100 BAI HINH HOC ON VAO 10 VA BAI GIAI PHAN 1

Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D [r]

MỘT TRĂM BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP

Phần 1: 50 tập cô

Bài 1: Cho ∆ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác hai điểm M N Chứng minh:BEDC nội tiếp Chứng minh: góc DEA=ACB

3 Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA phân

giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE.AB Giợi ý:

y A

x

N E D

M O

B C

Ta phaûi c/m xy//DE

Do xy tiếp tuyến,AB dây cung nên sđ góc xAB=

1sđ cung AB Mà sđ ACB=

2

1sđ AB ⇒góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt) ⇒xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA phân giác góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA đường trung trực MN.(Đường kính vng góc với dây)⇒∆AMN cân A ⇒AO phân giác góc MAN

5.C/m :AM2=AE.AB

Do ∆AMN cân A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒góc MBA=AMN(Góc nội tiếp chắn hai cung nhau);góc MAB chung

⇒∆MAE ∆ BAM⇒

MA AE AB MA

= ⇒ MA2=AE.AB




1.C/m BEDC nội tiếp: C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D E làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng

2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v Maø DEB+AED=2v

⇒AED=ACB

3.Gọi tiếp tuyến A (O) đường thẳng xy (Hình 1)

Bài 2:

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC.Gọi M trung điểm đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vng góc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ I

1.Tứ giác ADBE hình gì? 2.C/m DMBI nội tiếp

3.C/m B;I;C thẳng hàng MI=MD 4.C/m MC.DB=MI.DC

5.C/m MI tiếp tuyến (O’) Gợi ý:

D

I

A M O B O’ C

E

3.C/m B;I;E thaúng hàng

Do AEBD hình thoi ⇒BE//AD mà AD⊥DC (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do góc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua điểm B có hai đường thẳng BI BE vng góc với DC ⊥B;I;E thẳng hàng

•C/m MI=MD: Do M trung điểm DE; ∆EID vuông I⇒MI đường trung tuyến tam giác vuông DEI ⇒MI=MD

C/m MC.DB=MI.DC

chứng minh ∆MCI ∆DCB (góc C chung;BDI=IMB chắn cung MI DMBI nội tiếp)

5.C/m MI tiếp tuyến (O’)

-Ta có ∆O’IC Cân ⇒góc O’IC=O’CI MBID nội tiếp ⇒MIB=MDB (cùng chắn cung MB) ∆BDE cân B ⇒góc MDB=MEB Do MECI nội tiếp ⇒góc MEB=MCI (cùng chắn cung MI)

Từ suy góc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v

Vậy MI ⊥O’I I nằm đường tròn (O’) ⇒MI tiếp tuyến (O’) 1.Do MA=MB AB⊥DE M nên ta có DM=ME

⇒ADBE hình bình hành Mà BD=BE(AB đường trung trực DE) ADBE ;là hình thoi 2.C/m DMBI nội tiếp

BC đường kính,I∈(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc

DMB=1v(gt)

⇒BID+DMB=2v⇒đpcm




Baøi 3:

Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M cho AM<MC.Vẽ đường tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) E.Cmr:MR phân giác góc AED C/m CA phân giác góc BCS

Gợi ý:

D S A M

O

B E C

⇒AEM=MED

4.C/m CA phân giác góc BCS -Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngồi tam giác MDS) -Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS) ⇒Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA Vậy góc ADB=SCA⇒đpcm




1.C/m ABCD nội tiếp: C/m A D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng 2.C/m ME phân giác góc AED

•Hãy c/m AMEB nội tiếp

•Góc ABM=AEM( chắn cung AM)

Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD)

Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD)

Bài 4:

Cho ∆ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC.Dựng đường trịn tâm O đường kính MC;đường trịn cắt BC E.Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME phân giác goùc AED C/m: Goùc ASM=ACD

4 Chứng tỏ ME phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy Gợi ý:

A

S D M

B E C

⇒ABD=ACD (Cùng chắn cung AD)

•Do MECD nội tiếp nên MCD=MED (Cùng chắn cung MD)

•Do MC đường kính;E∈(O)⇒Góc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM nội tiếp⇒Góc MEA=ABD ⇒Góc MEA=MED⇒đpcm

3.C/m góc ASM=ACD

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngồi tam giác SMD)

Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD

Vậy Góc A SM=ACD

4.C/m ME phân giác góc AED (Chứng minh câu 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy

Gọi giao điểm AB;CD K.Ta chứng minh điểm K;M;E thẳng hàng

•Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) AC cắt BD M⇒M trực tâm tam giác KBC⇒KM đường cao thứ nên KM⊥BC.Mà ME⊥BC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng ⇒đpcm




1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh: Góc MDC=BDC=1v Từ suy A vad D làm với hai đầu đoạn thẳng BC góc vng…

2.C/m ME phân giác góc AED

•Do ABCD nội tiếp nên

Bài 5:

Cho tam giác ABC có góc nhọn AB<AC nội tiếp đường trịn tâm O.Kẻ đường cao AD đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp C/m DB.A’A=AD.A’C C/m:DE⊥AC

4 Gọi M trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF Gợi ý:

A

N E O I

B D M C

F

A’

1/C/m AEDB nội tiếp.(Sử dụng hai điểm D;E làm với hai đầu đoạn AB…)

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh hai tam giác vuông DBA A’CA đồng dạng

3/ C/m DE⊥AC

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy góc CDE=DCA’ Suy DE//A’C Mà góc ACA’=1v nên DE⊥AC

4/C/m MD=ME=MF

•Gọi N trung điểm AB.Nên N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE Do M;N trung điểm BC AB ⇒MN//AC(Tính chất đường trung bình) Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Đường kính qua trung điểm dây…)⇒MN đường trung trực DE ⇒ME=MD

• Gọi I trung điểm AC.⇒MI//AB(tính chất đường trung bình) ⇒A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C)

Do ADFC nội tiếp ⇒Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) ⇒Góc A’BC=FDC hay DF//BA’ Mà ABA’=1v⇒MI⊥DF.Đường kính MI⊥dây cung DF⇒MI đường trung trực DF⇒MD=MF Vậy MD=ME=MF




Baøi 6:

Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC.P trung điểm AB;Q trung điểm FE

1/C/m MFEC nội tiếp 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M ∆AMP ∆FMQ 4/C/m goùc PQM=90o Giaûi:

A M F

P

B E C

Do MFEC nội tiếp nên góc ACM=FEM(Cùng chắn cung FM) ⇒Góc ABM=FEM.(1)

Ta lại có góc AMB=ACB(Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên góc FME=FCM(Cùng chắn cung FE).⇒Góc AMB=FME.(2)

Từ (1)và(2) suy :∆EFM ∆ABM ⇒đpcm 3/C/m ∆AMP ∆FMQ

Ta coù ∆EFM ∆ABM (theo c/m treân)⇒

MF AM FE AB

= maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) ⇒

FM AM FQ AP MF

AM FQ AP

= ⇒ =

2

2 góc PAM=MFQ (suy từ ∆EFM ∆ABM)

Vậy: ∆AMP ∆FMQ 4/C/m góc:PQM=90o

Do goùc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM ∆AFM ⇒goùc MQP=AFM Mà góc AFM=1v⇒MQP=1v(đpcm)




1/C/m MFEC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)

2/C/m BM.EF=BA.EM •C/m:∆EFM ∆ABM: Ta có góc ABM=ACM (Vì chắn cung AM)

Baøi 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm cung BC.Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD.Dựng hình vng ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I đường tròn

2 C/m ∆BFC vuông cân F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD.Có nhận xét I F

A

B O C

F I

D

G E

Xét hai tam giác FEB FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh hình vuông ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒đpcm

3/C/m GE FB nội tiếp:

Do ∆BFC vng cân F ⇒Cung BF=FC=90o ⇒sđgóc GBF=

1Sđ cung

BF=

1.90o=45o.(Góc tiếp tuyến BG dây BF)

Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)⇒Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc FED+FEG=2v⇒Góc GBF+FEG=2v ⇒GEFB nội tiếp

4/ C/m• C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp ⇒Góc BFG=BEG mà BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vng cân F⇒Góc BFC=1v.⇒Góc BFG+CFB=2v⇒G;F;C thẳng hàng C/m G nằm trên… :Do

GBC=GDC=1v⇒tâm đường tròn ngt tứ giác BGDC F⇒G nằn đường trịn ngoại tiếp ∆BCD •Dễ dàng c/m I≡ F

1/C/m BGEC nội tiếp: -Sử dụng tổng hai góc đối… -I trung điểm GC

2/•C/m∆BFC vuông cân: Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o (tính chất hình vuông) ⇒Góc BCF=45o

Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)⇒đpcm •C/m F tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BDC.ta C/m F cách đỉnh B;C;D Do ∆BFC vuông cân nên BC=FC

Baøi 8:

Cho ∆ABC có góc nhọn nội tiếp (O).Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(E nằm cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp C/m: DC2=DE.DF C/m:DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I trung điểm FE

A

F O I B C E

D

Ta có: sđgóc BAC=

1sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Góc BOD=COD

⇒2sđ gócDOC=sđ cung BC ⇒sđgóc DOC=

1sđcungBC (2) Từ (1)và (2)⇒Góc DOC=BAC

Do DF//AB⇒góc BAC=DIC(Đồng vị) ⇒Góc DOC=DIC⇒ Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng Dc góc nhau…⇒đpcm

4/Chứng tỏ I trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp ⇒ góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)

Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒Góc OID=1v hay OI⊥ID ⇒OI⊥FE.Bán kính OI vng góc với dây cung EF⇒I trung điểmEF

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)

2/C/m:DC2=DE.DF

Xét hai tam giác:DEC DCF có góc D chung

SđgócECD=

1sđ cung EC(Góc tiếp tuyến dây)

Sđ góc E FC=

1sđ cung EC(Góc nội tiếp)⇒góc ECD=DFC

⇒∆DCE ∆DFC⇒đpcm 3/C/m DOIC nội tiếp:

Baøi 9:

Cho (O),dây cung AB.Từ điểm M cung AB(M≠A M≠B),kẻ dây cung MN vng góc với AB H.Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường trịn C/m:NQ.NA=NH.NM

3 C/m Mn phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn

Giải:Có hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau C/m hình 9-a

M

P A I H B Q O

N

1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường tròn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …một góc vng

-Tổng hai góc đối 2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai ∆vng NQM ∆NAH đồng dạng

3/C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:

• Cách 1:Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M • Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)⇒đpcm

4/ xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2S∆MAN=MQ.AN

2S∆MBN=MP.BN

2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN

Ta laïi coù: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2

MN

AB × =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB khơng đổi nên tích AB.MN lớn ⇔MN lớn nhất⇔MN đường kính

Hình 9a

⇔M điểm cung AB

Bài 10:

Cho (O;R) (I;r) tiếp xúc A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn tâm O C nằm đư ờng tròn tâm (I).Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông A

2/ O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A nằm đường tròn

3/ Chứng tỏ : BC2= Rr

4/ Tính diện tích tứ giác BCIO theo R;r Giải:

B E

C N F O A I

AEB⇒EO đường trung trực AB hay OE⊥AB hay góc ENA=1v Tương tự góc EFA=2v⇒tổng hai góc đối……⇒4 điểm…

3/C/m BC2=4Rr

Ta có tứ giác FANE có góc vng(Cmt)⇒FANE hình vng⇒∆OEI vng E EA⊥OI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao tích hai hình chiếu)

Mà AH=

BCvaø OA=R;AI=r⇒

=

2

BC Rr⇒BC2=Rr

4/SBCIO=? Ta có BCIO hình thang vuông ⇒SBCIO=OB+IC×BC

2 ⇒S=

2 ) (r +R rR

1/C/m ∆ABC vuông: Do BE AE hai tiếp tuyến cắt nênAE=BE; Tương tự AE=EC⇒AE=EB=EC=

2

1BC.⇒∆ABC vng A

2/C/m A;E;N;F nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt EO phân giác tam giác cân




Baøi 11:

Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M(M nằm đoạn OB).Từ B hạ đường vng góc với AM H,cắt AO kéo dài I

1 C/m OMHI noäi tiếp Tính góc OMI

3 Từ O vẽ đường vng góc với BI K.C/m OK=KH Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Giải:

A

O M B H

K I

Cùng chắn cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45o ⇒∆OKH vuông cân K⇒OH=KH

4/Tập hợp điểm K…

Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB không đổi M di động ⇒K nằm đường trịn đường kính OB

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B K điểm cung AB.Vậy quỹ tích điểm K

4

1đường trịn đường kính OB




1/C/m OMHI nội tiếp: Sử dụng tổng hai góc đối 2/Tính góc OMI

Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) OB∩AH=M Nên M trực tâm tam giác ABI ⇒IM đường cao thứ ⇒IM⊥AB ⇒góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vng góc)

Mà ∆ vng OAB có OA=OB ⇒∆OAB vng cân O ⇒góc OBA=45o⇒góc OMI=45o 3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngồi ∆OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) ⇒Góc HOB=HAB (Cùng chắn cung HB) OBH=OAH(Cùng chắn

Baøi 12:

Cho (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F.Trên cung BC lấy điểm M.Nối A với M cắt CD E

1 C/m AM phân giác góc CMD C/m EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4 Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.C/m NI//CD Chứng minh N tâm đường trèon nội tiếp ∆CIM

Giaûi:

C

N M A F O B

I D

⇒AMB+EFB=2v⇒ñpcm 3/C/m AC2=AE.AM

C/m hai ∆ACE ∆AMC (A chung;goùc ACD=AMD chắn cung AD AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)…

4/C/m NI//CD Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn cung nhau) hay NMI=NBI⇒M B làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc nhau⇒MNIB nội tiếp⇒NMB+NIM=2v mà NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Mà CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD

5/Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp ∆ICM

Ta phải C/m N giao điểm đường phân giác ∆CIM • Theo c/m ta có MN phân giác CMI

• Do MNIB nội tiếp(cmt) ⇒NIM=NBM(cùng chắn cung MN) Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)⇒ACNI nội tiếp⇒CAN=CIN(cùng chắn cung CN)⇒CIN=NIM⇒IN phân giác CIM Vậy N tâm đường trịn……

1/C/m AM phân giác góc CMD Do AB⊥CD ⇒AB phân giác tam giác cân COD.⇒ COA=AOD Các góc tâm AOC AOD nên cung bị chắn ⇒cung AC=AD⇒các góc nội tiếp chắn cung nhau.Vậy CMA=AMD

2/C/m EFBM nội tiếp

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Baøi 13:

Cho (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE.Gọi H trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C nằm đường tròn C/m HA phân giác góc BHC

3 Gọi I giao điểm BC DE.C/m AB2=AI.AH BH cắt (O) K.C/m AE//CK

B E H

I D

O A

K C

1/C/m:A;B;O;C;H nằm đường tròn: H trung điểm EB⇒OH⊥ED(đường kính qua trung điểm dây …)⇒AHO=1v Mà

OBA=OCA=1v (Tính chất tiếp tuyến) ⇒A;B;O;H;C nằm đường trịn đường kính OA

2/C/m HA phân giác góc BHC

Do AB;AC tiếp tuyến cắt ⇒BAO=OAC AB=AC

⇒cung AB=AC(hai dây băøng đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC

⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒đpcm

3/Xét hai tam giác ABH AIB (có A chung CBA=BHA hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ⇒∆ABH ∆AIB⇒đpcm

4/C/m AE//CK

Do góc BHA=BCA(cùng chắn cung AB) sđ BKC=

1Sđ cungBC(góc nội tiếp) Sđ BCA=

2

1sđ cung BC(góc tt dây) ⇒BHA=BKC⇒CK//AB




Baøi 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính bất kỳ.Gọi giao điểm AC;AD với xy theo thứ tự M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN.Cmr:AOIH hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào?

M C A O B K

D

H I

N

MN⇒IH⊥MN IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vng góc với CD.Từ trung điểm H MN dựng đường vng góc với MN.Hai đường cách I

•Do H trung điểm MN⇒Ahlà trung tuyến ∆vuông AMN⇒ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD

Gọi K giao điểm AH DO ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay ∆AKD vng K⇒AH⊥CD mà OI⊥CD⇒OI//AH AHIO hình bình hành

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH hình bình hành ⇒IH=AO=R khơng đổi⇒CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng // với xy cách xy khoảng R

1/ C/m MCDN nội tiếp:

∆AOC cân O⇒OCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)⇒góc ACD=ANM Mà góc ACD+DCM=2v

⇒DCM+DNM=2v⇒ DCMB nội tiếp

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ∆ACD ∆ANM 3/C/m AOIH hình bình hành

• Xác định I:I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN⇒I giao điểm dường trung trực CD

Q

Baøi 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi D điểm cung nhỏ BC.Kẻ DE;DF;DG vng góc với cạnh AB;BC;AC.Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q;ED cắt (O) M.C/m HA.DP=PA.DE

3 C/m:QM=AB

4 C/m DE.DG=DF.DH

5 C/m:E;F;G thẳng hàng.(đường thẳng Sim sơn) A

H

P O

G B F C

E

M D

4/C/m: DE.DG=DF.DH

Xét hai tam giác DEH DFG có:

Do EHAD nội tiếp ⇒HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1) Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90o⇒DFGC nội tiếp⇒FDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3) FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

Nhưng FCG=BCA=HAB(5).Từ (1)(3)(5)⇒EDH=FDG(6) Từ (2);(4) BCD=BAD(cùng chắn cungBD)⇒EHD=FGD(7) Từ (6)và (7)⇒∆EDH ∆FDG⇒

DG DH DF ED

= ⇒đpcm 5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

Do ABCD nội tiếp⇒BAC+BMC=2v;do GDEA nội tiếp⇒EDG+EAG=2v ⇒EDG=BDC mà EDG=EDB+BDG BCD=BDG+CDG⇒EDB=CDG ⇒GFC=BEF⇒E;F;G thẳng hàng




1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE

Xét hai tam giác vng đồng dạng: HAP EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB:

Do ∆HPA ∆EDP⇒HAB=HDM Mà sđHAB=

2

1sñ cung AB; SñHDM=

2

1sñ cung QM⇒ cung AM=QM⇒AB=QM

Baøi 16:

Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I trung điểm BC;qua I kẻ IK⊥BC(K nằm BC).Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA=AK

1 Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O C/m góc BMC=2ACB

3 Chứng tỏ BC2=2AC.KC

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM N.Chứng minh AC=BN C/m: NMIC nội tiếp

