC E F Giao điểm FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật BEFC nội tiếp

3 AE AB=AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Chứng tỏ:BH HC=4 OE.OF

A

E O

F

B I H K C

1/ C/m: AFHE hình chữ nhật BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtrịn); EAF=1v(gt)

đpcm

2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE hình chữ nhật.OAE cân O AEO=OAE Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)AEF=ACB mà

AEF+BEF=2vBEF+BCE=2vđpcm

3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xét hai tam giác vuông AEF ACB có AEF=ACB(cmt) AEF~ACBđpcm

4/ Gọi I K tâm đường trịn đường kính BH CH.Ta phải c/m FEIE

FEKF

-Ta có O giao điểm hai đường chéo AC DB hcnhật AFHEEO=HO;

IH=IK bán kính); AO chung IHO=IEO IHO=IEO maø IHO=1v (gt)

IEO=1v IEOE diểm E nằm đường tròn đpcm Chứng minh tương

tự ta có FE tt đường trịn đường kính HC 5/ Chứng tỏ:BH.HC=4.OE.OF

Do ABC vng A có AH đường cao p dụng hệ thức lượng tam giác

vng ABC có:AH2=BH.HC Mà AH=EF AH=2.OE=2.OF(t/c đường chéo hình chữ nhật) BH.HC = AH2=(2.OE)2=4.OE.OF

Baøi 69:

Cho ABC có A=1v AHBC.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A.Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE=BD+CE

3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R bán kính đường tròn tâm O) C/m:BC tiếp tuyến đtròn đường kính DE

E

I A

D

B

1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt

nhau);OD chungHai tam giác vuông DOB DOAO1=O2.Tương tự O3=O4.O1+O4=O2+O3

Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) DE=DA+AE

DE=DB+CE

3/Do DE vuông O(cmt) OADE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng

trong tam giác vuông DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt)

R2=AD.AE

4/Vì DB EC tiếp tuyến (O)DBBC DEBCBD//EC.Hay BDEC

là hình thang

Gọi I trung điểm DEI tâm đường tròn ngoại tiếp DOE.Mà O trung

điểm BCOI đường trung bình hình thang BDECOI//BD

Ta lại có BDBCOIBC O nằm đường trịn tâm IBC tiếp tuyến

của đường tròn ngoại tiếp DOE ÐÏ(&(ÐÏ

Hình 69 554

4

Cho ABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH.Gọi

HD đường kính đường trịn (A;AH).Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1 Chứng minh BEC cân

2 Gọi I hình chiếu A BE.C/m:AI=AH C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

4 C/m:BE=BH+DE

5 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K.Và AH=2R.Tính diện tích hình tạo đường trịn tâm A tâm K

D E I A

K

C H B

1/C/m:BEC cân:.Xét hai tam giác vuông ACH AED có:AH=AD(bán

kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE tiếp tuyến (A)HDDE DHCB

gt)DE//CHDEC=ECHACH=AEDCA=AEA trung điểm CE có

BACEBA đường trung trực CEBCE cân B

2/C/m:AI=AH Xét hai tam giác vuông AHB AIB(vuông H I) có AB chung BA đường trung trực cân BCE(cmt) ABI=ABH

AHB=AIB AI=AH

3/C/m:BE tiếp tuyến (A;AH).Do AH=AII nằm đường tròn (A;AH)

mà BIAI IBI tiếp tuyến (A;AH)

4/C/m:BE=BH+ED

Theo cmt có DE=CH BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE

đpcm

5/Gọi S diện tích cần tìm.Ta có: S=S(A)-S(K)=AH2-AK2=

ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 71:

Trên cạnh CD hình vng ABCD,lấy điểm M bất kỳ.Đường trịn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường tròn đường kính CD điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thẳng hàng CP.CB=CN.CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường trịn đường kính AM

A Q B

O P N H

D I M C

-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn tâm I)QND+DNC=2vđpcm

2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vng CPN CBQ đồng dạng (có góc C chung)

3/Gọi H giao điểm AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm đường trịn tâm O,đường kính AM

-Do QBCM hcnhậtMQC=BQC

Xét hai tam giác vuông BQC CDP có:QCB=PDC(cùng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vuông)BQC=CDPCDP=MQCPC=MC.Mà