N

M

A K

B I C

⇒KBC=KCB Vậy BMC=2ACB 3/C/m BC2=2AC.KC

Xét ∆ vuông ACB ICK có C chung⇒∆ACB ∆ICK ⇒

CK CB IC AC

= ⇒IC=

BC⇒

CK BC BC AC

=

⇒ñpcm

4/C/m AC=BN

Do AIB=IAC+ICA(góc ngồi ∆IAC) ∆IAC Cân I⇒IAC=ICA

⇒AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

⇒AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngồi tam giác MNA) Do ∆MNA cân M(gt)⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)⇒IAC=MNA MAN=IAC(đ đ)⇒… 5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI⇒ hai điểm N;C làm thành với hai đầu…)




1/C/m ABIK nội tiếp (tự C/m)

2/C/m BMC=2ACB AB⊥MK vaø

MA=AK(gt)⇒∆BMK cân B⇒BMA=AKB Mà AKB=KBC+KCB (Góc ngồi tam giac KBC)

Do I trung điểm BC KI⊥BC(gt)

⇒∆KBC cân K

Baøi 17:

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động nửa đường tròn.Tia phân giác ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K hình chiếu M lên AC AB

1 C/m:MOBK nội tiếp

2 Tứ giác CKMH hình vng C/m H;O;K thẳng hàng

4 Gọi giao điểm HKvà CM I.Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào?

C H

A O B I

P Q K

M

2/C/m CHMK hình vuông:

Do ∆ vng HCM có góc 45o nên ∆CHM vng cân H ⇒HC=HM, tương tự CK=MK Do C=H=K=1v ⇒CHMK hình chữ nhật có hai cạnh kề ⇒CHMK hình vng

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I giao điểm HK MC;do MHCK hình vng⇒HK⊥MC trung điểm I MC.Do I trung điểm MC⇒OI⊥MC(đường kính qua trung điểm dây…)

Vậy HI⊥MC;OI⊥MC KI⊥MC⇒H;O;I thẳng hàng

4/Do góc OIM=1v;OM cố định⇒I nằm đường trịn đường kính OM -Giới hạn:Khi C≡B I≡Q;Khi C≡A I≡P.Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM




Hình 17

1/C/m:BOMK nội tiếp: Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

CM tia phân giác góc BCA⇒ACM=MCB=45o ⇒cungAM=MB=90o

Baøi 18:

Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB=2a,chiều rộng BC=a.Kẻ tia phân giác góc ACD,từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói

1/Chứng minhAHDC nt đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm bán kính theo a

2/HB cắt AD I cắt AC M;HC cắt DB N.Chứng tỏ HB=HC Và AB.AC=BH.BI

3/Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

4/Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường cắt HC K cắt (O) J.Chứng minh HOKD nt

•Xét hai ∆HCA∆ABI có A=H=1v ABH=ACH(cùng chắn cung AH) ⇒ ∆HCA ∆ABI ⇒

BI AC AB HC

= maø HB=HC⇒đpcm 3/Gọi tiếp tuyến H (O) Hx

•DoAH=HD;AO=HO=DO⇒∆AHO=∆HOD⇒AOH=HOD mà∆AOD cân O⇒OH⊥AD OH⊥Hx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)

•Do cung AH=HD ⇒ABH=ACH=HBD⇒HBD=ACH hay MBN=MCN hay điểm B;C làm với hai đầu đoạn MN góc ⇒MNCB nội

tiếp⇒NMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC) ⇒NMC=DAC ⇒MN//DA(2).Từ (1)và (2)⇒MN//Hx

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BH⇒HBD=BDJ (so le)⇒cung BJ=HD=AH=

AD maø cung AD=BC⇒cung

BJ=JC⇒H;O;J thẳng hàng tức HJ đường kính ⇒HDJ= 1v Góc HJD=ACH(cùng chắn cung nhau)⇒OJK=OCK⇒CJ làm với hai đầu đoạn OK góc nhau⇒OKCJ nội tiếp ⇒KOC=KJC (cùng chắn cung KC);KJC=DAC(cùng chắn cung DC)⇒KOC=DAC⇒OK//AD mà AD⊥HJ⇒OK⊥HO⇒HDKC nội tiếp




x A B

M

H I O J N K

H

I M

A O B

Baøi 19:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC⊥AB.Gọi M điểm cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ ∆CHM vuông cân OH phân giác góc COM

3 Gọi giao điểm OH với BC I.MI cắt (O) D.Cmr:CDBM hình thang cân

4 BM cắt OH N.Chứng minh ∆BNI ∆AMC đồng dạng,từ suy ra: BN.MC=IN.MA

C N D

Sñ CMA=

1sđcung AC=45o.⇒∆CHM vng cân M

•C/m OH phân giác góc COM:Do ∆CHM vng cân H⇒CH=HM; CO=OB(bán kính);OH chung⇒∆CHO=∆HOM⇒COH=HOM⇒đpcm 3/C/m:CDBM thang cân:

Do ∆OCM cân O có OH phân giác⇒OH đường trung trực CM mà I∈OH⇒∆ICM cân I⇒ICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

⇒IMC=IDB hay CM//DB.Do ∆IDB cân I⇒IDB=IBD MBC=MDC(cùng chắn cungCM) nên CDB=MBD⇒CDBM thang cân

4/•C/m BNI ∆AMC đồng dạng:

Do OH đường trung trực CM N∈OH ⇒CN=NM

Do AMB=1v⇒HMB=1v hay NM⊥AM mà CH⊥AM⇒CH//NM,có góc CMH=45o⇒NHM=45o⇒∆MNH vng cân M CHMN hình vng ⇒INB=CMA=45o

•Do CMBD thang cân⇒CD=BM⇒ cungCD=BM mà cung AC=CB⇒cungAD=CM…

và CAM=CBM(cùng chắn cung CM) ⇒∆INB=∆CMA⇒ ñpcm

1/C/m AOHC nội tiếp: (học sinh tự chứng minh)

2/•C/m∆CHM vuông cân:

Do OC⊥AB trại trung điểm O⇒Cung AC=CB=90o Ta lại có:

K O D N Baøi 20:

Cho ∆ ABC nội tiếp (O;R).Trên cnạh AB AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN

1 Chứng tỏ ∆OMN cân C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC D cắt (O) E.C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE AB cắt F.Tiếp tuyến A (O) cắt FC I;AO kéo dài cắt BC J.C/m BI qua trung điểm AJ

F

A I E M

B J C

⇒AOC=120o⇒AOE=60o ⇒∆AOE tam giác có AD⊥OE⇒OD=ED=

2

R

p dụng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2)

Từ (1)và (2)⇒BC2=R2+2.R

2

R +CD2-CD2=3R2.

4/Gọi K giao điểm BI với AJ

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)có B=60o⇒BFC=30o

⇒BC=

1 BF mà AB=BC=AB=AF.Do AO⊥AI(t/c tt) AJ⊥BC⇒AI//BC có A trung điểm BF⇒I trung điểm CF Hay FI=IC

Do AK//FI.p dụng hệ Talét ∆BFI có:

BI BK EI AK

= Do KJ//CI.Aùp duïng hệ Talét ∆BIC có:

BI BK CJ KJ

= Mà FI=CI⇒AK=KJ (đpcm)




1/C/m OMN caân:

Do ∆ABC tam giác nội tiếp (O)⇒AO BO phân giác ∆ABC ⇒OAN=OBM=30o; OA=OB=R

BM=AN(gt)⇒∆OMB=∆ONA ⇒OM=ON ⇒OMN cân O 2/C/m OMAN nội tiếp:

do ∆OBM=∆ONA(cmt)⇒BMO=ANO mà BMO+AMO=2v⇒ANO+AMO=2v ⇒AMON nội tiếp

3/C/m BC2+DC2=3R2

Do BO phân giác ∆đều ⇒BO⊥AC hay ∆BOD vng D.p dụng hệ thức Pitago ta có:

BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2=

=BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1)

Mà OB=R.∆AOC cân O có OAC=30o.

I

Bài 21:

Cho ∆ABC (A=1v)nội tiếp đường tròn tâm (O).Gọi M trung điểm cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D

1 C/m ABNM nội tiếp vaø CN.AB=AC.MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB E.C/m BMOE hình bình hành C/m NM phân giác góc AND

A

M D

B O N C

E

Hay BD⊥DC Qua điểm D có hai đường thẳng BD DM vng góc với DC⇒B;M;D thẳng hàng

•C/m OM tiếp tuyến (I):Ta có MO đường trung bình ∆ABC (vì M;O trung điểm AC;BC-gt)⇒MO//AB mà AB⊥AC(gt)⇒MO⊥AC hay MO⊥IC;M∈(I)⇒MO tiếp tuyến đường tròn tâm I

3/C/m BMOE hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I trung điểm MC;O trung điểm BC⇒OI đường trung bình ∆MBC⇒OI//BM hay

OE//BM⇒BMOE hình bình hành 4/C/m MN phân giác góc AND:

Do ABNM nội tiếp ⇒MBA=MNA(cùng chắn cung AM) MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

Do MNCD nội tiếp ⇒ACD=MND(cùng chắn cung MD)

⇒ANM=MND⇒đpcm


 1/

•C/m ABNM nội tiếp: (dùng tổng hai góc đối) •C/m CN.AB=AC.MN

Chứng minh hai tam giác vng ABC NMC đồng dạng

2/•C/m B;M;D thẳng hàng Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm I) hay MD ⊥ DC BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

Bài 22:

Cho hình vng ABCD có cạnh a.Gọi I điểm đường chéo AC.Qua I kẻ đường thẳng song song với AB;BC,các đường cắt

AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ hình vng Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F.C/m MFIN nội tiếp đường trịn.Xác định tâm

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích theo a C/m MFIE nội tiếp

A M D F

E P I N B Q C

Hay NQ⊥AC⇒NQ//DB

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MP⊥AI(tính chất hình vng)⇒MFI=1v;MIN=1v(gt) ⇒hai điểm F;I làm với hai đầu đoạn MN…⇒MFIN nội tiếp

Tâm đường tròn giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PM⇒MNQP hình thang có PN=MQ⇒MNQP thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= S

AMIP+ 1S

MDNI+ 1S

NIQC+ 1S

PIQB =

2 1S

ABCD= 1a2 5/C/m MFIE noäi tiếp:

Ta có tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v ⇒PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)⇒IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1v⇒EIN+ENI=1v⇒IEN=1v mà MFI=1v⇒IEM+MFI=2v ⇒FMEI nội tiếp

1/C/m INCQ hình vng: MI//AP//BN(gt)⇒MI=AP=BN ⇒NC=IQ=PD ∆NIC vng N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vng)⇒∆NIC vng cân N ⇒INCQ hình vng

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD hình vuông ⇒DB⊥AC Do IQCN hình vuông ⇒NQ⊥IC

E

I H




Bài 23:

Cho hình vng ABCD,N trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN.(O) cắt AC E.BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ ∆BEN vng cân

3 C/m MF qua trực tâm H ∆BMN C/m BI=BC ∆IE F vuông

5 C/m ∆FIE tam giác vuông

Q B A

M

D N C

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn)

⇒BI⊥MN Mà EN⊥BM(cmt)⇒BI EN hai đường cao ∆BMN⇒Giao điểm EN BI trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng

Do H trực tâm ∆BMN⇒MH⊥BN(1)

MAF=45o(t/c hv);MBF=45o(cmt)⇒MAF=MBF=45o⇒MABF nội tiếp.⇒MAB+MFB=2v mà

MAB=1v(gt)⇒MFB=1v hay MF⊥BM(2) Từ (1)và (2)⇒M;H;F thẳng hàng

4/C/m BI=BC: Xét 2∆vuông BCN BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung NC).Do MEN=MFN=1v⇒MEFN nội tiếp⇒NEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng phụ với góc INB)⇒IBN=NBC⇒∆BCN=∆BIN.⇒BC=BI

*C/m ∆IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) ECB=45o ⇒EIB=45o

Do HIN+HFN=2v⇒IHFN nội tiếp⇒HIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45o(do ∆EBN

vng cân)⇒HIF=45o  Từ
và ⇒EIF=1v ⇒đpcm

5/ * C/mBM đường trung trực QH:Do AI=BC=AB(gt cmt)⇒∆ABI cân B.Hai ∆vuông ABM BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BI⇒∆ABM=∆BIM⇒ABM=MBI;∆ABI cân B có BM phân giác ⇒BM đường trung trực QH

1/C/m MDNE nội tiếp

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

⇒MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông)

⇒MEN+MDN=2v⇒đpcm 2/C/m BEN vuông cân: NEB vuông(cmt) Do CBNE nội tiếp

⇒ENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45o(t/c

hv)⇒ENB=45o⇒ñpcm

3/C/m MF qua trực tâm H ∆BMN

*C/mMQBN thang cân: Tứ giác AMEQ có A+QEN=2v(do EN⊥BM theo cmt) ⇒AMEQ nội tiếp⇒MAE=MQE(cùng chắn cung ME) mà MAE=45o ENB=45o(cmt) ⇒MQN=BNQ=45o

⇒MQ//BN.ta lại có MBI=ENI(cùng chắn cungEN) MBI=ABM vàIBN=NBC(cmt) ⇒ QBN=ABM+MBN=ABM+45o(vì MBN=45o)⇒MNB=MNE+ENB=MBI+45o

⇒MNB=QBN⇒MQBN thang cân

Baøi 24:

Cho ∆ABC có góc nhọn(AB<AC).Vẽ đường cao AH.Từ H kẻ HK;HM vng góc với AB;AC.Gọi J giao điểm AH MK

1 C/m AMHK noäi tieáp C/m JA.JH=JK.JM

3 Từ C kẻ tia Cx⊥với AC Cx cắt AH kéo dài D.Vẽ HI;HN vng góc với DB DC Cmr : HKM=HCN

4 C/m M;N;I;K nằm đường tròn

A

J M K

B H C I

N

D

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH)

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)⇒MCNH hình chữ nhật ⇒MH//CN hay MHC=HCN⇒HKM=HCN

4/C/m: M;N;I;K nằm đường tròn

Do BKHI nội tiếp⇒BKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)

Do IHND nội tiếp⇒IDH=INH(cùng chắn cung IH)⇒BKI=HNI

1/C/m AMHK nội tiếp: Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xét hai tam giác:JAM JHK có: AJM=KJH (đđ).Do AKHM nt ⇒HAM=HKM( chắn cung HM) ⇒∆JAM ∆JKH ⇒đpcm

3/C/m HKM=HCN AKHM nội tiếp ⇒HKM=HAM(cùng chaén cung HM)

Do AKHM nội tiếp⇒AKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng phụ với HAM)

Do HMCN nội tiếp⇒MCH=MNH(cùng chắn cung MH)⇒AKM=MNH mà BKI+AKM+MKI=2v⇒HNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v⇒ M;N;I;K nằm đường tròn

I

Baøi 25:

Cho ∆ABC (A=1v),đường cao AH.Đường trịn tâm H,bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E;Trung tuyến AM ∆ABC cắt DE I

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O đường tròn C?m AM⊥DE

4 C/m AHOM hình bình hành

A

E

B H M C

D

O

⇒BDE=BCE⇒Hai điểm D;C làm với hai đầu đoạn thẳng BE… Xác định tâm O:O giao điểm hai đường trung trực BE BC 3/C/m:AM⊥DE:

Do M trung điểm BC⇒AM=MC=MB=

BC⇒MAC=MCA;mà

ABE=ACB(cmt)⇒MAC=ADE

Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)⇒CAM+AED=1v⇒AIE=1v AM⊥ED 4/C/m AHOM hình bình hành:

Do O tâm đường trịn ngoại tiếp BECD⇒OM đường trung trực BC ⇒OM⊥BC⇒OM//AH

Do H trung điểm DE(DE đường kính đường trịn tâm H)⇒OH⊥DE mà AM⊥DE⇒AM//OH⇒AHOM hình bình hành




1/C/m D;H;E thẳng hàng: Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm H)⇒DE đường kính⇒ D;E;H thẳng hàng 2/C/m BDCE nội tiếp: ∆HAD cân H(vì

HD=HA=bán kính đt tâm H)⇒HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

E F M

Baøi 26:

Cho ∆ABC có góc nhọn,đường cao AH.Gọi K điểm dối xứng H qua AB;I điểm đối xứng H qua AC.E;F giao điểm KI với AB AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI=AK

3 C/m điểm: A;E;H;C;I nằm đường tròn C/m CE;BF đường cao ∆ABC

5 Chứng tỏ giao điểm đường phân giác ∆HFE trực tâm ∆ABC

I A

K

B H C

2/C/m AI=AK:

Theo chứng minh ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB đường trung trực KH⇒AH=AK⇒ AI=AK(=AH)

3/C/m A;E;H;C;I nằm đường tròn: DoE∈ABvà ABlà trung trực KH⇒EK=EH;EA

chung;AH=AK⇒∆AKE=∆AHE⇒AKE=EHA mà∆AKI cân A(theo c/m AK=AI) ⇒AKI=AIK.⇒EHA=AIE⇒ hai điểm I K cung làm với hai đầu đoạn AE…⇒A;E;H;I cùng nằm đường tròn ký hiệu (C)

Theo cmt A;I;CV;H nằm đường trịn(C’) ⇒ (C) (C’) trùng có chung điểm A;H;I không thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF đường cao ∆ABC

Do AEHCI nằm đường trịn có AIC=1v⇒AC đường kính.⇒AEC=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)Hay CE đường cao ∆ABC.Chứng minh tương tự ta có BF đường cao…

5/Gọi M giao điểmAH EC.Ta C/m M giao điểm đường phân giác ∆HFE EBHM nt⇒ MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt⇒ FBE=ECF (Cùng chắn cung EF) HMFC nt⇒FCM=FMH(cùng chắn cung MF)

1/C/m AICH nội tiếp: Do I đx với H qua AC⇒AC trung trực HI⇒AI=AH HC=IC;AC chung ⇒∆AHC=∆AIC(ccc) ⇒AHC=AIC mà AHC=1v(gt)⇒AIC=1v ⇒AIC+AHC=2v⇒ AICH nội tiếp

Hình 26

C/m tương tự có EC phân giác ∆FHE⇒đpcm

Bài 27:

Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp (O).Gọi M điểm cung nhỏ AC.Trên tia BM lấy MK=MC tia BA laáy AD=AC

1 C/m: BAC=2BKC

2 C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm đường tròn Gọi giao điểm DC với (O) I.C/m B;O;I thẳng hàng C/m DI=BI

D

A

I K M

B C

AD=AC(gt)⇒∆ADC cân A⇒ADC=ACD⇒BAC=2BDC

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)⇒BDC=BKC ⇒BCKD nội tiếp

Xác định tâm:Do AB=AC=AD⇒A trung điểm BD⇒ trung tuyến CA=

1 BD⇒∆BCD vng C

.Do BCKD nội tiếp ⇒DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1v⇒BKD=1v⇒∆BKD vuông K có trung tuyến KA⇒KA=

2

1 BD ⇒AD=AB=AC=AK ⇒A tâm đường tròn… 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I∈(O) ⇒BI đường kính ⇒B;O;I thẳng hàng

4/C/mBI=DI:

Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường trịn)hay AI⊥DB,có A trung điểm⇒AI đường trung trực BD⇒∆IBD cân I⇒ID=BI

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngồi ∆MKC)

Mà

MK=MC(gt)⇒∆MKC cân M⇒MKC=MCK ⇒BMC=2BKC

⇒BAC=2BKC 2/C/mBCKD nội tiếp: Ta có

BAC=ADC+ACD(góc ngồi ∆ADC) mà

M N

 O

Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)∆ADC cân

D⇒ACI=ADI⇒BDC=ACD⇒IDB=IBD⇒∆BID cân I⇒đpcm

Baøi 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I điểm cung AB(Cung AB khơng chứa điểm C;D).IC ID cắt AB M;N

1 C/m D;M;N;C nằm đường tròn C/m NA.NB=NI.NC

3 DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E.C/m:EF//AB

4 C/m :IA2=IM.ID

E F I B A

D C

IAB=ICB(cùng chắn cung BI)

INA=BNC(ñ ñ)⇒∆NAI ∆NCB⇒ñpcm 3/C/m EF//AB:

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung IA=IB) hay EDF=ECF ⇒hai điểm D C làm với hai đầu đoạn EF…⇒EDCF nội tiếp

⇒ EFD=ECD(cùng chắn cung ED),maø ECD=IMN(cmt)⇒ EFD=FMN⇒ EF//AB 4/C/m: IA2=IM.ID

∆AIM ∆DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai góc nt chắn hai cung nhau) ⇒đpcm




1/C/m D;M;N;C nằm đường tròn

Sñ IMB=

1sñcung(IB+AD) Sñ NCD=

2

1Sđ cungDI

Mà cung IB=IA⇒IMB=NCD ⇒IMB=NCD

Ta lại có IMN+DMN=2v

⇒NCD+DMN=2v⇒MNCD nộitiếp 2/Xét 2∆NBC NAI có:

E C

Bài 29:

Cho hình vng ABCD,trên cạnh BC lấy điểm E.Dựng tia Ax vng góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F.Kẻ trung tuyến AI ∆AEF,AI kéo dài cắt CD K.qua E dựng đường thẳng song song với AB,cắt AI G

1 C/m AECF nội tiếp C/m: AF2=KF.CF

3 C/m:EGFK hình thoi

4 Cmr:khi E di động BC EK=BE+DK chu vi ∆CKE có giá trị khơng đổi Gọi giao điểm EF với AD J.C/m:GJ⊥JK

Giaûi:

F

A J D G

I K

B

3/C/m: EGFK hình thoi -Do AK đường trung trực FE⇒∆GFE cân G

⇒GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vng góc với AD)⇒GEF=EFK(so le) ⇒GFI=IFK⇒FI đường trung trực GK⇒GI=IK,mà I F=IE⇒GFKE hình thoi

4/C/m EK=BE+DK:∆ vuông ADF ABE có AD=AB;AF=AE.(∆AE F vuông

cân)⇒∆ADF=∆ABE ⇒BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)⇒KE=BE+DK C/m chu vi tam giác CKE khơng đổi:Gọi chu vi C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC khơng đổi

5/C/m IJ⊥JK:

Do JIK=JDK=1v⇒IJDK nội tiếp ⇒JIK=IDK(cùng chắn cung IK) IDK=45o(T/c hình

vng)⇒ JIK=45o⇒∆JIK vng vân I⇒JI=IK,mà IK=GI

1/C/m AECF nội tiếp: FAE=DCE=1v(gt) ⇒ AECF nội tiếp 2/C/m: AF2=KF.CF

Do AECF nội tiếp⇒ DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o

(Tính chất hình vuông) ⇒FEA=45o⇒∆FAE vuông

cân A có FI=IE⇒AI⊥FE ⇒FAK=45o

⇒FKA=ACF=45o.Và KFA

chung

⇒∆FKA ∆FCA ⇒

FA FK FC

FA

= ⇒ñpcm

 O

M

H

N I C

G ⇒JI=IK=GI=

2

1 GK⇒∆GJK vuông J hay GJ⊥JK

Baøi 30:

Cho ∆ABC.Gọi H trực tâm tam giác.Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

1 C/m:ABDC nội tiếp đường tròn tâm O;nêu cáh dựng tâm O So sánh BAH OAC

3 CH cắt OD E.C/m AB.AE=AH.AC

4.Gọi giao điểm AI OH G.C/m G trọng tâm ∆ABC

A Q

B

Và BH⊥AC⇒CD⊥AC hay ACD=1v,mà A;D;Cè nằm đường trịn⇒AD đường kính.Vậy O trung điểm AD

2/So sánh BAH OAC:

BAN=QCB(cùng phụ với ABC) mà CH//BD( BHCD hình bình hành) ⇒QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cùng chắn cung CD)⇒BAH=OAC 3/c/m: AB.AE=AH.AC:

Xét hai tam giác ABH ACE có EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cùng phụ với BAC)⇒∆ABH ∆ACE⇒đpcm

4/C/m G trọng tâm ∆ABC.ta phải cm G giao điểm ba đường trung tuyến hay GJ=

3 1AI

Do IB=IC⇒OI⊥BC mà AH⊥BC⇒OI//AH.Theo định lý Ta Lét ∆AGH D

1/c/m:ABDC nội tiếp: Gọi đường cao ∆ABC AN;BM;CN Do

AQH+HMA=2v⇒AQHM nội tiếp⇒BAC+QHM=2v mà QHM=BHC(đ đ) BHC=CDB(2 góc đối hình bình hành)

⇒BAC+CDB=2V⇒ABDC

nội tiếp

Cách xác định tâm O:do CD//BH(t/c hình bình hành)

 O ⇒ AG GI AH OI

= Do I trung điểm HD⇒O trung điểm AD⇒

2 =

AH

OI (T/c đường

trung bình)⇒ = = AG GI AH

OI ⇒GI=

2

1 AG Hay GI=

1AI⇒G laø trọng tâm ∆ABC




Baøi 31:

Cho (O0 cung AB=90o.C điểm tuỳ ý cung lớn AB.Các đường cao AI;BK;CJ ∆ABC cắt H.BK cắt (O) N;AH cắt (O) M.BM AN gặp D

1 C/m:B;K;C;J nằm đường tròn c/m: BI.KC=HI.KB

3 C/m:MN đường kính (O) C/m ACBD hình bình hành C/m:OC//DH

N

D A M

K B C I J

H

Tam giác vuông cân⇒KBC=45o⇒IBH=KBC=45o⇒∆IBH tam giác vuông cân.Ta

lại có:

AMD=MAB+ABM(góc ngồi tam giác MAB).Mà sđMAB=

2

1 sđMB

Bài có hai hình vẽ tuỳ vào vị trí C.Cách c/m tương tự

1/C/m B;K;C;J nằm đường trịn

-Sử dúng toơng hai góc đoẫi -Sử dúng hai góc làm với hai đaău đốn thẳng mt góc vuođng

2/C/m: BI.KC=HI.KB Xét hai tam giác vuông BIH BKC có IBH=KBC(ñ ñ) ⇒ñpcm

3/ C/m MN đường kính (O)

Do cung

AB=90o.⇒ACB=ANB=45o ⇒∆KBC;∆AKN

E

 O SñABM=

2

1 sđAM cung MA+AM=AB=90o.⇒AMD=45o AMD=BMH(đ đ)

⇒BMI=45o⇒∆BIM vuông cân⇒MBI=45o⇒MBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1v⇒MN

là đường kính (O) 5/C/m OH//DH

Do MN đường kính ⇒MAN=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) mà CAN =45o

⇒MAC=45o hay cung MC=90o⇒MNC=45o.Góc tâm MOC chắn cung

MC=90o⇒MOC=90o⇒OC⊥MN

Do DB⊥NH;HA⊥DN;AH DB cắt M⇒M trực tâm ∆DNH ⇒MN⊥DH⇒OC//DH




Baøi 32:

Cho hình vng ABCD.Gọi N điểm CD cho CN<ND;Vẽ đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E

1 C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm ME NF Q.MN cắt (O) P.C/m B;Q;P thẳng hàng

4 Chứng tỏ ME//PC BP=BC C/m ∆FPE tam giác vuông

A B F

M

Q P

D N C

⇒FME=45o MAC=45o(tính chất hình vuông)⇒FME=MAC=45o ⇒MABE nội tiếp

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE nt⇒MAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vng)⇒MEB=1v hay ME⊥BN.Theo cmt NF⊥BM⇒Q trực tâm ∆BMN⇒BQ⊥MN(1)

⇒Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) hay BP⊥MN(2) 1/c/m:∆BFN vng cân: ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o (tính chất hình vng) ⇒ANB=45o

Mà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)

⇒∆BFN vng cân F 2/C/m MEBA Nội tiếp: Do∆FBN vuông cân F

K

Từ (1)và(2)⇒B;Q;P thẳng hàng 4/C/m MF//PC

Do MFN=MEN=1v⇒MFEN nội tiếp⇒FNM=FEM(cùng chắn cung MF) Mà FNP=FNM=FCD(cùng chắn cung PF cuûa (O)

⇒FEM=FCP⇒ME//CP

C/m:BP=BC:Do ME//CP ME⊥BN⇒CP⊥BN.Đường kính MN vng góc với dây CP⇒BN đường trung trực CP hay ∆BCP cân B⇒BC=BP

5/C/m ∆FPE vuông:

Do FPNB nội tiếp⇒FPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm QENP nội tiếp⇒QPE=QNE=45o⇒đpcm




Bài 33:

Trên đường trịn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB.AB CD cắt E.BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K

1 Cm: CB phân giác góc ACE c/m:AQEC nội tiếp

3 C/m:KA.KC=KB.KD C/m:QE//AD

Q

E B A C O D

⇒QAB=ADB=BCE(cmt) ⇒QAE=QCD⇒hai điểm A C làm với hai đầu đoạn QE…⇒đpcm

3/C/m: KA.KC=KB.KD

1/C/m CB phân giác góc ACE: Do ABCD nội tiếp ⇒BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2V⇒BCE=BAD Do AB=AC(gt)⇒∆BAD cân B⇒BAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB)⇒BCE=BCA ⇒đpcm

2/C/m AQEC nội tiếp: Ta có sđ QAB=

2

1SđAB(góc tiếp tuyến dây)

Sñ ADB=Sñ 1AB

C/m ∆KAB ∆KDC 4/C/m:QE//AD:

Do AQEC nt⇒QEA=QCA(cuøng chắn cung QA) mà QCA=BAD(cmt) ⇒QEA=EAD⇒QE//AD

Baøi 34:

Cho (O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B C cho AB=BC.Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn.CE CF cắt (O) M N.Dựng hình bình hành AECD

1 C/m:D nằm đường thẳng BF C/m ADCF nội tiếp

3 C/m: CF.CN=CE.CM C/m:MN//AC

5 Gọi giao điểm AF với MN I.Cmr:DF qua trung điểm NI C

D

B

E N J A O I

F

M

⇒hai điểm F C làm với đầu đoạn AD…⇒đpcm 3/C/m: CF.CN=CE.CM ta c/m ∆CEF ∆CNM

4/C/m:MN//AC

Do ADCF nt⇒DAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE hình bình hành ⇒DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)⇒ACM=CMN ⇒AC//MN

5/C/m:DF qua trung điểm NI:Gọi giao điểm NI với FE J Do NI//AC(vì MN//AB)

⇒NJ//CB,theo hệ talét⇒

BC NJ FB JE

= Tương tự IJ//AB⇒

AB JI FB JF = MaØ AB=AC(gt)⇒JI=NJ

1/C/m:D nằm đường thẳng BF

Do ADCE hình bình

hành⇒DE AC hai đường chéo.Do B trung điểm AC ⇒B trung điểm DE hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng ⇒D nằm BF 2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf hình bình hành ⇒DCA=CAE(so le)

Sđ CAE=

1Cung AE(góc tt dây) mà EFA=sđ

P I

J B

Baøi 35:

Cho (O;R) đường kính AB;CD vng góc với nhau.Gọi M điểm cung nhỏ CB

1 C/m:ACBD hình vuông

2 AM cắt CD ;CB P I.Gọi J giao điểm DM AB.C/m IB.IC=IA.IM

3 Chứng tỏ IJ//PD IJ phân giác góc CJM Tính diện tích ∆AID theo R

C

M

A O

D

⇒IMJ=IBJ=45o⇒M B làm với hai đầu đoạn IJ…⇒MBIJ nội tiếp ⇒IJB+IMB=2v mà IMB=1v⇒ IJB =1v hay IJ⊥AB.Mà PD⊥AB(gt)⇒ IJ//PD

 C/m IJ phân giác góc CMJ:

-Vi IJ⊥AB hay AJI=1v ACI=1v(t/c hình vuông)⇒ACIJ nội tiếp

⇒ IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM)

-Vì MBJI nội tiếp ⇒MBI=MJI(cùng chắn cung IM)

⇒ IJC= IJM⇒đpcm

4/Tính diện tích ∆AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vng) có I∈CB⇒ khoảng cách từ đến AD CA.Ta lại có ∆IAD ∆CAD chung đáy đường cao

⇒SIAD=SCAD.Maø SACD=

SABCD.⇒ SIAD=

SABCD.SABCD=

1AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc)⇒SABCD=

2

12R.2R=2R2⇒S

IAD=R2

Hình 35

1/C/m:ACBD hình vuông:

Vì O trung điểm AB;CD nên ACBD hình bình hành

Mà AC=BD(đường kính) AC⊥DB (gt)⇒hình bình hành ACBD hình vng

2/C/m: IB.IC=IA.IM

Xét ∆IAC IBM có CIA=MIB(đ đ) IAC=IBM(cùng chắn cung CM)

⇒∆IAC ∆IBM⇒đpcm 3/C/m IJ//PD

Do ACBD hình vuông⇒ CBO=45o Và cung AC=CB=BD=DA

Baøi 37:

Cho ∆ABC(A=1v).Kẻ AH⊥BC.Gọi O O’ tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHB AHC.Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tạ M;N

1 C/m: ∆ OHO’ tam giác vuông C/m:HB.HO’=HA.HO

3 C/m: ∆HOO’ ∆HBA

4 C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp C/m ∆AMN vuông cân

A

M O O’ N

B H C

Phaân giác hai góc trên⇒OBH=O’AH OHB=O’HA=45o

⇒∆HBO ∆HAO’⇒ (1)

' H

O OH HA HB

= ⇒ñpcm

3/c/m ∆HOO’ ∆HBA Từ (1)⇒

'

HO HO HA HB

= ⇒

HB HO HA HO

=

' (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO HO’ ∆HOO’tỉ lệ với cặp cạnh ∆HBA góc xen BHA=O’HO=1v ⇒∆HOO’ ∆HBA

4/C/m:BMOH nt:Do ∆ HOO’ ∆HBA⇒O’OH=ABH mà O’OH+MOH=2v⇒MBH+MOH=2v⇒đpcm

C/m NCHO’ nội tiếp: ∆HOO’ ∆HBA(cmt) hai tam giác vngHBA HAC có góc nhọn ABH=HAC(cùng phụ với góc ABC) nên∆HBA ∆HAC ⇒∆HOO’

∆HAC⇒OO’H=ACH.Mà OO’H=NO’H=2v ⇒NCH+NO’H=2v ⇒đpcm 5/C/m ∆AMN vuông cân:Do OMBH nt⇒OMB+OHB=2v mà

AMO+OMB=2v⇒AMO=OHB mà OHB=45o⇒AMO=45o.Do ∆AMN vng A có AMO=45o.⇒∆AMN vng cân A

Hình 36

1/C/m:∆OHO’ vuoâng:

Do AHB=1v O tâm đường tròn nội tiếp ∆AHB⇒O giao điểm ba đường phân giác tam giác⇒AHO=OHB=45o

Tương tự AHO’=O’HC=45o ⇒O’HO=45o+45o=90o hay ∆O’HO vuông H 2/C/m: HB.HO’=HA.HO Do ∆ABC vuông A

I O B

Bài 37:

Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I trung điểm AO.Qua I dựng đường thẳng vng góc với AB,đường cắt nửa đường trịn K.Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D.Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M N

1 C/m:AIMD nội tiếp C?m CM.CA=CI.CD C/m ND=NC

4 Cb cắt AD E.C/m E nằm đường tròn (O) C tâm đường tròn nội tiếp ∆EIM

5 Giả sử C trung điểm IK.Tính CD theo R D

N

M K

E C A

Mà MBA=ACI(cùng phụ với góc CAI);CAI=KCM(đ đ)⇒NCM+NMC ⇒∆NMC cân N⇒NC=NM Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v NCM=NMC ⇒NDM=NMD⇒∆NMD cân N⇒ND=NM⇒NC=ND(đpcm)

4/C/m C tâm đường tròn nội tiếp ∆EMI.Ta phải c/m C giao điểm đường phân giác ∆EMI (xem câu 35)

5/Tính CD theo R:

Do KI trung trực AO⇒∆AKO cân K⇒KA=KO mà KO=AO(bán kính) ⇒∆AKO ∆ đều⇒KI=

2

R ⇒CI=KC=

2

KI =

4

R .Aùp duïng PiTaGo tam

giác vuông ACI có:CA=

4

16 2

2 AI R R R

CI + = + = ⇒∆CIA ∆BMA( hai tam

giác vuông có góc CAI chung)⇒

MA IA BA CA

= ⇒MA=

AC AI AB × = 2R.