C=1vPMC vng cân CMPC=45o DBC=45o(tính chất hình vng) MP//DB.Do ACDBMPAC HAHM=1vH nằm đường trịn tâm

O đường kính AM

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:

Gọi Tâm đường trịn đường kính AM O đường trịn đường kính DC I -Do AQMD nội tiếp nên ADM+AMQ=2v Mà ADM=1v

AQM=1v DAQ=1vAQMD hình chữ nhật

DQ đường kính (O)

QND=1v(góc nt chắn nửa đường trịn Hình 71

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O.D E theo thứ tự điểm

giữa cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K C/m:AHK cân

2 Gọi I giao điểm BE với CD.C/m:AIDE

3 C/m CEKI nội tiếp C/m:IK//AB

5 ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC

A

E D H K

I O

B C

2/c/m:AIDE

Do cung AE=ECABE=EBC(góc nt chắn cung nhau)BE phân giác

của góc ABC.Tương tự CD phân giác góc ACB.Mà BE cắt CD II

giao điểm đường phân giác AHKAI phân giác tứ mà AHK

cân AAIDE

3/C/m CEKI nội tiếp:

Ta có DEB=ACD(góc nt chắn cung AD=DB) hay KEI=KCIđpcm

4/C/m IK//AB

Do KICE nội tiếpIKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn

cung BC)BAC=IKCIK//AB

5/ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC:

Nếu AI//EC ECDE (vì AIDE)DEC=1vDC đường kính (O) mà

DC phân giác ACB(cmt)ABC cân C ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m:AKH caân:

sđ AHK= 12 sđ(DB+AE) sđ AKD= 12 sđ(AD+EC) (Góc có đỉnh nằm đường trịn)

Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)

AHK=AKDđpcm Hình 72

Baøi 73:

Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường

vng góc CD với AA’,đường cắt BA’ E C/m góc DA’C=DA’E

2 C/m A’DC=A’DE

3 Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường nào? C/m BAC=2.CEB

A

E O A’

D B C

sñCA’D=

2 sñ(A’C+AC)=

2 sđ AC.Do dây AB=ACCung AB=AC

DA’C=DA’E

2/C/m A’DC=A’DE

Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1vđpcm

3/Khi AA’ quay xunh quanh A E chạy đường nào? Do A’DC=A’DEDC=DEAD đường trung trực CE

AE=AC=ABKhi AA’ quay xung quanh A E chạy đường trịn tâm

A;bán kính AC 4/C/m BAC=2.CEB

Do A’CE cân A’A’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngồi A’EC)

Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)BAC=2.BEC

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m DA’C=DA’E Ta có DA’E=AA’B (đđ Và sđAA’B=sđ 12 AB CA’D=A’AC+A’CA (góc ngồi AA’C) Mà sđ A’AC= 12 sđA’C

SđA’CA= 12 sđAC Hình 73

Cho ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB.O trung điểm

AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC> C/m:OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KPAB

4 C/m:AP.AB=AC.AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

D

K C I M Q H

A P O B

1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)COM=MOA(góc tâm sđ cung bị

chắn).Mà AOC cân OOM đường trung trực

AOCOMAC.MàBCAC(góc nt chắn nửa đường trịn)đpcm

2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt)

đpcm

3/C/ KPAB.Do MHAC(cmt) AMMB(góc nt chắn nửa đtrịn);

MB//CD(gt)AKCD hay MKC=1vMKCH nội tiếpMKH=MCH(cùng chắn

cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)

HAK=HKAMKA cân HM trung điểm AK.Do AMB vuông M KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)MBA=MKH hay

KAP+AKP=1vKPAB

4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa AKB

Baøi 75:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot EF, cắt nửa

đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1.Cmr ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK

3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp 4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp HOK

A

K H S I

D

P M N Q

B E O F C

1/Cm ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt Các APO; AQO

là tam giác vuông P Q.Vì IA=IO(gt)PI trung tuyến tam gíac

vuông AOPPI=IO.Mà IO=PO(bán kính)PO=IO=PIPIO tam giác

đềuPOI=60o.OAB=30o.Tương tự OAC=30oBAC=60o.Mà ABC cân A(Vì

đường caoAO phân giác) có góc 60o

ABC tam giác

2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)

Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:

POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o

HOK=60o

3/

Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC BD cắt E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt F

1 C/m:ABCD thang cân Chứng tỏ FD.FA=FB.FC C/m:Góc AED=AOD C/m AOCF nội tiếp F

A B E

D C O

FCA đồng dạng Góc F chung FDB=FCA(cmt)

3/C/m AED=AOD:

C/m F;O;E thẳng hàng: Vì DOC cân OO nằm đường trung trực

Dc.Do ACD=BDC(cmt)EDC cân EE nằm tren đường trung trực DC.Vì

ABCD thang cân FDC cân FF nằm đường trung trực

DCF;E;O thẳng hàng C/m AED=AOD

Ta có:Sđ AED=

2 sđ(AD+BC)=

2 2sđAD=sđAD cung AD=BC(cmt) Mà sđAOD=sđAD(góc tâm chắn cung AD)AOD=AED

4/Cm: AOCF nội tiếp:

Sđ AFC= 12 sñ(DmC-AB) Sñ AOC=SñAB+sñ BC

Sñ (AFC+AOC) = 12 sđ DmC- 12 sđAB+sđAB+sđBC Mà sđ DmC=360o-AD-AB-BC

.Từvà sđ AFC+sđ AOC=180o.đpcm ÐÏ(&(ÐÏ

1/ C/m ABCD hình thang cân:

Do ABCD hình thang AB//CDBAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)BDC=ACD Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)ADC=BCD Vậy ABCD hình thang cân

2/c/m FD.FA=FB.FC C/m Hai tam giác FDB Hình 76

554

Bài 77:

Cho (O) đường thẳng xy không cắt đường tròn.Kẻ OAxy từ A dựng

đường thẳng ABC cắt (O) B C.Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E.Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB.EN=AF.EC

3 So sánh góc AOD COM Chứng tỏ A trung điểm DE

x M E C

N

O B

A F

D 1/C/m OBAD nt:

-Do DB ttOBD=1v;OAxy(gt)OAD=1vđpcm

2/Xét hai tam giác:ABF ECN có:

-ABF=NBM(đ đ);Vì BM CM hai tt cắt nhauNBM=ECBFBA=ECN

-Do OCE+OAE=2vOCEA nội tiếpCEO=CAO(cùng chắn cung OC) ABF~ECNđpcm

3/So sánh;AOD với COM:Ta có:

-DĐoABO ntDOA=DBA(cùng chắn cung ).DBA=CBM(đ đ)

CBM=MCB(t/c hai tt caét nhau).Do BMCO ntBCM=BOMDOA=COM

4/Chứng tỏ A trung điểm DE:

Do OCE=OAE=1vOAEC ntACE=AOE(cùng chắn cung AE)

DOA=AOEOA phân giác góc DOE.Mà OADEOA đường trung

trực DEđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Cho (O;R) A điểm ngồi đường trịn.Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

1/ Chứng tỏ EC // với OA

2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB

3/ Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

4/ Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm đường tròn

D E

C

O J

A M

I B

1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CEBC.Mà OA phân

giaùc cân ABCOABCOA//EC

2/xét hai tam giác vuông AOB ECB có:

-Do OCA+OBA=2vABOC ntOBC=OAC(cùng chắn cung OC)

mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)EBC=BAOBAO~CBE .Ta lại có BE=2Rđpcm

3/Chứng minh chu vi AIJ khơng đổi M di động cung nhỏ BC

Gọi P chu vi  AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA

Theo tính chất hai tt cắt ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC P=(IA+IB)+

(JC+JA)=AB+AC=2AB không đổi

4/Giả sử BCJI nội tiếpBCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2vJIA=ACB.Theo chứng minh

trên có ACB=CBACBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BCOAJIOA

Mà OMJI OM OAM điểm cung BC ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vng góc với OM,đường cắt PA,PB C D

1/Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn 2/Chứng minh:COD=AOB

3/Chứng minh:Tam giác COD cân

4/Vẽ đường kính BK đường trịn,hạ AH BK.Gọi I giao

điểm AH với PK.Chứng minh AI=IH C

K A

I Q H

M

O P

D B

1/C/m ACMO nt: Ta coù OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OMCD-gt)