= : R R Hình 37

1/C/m AIMD nội tiếp: Sử dụng hai điểm I;M làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD C/m hai ∆CMD CAI đồng dạng

3/C/m CD=NC: sđNAM=

2

1sđ cung AM (góc tt dây) sđMAB=

2

1 sñ cung AM

=

7

4R ⇒MC=AM-AC=

28

9R áp dụng hệ thức câu 2⇒CD=

3 3R




Baøi 38:

Cho ∆ABC.Gọi P điểm nằm tam giác cho góc PBA=PAC.Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp C/m HB.KP=HP.KC

3 Gọi D;E;F trung điểm PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F

A

H K P

D E

B F C

tuyến ∆ vng HBP⇒HD=DP⇒DH=FE C/m tương tự có:DF=EK

4/C/m đường trung trực HK qua F

Ta phải C/m EF đường trung trực HK.Hay cần c/m FK=FH Do HD=DP+DB⇒HDP=2ABP(góc ngồi tam giác cân ABP) Tương tự KEP=2ACP

Maø ABP=ACD(gt)

Do PEFD hình bình hành(cmt)⇒PDF=PEF(2)

Từ (1) (2)⇒HDF=KEF mà HD=FE;KE=DF⇒∆DHF ∆EFK(cgc)⇒FK=FH ⇒đpcm




Hình 38

1/C/m AHPK nội tiếp(sử dụng tổng hai góc đối)

2/C/m: HB.KP=HP.KC

C/m hai ∆ vng HPB KPC đồng dạng

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO DF//EP (FE FD đường trung bình ∆PBC)⇒DPEF hình bình hành.⇒DP=FE.Do D trung điểm BP⇒DH trung

Baøi 39:

Cho hình bình hành ABCD(A>90o).Từ C kẻ CE;Cf;CG vng góc với AD;DB;AB

1 C/m DEFC nội tiếp C/m:CF2=EF.GF

3 Gọi O giao điểm AC DB.Kẻ OI⊥CD.Cmr: OI qua trung điểm AG

4 Chứng tỏ EOFG nội tiếp

A G B E

F O

D J I C

1/C/mDEFC nội tiếp: (Sử dụng hai điểm E;F làm với hai đầu đoạn thẳng CD)

2/C/m: CF2=EF.GF: Xeùt ∆ECF CGF có:

-Do DE FC nt⇒FCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)⇒FBC=FGC(cùng chắn cung FC)⇒FGC=FCE

-Do GBCF nt⇒GBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp ⇒FDC=FCE(cùng chắn cùngC)⇒FCG=FEC⇒∆ECF ∆CGF⇒đpcm 3/C/m Oi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm đường tròn tâm O đường kính AC J Do AG//CJ CG⊥AG⇒AGCJ hình chữ nhật ⇒AG=CJ Vì OI⊥CJ nên I trung điểm CJ(đường kính ⊥ với dây…)⇒đpcm

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1v⇒AGCE nt (O)⇒AOG=2GCE (góc nt nửa góc tâm chắn cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối tứ giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối hbh)⇒EOG=2.ADC(1)

Do DEFC nt⇒EFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn ∆ vuông EDC)();Do GBCF nt⇒GFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o

-GBC().Từ ()và()⇒EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

Từ (1) (2)⇒EOG=EFG⇒EOFG nt

Baøi 40:

Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B.Các đường thẳng AO cắt (O) C D;đường thẳng AO’ cắt (O) (O’) E F

1 C/m:C;B;F thẳng hàng C/m CDEF nội tiếp Chứng tỏ DA.FE=DC.EA

4 C/m A tâm đường tròn nội tiếp ∆BDE

5 Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (O);(O’)

D E

A O

I O’ C

B

F

1/C/m:C;B;F thẳng hàng: Ta có:ABF=1v;ABC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ABC+ABF=2v⇒C;B;F thẳng hàng

2/C/mCDEF nội tiếp:Ta có AEF=ADC=1v⇒E;D làm với hai đầu đoạn CF… ⇒đpcm

3/C/m: DA.FE=DC.EA Hai ∆ vuông DAC EAF có DAC=EAF(đ đ) ⇒∆ DAC ∆ø EAF⇒đpcm

4/C/m A tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BDE.Ta phải c/m A giao điểm đường phân giác ∆DBE (Xem cách c/m 35 câu 3)

5/Để DE tiếp tuyến chung đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE tiếp tuyến chung OD⊥DE O’E⊥DE.Vì OA=OD ⇒∆AOD cân O⇒ODA=OAD.Tương tự ∆O’AE cân O’⇒O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ) ⇒⇒ODO’=OEO’⇒D E làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ góc nhau⇒ODEO’ nt ⇒ODE+EO’O=2v.Vì DE tt (O)

(O’)⇒ODE=O’ED=1v⇒EO’O=1v⇒ODEO’ hình chữ nhật ⇒DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE tt chung hai đường trịn hai đường trịn có bán kính nhau.(hai đường trịn nhau)




Baøi 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) E F.Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB AC với (O).Gọi H trung điểm EF

1 Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H nằm đường tròn Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K.C/m:

OI.OA=OH.OK=R2

3 Khi A di động xy I di động đường nào? C/m KE KF hai tiếp tyuến (O)

B

O

I F y H

E

A C

K

OHA=1v⇒5 điểm A;B;O;C;H nằm đường trịn đường kính AO 2/C/m: OI.OA=OH.OK=R2

Do ∆ABO vng B có BI đường cao.p dung hệ thức lượng tam giác vng ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.⇒OI.OA=R2.(1)

Xét hai ∆ vuông OHA OIK có IOH chung.⇒∆AHO ∆KIO⇒

OI OH OK

OA

= ⇒OI.OA=OH.OK (2)

Từ (1) (2)⇒đpcm

4/C/m KE KF hai tt đuờng tòn (O)

Hình 41

1/

C/m:A;B;C;H;O nằm đường trịn: Ta có

ABO=ACO(tính chất tiếp

-Xét hai ∆EKO EHO.Do OH.OK=R2=OE2⇒

OK OE OE OH

= vaø EOH chung

⇒∆EOK ∆HOE(cgc)⇒OEK=OHE mà OHE=1v⇒OEK=1v hay OE⊥EK điểm E nằm (O)⇒EK tt (O)

-c/m




Baøi 42:

Cho ∆ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D.Qua A kẻ AE AF vuông góc với BN CM.Các đường thẳng AE AF cắt BC I;K

1 C/m AFDE nội tiếp C/m: AB.NC=BN.AB C/m FE//BC

4 Chứng tỏ ADIC nội tiếp Chú ý toán AB>AC

A

N F E M D

K

B I C

1/C/m AFDE nội tiếp.(Hs tự c/m) 2/c/m: AB.NC=BN.AB

Do D giao điểm đường phân giác BN CM của∆ABN ⇒

AN AB DN

BD

= (1) Do CD phân giác ∆ CBN⇒

CN BC DN BD

= (2) Từ (1) (2) ⇒

AN AB CN

BC

= ⇒ñpcm

I

3/c/M fe//bc:

Do BE phân giác ABI BE⊥AI⇒BE đường trung trực AI.Tương tự CF phân giác ∆ACK CF⊥AK⇒CF đường trung trực AK⇒ E F trung điểm AI AK⇒ FE đường trung bình ∆AKI⇒FE//KI hay EF//BC

4/C/m ADIC nt:

Do AEDF nt⇒DAE=DFE(cùng chắn cung DE) Do FE//BC⇒EFD=DCI(so le)




Baøi 43:

Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường tròn tâm O đường kính AB (O’) đường kính AC.Hai đường trịn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

1 Chứng tỏ D nằm BC

2 Gọi M điểm cung nhỏ DC.AM cắt DC E cắt (O) N C/m DE.AC=AE.MC

3 C/m AN=NE O;N;O’ thẳng hàng

4 Gọi I trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o Tính diện tích tam giác AMC

A

O N O’

B D E C M

-Tính DB: Theo PiTaGo ∆ vuông ABC có: BC= 2 152 202 25 = + =

+ AB

AC Aùp

dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC có: AD.BC=AB.AC⇒AD=20.15:25=12

2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xét hai tam giác ADE AMC.Có ADE=1v(cmt) AMC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC(2 góc nt chắn cung nhau) ⇒∆DAE ∆MAC⇒

AC AE MC DE MA DA

=

= (1)⇒Ñpcm

3/C/m:AN=NE:

DAI=DCI⇒ADIC nội tiếp

1/Chứng tỏ:D nằm đường thẳng BC:Do

ADB=1v;ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn) ⇒ADB+ADC=2v ⇒D;B;C thẳng hàng

Do BA⊥AO’(∆ABC Vuông A)⇒BA tt (O’)⇒sđBAE= sđ AM SđAED=sđ

1 (MC+AD) maø cung MC=DM⇒cung MC+AD=AM

⇒ AED =BAC ⇒∆BAE cân B mà BM⊥AE⇒NA=NE

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON đường TB ∆ABE⇒ON//BE OO’//BE ⇒O;N;O’ thẳng hàng

4/Do OO’//BC cung MC=MD ⇒O’M⊥BC⇒O’M⊥OO’⇒∆NO’M vng O’ có O’I trung tuyến ⇒∆INO’ cân I⇒IO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);∆OAN cân

O⇒ONA=OAN⇒OAI=IO’O⇒OAO’I nt⇒OAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v ⇒OIO’=1v 5/ Tính diện tích ∆AMC.Ta có SAMC=

2

AM.MC Ta coù BD=

2

=

BC AB

⇒DC=16

Ta lại có DA2=CD.BD=16.9⇒AD=12;BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= AD2 + DE2 =6 5

Từ(1) tính AM;MC tính S




Baøi 44:

Trên (O;R),ta đặt theo chiều,kể từ điểm A cung AB=60o, cung BC=90o

cung CD=120o

1 C/m ABCD hình thang cân Chứng tỏ AC⊥DB

3 Tính cạnh đường chéo ABCD

4 Gọi M;N trung điểm cạnh DC AB.Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q.C/m MN phân giác góc PMQ

P

A J N K B Q I O D M

C E

Hình 44

1/C/m:ABCD hình thang cân:Do cung BC=90o ⇒BAC=45o (góc nt

bằng nửa cung bị chắn).do cung AB=60o;BC=90o;CD=120o⇒

AD=90o ⇒ACD=45o

⇒BAC=ACD=45o.⇒AB//CD

Vì cung DAB=150o.Cung ABC

=150o.⇒ BCD=CDA ⇒ABCD

thang cân 2/C/mAC⊥DB:

Gọi I giao điểm AC

BD.sđAID=

sñ

cung(AD+BC)=180o=90o.⇒AC⊥DB.

3/Do cung AB=60o⇒AOB=60o⇒∆AOB

Do cung BC=90o ⇒BOC=90o⇒ ∆BOC vuông cân O⇒BC=AD=R 2Do cung CD=120o

⇒DOC=120o.Keû OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60o=

OD DK ⇒DK= R

⇒CD=2DK=R -Tính AC:Do ∆AIB vng cân I⇒2IC2=AB2⇒IA=AB

2 = 2 R

Tương tự IC=

6

R

; AC = DB=IA+IC = 2 ) (

2 R R

R +

= +

4/PN cắt CD E;MQ cắt AB I;PM cắt AB J Do JN//ME ⇒

PE PN ME

JN

= Do AN//DE ⇒

PE PN DE AN

= Do NI//ME ⇒

QE NQ ME

NI

= NB//ME ⇒

QE NQ DE NB

=

⇒NI=NJ.Mà MN⊥AB(tc thang cân)⇒∆JMI cân ởp M⇒MN phân giác…



Baøi45:

Cho ∆ ABC có cạnh a.Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vng góc với DB.Trên Dx lấy điểm E cho ED=DB(D E nằm hai phía đường thẳng AB).Từ E kẻ EF⊥BC Gọi O trung điểm EB

1 C/m AEBC EDFB nội tiếp,xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

2 Kéo dài FE phía F,cắt (D) M.EC cắt (O) N.C/m EBMC thang cân.Tính diện tích

3 c/m EC phân giác góc DAC C/m FD đường trung trực MB Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

6 Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn

E A

N O 

D

B F C M

1/Do ∆ABC tam giác có D giao điểm đường phân giác góc A B⇒BD=DA=DC mà DB=DE⇒A;B;E;C cách D⇒AEBC nt (D)

Tính DB.p dụng cơng thức tính bán kính đường trịn ngoại tiếp đa giác ta

coù: DB= o = AB o =

n Sin

AB

60 sin 180

2

3

a

Do góc EDB=EFB=1v⇒EDFB nội tiếp đường trịn tâm O đường kính EB.Theo Pi Ta Go tam giác vng EDB có:EB2=2ED2=2.(

3

a )2 ⇒EB=

3

a ⇒OE=

6

a

2/C/m EBMC thang cân:

Góc EDB=90o góc tâm (D) chắn cung EB⇒Cung EB=90o⇒góc ECN=45o.⇒∆EFC vng cân F⇒FEC=45o⇒MBC=45o(=MEC=45o)

⇒EFC=CBM=45o⇒BM//EC.Ta có ∆FBM vng cân F⇒BC=EM ⇒EBMC thang cân

Do EBMC thang cân có hai đường chéo vng góc⇒SEBMC=

1BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC=

2 a2

3/C/m EC phân giác góc DCA: Ta có ACB=60o;ECB=45o⇒ACE=15o

Do BD;DC phân giác ∆đều ABC ⇒DCB=ACD=30o ECA=15o ⇒ECD=15o ⇒ECA=ECD⇒EC phân giác góc ECA

4/C/m FD đường trung trực MB:

Do BED=BEF+FED=45o vaø FEC=FED+DEC=45o⇒BEF=DEC vaø

cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF mà BN⊥EC(góc nt chắn nửa đuờng trịn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE hình thang cân)⇒DF⊥BM nhưmg ∆BFM vuông cân F⇒FD đường trung trực MB

5/C/m:A;N;D thẳng hàng: Ta có BND=BED=45o (cùng chắn cung DB) ENB=90o(cmt);ENA góc ngồi ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45o

⇒ENA+ENB+BND=180o⇒A;N;D thẳng hàng 6/Gọi diện tích mặt trăng cần tính là:S

Ta có: S =Snửa (O)-S viên phân EDB S(O)=π.OE2=π.(

6

a )2=

2π

a ⇒S

2 1(O)=

12

2π

a

S quaït EBD= o

o BD 360 90 × π = 12 6 2 π

π a a

=         ×

S∆EBD= 1DB2=

6

2

a

Sviên phân=S quạt EBD - S∆EDB= 12 2π a -6 a = 12 ) (

2 π −

a

 S = 12 2π a -12 ) ( − π a = a

 Baøi 46:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC.Gọi a điểm nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F.Gọi D điểm cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E

1 C/m BD phân giác góc ABC OD//AB C/m ADEF nội tiếp

3 Gọi I giao điểm BD AC.Chứng tỏ CI=CE IA.IC=ID.IB C/m góc AFD=AED

F 1/* C/mBD phân giác góc ABC:Do cung

D E I

A

F A

B O C

Hay OD phân giác ∆ cân AOC⇒OD⊥AC Vì BAC góc nt chắn nửa đường trịn ⇒BA⊥AC 2/C/m ADEF nội tiếp:

Do ADB=ACB(cùng chắn cung AB)

Do ACB=BFC(cùng phụ với góc ABC) Mà ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF nội tiếp 3/C/m: *CI=CE:

Ta có:sđ DCA=

2

1 sđ cung AD(góc nt chắn cung AD) Sđ ECD=

1 sđ cung DC (góc

giữa tt dây)

Mà cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD phân giác ∆ICE.Nhưng CD⊥DB (góc nt chắn nửa đt)⇒CD vừa đường cao,vừa phân giác ∆ICE⇒∆ICE cân C⇒IC=CE

*C/m ∆IAD ∆IBC(có DAC=DBC chắn cung DC) 4/Tự c/m:




Bài47:

Cho nửa đtrịn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B C cho cung AB<AC.AC cắt BD E.Kẻ EF⊥AD F

1 C/m:ABEF nt

2 Chứng tỏ DE.DB=DF.DA

3 C/m:I tâm đường tròn nội tiếp ∆CJD

4 Gọi I giao điểm BD với CF.C/m BI2=BF.BC-IF.IC

Hình 47

OD//BA

C B

E

I M

A F O D

Gọi M trung điểm ED

*C/m:BCMF nội tiếp: Vì FM trung tuyến tam giác vuông FED⇒FM=EM=MD=

2

1ED⇒Các tam giác FEM;MFD cân M⇒MFD=MDF EM F=MFD+MDF=2MDF(góc ngồi ∆MFD)

Vì CA phân giác góc BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt MDF=ACF ⇒BMF=BCF⇒BCMF nội tiếp

*Ta có BFM ∆BIC FBM=CBI(BD phân giác FBC-cmt) vaø BMF=BCI(cmt) ⇒

BC BM BI BF

= ⇒BF.BC=BM.BI

*∆ IFM ∆IBC BIC=FIM(đđ).Do BCMF nội tiếp⇒CFM=CBM(cùng chaén cung CM)⇒

IM IC FI IB

= ⇒IC.IF=IM.IB  Lấy
trừ vế theo vế

⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI2



Baøi 48:

Cho (O) đường kính AB;P điểm di động cung AB cho PA<PB Dựng hình vng APQR vào phía đường trịn.Tia PR cắt (O) C

Hình 47

1/Sử dụng tổng hai góc đối 2/c/m: DE.DB=DF.DA

Xét hai tam giác vuông BDA FDE có goùc D chung

⇒∆BDA ∆FDE⇒đpcm 3/C/m IE tâm đường trịn ngoại tiếp ∆FBC:

Xem câu 35

 ÂO B C/m ∆ACB vuông cân

2 Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J.C/m điểm J;A;Q;B nằm đường tròn

3 Chứng tỏ: CI.QJ=CJ.QP RR

I P

J Q

A R

C

3/C/m: CI.QJ=CJ.QP

Ta cần chứng minh ∆CIJ ∆QPJ AIC=APC(cùng chắn cung AC) APC=JPQ=45o⇒JIC=QPJ

Hơn PCI=IAP( chắn cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ 4/




Hình 48

1/ C/m∆ABC vuông cân:

Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đt) Và APB=1v ;Do APQR hvng có PC đường chéo ⇒PC pg góc APB⇒ cung AC=CB ⇒dây AC=CB

⇒∆ABC vuông cân 2/C/m JANQ nội tiếp: Vì APJ=JPQ=45o.(t/c hv);PJ chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ ⇒ góc PAJ=PQJ mà JAB=PAJ PQJ+JQB=2v⇒

Baøi 49:

Cho nửa (O) đường kính AB=2R.Trên nửa đường trịn lấy điểm M cho cung AM<MB.Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tt Ax By D C

1 Chứng tỏ ADMO nội tiếp Chứng tỏ AD.BC=R2

3 Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh:AMFN hình thang cân

4 Xác định vị trí M nửa đường tròn để DE=EF F

C E

M D

N A O B 1/C/m ADMO nt:Sử dụng tổng hai góc đối

2/C/m: AD.BC=R2

C/m:DOC vng O: Theo tính chất hai tt cắt ta có ADO=MDO ⇒MOD=DOA.Tương tự MOC=COB.Mà : MOD+DOA+MOC+COB=2v ⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v

Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOC có OM đường cao ta có:DM.MC=OM2.Mà DM=AD;MC=CB(t/c hai tt cắt nhau) OM=R ⇒đpcm

3/Do AD=MD(t/c hai tt cắt nhau)và ADO=ODM ⇒OD đường trung trực AM hay DO⊥AM Vì FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) FA cắt MN D

⇒D trực tâm ∆FNO⇒DO⊥FN.Vậy AM//FN

Vì ∆OAM cân O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO AMO=NFO ⇒FNO=NFO FNAM thang cân

4/Do DE=FE nên EM trung tuyến ∆ vng FDM⇒ED=EM.
Vì DMA=DAM DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM cân D hay DM=DE.Từ
và ⇒∆EDM ∆ ⇒ODM=60o⇒AOM=60o.Vậy M nằm vị trí cho cung AM=1/3 nửa đường trịn




Bài 50:

Cho hình vng ABCD,E điểm thuộc cạnh BC.Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE ,đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

1 Chứng minh:BHCD nt Tính góc CHK

3 C/m KC.KD=KH.KB

4 Khi E di động BC H di động đường nào?

A D

B E C H

K

KCB KHD đồng dạng

4/Do BHD=1v không đổi ⇒E di chuyển BC H di động đường trịn đường kính DB




1/ C/m BHCD nt(Sử dụng H C làm với hai đầu đoạn thẳng DB…)

2/Tính góc CHK:

Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cùng chắn cung DC) mà DBC=45o (tính chất hình

vuông)⇒DHC=45o mà DHK=1v(gt)⇒CHK=45o 3/C/m KC.KD=KH.KB

Chứng minh hai tam giác vuông

Bài 51:Cho (O), từ điểm A nằm đường tròn (O), vẽ hai tt AB AC với

đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp

2 Chứng tỏ AB2=AE.AD

3 C/m góc

AOC ACB= ∆BDC cân CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB

1/C/m: ABOC nt:(HS tự c/m)

2/C/m: AB2=AE.AD Chứng minh ∆ADB ∆ABE , có E chung Sđ
ABE =

2

1sñ cung 

BE (góc tt dây) Sđ BDE
=

2

1sđ 

BE (góc nt chắn BE) 3/C/m

AOC ACB=

* Do ABOC nt⇒

AOC ABC= (cùng chắn cung AC); AC = AB (t/c tt cắt nhau) ⇒ ∆ABC cân A⇒

ABC ACB= ⇒AOC ACB
=

* sñ
ACB =

2

1sđ 

BEC (góc tt dây); sđ
BDC =

2

1sñ 

BEC (góc nt) ⇒
BDC=
ACB mà
ABC=BDC
(do CD//AB) ⇒

BDC BCD= ⇒ ∆BDC cân B

4/ Ta có I chung;

IBE ECB= (góc tt dây; góc nt chắn cung BE)⇒ ∆IBE ∆ICB⇒

IC IB IB IE

= ⇒ IB2=IE.IC
Xét ∆IAE ICA có I chung; sñ
IAE =

2

1sñ (  

DB BE− ) mà ∆BDC cân B⇒

 

DB BC= ⇒sñ
IAE=sñ (BC-BE) = sñ CE= sđ ECA  

Hình 51

I

E

D

C B

⇒ ∆IAE ∆ICA⇒

IA IE IC IA

= ⇒IA2=IE.IC Từ
và⇒IA2=IB2⇒ IA=IB

Baøi 52:

Cho ∆ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp (O) đường kính AA’

1 Tính bán kính (O)

2 Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ hình gì? Kẻ AK⊥CC’ C/m AKHC hình thang cân

4 Quay ∆ABC vịng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh hình tạo

Hình bình hành Vì AA’=CC’(đường kính đường trịn)⇒AC’A’C hình chữ nhật

3/ C/m: AKHC thang cân:

 ta có AKC=AHC=1v⇒AKHC nội tiếp.⇒HKC=HAC(cùng chắn cung HC) mà

∆OAC cân O⇒OAC=OCA⇒HKC=HCA⇒HK//AC⇒AKHC hình thang

 Ta lại có:KAH=KCH (cùng chắn cung KH)⇒ KAO+OAC=KCH+OCA⇒Hình

thang AKHC có hai góc đáy nhau.Vậy AKHC thang cân

4/ Khi Quay ∆ ABC quanh trục AH hình sinh hình nón Trong BH bán kính đáy; AB đường sinh; AH đường cao hình nón

Sxq= 1p.d=

2

1.2π.BH.AB=15π

1/Tính OA:ta có BC=6; đường cao AH=4 ⇒ AB=5; ∆ABA’ vuông B⇒BH2=AH.A’H

⇒A’H=

AH BH2 =

4 ⇒AA’=AH+HA’= 25 ⇒AO= 25

2/ACA’C’ hình gì? Do O trung điểm AA’ vaø CC’⇒ACA’C’ laø

V= 1B.h=

3

1πBH2.AH=12π

Bài 53:Cho(O) hai đường kính AB; CD vng góc với Gọi I trung điểm OA

Qua I vẽ dây MQ⊥OA (M∈ cung AC ; Q∈ AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P

1 C/m: a/ PMIO thang vuông b/ P; Q; O thẳng hàng

2 Gọi S Giao điểm AP với CQ Tính Góc CSP Gọi H giao điểm AP với MQ Cmr:

a/ MH.MQ= MP2

b/ MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆QHP

và CM=QD ⇒ CP=QD ⇒ sđ CSP=

1sñ(AQ+CP)= sñ CSP=

1sñ(AQ+QD)

=

1sđAD=45o.Vậy CSP=45o

3/ a/ Xét hai tam giác vng: MPQ MHP có : Vì ∆ AOM cân O; I trung điểm AO; MI⊥AO⇒∆MAO tam giác cân M⇒ ∆AMO tam giác ⇒ cung AM=60o MC = CP =30o ⇒ cung MP = 60o ⇒ cung AM=MP ⇒ góc MPH= MQP (góc nt chắn hai cung nhau.)⇒ ∆MHP ∆MQP⇒ đpcm

b/ C/m MP tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ QHP

Gọi J tâm đtròn ngoại tiếp ∆QHP.Do cung AQ=MP=60o⇒ ∆HQP cân H QHP=120o⇒J nằm đường thẳng HO⇒ ∆HPJ tam giác mà

1/ a/ C/m MPOI thang vuông

Vì OI⊥MI; CO⊥IO(gt) ⇒CO//MI mà MP⊥CO ⇒MP⊥MI⇒MP//OI⇒MPOI thang vuông

b/ C/m: P; Q; O thẳng hàng: Do MPOI thang vuông ⇒IMP=1v hay QMP=1v⇒ QP đường kính (O)⇒ Q; O; P thẳng hàng

2/ Tính góc CSP: Ta có

sđ CSP=

1 sđ(AQ+CP) (góc có đỉnh nằm đường tròn) mà cung CP = CM

HPM=30o⇒MPH+HPJ=MPJ=90o hay JP⊥MP P nằm đường trịn ngoại tiếp ∆HPQ ⇒đpcm

Bài 54:

Cho (O;R) cát tuyến d không qua tâm O.Từ điểm M d (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đườmg tròn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai C.Gọi H chân đường vng góc hạ từ O xuống d.Đường thẳng vng góc với BC O cắt AM D

1 C/m A; O; H; M; B nằm đường tròn C/m AC//MO MD=OD

3 Đường thẳng OM cắt (O) E F Chứng tỏ MA2=ME.MF

4 Xác định vị trí điểm M d để ∆MAB tam giác đều.Tính diện tích phần tạo hai tt với đường trịn trường hợp

C/mMD=OD Do OD//MB (cùng ⊥CB)⇒DOM=OMB(so le) mà

OMB=OMD(cmt)⇒DOM=DMO⇒∆DOM cân D⇒đpcm

3/C/m: MA2=ME.MF: Xét hai tam giác AEM MAF có góc M chung Sđ EAM=

2

1sd cungAE(góc tt dây) Sđ AFM=

2

1sđcungAE(góc nt chắn cungAE) ⇒EAM=A FM ⇒∆MAE ∆MFA⇒đpcm

4/Vì AMB tam giác đều⇒góc OMA=30o⇒OM=2OA=2OB=2R Gọi diện tích cần tính S.Ta có S=S OAMB-Squạt AOB

Hình 54

1/Chứng minh OBM=OAM=OHM=1v 2/ C/m AC//OM: Do MA MB hai tt cắt ⇒BOM=OMB MA=MB ⇒MO đường trung trực AB⇒MO⊥AB

Mà BAC=1v (góc nt chắn nửa đtròn ⇒CA⊥AB Vậy AC//MO

d

H C

E O F

B

Ta coù AB=AM= 2

OA

OM − =R 3⇒S AMBO=

2

1BA.OM=

1.2R R 3= R2

3⇒ Squaït=

360 120 R π = R

π ⇒S= R2

3 -3 R π =( ) 3

3 −π R2




Baøi 55:

Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ tiếp tuyến Ax By phía với nửa đường trịn Gọi M điểm cung AB N điểm đoạn AO Đường thẳng vng góc với MN M cắt Ax By D C

1 C/m AMN=BMC C/m∆ANM=∆BMC

3 DN cắt AM E CN cắt MB F.C/m FE⊥Ax Chứng tỏ M trung điểm DC

1/C/m AMN=BMA

Ta có AMB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) NM⊥DC⇒NMC=1v vậy: AMB=AMN+NMB=NMB+BMC=1v⇒ AMN=BMA

2/C/m ∆ANM=∆BCM:

Do cung AM=MB=90o.⇒dây AM=MB MAN=MBA=45o.(∆AMB vuông cân M)⇒MAN=MBC=45o

Theo c/mt CMB=AMN⇒ ∆ANM=∆BCM(gcg) 3/C/m EF⊥Ax

Do ADMN nt⇒AMN=AND(cùng chắn cung AN) Do MNBC nt⇒BMC=CNB(cùng chắn cung CB)

⇒ AND=CNB

Mà AMN=BMC (chứng minh câu 1)

Ta lại có AND+DNA=1v⇒CNB+DNA=1v ⇒ENC=1v mà EMF=1v ⇒EMFN nội tiếp ⇒EMN= EFN(cùng chắn cung NE)⇒ EFN=FNB

⇒ EF//AB mà AB⊥Ax ⇒ EF⊥Ax 4/C/m M trung điểm DC:

Ta có NCM=MBN=45o.(cùng chắn cung MN)

⇒∆NMC vuông cân M⇒ MN=NC Và ∆NDC vuông cân N⇒NDM=45o ⇒∆MND vuông cân M⇒ MD=MN⇒ MC= DM ⇒đpcm




Baøi 56:

Từ điểm M nằm (O) kẻ hai tiếp tuyến MA MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C kẻ CD⊥AB; CE⊥MA; CF⊥MB Gọi I K giao điểm AC với DE BC với DF

1 C/m AECD nt C/m:CD2=CE.CF

3 Cmr: Tia đối tia CD phân giác góc FCE C/m IK//AB

1/C/m: AECD nt: (dùng phương pháp tổng hai góc đối) 2/C/m: CD2=CE.CF

Xét hai tam giác CDF CDE có:

-Do AECD nt⇒CED=CAD(cùng chắn cung CD) -Do BFCD nt⇒CDF=CBF(cùng chắn cung CF)

Hình 56

x K

I D

F

E

M

O

B A

Mà sđ CAD=

1sđ cung BC(góc nt chắn cung BC) Và sđ CBF=

2

sđ cung BC(góc tt dây)⇒FDC=DEC

Do AECD nt BFCD nt ⇒DCE+DAE=DCF+DBF=2v.Mà MBD=DAM(t/c hai tt cắt nhau)⇒DCF=DCE.Từ
và ⇒∆CDF ∆CED⇒đpcm

3/Gọi tia đối tia CD Cx,Ta có góc xCF=180o-FCD

xCE=180o-ECD.Mà theo cmt có: FCD= ECD⇒ xCF= xCE.⇒đpcm 4/C/m: IK//AB

Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)

Do ADCE nt⇒CDE=CAE(cùng chắn cung CE)

ABC+CAE(góc nt góc tt… chắn cung)⇒CBA=CDI.trong ∆CBA có BCA+CBA+CAD=2v hay KCI+KDI=2v⇒DKCI nội tiếp⇒ KDC=KIC (cùng chắn cung CK)⇒KIC=BAC⇒KI//AB

Baøi 57:

Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax Ax lấy điểm P cho P>R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn

1 C/m BM/ / OP

2 Đường vng góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN hình bình hành

3 AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng

1/ C/m:BM//OP:

Ta có MB⊥AM (góc nt chắn nửa đtròn) OP⊥AM (t/c hai tt cắt nhau) ⇒ MB//OP

Hình 57

Q J

K

N

I P

O

A B

2/ C/m: OBNP hình bình hành:

Xét hai ∆ APO OBN có A=O=1v; OA=OB(bán kính) NB//AP ⇒ POA=NBO (đồng vị)⇒∆APO=∆ONB⇒ PO=BN Mà OP//NB (Cmt) ⇒ OBNP hình bình hành

3/ C/m:I; J; K thẳng hàng:

Ta có: PM⊥OJ PN//OB(do OBNP hbhành) mà ON⊥AB⇒ON⊥OJ⇒I trực tâm ∆OPJ⇒IJ⊥OP

-Vì PNOA hình chữ nhật ⇒P; N; O; A; M nằm đường tròn tâm K, mà MN//OP⇒ MNOP thang cân⇒NPO= MOP, ta lại có NOM = MPN (cùng chắn cung NM) ⇒IPO=IOP

⇒∆IPO cân I Và KP=KO⇒IK⊥PO Vậy K; I; J thẳng

haøng

   

Bài 58:Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vng góc với AB

tại O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I

1 C/m ∆ABI vuông cân

2 Lấy D điểm cung BC, gọi J giao điểm AD với Bt C/m AC.AI=AD.AJ

3 C/m JDCI nội tiếp

4 Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DH⊥AB Cmr: AK qua trung điểm DH

1/C/m ∆ABI vuông cân(Có nhiều cách-sau C/m cách):

-Ta có ACB=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)⇒∆ABC vng C.Vì OC⊥AB trung điểm O⇒AOC=COB=1v

⇒ cung AC=CB=90o ⇒CAB=45 o (góc nt nửa số đo cung bị chắn)

Hình 58

N

H J

K I

C

O

A B

∆ABC vuông cân C Mà Bt⊥AB có góc CAB=45 o ⇒ ∆ABI vng cân B 2/C/m: AC.AI=AD.AJ

Xeùt hai ∆ACD AIJ có góc A chung sđ góc CDA=

1sđ cung AC =45o Mà ∆ ABI vuông cân B⇒AIB=45 o.⇒CDA=AIB⇒ ∆ADC ∆AIJ⇒đpcm 3/ Do CDA=CIJ (cmt) CDA+CDJ=2v⇒ CDJ+CIJ=2v⇒CDJI nội tiếp 4/Gọi giao điểm AK DH N Ta phải C/m:NH=ND

-Ta có:ADB=1v DK=KB(t/c hai tt cắt nhau) ⇒KDB=KBD.Mà KBD+DJK= 1v KDB+KDJ=1v⇒KJD=JDK⇒∆KDJ cân K ⇒KJ=KD ⇒KB=KJ

-Do DH⊥ JB⊥AB(gt)⇒DH//JB p dụng hệ Ta lét tam giác AKJ AKB ta có:

AK AN JK DN = ; AK AN KB NH = ⇒ KB NH JK DN

= maø JK=KB⇒DN=NH




Baøi 59:

Cho (O) hai đường kính AB; CD vng góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M

1 Chứng minh: NMBO nội tiếp

2 CD đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3 C/m hệ thức: AM.DN=AC.DM

4 Nếu ON=NM Chứng minh MOB tam giác

1/C/m NMBO nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB:

-Do AB⊥CD trung điểm O AB CD.⇒Cung AD=DB=CB=AC=90 o ⇒sñ

AMD=

1sñcungAD=45o

sñ DMB=

2

1sđcung DB=45o.⇒AMD=DMB=45o.Tương tự CAM=45o ⇒EMC=CMA=45o.Vậy CM MD phân giác góc góc ngồi góc AMB

3/C/m: AM.DN=AC.DM

Xét hai tam giác ACM NMD có CMA=NMD=45 o.(cmt) Và CAM=NDM(cùng chắn cung CM)⇒∆AMC ∆DMN⇒đpcm 4/Khi ON=NM ta c/m ∆MOB tam giác

Do MN=ON⇒∆NMO vcân N⇒NMO=NOM.Ta lại có: NMO+OMB=1v NOM+MOB=1v⇒OMB=MOB.Mà OMB=OBM ⇒OMB=MOB=OBM⇒∆MOB tam giác




Baøi 60:

Cho (O) đường kính AB, d tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự hình chiếu A B lên đường thẳng d

1 C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB

3 Vẽ đường cao CH ∆ABC.Chứng minh AH=AD BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD.BE

5 Chứng minh:DH//CB

Hình 59

Hình 60 1/C/m: CD=CE:

Do

AD⊥d;OC⊥d;BE⊥d ⇒AD//OC//BE.Mà

OH=OB⇒OC

đường trung bình hình thang ABED⇒ CD=CE 2/C/m AD+BE=AB Theo tính chất đường trung bình

d

H

E D

O

A B

của hình thang ta coù:OC=

AD

BE + ⇒BE+AD=2.OC=AB

3/C/m BH=BE.Ta có: sđ BCE=

2

1sdcung CB(góc tt dây) sđ CAB=

2

1sđ cung CB(góc nt)⇒ECB=CAB;∆ACB cng C⇒HCB=HCA

⇒HCB=BCE⇒ ∆HCB=∆ECB(hai tam giác vuông có cạnh huyền góc nhọn nhau) ⇒HB=BE

-C/m tương tự có AH=AD 4/C/m: CH2=AD.BE

∆ACB có C=1v CH đường cao ⇒CH2=AH.HB Mà AH=AD;BH=BE ⇒ CH2=AD.BE

5/C/m DH//CB

Do ADCH nội tiếp ⇒ CDH=CAH (cùng chắn cung CH) mà CAH=ECB (cmt) ⇒ CDH=ECB ⇒DH//CB




Baøi 61:

Cho ∆ABC có: A=1v.D điểm nằm cạnh AB.Đường trịn đường kính BD cắt BC E.các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn điểm thứ hai F G

1 C/m CAFB nội tiếp C/m AB.ED=AC.EB Chứng tỏ AC//FG

4 Chứng minh AC;DE;BF đồng quy

1/C/m CAFB nội tiếp(Sử dụng Hai điểm A; Fcùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC) 2/C/m ∆ABC ∆EBD đồng dạng

3/C/m AC//FG:

Do ADEC nội tiếp ⇒ACD=AED(cùng chắn cung AD) Mà DFG=DEG(cùng chắn cung GD)⇒ACF=CFG⇒AC//FG 4/C/m AC; ED; FB đồng quy:

AC FB kéo dài cắt K.Ta phải c/m K; D; E thẳng hàng

BA⊥CK CF⊥KB; AB∩CF=D⇒D trực tâm ∆KBC⇒KD⊥CB Mà DE⊥CB(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒Qua điểm D có hai đường thẳng vng góc với BC⇒Ba điểm K;D;E thẳng hàng.⇒đpcm