2/C/m COD=AOB.Ta có:

Do OMAC ntOCM=OAM(cùng chắn cung OM)

Chứng minh tương tự ta có OMDB ntODM=MBO(cùng chắn cung OM)

Hai tam giác OCD OAB có hai cặp góc tương ứng Cặp góc cịn

lại nhauCOD=AOB

3/C/m COD caân:

Theo chứng minh câu ta lại có góc OAB=OBA(vì OAB cân O) OCD=ODCOCD cân O

4/Kéo dài KA cắt PB Q

Vì AHBK; QBBKAH//QB Hay HI//PB AI//PQ p dụng hệ định lý

Talét tam giác KBP KQP có:

  

ÐÏ(&(ÐÏ

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC

3/Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

4/Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI

A x

J E D O

H

B K I C 1/C/m:BDEC nội tiếp:

Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE đường cao)Hai điểm D E làm với

hai đầu đoạn BC…đpcm

2/c/m AD.AB=AE.AC

Xét hai tam giác ADE ABC có Góc BAC chung

Do BDEC nt EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2vADE=ACB ADE~ACBđpcm

3/Do HKBD ntHKD=HBD(cùng chắn cung DH)

Do BDEC ntHBD=DCE (cùng chắn cung DE)

Dễ dàng c/m KHEC ntECH=EKH(cùng chắn cungHE)

4/C/m JI//AO Từ A dựng tiếp tuyến Ax

Ta có sđ xAC= 12 sđ cung AC (góc tt dây) Mà sđABC= 12 sđ cung AC (góc nt cung bị chắn) Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)

Vậy Ax//DE.Mà AOAx(t/c tiếp tuyến)AODE.Ta lại có BDEC nt

đường tròn tâm I DE dây cung có J trung điểm JIDE(đường kính qua

trung điểm dây không qua tâm)Vậy IJ//AO

ÐÏ(&(ÐÏ

Hình 80 554

HKD=EKH

Baøi 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC) 1/Chứng minh BDCO nội tiếp

2/Chứng minh:DC2=DE.DF

3/Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn 4/Chứng tỏ I trung điểm EF

A

F O

I B C E D

Sñ DFC= 12 sđ cung EC (góc nt cung bị chắn)EDC=DFC DCE~DFC đpcm

3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC= 12 sđ(AF+EC) Vì FD//AD Cung AF=BE sđ DIC=

2 sñ(BE+EC)=

2 sđ cung BC Sđ BOC=sđ cung BC.Mà DOC= 12 BOCsđ DOC= 12 sđBCDOC=DIC Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc đpcm

4/C/m I trung điểm EF

Do DCIO nội tiếpDIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp

tuyến)DIO=1v hay OIFE.Đường kính OI vng góc với dây cung FE nên phải

đi qua trung điểm FEđpcm ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến OBD=OCD=1v OBD+OCD=2v

BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF Xét hai tam giác

DCE DCF có: D chung SđECD= 12 sđ cung EC (góc tiếp tuyến dây)

Cho đường trịn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E

1/Chứng minh AM phân giác góc CMD

2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM

4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD

C

M E N

A O I B F

D

1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OACD COD cân O OA phân giác góc COD Hay COA=AODcung AC=AD góc

CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)đpcm

2/cm EFBM nội tiếp: VìCDAB(gt)EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa

đường tròn) EFB+ EMB=2vđpcm

3/Cm: AC2=AE.AM.

Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AChai góc

ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau)

ACE~AMCđpcm

4/Cm NI//CD:

Vì cung AC=ADgóc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay

NMI=NBI Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc

bằng NIBM nội tiếp Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) NIB=1v

hay NIAB.Maø CDAB(gt)NI//CD ÐÏ(&(ÐÏ

Baøi 83:

Cho ABC có A=1v;Kẻ AHBC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh

AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m:AEHF nội tiếp Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC

3 Chứng minh EFDG FHC=AFE

4 Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G

A E

F

B H C D

1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) FHE=1v

 BAC+ FHE=2vđpcm

2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai  vuông HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ

với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1vGAHD nội tiếp DGH=DAH

( chắn cung DH DGH=HAC HCA~HGDđpcm

3/C/m:EFDG:Do GHDF DACG AD cắt GH E E trực tâm CDGEF đường cao thứ CDGFEDG

 C/m:FHC=AFE:

Do AEHF nội tiếp AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v

AHF+FHC=1vAFE=FHC

4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất:

Do AEHF nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường trịn ngoại tiêùp tứ giác AEHFIA=IHĐể EF ngắn I;H;A thẳng hàng

hay AEHF hình chữ nhật HE//AC HF//AB ÐÏ(&(ÐÏ

Cho ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân

giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp

3 C/m:KM.JA=KA.JB

A

K

O  M

E

B J N C I

ñpcm

2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC AIBC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)AJC+AKC=2v đpcm

3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vng JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc ngồi tam giác AMC)

Mà sđ MAC= 12 sđ cung MC sñMCA= 12 sñ cung AM sñKMA= 12

sñ(MC+AM)=

2 sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA

JBA~KMAđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m A;O;I thẳng hàng:

Vì BMI=IMC(gt)  cung IB=IC Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)AI phân gíc  cân ABC

AIBC.Mà BOC cân O có góc tâm chắn cung

OI phân giác góc BOC

Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường trịn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O).

3 AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J  O’

A D B 1/Cm:BDCF noäi tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp

tuyến)đpcm

2/C/m: CD2=CE.CF Ta có

Do CDBF ntDFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD

(O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

CED+CFD=1v nên EDF=1v hay EDF tam giác vng có DC đường cao.Aùp

dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF.

Vì EDF vng D(cmt)FDED hay FDO’D điểm D nằm đường tròn tâm

O’.đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v vaø EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ICJD nt

CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)CFD=CBD (cùng chắn cung CD)CJI=CBD đpcm

4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CDEF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD

phải bán kính DO

ÐÏ(&(ÐÏ

Bài 86:

Hình 85 554

đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1 Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ:IC2=IA.IB.

3 Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN

b/ E; F; M; N nằm đường tròn I

C

E

M A D  O

O’

B N K

Sđ CBI= 12 sđ CE (góc nt cung bị chắn)ICE=IBCICE~IBCđpcm

3/Cm IK nằm đường trung trực CD Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB

 Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB



-Hai tam giác vuông ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vuông IC=ID

ICK=IDKCK=DKK nằm đường trung trực CD.đpcm

4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)

IE.IF=IM.IN

b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: IFIM=IN

IE Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung

IEM~INFIEM=INF.Mà IEM+MEF=2vMEF+MNF=2vñpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai đtròn ICK=IDK=1v đpcm

2/C/m: IC2=IA.IB. Xét hai tam giác ICE ICBcó góc I chung sđ ICE=

1

2 sđ cung CE (góc tt dây)

Hình 86 554

F

Bài 87:

ChoABC có góc nhọn.Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC

lần lượt D E.BE CD cắt H Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD

3 AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường trịn nội tiếp DFE

4 Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O) A

I

E

D x H

B F O C

1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

ADH+AEH=2vADHE nt

2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh AEB ADC đồng dạng

3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF:

Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF

-Tứ giác BDHF ntHED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn

cung DE).Tứ gáic HECF ntECH=EFH(cùng chắn cung HE) EFH=HFDFH

là phân giác DEF

-Tứ gáic BDHF ntFDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn

cung EC)EDC=CDFDH phân giác góc FDEH là…

4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IHIA=IE=IH= 12 AH (tính chất

trung tuyến tam giác vng)IAE cân IIEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng

phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do OEC cân O OEC=OCE xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OEIE điểm E nằm

đường tròn (O)đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB

(C(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD

4 Chứng tỏ FA.EC=FD.EA

A E

C

B D F

K

1/C/m AOC vaø AO’D thẳng hàng:

-Vì ABCD Góc ABC=1vAC đường kính (O)A;O;C thẳng

hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng

2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v AEK+AFK=2vđpcm

3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ACD

Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o

ADF=ACE vaø

ACE+ACK=2vADF+ACK=2vK nằm đường tròn ngoại tiếp …

4/C/m FA.EC=FD.EA

Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng

EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)EAC=FADđpcm

ÐÏ(&(ÐÏ  O

Bài 89:

Cho ABC có A=1v.Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B

và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1 Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp

3 Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr.