Baøi 62:

Cho (O;R) đường thẳng d cố định không cắt (O).M điểm di động d.Từ M kẻ tiếp tuyến MP MQ với đường tròn Hạ OH⊥d H dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K

1 C/m: MHIK nội tiếp 2/C/m OJ.OH=OK.OM=R2

3 CMr M di động d vị trí I ln cố định

1/C/m MHIK nội tiếp (Sử dụng tổng hai góc đối) 2/C/m: OJ.OH=OK.OM=R2

-Xét hai tam giác OIM OHK có O chung

Do HIKM nội tiếp⇒IHK=IMK(cùng chắn cung IK) ⇒∆OHK ∆OMI ⇒

OI OK OM

OH

= ⇒OH.OI=OK.OM

OPM vng P có đường cao PK.áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có:OP2=OK.OM.Từ
và ⇒đpcm

4/Theo cm câu2 ta có OI=

OH

R2 mà R bán kính nên khơng đổi.d cố định nên OH

không đổi ⇒OI không đổi.Mà O cố định ⇒I cố định



Hình 62 d

K I

H M O

Baøi 63:

Cho ∆ vuông ABC(A=1v) AB<AC.Kẻ đường cao AH.Trên tia đối tia HB lấy HD=HB từ C vẽ đường thẳng CE⊥AD E

1 C/m AHEC nội tiếp

2 Chứng tỏ CB phân giác góc ACE ∆AHE cân C/m HE2=HD.HC

4 Gọi I trung điểm AC.HI cắt AE J.Chứng minh: DC.HJ=2IJ.BH EC kéo dài cắt AH K.Cmr AB//DK tứ giác ABKD hình thoi

-C/m ∆HAE cân: Do HAD=ACH(cmt) AEH=ACH(cùng chắn cung AH) ⇒HAE=AEH⇒∆AHE cân H

3/C/m: HE2=HD.HC.Xét ∆HED HEC có H chung.Do AHEC nt ⇒DEH=ACH(

chắn cung AH) mà ACH=HCE(cmt) ⇒DEH=HCE ⇒∆HED ∆HCE⇒đpcm 4/C/m DC.HJ=2IJ.BH:

Do HI trung tuyến tam giác vuông AHC⇒HI=IC⇒∆IHC cân I

⇒IHC=ICH.Mà ICH=HCE(cmt)⇒IHC=HCE⇒HI//EC.Mà I trung điểm AC⇒JI đường trung bình ∆AEC⇒JI=

2 EC

Xét hai ∆HJD EDC có: -Do HJ//Ecvà EC⊥AE⇒HJ⊥JD ⇒HJD=DEC=1v HDJ=EDC(đđ)⇒∆JDH~∆EDC⇒

DC HD EC JH

=

⇒JH.DC=EC.HD mà HD=HB EC=2JI⇒đpcm

5/Do AE⊥KC CH⊥AK AE CH cắt D⇒D trực tâm ∆ACK⇒KD⊥AC mà AB⊥AC(gt)⇒KD//AB

-Do CH⊥AK CH phân giác ∆CAK(cmt)⇒∆ACK cân C AH=KH;Ta lại có BH=HD(gt),mà H giao điểm đường chéo tứ giác ABKD⇒ ABKD hình bình hành.Nhưng DB⊥AK⇒ ABKD hình thoi

Hình 63 1/C/m AHEC nt (sử dụng hai điểm E H…)

2/C/m CB phân giác ACE

Do AH⊥DB BH=HD ⇒∆ABD tam giác cân A ⇒BAH=HAD mà BAH=HCA (cùng phụ với góc B)

Do AHEC nt

⇒HAD=HCE (cùng chắn cung HE) ⇒ACB=BCE ⇒đpcm

J

I

K

E D H

B C

Baøi 64:

Cho tam giác ABC vng cân A.Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE ⊥Bx E.Hai đường thẳng AB CE cắt F

1 C/m FD⊥BC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp

3 Chứng tỏ EA phân giác góc DEF

4 Nếu Bx quay xung quanh điểm B E di động đường nào?

1/ C/m: FD⊥BC: Do BEC=1v;BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn).Hay BE⊥FC; CA⊥FB.Ta lại có BE cắt CA D⇒D trực tâm ∆FBC⇒FD⊥BC

Tính góc BFD:Vì FD⊥BC BE⊥FC nên BFD=ECB(Góc có cạnh tương ứng vng góc).Mà ECB=ACB(cùng chắn cung AB) mà ACB=45o⇒BFD=45o 2/C/m:ADEF nội tiếp:Sử dụng tổng hai góc đối

3/C/m EA phân giác góc DEF

Ta có AEB=ACB(cùng chắn cung AB).Mà ACB=45o(∆ABC vuông cân A) ⇒AEB=45o.Mà DEF=90o⇒FEA=AED=45o⇒EA phân giác…

4/Neâùu Bx quay xung quanh B : -Ta có BEC=1v;BC cố định

-Khi Bx quay xung quanh B Thì E di động đường trịn đường kính BC -Giới hạn:Khi Bx≡ BC Thì E≡C;Khi Bx≡AB E≡A Vậy E chạy cung phần tư AC đường trịn đường kính BC




Hình 64

D E

A

O C

Baøi 65:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By hai tiếp tuyến nửa đường trịn Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP với AM; E giao điểm CQ với BM

1/cm: ACMP nội tiếp 2/Chứng tỏ AB//DE

3/C/m: M; P; Q thẳng hàng

Q M

P

D E

A C O B 1/Chứng minh:ACMP nội tiếp(dùng tổng hai góc đối) 2/C/m AB//DE:

Do ACMP nội tiếp ⇒PAM=CPM(cùng chaén cung PM)

Chứng minh tương tự,tứ giác MDEC nội tiếp⇒MCD=DEM(cùng chắn cung MD).Ta lại có:

Sđ PAM=

2

1sđ cung AM(góc tt dây)

Sđ ABM=

1sđ cung AM(góc nội tiếp)

⇒ABM=MED⇒DE//AB

3/C/m M;P;Q thẳng hàng:

Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn tam giác vuông PMC) PCM+MCQ=1v ⇒MPC=MCQ

Ta lại có ∆PCQ vuông C⇒MPC+PQC=1v⇒MCQ+CQP=1v hay CMQ=1v⇒PMC+CMQ=2v⇒P;M;Q thẳng hàng




Baøi 66:

Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB điểm M nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đưởng tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax.Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E; cắt tia BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K

1 C/m: IA2=IM.IB C/m: ∆BAF cân

3 C/m AKFH hình thoi

4 Xác định vị trí M để AKFI nội tiếp

I

F M H

E K

A B

1/C/m: IA2=IM.IB: (chứng minh hai tam giác IAB IAM đồng dạng) 2/C/m ∆BAF cân:

Ta có sđ EAB=

1sđ cung BE(góc nt chắn cung BE)

Sñ AFB =

1sđ (AB -EM)(góc có đỉnh ngồi đtrịn)

Do AF phân giác góc IAM nên IAM=FAM⇒cung AE=EM ⇒ sñ AFB=

2

1sñ(AB-AE)=

1sđ cung BE⇒FAB=AFB⇒đpcm 3/C/m: AKFH hình thoi:

Do cung AE=EM(cmt)⇒MBE=EBA⇒BE phân giác ∆cân ABF ⇒ BH⊥FA AE=FA⇒E trung điểm ⇒HK đường trung trực FA ⇒AK=KF AH=HF

Do AM⇒BF BH⊥FA⇒K trực tâm ∆FAB⇒FK⊥AB mà AH⊥AB ⇒AH//FK ⇒Hình bình hành AKFH hình thoi

5/ Do FK//AI⇒AKFI hình thang.Để hình thang AKFI nội tiếp AKFI phải thang cân⇒góc I=IAM⇒∆AMI tam giác vuông cân ⇒∆AMB vuông cân M⇒M điểm cung AB




Bài 67:

Cho (O; R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khác A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh:

1 COMNP nội tiếp

2 CMPO hình bình hành

3 CM.CN không phụ thuộc vào vị trí M

4 Khi M di động AB P chạy đoạn thẳng cố định

C

K

A O M B N

D P y

Do OPNM nội tiếp⇒OPM=ONM(cùng chắn cung OM) ∆OCN cân O ⇒ONM=OCM⇒OCM=OPM

Gọi giao điểm MP với (O) K.Ta có PMN=KMC(đ đ) ⇒OCM=CMK ⇒CMK=OPM⇒CM//OP.Từ
 ⇒CMPO hình bình hành

3/Xét hai tam giác OCM NCD có:CND=1v(góc nt chắn nửa đtrịn)

⇒NCD tam giác vuông.⇒Hai tam giác vuông COM CND có góc C chung

⇒∆OCM~∆NCD⇒CM.CN=OC.CD

Từ  ta có CD=2R;OC=R.Vậy trở thành:CM.CN=2R2 khơng đổi.vậy tích CM.CN khơng phụ thuộc vào vị trí vị trí M

Hình 67

1/c/m:OMNP nội tiếp:(Sử dụng hai điểm M;N làm với hai đầu đoạn OP góc vng

2/C/m:CMPO hình bình hành:

Ta có:

4/Do COPM hình bình hành⇒MP//=OC=R⇒Khi M di động AB P di động đường thẳng xy thoả mãn xy//AB cách AB khoảng R không đổi




Baøi 68:

Cho ∆ABC có A=1v AB>AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường trịn đường kính BH nửa đường trịn đường kính HC Hai nửa đường tròn cắt AB AC E F Giao điểm FE AH O Chứng minh:

1 AFHE hình chữ nhật BEFC nội tiếp

3 AE AB=AF AC

4 FE tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Chứng tỏ:BH HC=4 OE.OF

A

E O

F

B I H K C

1/ C/m: AFHE hình chữ nhật BEH=HCF(góc nt chắn nửa đtrịn); EAF=1v(gt) ⇒đpcm

2/ C/m: BEFC nội tiếp: Do AFHE hình chữ nhật.⇒∆OAE cân O ⇒AEO=OAE Mà OAE=FCH(cùng phụ với góc B)⇒AEF=ACB mà AEF+BEF=2v⇒BEF+BCE=2v⇒đpcm

3/ C/m: AE.AB=AF.AC: Xeùt hai tam giác vuông AEF ACB có AEF=ACB(cmt) ⇒∆AEF~∆ACB⇒đpcm

4/ Gọi I K tâm đường trịn đường kính BH CH.Ta phải c/m FE⊥IE FE⊥KF

-Ta có O giao điểm hai đường chéo AC DB hcnhật AFHE⇒EO=HO; IH=IK bán kính); AO chung⇒ ∆IHO=∆IEO ⇒IHO=IEO mà IHO=1v (gt)⇒ IEO=1v⇒ IE⊥OE diểm E nằm đường tròn ⇒đpcm Chứng minh tương tự ta có FE tt đường trịn đường kính HC

5/ Chứng tỏ:BH.HC=4.OE.OF

1

C

H O

Bài 69:

Cho ∆ABC có A=1v AH⊥BC.Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d tiếp tuyến đường tròn điểm A.Các tiếp tuyến B C cắt d theo thứ tự D E

1 Tính góc DOE

2 Chứng tỏ DE=BD+CE

3 Chứng minh:DB.CE=R2.(R bán kính đường trịn tâm O) C/m:BC tiếp tuyến đtrịn đường kính DE

E

I A

D

B

1/Tính góc DOE: ta có D1=D2 (t/c tiếp tuyến cắt nhau);OD chung⇒Hai tam giác vuông DOB DOA⇒O1=O2.Tương tự O3=O4.⇒O1+O4=O2+O3

Ta lại có O1+O2+O3+O4=2v⇒ O1+O4=O2+O3=1v hay DOC=90o 2/Do DA=DB;AE=CE(tính chất hai tt cắt nhau) DE=DA+AE ⇒DE=DB+CE

3/Do ∆DE vng O(cmt) OA⊥DE(t/c tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vng DOE có :OA2=AD.AE.Mà AD=DB;AE=CE;OA=R(gt)

⇒R2=AD.AE

4/Vì DB EC tiếp tuyến (O)⇒DB⊥BC DE⊥BC⇒BD//EC.Hay BDEC hình thang

Gọi I trung điểm DE⇒I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DOE.Mà O trung điểm BC⇒OI đường trung bình hình thang BDEC⇒OI//BD

Ta lại có BD⊥BC⇒OI⊥BC O nằm đường tròn tâm I⇒BC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆DOE




Baøi 70:

Cho ∆ABC(A=1v); đường cao AH.Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH.Gọi HD đường kính đường trịn (A;AH).Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E

1 Chứng minh ∆BEC cân

2 Gọi I hình chiếu A BE.C/m:AI=AH C/m:BE tiếp tuyến đường tròn

4 C/m:BE=BH+DE

5 Gọi đường trịn đường kính AH có Tâm K.Và AH=2R.Tính diện tích hình tạo đường trịn tâm A tâm K

D E I A

K

C H B

1/C/m:∆BEC cân:.Xét hai tam giác vng ACH AED có:AH=AD(bán kính);CAH=DAE(đ đ).Do DE tiếp tuyến (A)⇒HD⊥DE DH⊥CB gt)⇒DE//CH⇒DEC=ECH⇒∆ACH=∆AED⇒CA=AE⇒A trung điểm CE có BA⊥CE⇒BA đường trung trực CE⇒∆BCE cân B

2/C/m:AI=AH Xét hai tam giác vng AHB AIB(vng H I) có AB chung BA đường trung trực ∆cân BCE(cmt) ⇒ABI=ABH ⇒∆AHB=∆AIB ⇒AI=AH

3/C/m:BE tiếp tuyến (A;AH).Do AH=AI⇒I nằm đường tròn (A;AH) mà BI⊥AI I⇒BI tiếp tuyến (A;AH)

4/C/m:BE=BH+ED

Theo cmt có DE=CH BH=BI;IE=DE(t/c hai tt cắt nhau).Mà BE=BI+IE ⇒đpcm

5/Gọi S diện tích cần tìm.Ta coù:

S=S(A)-S(K)=πAH2-πAK2=πR2-




Baøi 71:

Trên cạnh CD hình vng ABCD,lấy điểm M bất kỳ.Đường trịn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q cắt đường trịn đường kính CD điểm thứ hai N.Tia DN cắt cạnh BC P

1 C/m:Q;N;C thẳng hàng CP.CB=CN.CQ

3 C/m AC MP cắt điểm nằm đường tròn đường kính AM

A Q B

O P N H

D I M C

-Do DNC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn tâm I)⇒QND+DNC=2v⇒đpcm

2/C/m: CP.CB=CN.CQ.C/m hai tam giác vuông CPN CBQ đồng dạng (có góc C chung)

3/Gọi H giao điểm AC với MP.Ta phải chứng minh H nằm đường trịn tâm O,đường kính AM

-Do QBCM hcnhật⇒∆MQC=∆BQC

Xét hai tam giác vng BQC CDP có:QCB=PDC(cùng góc MQC); DC=BC(cạnh hình vng)⇒∆BQC=∆CDP⇒∆CDP=∆MQC⇒PC=MC.Mà C=1v⇒∆PMC vng cân C⇒MPC=45o DBC=45o(tính chất hình vng)

1/C/m:Q;N;C thẳng hàng:

Gọi Tâm đường trịn đường kính AM O đường trịn đường kính DC I -Do AQMD nội tiếp nên ADM+AMQ=2v Mà ADM=1v

⇒AQM=1v DAQ=1v⇒AQMD hình chữ nhật ⇒DQ đường kính (O)

⇒QND=1v(góc nt chắn nửa đường tròn

⇒MP//DB.Do AC⊥DB⇒MP⊥AC H⇒AHM=1v⇒H nằm đường tròn tâm O đường kính AM




Bài 72:

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O.D E theo thứ tự điểm cung AB;AC.Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự H K

1 C/m:∆AHK caân

2 Gọi I giao điểm BE với CD.C/m:AI⊥DE C/m CEKI nội tiếp

4 C/m:IK//AB

5 ∆ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC

A

E D H K

I •O

B C

2/c/m:AI⊥DE

Do cung AE=EC⇒ABE=EBC(góc nt chắn cung nhau)⇒BE phân giác góc ABC.Tương tự CD phân giác góc ACB.Mà BE cắt CD I⇒I giao điểm đường phân giác ∆AHK⇒AI phân giác tứ mà ∆AHK cân A⇒AI⊥DE

3/C/m CEKI nội tiếp:

Ta có DEB=ACD(góc nt chắn cung AD=DB) hay KEI=KCI⇒đpcm 4/C/m IK//AB

Do KICE nội tiếp⇒IKC=IEC(cùng chắn cung IC).Mà IEC=BEC=BAC(cùng chắn cung BC)⇒BAC=IKC⇒IK//AB

1/C/m:∆AKH cân: sđ AHK=

2

1sđ(DB+AE)

sđ AKD=

1sđ(AD+EC) (Góc có đỉnh nằm đường trịn)

Mà Cung AD+DB; AE=EC(gt)

⇒AHK=AKD⇒đpcm

5/∆ABC phải có thêm điều kiện để AI//EC:

Nếu AI//EC EC⊥DE (vì AI⊥DE)⇒DEC=1v⇒DC đường kính (O) mà DC phân giác ACB(cmt)⇒∆ABC cân C




Baøi 73:

Cho ∆ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ từ C kẻ đường vng góc CD với AA’,đường cắt BA’ E

1 C/m goùc DA’C=DA’E C/m ∆A’DC=∆A’DE

3 Chứng tỏ AC=AE.Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường nào? C/m BAC=2.CEB

A

E O A’

D B C

⇒sñCA’D=

1sđ(A’C+AC)=

1 sđ AC.Do dây AB=AC⇒Cung AB=AC ⇒DA’C=DA’E

2/C/m ∆A’DC=∆A’DE

Ta có CA’D=EA’D(cmt);A’D chung; A’DC=A’DE=1v⇒đpcm 3/Khi AA’ quay xunh quanh A E chạy đường nào? Do ∆A’DC=∆A’DE⇒DC=DE⇒AD đường trung trực CE

⇒AE=AC=AB⇒Khi AA’ quay xung quanh A E chạy đường trịn tâm A;bán kính AC

Hình 73

1/C/m DA’C=DA’E Ta có DA’E=AA’B (đđ Và sđAA’B=sđ

2 1AB CA’D=A’AC+A’CA (góc ngồi ∆AA’C) Mà sđ A’AC=

2

1sñA’C SñA’CA=

2

4/C/m BAC=2.CEB

Do ∆A’CE cân A’⇒A’CE=A’EC.Mà BA’C=A’EC+A’CE=2.A’EC(góc ngồi ∆A’EC)

Ta lại có BAC=BA’C(cùng chắn cung BC)⇒BAC=2.BEC




Baøi 74:

Cho ∆ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB.O trung điểm AB;M điểm cung AC.H giao điểm OM với AC>

1 C/m:OM//BC

2 Từ C kẻ tia song song cung chiều với tia BM,tia cắt đường thẳng OM D.Cmr:MBCD hình bình hành

3 Tia AM cắt CD K.Đường thẳng KH cắt AB P.Cmr:KP⊥AB C/m:AP.AB=AC.AH

5 Gọi I giao điểm KB với (O).Q giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng

D

K C I M Q H

A P O B

1/C/m:OM//BC Cung AM=MC(gt)⇒COM=MOA(góc tâm sđ cung bị chắn).Mà ∆AOC cân O⇒OM đường trung trực

∆AOC⇒OM⊥AC.MàBC⊥AC(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒đpcm

2/C/m BMCD hình bình hành:Vì OM//BC hay MD//BC(cmt) CD//MB (gt) ⇒đpcm

3/C/ KP⊥AB.Do MH⊥AC(cmt) AM⊥MB(góc nt chắn nửa đtrịn);

MB//CD(gt)⇒AK⊥CD hay MKC=1v⇒MKCH nội tiếp⇒MKH=MCH(cùng chắn cung MH).Mà MCA=MAC(hai góc nt chắn hai cung MC=AM)

⇒HAK=HKA⇒∆MKA cân H⇒M trung điểm AK.Do ∆AMB vuông M ⇒KAP+MBA=1v.mà MBA=MCA(cùng chắn cung AM)⇒MBA=MKH hay KAP+AKP=1v⇒KP⊥AB

4/Hãy xét hai tam giác vuông APH ABC đồng dạng(Góc A chung) 5/Sử dụng Q trực tâm cuỉa ∆AKB




Bài 75:

Cho nửa đường trịn tâm O đường kính EF.Từ O vẽ tia Ot⊥ EF, cắt nửa đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA=IO.Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ với nửa đường tròn;chúng cắt đường thẳng EF B C (P;Q tiếp điểm)

1.Cmr ∆ABC tam giác tứ giác BPQC nội tiếp

2.Từ S điểm tuỳ ý cung PQ.vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến cắt AP H,cắt AC K.Tính sđ độ góc HOK

3.Gọi M; N giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp 4.Chứng minh ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, D nằm đường tròn ngoại tiếp ∆HOK

A

K H S I

D

B E O F C

1/Cm ∆ABC tam giác đều:Vì AB AC hai tt cắt ⇒Các ∆APO; AQO tam giác vng P Q.Vì IA=IO(gt)⇒PI trung tuyến tam gíac vng AOP⇒PI=IO.Mà IO=PO(bán kính)⇒PO=IO=PI⇒∆PIO tam giác

đều⇒POI=60o.⇒OAB=30o.Tương tự OAC=30o⇒BAC=60o.Mà ∆ABC cân A(Vì đường caoAO phân giác) có góc 60o ⇒ABC tam giác 2/Ta có Góc HOP=SOH;Góc SOK=KOC (tính chất hai tt cắt nhau)

⇒Góc HOK=SOH+SOK=HOP+KOQ.Ta lại có:

POQ=POH+SOH+SOK+KOQ=180o-60o=120o⇒HOK=60o 3/

Bài 76:

Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC BD cắt E.Các cạnh bên AD;BC kéo dài cắt F

1 C/m:ABCD thang cân Chứng tỏ FD.FA=FB.FC C/m:Góc AED=AOD C/m AOCF nội tiếp F

A B E

D C O

Hình 75

1/ C/m ABCD hình thang cân:

Do ABCD hình thang ⇒AB//CD⇒BAC=ACD (so le).Mà BAC=BDC(cùng chắn cung BC)⇒BDC=ACD Ta lại có ADB=ACB(cùng chắn cung AB)⇒ADC=BCD Vậy ABCD hình thang cân

∆FCA đồng dạng Góc F chung FDB=FCA(cmt) 3/C/m AED=AOD:

•C/m F;O;E thẳng hàng: Vì ∆DOC cân O⇒O nằm đường trung trực Dc.Do ACD=BDC(cmt)⇒∆EDC cân E⇒E nằm tren đường trung trực DC.Vì ABCD thang cân ⇒∆FDC cân F⇒F nằm đường trung trực

DC⇒F;E;O thẳng hàng •C/m AED=AOD Ta có:Sđ AED=

2

1sđ(AD+BC)=

1.2sđAD=sđAD cung AD=BC(cmt) Mà sđAOD=sđAD(góc tâm chắn cung AD)⇒AOD=AED

4/Cm: AOCF nội tiếp: Sđ AFC=

2

1sđ(DmC-AB) Sñ AOC=SñAB+sñ BC Sñ (AFC+AOC) =

2

1sñ DmC-2

sñAB+sñAB+sñBC

Mà sđ DmC=360o-AD-AB-BC.Từ
và ⇒sđ AFC+sđ AOC=180o.⇒đpcm



Baøi 77:

Cho (O) đường thẳng xy khơng cắt đường trịn.Kẻ OA⊥xy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B C.Tiếp tuyến B C (O) cắt xy D E.Đường thẳng BD cắt OA;CE F M;OE cắt AC N

1 C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB.EN=AF.EC

3 So sánh góc AOD COM Chứng tỏ A trung điểm DE

x M E C

N

O B

A F

D 1/C/m OBAD nt:

-Do DB tt⇒OBD=1v;OA⊥xy(gt)⇒OAD=1v⇒đpcm 2/Xét hai tam giác:ABF ECN có:

-ABF=NBM(đ đ);Vì BM CM hai tt cắt nhau⇒NBM=ECB⇒FBA=ECN -Do OCE+OAE=2v⇒OCEA nội tiếp⇒CEO=CAO(cùng chắn cung OC) ⇒∆ABF~∆ECN⇒đpcm

3/So sánh;AOD với COM:Ta có:

-DĐoABO nt⇒DOA=DBA(cùng chắn cung ).DBA=CBM(ñ ñ)

CBM=MCB(t/c hai tt cắt nhau).Do BMCO nt⇒BCM=BOM⇒DOA=COM 4/Chứng tỏ A trung điểm DE:

Do OCE=OAE=1v⇒OAEC nt⇒ACE=AOE(cùng chắn cung AE)

⇒DOA=AOE⇒OA phân giác góc DOE.Mà OA⊥DE⇒OA đường trung trực DE⇒đpcm




Baøi 78:

Cho (O;R) A điểm đường tròn.Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D cắt đường tròn E

1/ Chứng tỏ EC // với OA

2/ Chứng minh rằng: 2AB.R=AO.CB

3/ Gọi M điểm di động cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động cung nhỏ BC

4/ Xác định vị trí M cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C nằm đường tròn

D E

C

O J

A M

I B

1/C/m EC//OA:Ta có BCE=1v(góc nt chắn nửa đt) hay CE⊥BC.Mà OA phân giác ∆cân ABC⇒OA⊥BC⇒OA//EC

2/xeùt hai tam giác vuông AOB ECB có:

-Do OCA+OBA=2v⇒ABOC nt⇒OBC=OAC(cùng chắn cung OC) mà OAC=OAB (tính chất hai tt cắt nhau)⇒EBC=BAO⇒∆BAO~∆CBE ⇒.Ta lại có BE=2R⇒đpcm

3/Chứng minh chu vi ∆AIJ không đổi M di động cung nhỏ BC Gọi P chu vi ∆ AIJ Ta có P=JI+IA+JA=MJ+MI+IA+JA

Theo tính chất hai tt cắt ta có:MI=BI;MJ=JC;AB=AC ⇒P=(IA+IB)+(JC+JA)=AB+AC=2AB khơng đổi

4/Giả sử BCJI nội tiếp⇒BCJ+BIJ=2v.MậI+JBI=2v⇒JIA=ACB.Theo chứng minh có ACB=CBA⇒CBA=JIA hay IJ//BC.Ta lại có BC⊥OA⇒JI⊥OA

Mà OM⊥JI ⇒OM≡ OA⇒M điểm cung BC



Baøi 79:

Cho(O),từ điểm P nằm ngồi đường trịn,kẻ hai tiếp tuyến PA PB với đường tròn.Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vng góc với OM,đường cắt PA,PB C D

1/Chứng minh A,C,M,O nằm đường tròn 2/Chứng minh:COD=AOB

3/Chứng minh:Tam giác COD cân

4/Vẽ đường kính BK đường trịn,hạ AH ⊥BK.Gọi I giao điểm AH với PK.Chứng minh AI=IH

C

K A

I Q H

M

O P

D B

1/C/m ACMO nt: Ta có OAC=1v(tc tiếp tuyến).Và OMC=1v(vì OM⊥CD-gt) 2/C/m COD=AOB.Ta có:

Do OMAC nt⇒OCM=OAM(cùng chắn cung OM)

Chứng minh tương tự ta có OMDB nt⇒ODM=MBO(cùng chắn cung OM)

Hai tam giác OCD OAB có hai cặp góc tương ứng ⇒Cặp góc cịn lại nhau⇒COD=AOB

3/C/m ∆COD caân:

Theo chứng minh câu ta lại có góc OAB=OBA(vì ∆OAB cân O) ⇒OCD=ODC⇒∆OCD cân O

4/Kéo dài KA cắt PB Q

Vì AH⊥BK; QB⊥BK⇒AH//QB Hay HI//PB AI//PQ p dụng hệ định lý Talét tam giác KBP KQP có:

 




Baøi 80:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H

1/Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp 2/Chứng minh :AD.AB=AE.AC

3/Chứng tỏ AK phân giác góc DKE

4/Gọi I; J trung điểm BC DE Chứng minh: OA//JI

A x

J E D •O H

B K I C 1/C/m:BDEC nội tiếp:

Ta có: BDC=BEC=1v(do CD;BE đường cao)⇒Hai điểm D E làm với hai đầu đoạn BC…⇒đpcm

2/c/m AD.AB=AE.AC

Xét hai tam giác ADE ABC có Góc BAC chung

Do BDEC nt ⇒EDB+ECB=2v.Mà ADE+EDB=2v⇒ADE=ACB ⇒∆ADE~∆ACB⇒đpcm

3/Do HKBD nt⇒HKD=HBD(cùng chắn cung DH) Do BDEC nt⇒HBD=DCE (cùng chắn cung DE)

Dễ dàng c/m KHEC nt⇒ECH=EKH(cùng chắn cungHE) 4/C/m JI//AO Từ A dựng tiếp tuyến Ax

Ta coù sđ xAC=

1sđ cung AC (góc tt dây) Mà sđABC=

2

1sđ cung AC (góc nt cung bị chắn) Ta lại có góc AED=ABC(cùng bù với góc DEC)

Vậy Ax//DE.Mà AO⊥Ax(t/c tiếp tuyến)⇒AO⊥DE.Ta lại có BDEC nt đường trịn tâm I ⇒DE dây cung có J trung điểm ⇒JI⊥DE(đường kính qua trung điểm dây không qua tâm)Vậy IJ//AO




HKD=EKH

xAC=AED

Baøi 81:

Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D.Từ D kẻ đường thẳng song song với

AB,đường cắt đường tròn E F,cắt AC I(Enằm cung nhỏ BC) 1/Chứng minh BDCO nội tiếp

2/Chứng minh:DC2=DE.DF

3/Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn 4/Chứng tỏ I trung điểm EF

A

F O

I B C E D

Sñ DFC=

1sñ cung EC (góc nt cung bị chắn)⇒EDC=DFC ⇒∆DCE~∆DFC ⇒đpcm

3/Cm: DCOI nội tiếp:Ta có sđ DIC=

1sđ(AF+EC) Vì FD//AD ⇒Cung AF=BE ⇒sđ DIC=

2

1sñ(BE+EC)=

1sñ cung BC Sñ BOC=sñ cung BC.Mà DOC=

2

1BOC⇒sđ DOC=

1 sđBC⇒DOC=DIC ⇒Hai điểm O I làm với hai đầu đoạn thẳng DC góc ⇒đpcm

4/C/m I trung điểm EF

Do DCIO nội tiếp⇒DIO=DCO (cùng chắn cung DO).Mà DCO=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒DIO=1v hay OI⊥FE.Đường kính OI vng góc với dây cung FE nên phải qua trung điểm FE⇒đpcm




1/C/m: BDCO nội tiếp Vì BD DC hai tiếp tuyến ⇒OBD=OCD=1v ⇒OBD+OCD=2v ⇒BDCO nội tiếp 2/Cm: :DC2=DE.DF Xét hai tam giác

DCE DCF có: D chung SđECD=

2

1 sđ cung EC (góc tiếp tuyến dây)

Baøi 82:

Cho đường trịn tâm O,đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M.AM cắt CD E

1/Chứng minh AM phân giác góc CMD

2/Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn 3/Chứng tỏ AC2=AE.AM

4/Gọi giao điểm CB với AM N;MD với AB I.Chứng minh NI//CD

C

M E N

A O I B F

D

1/C/m AM phân giác góc CMD: Ta có: Vì OA⊥CD ∆COD cân O ⇒OA phân giác góc COD Hay COA=AOD⇒cung AC=AD ⇒góc

CMA=AMD(hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)⇒đpcm

2/cm EFBM nội tiếp: VìCD⊥AB(gt)⇒EFB=1v;và EMB=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒ EFB+ EMB=2v⇒đpcm

3/Cm: AC2=AE.AM

Xét hai tam giác:ACM ACE có A chung.Vì cung AD=AC⇒hai góc ACD=AMC(hai góc nt chắn hai cung nhau)

⇒∆ACE~∆AMC⇒đpcm

4/Cm NI//CD:

Vì cung AC=AD⇒góc AMD=CBA(hai góc nt chắn hai cung nhau) Hay NMI=NBI ⇒Hai điểm M B cung làm với hai đầu đoạn thẳng NI góc ⇒NIBM nội tiếp ⇒Góc NIB+NMB=2v mà NMB=1v(cmt) ⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Mà CD⊥AB(gt)⇒NI//CD




Baøi 83:

Cho ∆ABC có A=1v;Kẻ AH⊥BC.Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E cắt đường thẳng AC G.Đường thẳng thứ hai vng góc với đường thẳng thứ cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D

1 C/m:AEHF nội tiếp Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC

3 Chứng minh EF⊥DG FHC=AFE

4 Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn G

A E

F

B H C D

1/Cm AEHF nội tiếp: Ta có BAC=1v(góc nt chắn nửa đtrịn) FHE=1v ⇒ BAC+ FHE=2v⇒đpcm

2/Cm: HG.HA=HD.HC Xét hai ∆ vng HAC HGD có:BAH=ACH (cùng phụ với góc ABC).Ta lại có GAD=GHD=1v⇒GAHD nội tiếp ⇒DGH=DAH

( chắn cung DH ⇒DGH=HAC ⇒∆HCA~∆HGD⇒đpcm

3/•C/m:EF⊥DG:Do GH⊥DF DA⊥CG AD cắt GH E ⇒E trực tâm ∆CDG⇒EF đường cao thứ ∆CDG⇒FE⊥DG

• C/m:FHC=AFE:

Do AEHF nội tiếp ⇒AFE=AHE(cùng chắn cung AE).Mà AHE+AHF=1v AHF+FHC=1v⇒AFE=FHC

4/ Tìm điều kiện hai đường thẳng HE HF để EF ngắn nhất:

Do AEHF nội tiếp đường trịn có tâm trung điểm EF Gọi I tâm đường tròn ngoại tiêùp tứ giác AEHF⇒IA=IH⇒Để EF ngắn I;H;A thẳng hàng hay AEHF hình chữ nhật ⇒HE//AC HF//AB




Baøi 84:

Cho ∆ABC (AB=AC) nội tiếp (O).M điểm cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I

1 Chứng minh A;O;I thẳng hàng

2 Kẻ AK⊥ với đường thẳng MC AI cắt BC J.Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m:KM.JA=KA.JB

A

K

O • M E

B J N C I

⇒ñpcm

2/C/m AKCJ nội tiếp: Theo cmt ta có AI đường kính qua trung điểm dây BC ⇒AI⊥BC hay AJC=1v mà AKC=1v(gt)⇒AJC+AKC=2v ⇒đpcm

3/Cm: KM.JA=KA.JB Xét hai tam giác vng JAB KAM có: Góc KMA=MAC+MCA(góc ngồi tam giác AMC)

Mà sđ MAC=

1sđ cung MC sđMCA=

1sđ cung AM

⇒sđKMA=

1sđ(MC+AM)=

1sđAC=sđ góc ABC Vậy góc ABC=KMA ⇒∆JBA~∆KMA⇒đpcm




1/C/m A;O;I thẳng hàng:

Vì BMI=IMC(gt) ⇒ cung IB=IC ⇒Góc BAI=IAC(hai góc nt chắn hai cung nhau)⇒AI phân gíc ∆ cân ABC

⇒AI⊥BC.Mà ∆BOC cân O⇒ có góc tâm chắn cung

⇒OI phân giác góc BOC

• O

Bài 85:

Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB.Gọi C điểm nửa đường trịn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax By Một đường tròn (O’) qua A C cắt AB tia Ax theo thứ tự D E Đường thẳng EC cắt By F

1 Chứng minh BDCF nội tiếp

2 Chứng tỏ:CD2=CE.CF FD tiếp tuyến đường tròn (O)

3 AC cắt DE I;CB cắt DF J.Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

F C

E

I J • O’

A D B 1/Cm:BDCF nội tiếp:

Ta có ECD=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O’)⇒FCD=1v FBD=1v(tính chất tiếp tuyến)⇒đpcm

2/•C/m: CD2=CE.CF Ta có

Do CDBF nt⇒DFC=CBD(cùng chắn cung CD).Mà CED=CAD(cùng chắn cung CD (O’) Mà CAD+CBD=1v (vì góc ACB=1v-góc nt chắn nửa đt)

⇒CED+CFD=1v nên EDF=1v hay ∆EDF tam giác vng có DC đường cao.Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có CD2=CE.CF

•Vì ∆EDF vng D(cmt)⇒FD⊥ED hay FD⊥O’D điểm D nằm đường tròn tâm O’.⇒đpcm

3/C/m IJ//AB

Ta có ACB=1v(cmt) hay ICJ=1v EDF=1v (cmt) hay IDJ=1v ⇒ICJD nt CJI=CDI(cùng chắn cung CI).Mà CFD=CDI (cùng phụ với góc FED) Vì BDCF nt (cmt)⇒CFD=CBD (cùng chắn cung CD)⇒CJI=CBD ⇒đpcm 4/ Xác định vị trí D để EF tiếp tuyến (O)

Ta có CD⊥EF C nằm đường tròn tâm O.Nên để EF tiếp tuyến (O) CD phải bán kính ⇒D≡O




F

Baøi 86:

Cho (O;R (O’;r) R>r, cắt Avà B Gọi I điểm đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC ID với (O) (O’) Đường thẳng OC O’D cắt K

1 Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ:IC2=IA.IB

3 Chứng minh IK nằm đường trung trực CD IK cắt (O) E F; Qua I dựng cát tuyến IMN

a/ Chứng minh:IE.IF=IM.IN

b/ E; F; M; N nằm đường tròn I

C

E

M A D • O

•O’ B N

K Sñ CBI=

2

1 sđ CE (góc nt cung bị chắn)⇒ICE=IBC⇒∆ICE~∆IBC⇒đpcm 3/Cm IK nằm đường trung trực CD

Theo chứng minh ta có: IC2=IA.IB

Chứng minh tương tự ta có:ID2=IA.IB 

-Hai tam giác vng ICK IDK có Cạnh huyền IK chung cạnh góc vng IC=ID ⇒∆ICK=∆IDK⇒CK=DK⇒K nằm đường trung trực CD.⇒đpcm

4/ a/Bằng cách chứng minh tương tự câu ta có: IC2=IE.IF ID2=IM.IN Mà IC=ID (cmt)⇒IE.IF=IM.IN

b/ C/m Tứ giác AMNF nội tiếp: Theo chứng minh có E.Ì=IM.IN.p dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:

IE IN IM

IF

= Tức hai cặp cạnh tam giác IFN tương ứng tỉ lệ với hai cặp cạnh tam giác IME.Hơn góc EIM chung

⇒∆IEM~∆INF⇒IEM=INF.Mà IEM+MEF=2v⇒MEF+MNF=2v⇒đpcm

IC=ID⇒I nằm trênđường trung trực CD

1/C/m ICKD nt: Vì CI DI hai tt hai đtròn ⇒ICK=IDK=1v ⇒đpcm

2/C/m: IC2=IA.IB

Xét hai tam giác ICE ICBcó góc I chung sđ ICE=

2

1 sđ cung CE (góc tt dây)

Baøi 87:

Cho∆ABC có góc nhọn.Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC.(O) cắt AB;AC D E.BE CD cắt H

1 Chứng minh:ADHE nội tiếp C/m:AE.AC=AB.AD

3 AH kéo dài cắt BC F.Cmr:H tâm đường tròn nội tiếp ∆DFE Gọi I trung điểm AH.Cmr IE tiếp tuyến (O)

A I

E

D x H

B F O C

1/Cm:ADHE nội tiếp: Ta có BDC=BEC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn) ⇒ADH+AEH=2v⇒ADHE nt

2/C/m:AE.AC=AB.AD Ta chứng minh ∆AEB ∆ADC đồng dạng 3/C/m H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF:

Ta phải c/m H giao điểm đường phân giác tam giác DEF

-Tứ giác BDHF nt⇒HED=HBD(cùng chắn cung DH).Mà EBD=ECD (cùng chắn cung DE).Tứ gáic HECF nt⇒ECH=EFH(cùng chắn cung HE) ⇒EFH=HFD⇒FH phân giác DEF

-Tứ gáic BDHF nt⇒FDH=HBF(cùng chắn cung HF).Mà EBC=CDE(cùng chắn cung EC)⇒EDC=CDF⇒DH phân giác góc FDE⇒H là…

4/ C/m IE tiếp tuyến (O):Ta có IA=IH⇒IA=IE=IH=

1 AH (tính chất trung tuyến tam giác vng)⇒∆IAE cân I⇒IEA=IAE.Mà IAE=EBC (cùng phụ với góc ECB) AEI=xEC(đối đỉnh)Do ∆OEC cân O⇒ OEC=OCE

⇒xEC+CEO =EBC +ECB=1v Hay xEO=1v Vậy OE⊥IE điểm E nằm đường tròn (O)⇒đpcm




• O

• O’

Bài 88:

Cho(O;R) (O’;r) cắt Avà B.Qua B vẽ cát tuyến chung CBD⊥AB (C∈(O)) cát tuyến EBF bất kỳ(E∈(O))

1 Chứng minh AOC AO’D thẳng hàng

2 Gọi K giao điểm đường thẳng CE DF.Cmr:AEKF nt Cm:K thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ACD

4 Chứng tỏ FA.EC=FD.EA

A E

C

B D F K

1/C/m AOC AO’D thẳng hàng:

-Vì AB⊥CD ⇒Góc ABC=1v⇒AC đường kính (O)⇒A;O;C thẳng hàng.Tương tự AO’D thẳng hàng

2/C/m AEKF nt: Ta có AEC=1v(góc nt chắn nửa đường trịn tâm O.Tương tự AFD=1v hay AFK=1v ⇒AEK+AFK=2v⇒đpcm

3/Cm: K thuộc đường tròn ngoại tếp ∆ACD

Ta có EAC=EBC(cùng chắn cung EC).Góc EBC=FBD(đối đỉnh).Góc FBD=FAD(cùng chắn cung FD).Mà EAC+ECA=90o ⇒ADF=ACE ACE+ACK=2v⇒ADF+ACK=2v⇒K nằm đường tròn ngoại tiếp … 4/C/m FA.EC=FD.EA

Ta chứng minh hai tam giác vuông FAD EAC đồng dạng

EAC=EBC(cùng hcắn cung EC)EBC=FBD(đối đỉnh) FBD=FAD(cùng chắn cung FD)⇒EAC=FAD⇒đpcm




Bài 89:

Cho ∆ABC có A=1v.Qua A dựng đường trịn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C.Gọi M;N trung điểm AB;AC,OM ON kéo dài cắt K

1 Chứng minh:OAO’ thẳng hàng CM:AMKN nội tiếp

3 Cm AK tiếp tuyến hai đường tròn K nằm BC Chứng tỏ 4MI2=Rr.

O’ A

O

M I N B

K C 1/C/m AOO’ thẳng hàng:

-Vì M trung điểm dây AB⇒OM⊥AB nên OM phân giác góc AOB hay BOM=MOA Xét hai tam giác BKO AKO có OA=OB=R; OK chung BOK=AOK (cmt) ⇒∆KBO=∆KAO ⇒ góc OBK=OAK mà OBK=1v ⇒OAK=1v Chứng minh tương tự ta có O’AK=1v Nên OAK+O’AK=2v ⇒đpcm

2/Cm:AMKN nội tiếp:Ta có Vì AMK=1v(do OMA=1v) ANK=1v ⇒AMK+ANK=2v ⇒đpcm Cần lưu ý AMKN hình chữ nhật 3/C/m AK tiếp tuyến (O) O’)

-Theo chứng minh Góc OAK=1v hay OA⊥AK điểm A nằm đường tròn (O)⇒đpcm.Chứng minh tương tự ta có AK tt (O’)

-C/m K nằm BC:

Theo tính chất hai tt cắt ta có:BKO=OKA AKO’=O’KC

Nhưng AMKN hình chữ nhật⇒MKN=1v hay OKA+O’KA=1v tức có nghĩa góc BKO+O’KC=1v BKO+OKA+AKO’+O’KC=2v⇒K;B;C thẳng hàng ⇒đpcm

4/ C/m: 4MI2=Rr Vì ∆OKO’ vng K có đường cao KA.Aùp dụng hệ thue=ức lượng tam giác vng có AK2=OA.O’A.Vì MN=AK MI=IN hay MI=

2

1AK⇒đpcm




Bài 90:

Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC DB vng góc với Đường thẳng AB CD kéo dài cắt E; BC AD cắt F

1 Cm:BDEF nội tiếp Chứng tỏ:DA.DF=DC.DE

3 Gọi I giao điểm DB với AC M giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Cmr: DIMF nội tiếp

4 Gọi H giao điểm AC với FE Cm: AI.AM=AC.AH

E B

A O I C H M

D

F

1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt (O) đường kính AC⇒ABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường trịn)⇒ FBE=EDF=1v⇒đpcm

2/ C/m DA.DF=DC.DE:

Xét hai tam giác vuông DAC DEF có: Do BF⊥AE ED⊥AF nên C trực tâm ∆AEF⇒Góc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)⇒đpcm

3/ Cm:DIMF nt: Vì AC⊥BD(gt) ⇒DIM=1v I trung điểm DB(đường kính vng góc với dây DB)⇒∆ADB cân A⇒ AEF cân A (Tự c/m yếu tố này)⇒Đường trịn ngoại tiếp ∆AEF có tâm nằm đường AM ⇒góc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường trịn)⇒DIM+DFM=2v⇒đpcm

4/

Baøi 91:

Cho (O) (O’) tiếp xúc A.Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) B C (khác A) Kẻ tiếp tuyến chung DE(D∈(O)); DB CE kéo dài cắt M

1 Cmr: ADEM nội tiếp

2 Cm: MA tiếp tuyến chung hai đường trịn ADEM hình gì?

4 Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC

B O A O’ C

E D

M

Tương tự ta có AMB=ACM⇒Hai tam giác ABM ACM có hai cặp góc tương ứng nhau⇒Cặp góc cịnlại nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2v⇒BAM=MAC=1v hay OA⊥AM điểm A nằm đtrịn… 3/ADEM hình gì?

Vì BAM=1v⇒ABM+AMB=1v.Ta cịn có MA tt đtròn⇒DAM=MBA (cùng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM hình chữ nhật

4/Cm: MD.MB=ME.MC

Tam giác MAC vng A có đường cao AE.p dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có:MA2=ME.MC.Tương tự tam giác vng MAB có

MA2=MD.MB⇒đpcm




1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn)

⇒ADM+AEM=2v⇒đpcm 2/C/m MA tiếp tuyến hai đường trịn;

-Ta có sđADE= 1sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì chắn cung AE tứ giác ADME nt)⇒ABM=AMC

Baøi 92:

Cho hình vng ABCD.Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK⊥ với đường thẳng AM

1 Cm: ABKC nội tiếp

2 Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N.Từ B dựng đường vng góc với BD, đường cắt đường thẳng DK E Cmr: BD.KN=BE.KA

3 Cm: MN//DB

4 Cm: BMEN hình vuông

A B N

M E K

D C

1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) ⇒ đpcm 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE KAN có:

Vì ABCD hình vng nên nội tiếp đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1v⇒A;K;C nằm đtrịn đường kính AC.Vậy điểm A;B;C;D;K nằm đường trịn.⇒Góc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)⇒∆BDE~∆KAN⇒

KN BE KA BD

= ⇒ñpcm

3/ Cm:MN//DB.Vì AK⊥CN CB⊥AN ;AK cắt BC M⇒M trực tâm tam giác ANC⇒NM⊥AC.Mà DB⊥AC(tính chất hình vng)⇒MN//DB

4/Cm:BNEM hình vuông:

Vì MN//DB⇒DBM=BMN(so le) mà DBM=45o⇒BMN =45o⇒∆BNM tam giác vuông cân⇒BN=BM.Do BE⊥DB(gt)và BDM=45o⇒MBE=45o⇒∆MBE tam giác vuông cân BM phân giác tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m MN phân giác góc BMN⇒BMEN hình thoi lại có gốc B vng nên BMEN hình vng

Bài 93:

Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M điểm OB N điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF NP vng góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q

1 Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB

3 Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: ∆PEN tam giác cân

F N I

A Q E B P

M O

D C

1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).⇒đpcm

2/Cm:AN//DB O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật⇒O trung điểm AC.Vì C N đối xứng với qua M⇒M trung điểm NC ⇒OM đường trung bình ∆ANC⇒OM//AN hay AN//DB

3/Cm:F;E;M thẳng hàng

Gọi I giao điểm EF AN.Dễ dàng chứng minh AFNE hình chữ nhật⇒∆AIE OAB tam gíc cân⇒IAE=IEA ABO=BAO.Vì AN//DB⇒ IAE=ABO(so le)⇒IEA=EAC⇒EF//AC hay IE//AC
Vì I trung điểm AN;M trung điểm NC⇒IM đường trung bình ∆ANC⇒MI//AC .Từ
và Ta có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ⇒F;F;M thẳng hàng

4/C/m∆PEN cân:Dễ dàng c/m ANEP nội tiếp⇒PNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu ta suy NAE=EAP⇒ENP=EPN⇒∆PEN cân E

Baøi 94:

Từ đỉnh A hình vng ABCD,ta kẻ hai tia tạo với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F cắt đường chéo DB Q

1 Cm:E; P; Q; F; C nằm đường tròn Cm:AB.PE=EB.PF

3 Cm:S∆AEF=2S∆APQ

4 Gọi M trung điểm AE.Cmr: MC=MD A B

M

P E

Q

D F C

1/Cm:E;P;Q;C;F nằm đường trịn:

Ta có QAE=45o.(gt) QBC=45o(t/c hình vng)⇒ABEQ nội tiếp ⇒ABE+AQE=2v mà ABE=1v⇒AQE=1v
.Ta có ∆AQE vng Q có góc QAE=45o⇒∆AQE vng cân⇒AEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) PDF=45o ⇒APFD nội tiếp⇒APF+ADF=2v mà ADF=1v⇒APF=1v

và ECF=1v  Từ
⇒E;P;Q;F;C nằm đường trịn đường kính EF

2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: -Vì ABEQ nt⇒BAE=BQE(Cùng chắn cung BE)

-Vì QPEF nt⇒PQE=PEF(Cùng chắn cung PE) ⇒đpcm

3/Cm: :S∆AEF=2S∆APQ

Theo cm ∆AQE vng cân Q⇒AE= AQ +2 QE2 = 2AQ

Vì QPEF nt ⇒PEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung ⇒∆AQP~∆AEF⇒

2

AQP AEF

AQ AE S

S

     

= =( )2 2=2⇒ñpcm

4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai ∆MAD=MBC có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM

Baøi 95:

Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O.Kẻ AH BK vng góc với BD AC.Đường thẳng AH BK cắt I.Gọi E F trung điểm DH BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường cắt AH J

1 C/m:OHIK nội tiếp Chứng tỏ KH⊥OI

3 Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường cắt AH J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB

4 Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn A B

J O

F H K E

D C

I

Ta có OKIH nt⇒OKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI⊥AB AD⊥AB ⇒OI//AD⇒OIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD hình chữ nhật nên ABH+ACE ⇒OKH=OCE⇒HK//AB.Mà OI⊥AB ⇒OI⊥KH

3/Cm: HJ.KC=HE.KB

Chứng minh hai tam giác vuông HJE KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp:

VìAH⊥BE;EJ//AD AD⊥AB⇒EJ⊥AB⇒BJ đường cao thứ ba tam giác ABE⇒BJ⊥AE Vì E trung điểm DH;EJ//AD⇒EJ đường trung bình tam giác ADH⇒EJ//=

2

1AB;BF=

1BC maø BC//=AD⇒JE//=BF⇒BJEF laø hình bình hành⇒JB//EF.Mà BJ⊥AE⇒EF⊥AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1v⇒ABFE nt


 1/Cm:OHIK nt

(Hs tự chứng minh)

2/Cm HK⊥OI Tam giác ABI có hai đường cao DH AK cắt O

⇒OI laø

đường cao

thứ ba

Bài 96:

Cho ∆ABC, phân giác góc góc ngồi góc B C gặp theo thứ tự I J.Từ J kẻ JH; JP; JK vng góc với đường thẳng AB; BC; AC

1 Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nt

3 BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr:AE⊥AJ C/m: AI.AJ=AB.AC

1/Chứng minh A;I;J thẳng hàng: Vì

A E

I

B P C

K H

Baøi 97:

Từ đỉnh A hình vng ABCD ta kẻ hai tia Ax Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q.Kẻ BK⊥Ax;BI⊥Ay DM⊥Ax,DN⊥Ay

1 Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD Chứng minh MN=KI Chứng tỏ KI⊥AN

x

B P C

K

y Q N M I

Bài 98:

Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD đường thẳng BC I K.Hạ KH KM vng góc với CD AM

Baøi 99:

Cho(O) tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C gọi B trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE CF gặp lại đường tròn điểm thứ hai M N.Dựng hình bình hành AECD

1 Chứng tỏ D nằm đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp

3 Chứng minh:CN.CF=4BE.BF Chứng minh MN//AC

1/Chứng minh D nằm đường thẳng EF:Do ADCE hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàng⇒đpcm

2/Cm:AFCD nội tiếp:

-Do ADCE hình bình hành⇒BC//AE⇒góc BCA=ACE(so le) -sđCAE=

2

1sđcung AE(góc tt dây) sđ AFE=

1 sđ cung AE ⇒CAE=AFE.⇒BCN=BFA⇒AFCD nội tiếp

2/Cm CN.CF=4BE.BF

-Xét hai tam gáic BAE BFA có góc ABF chung AFB=BAE(chứng minh trên)⇒∆BAE~∆BFA⇒

AB BE BF AB

= ⇒AB2=BE.BF

Tương tự hai tam giác CAN CFA đồng dạng⇒AC2=CN.CF.Nhưng ta lại có AB=

2

1AC.Do đó
trở thành:

1AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BF Từ
⇒đpcm

4/cm MN//AC Do ADCE hbh⇒BAC=ACE(so le).Vì ADCF nt

⇒DAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)⇒ACM=CMN⇒MN//AC


 A D

M B

E C N

Baøi 100:

Trên (O) lấy điểm A;B;C.Gọi M;N;P theo thứ tự điểm cung AB;BC;AC AM cắt MP BP K I.MN cắt AB E

1 Chứng minh ∆BNI cân PKEN nội tiếp

3 Chứng minh AN.BD=AB.BN

4 Chứng minh I trực tâm ∆MPN IE//BC

Vì cung AM=MB⇒ANM=MPB hay KPE=KNE⇒Hai điểm P;N làm với hai đầu đoạn thẳng KE…⇒đpcm

3/C/m AN.DB=AB.BN

Xét hai tam giác BND ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)⇒đpcm

4/ •Chứng minh I trực tâm ∆MNP: Gọi giao điểm MP với AB;AC F D.Ta có:

sđ AFD=

1 sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh đường tròn.) sđ ADF=

2

1 sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh đường trịn.)

Mà Cung AP=PC;MB=AM⇒AFD=ADF⇒∆AFD cân A có AN phân giác góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)⇒AN⊥MP hay NA đường cao

∆NMP.Bằng cách làm tương tự ta chứng minh I trực tâm tam gáic MNP

•C/m IE//BC.Ta có ∆BNI cân N có NE phân giác ⇒NE đường trung trực BI⇒EB=EI⇒∆BEI cân E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung PA=PC).Nên PBC=EIB⇒EI//BC

A

P M F K

O E I

B C N

1/C/m ∆BNI cân Ta có

sñBIN=

1 sñ(AP+BN) sñIBN=

2

1 sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt)

⇒BIN=IBN⇒∆BNI cân N