O’ A

O

M I N B

K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng:

-Vì M trung điểm dây ABOMAB nên OM phân giác góc AOB hay

BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) KBO=KAO  góc OBK=OAK mà OBK=1v OAK=1v

Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v đpcm

2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v

AMK+ANK=2v đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật

3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’)

-Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OAAK điểm A nằm

đường tròn (O)đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’)

-C/m K nằm BC:

Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC

Nhưng AMKN hình chữ nhậtMKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc

BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2vK;B;C thẳng hàng đpcm

4/ C/m: 4MI2=Rr Vì

OKO’ vng K có đường cao KA.Aùp dụng hệ thue=ức

lượng tam giác vng có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI=

2 AKñpcm

ÐÏ(&(ÐÏ Bài 90:

AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F

1 Cm:BDEF nội tiếp

2 Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH

E B

A O I C H M

D

F

1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính ACABC=ADC=1v (góc nt

chắn nửa đường trịn) FBE=EDF=1vđpcm

2/ C/m DA.DF=DC.DE:

Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BFAE EDAF nên C trực

tâm AEFGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)đpcm

3/ Cm:DIMF nt: Vì ACBD(gt) DIM=1v I trung điểm

DB(đường kính vng góc với dây DB)ADB cân A AEF cân A (Tự c/m

yếu tố này)Đường tròn ngoại tiếp AEF có tâm nằm đường AM góc

AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)DIM+DFM=2vđpcm

4/

Baøi 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D(O)); DB CE kéo dài cắt

ở M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường tròn ADEM hình gì?

4 Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC

B O A O’ C

E D

M

Tương tự ta có AMB=ACMHai tam giác ABM ACM có hai cặp góc

tương ứng nhauCặp góc cịnlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có

BAM+MAC=2vBAM=MAC=1v hay OAAM điểm A nằm đtròn…

3/ADEM hình gì?

Vì BAM=1vABM+AMB=1v.Ta có MA tt đtrònDAM=MBA (cùng

bằng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật

4/Cm: MD.MB=ME.MC

Tam giác MAC vng A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vng MAB có

MA2=MD.MB

đpcm

ÐÏ(&(ÐÏ

1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

ADM+AEM=2vđpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường trịn;

-Ta có sđADE= 12 sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)ABM=AMC

Cho hình vng ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường

thaúng AM

1 Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường

vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA

3 Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vuông

A B N

M E K

D C

1/Cm: ABKC noäi tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) 

đpcm

2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có:

Vì ABCD hình vng nên nội tiếp đường trịn có tâm giao

điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vA;K;C nằm đtrịn đường kính

AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường trịn.Góc

BDK=KDN (cùng chắn cung BK)BDE~KAN BDKA=BEKN đpcm

3/ Cm:MN//DB.Vì AKCN CBAN ;AK cắt BC MM trực tâm

của tam giác ANCNMAC.Mà DBAC(tính chất hình vuông)MN//DB

4/Cm:BNEM hình vuông:

Vì MN//DBDBM=BMN(so le) mà DBM=45oBMN =45oBNM tam

giác vuông cânBN=BM.Do BEDB(gt)và BDM=45oMBE=45oMBE

là tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ

dàng c/m MN phân giác góc BMNBMEN hình thoi lại có

gốc B vng nên BMEN hình vng

ÐÏ(&(ÐÏ Hình 92

Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vng góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp

2 Cm: AN//DB

3 Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng

4 Cm: PEN tam giác cân

F N I

A Q E B P

M O

D C

1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ

nhật).đpcm

2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhậtO

là trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua MM trung điểm

NC OM đường trung bình ANCOM//AN hay AN//DB

3/Cm:F;E;M thẳng hàng

Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình

chữ nhậtAIE OAB tam gíc cânIAE=IEA

ABO=BAO.Vì AN//DB IAE=ABO(so le)IEA=EACEF//AC hay

IE//AC

Vì I trung điểm AN;M trung điểm NCIM đường trung bình

ANCMI//AC .Từ và vTa có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng

F;F;M thẳng hàng

4/C/mPEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếpPNE=EAP(cùng

chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh

câu ta suy NAE=EAPENP=EPNPEN cân E

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc

45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt

cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm:E; P; Q; F; C nằm đường trịn Cm:AB.PE=EB.PF

3 Cm:SAEF=2SAPQ

4 Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B

M

P E

Q

D F C

1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường trịn:

Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vuông)

ABEQ nội tiếp

ABE+AQE=2v mà ABE=1vAQE=1v.Ta có AQE vng Q có góc

QAE=45o

AQE vuông cânAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt)

PDF=45o

APFD nội tiếpAPF+ADF=2v maø ADF=1vAPF=1v

và ECF=1v  Từ uvwE;P;Q;F;C nằm đường trịn đường kính

EF

2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vng ABE có:

-Vì ABEQ ntBAE=BQE(Cùng chắn cung BE)

-Vì QPEF ntPQE=PEF(Cùng chắn cung PE)

ñpcm

3/Cm: :SAEF=2SAPQ

Theo cm AQE vng cân QAE= √AQ2+QE2 = √2 AQ

Vì QPEF nt PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung

AQP~AEF SSAEF

AQP =(AE

AQ )

= (√2)2 =2ñpcm

4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai MAD=MBC có BC=AD;

MBE=MEB=DAE;AM=BM

Bài 95:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vng góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J

1 C/m:OHIK nội tiếp

2 Chứng tỏ KHOI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB

4 Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B

J O

F H K E

D C

I

Ta có OKIH ntOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OIAB ADAB

OI//ADOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do

ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE OKH=OCEHK//AB.Mà OIAB

OIKH

3/Cm: HJ.KC=HE.KB

Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp:

VìAHBE;EJ//AD ADABEJABBJ đường cao thứ ba tam

giác ABEBJAE Vì E trung điểm DH;EJ//ADEJ đường trung

bình tam giác ADHEJ//= 12 AB;BF= 12 BC mà

BC//=ADJE//=BFBJEF hình bình hànhJB//EF.Mà

BJAEEFAE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1vABFE nt

ÐÏ(&(ÐÏ 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh)

2/Cm HKOI Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O OI đường cao

thứ ba

Cho ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gặp

nhau theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vng góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AEAJ

4 C/m: AI.AJ=AB.AC

1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì

A E

I

B P C K H

Baøi 97:

Từ đỉnh A hình vng ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BKAx;BIAy DMAx,DNAy

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD. Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KIAN

x

B P C

K

y Q N M I

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vng góc với CD AM

Baøi 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC

1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngđpcm

2/Cm:AFCD nội tiếp:

-Do ADCE hình bình hànhBC//AEgóc BCA=ACE(so le)

-sđCAE= 12 sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE= 12 sđ cung AE

CAE=AFE.BCN=BFAAFCD nội tiếp

2/Cm CN.CF=4BE.BF

-Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)BAE~BFA ABBF =BE

AB AB2=BE.BF

Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạngAC2=CN.CF.Nhưng ta lại có

AB= 12 AC.Do đó trở thành: 14 AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF



Từ  đpcm

4/cm MN//AC Do ADCE hbhBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt

DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung

EN)ACM=CMNMN//AC

ÐÏ(&(ÐÏ A D

M B

E C N

Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E

1 Chứng minh BNI cân

2 PKEN nội tiếp

3 Chứng minh AN.BD=AB.BN

4 Chứng minh I trực tâm MPN IE//BC

Vì cung AM=MBANM=MPB hay KPE=KNEHai điểm P;N làm với hai đầu

đoạn thẳng KE…đpcm

3/C/m AN.DB=AB.BN

Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)đpcm

4/ Chứng minh I trực tâm MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC

F vaø D.Ta có:

sđ AFD= 12 sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường trịn.) sđ ADF= 12 sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường trịn.)

Mà Cung AP=PC;MB=AMAFD=ADFAFD cân A có AN phân giác góc

BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ANMP hay NA đường cao

NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic

MNP

C/m IE//BC.Ta có BNI cân N có NE phân giác NE đường trung trực

của BIEB=EIBEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp

chắn hai cung PA=PC).Neân PBC=EIBEI//BC

ÐÏ(&(ÐÏ

A

P M F K

O E I

B C N

1/C/m BNI cân Ta có

sđBIN= 12 sđ(AP+BN) sđIBN= 12 sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt)

BIN=IBNBNI cân N

2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp: